数学分析刘玉琏16-2

推论 2( P 95)
设E1，E2 D，P0是它们的聚点，若存在极限
P P0
PE1
lim f ( P ) A1 ， lim f ( P ) A2
P P0
PE2
但A1 A2，则 lim f ( P )不存在.
P P0
PD
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第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限
( x , y )(0,1)
lim ( x 2 2 y 2 3 xy ).
( x , y )(0,1)
lim ( x 2 2 y 2 3 xy ) lim ( x 2 )
( x , y )(0,1)

( x , y )(0,1)
lim (2 y 2 )
( x , y )(0,1)
(x,y) (x,y) (x0,y0) D
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第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限
定义1( P93) 设f ( x)为定义在D R2上的二元函数， ( x0 , y0 )为
D的一个聚点，A是一个确定的实数，若对任给的正数，总存
在某正数，使得当( x, y) U (( x0 , y0 ); ) D时，都有
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第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限
2 sin( x y) 例 求极限 lim . 2 2 ( x , y )(0,0) x y
sin( x 2 y ) x 2 y sin( x 2 y ) 解 lim 2 , lim 2 2 2 2 ( x , y )(0,0) ( x , y )(0,0) x y x y x y
2 2
0, ,
当0 ( x 0)2 ( y 0)2 时,
1 ( x y )sin 2 0 . 2 x y
2 2
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第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限
例2( P 94) 设 x2 y2 ,( x , y ) (0, 0), xy 2 2 f ( x, y ) x y 0 ,( x , y ) (0, 0), 证明 :
第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限
设二元函数 z = f (x, y)，定义域为D. z A
如图：
z = f (x, y)
如果当(x,y)在D内变动并
.
o x
M
.
y
无限接近于(x0,y0)时 (从任何方
向，以任何方式)，对应的函
数值f(x,y)无限接近于数 A，则
称A为当(x,y)趋近于(x0,y0)时 f(x,y)的极限.
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第十六章 多元函数的极限与连续
§2 二元函数的极限
2
一
二元函数的极限
第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限
回忆一元函数的极限. 设 y = f (x)，
所谓 lim f ( x ) A， 表示
x x0
y A f (x) O x x0 x x x0
因此，对任何 0， 当0 r 只须取 2 ，
x 2 y 2 时，
不管 取什么值都有
即 lim
( x , y )(0,0)
| f ( x, y ) 0 | , f ( x , y ) 0.
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第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限
定理16.5( P 95)
u x 2 y
二 累次极限 定义3( P97) 设Ex , E y R, x0是Ex的聚点,y0是E y的聚点，二元
函数f 在集合D Ex E y上有定义，若对每一个y E y，y y0，存
在极限 lim f ( x , y )，由于此极限一般与y有关，因此记作 ( y )
当 x 不论是从 x0的左边还是从 从x0的右边无限接近于x0时， 对应的函数值无限接近于数A. 如图
y = f (x)
f (x)
x
x x0
lim f ( x ) A用 语言表示就是：
3
> 0, > 0, 当0 < |x – x0| < 时, 有|f (x) – A | < .
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第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限
说明：
(1)定义中 (x,y)→ (x0,y0) 的方式是任意的； (2)二元函数的极限也称为二重极限
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
f ( x , y );
(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似; (4)二元函数极限的几何意义： >0，(x0,y0)的去心 邻域 Uº ((x0,y0); ). 在 Uº ((x0,y0); ) 内，函数z = f (x, y) 的图形总在平面 z = A − ε 及 z = A + ε之间.
( x , y )(0,0)
lim
f ( x, y) 0
证
对函数的自变量作坐标变换x r cos , y r sin ，
这时( x, y) (0,0)等价于对任何 都有r 0，
x2 y2 1 2 1 2 由于 | f ( x, y) 0 | xy 2 r | sin 4 | r , 2 x y 4 4
证
所以
| x 2 xy y 2 7 | 7 | x 2 | 5 | y 1 |
7(| x 2 | | y 1|).
设 为任意的正数，取 min{1, 0 | y 1 | 时，就有

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}，则当0 | x 2 | ,
| x 2 xy y 2 7 | 7 2 .
解 两个累次极限分别为 :
x y x2 y2 y2 y 1 lim lim lim y 0 x 0 y 0 x y y 与
lim (3 xy ) x ) ( lim
( x , y ) (0,1)
( x , y )(0,1)
lim ( x 2 ) 2 lim ( 2 ) 3( lim
( x , y )(0,1)
( x , y ) (0,1)
y)
0 2 1 3 0 1 2.
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第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限
例 证
1 求证 lim ( x y )sin 2 0. 2 ( x , y ) (0,0) x y
2 2
1 ( x y )sin 2 0 2 x y
2 2
1 2 2 x y sin 2 2 x y . x y
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第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限
例1( P 94) 依定义验证
( x , y )(2,1)
lim ( x 2 xy y 2 ) 7.
因为 | x 2 xy y 2 7 | | ( x 2 4) xy 2 ( y 2 1) | | ( x 2)( x 2) ( x 2) y 2( y 1) ( y 1)( y 1)]| | ( x 2)( x y 2) ( y 1)( y 3) | | x 2 || x y 2 | | y 1 || y 3 | . 先限制在点(2,1)的 1的方邻域{( x, y ) || x 2 | 1,| y 1| 1} 内讨 | y 3 | | y 1 4 | | y 1 | 4 5, 论，于是有 | x y 2 | | x 2 | | y 1 | 5 7.
( x , y ) ( x0 , y0 )
P ( x , y ) U 0 ( P0 ; ) D时，都有f ( P ) M , 则称f 在D上当P P0时， lim f ( P ) 或 lim f ( P )
P P0
PD
1 例5( P 96) 设 f ( x, y ) 2 ，证明 lim f ( x, y ) . 2 ( x , y )(0,0) 2x 3 y 1 2 2 2 2 取 ， 证 因为2 x 3 y 4( x y )，对任给正数M， 2 M 1 1 1 2 2 2 2 就有 x y ， 即 2 M. 由此推得2 x 3 y ， 2 2x 3 y M 2 M
sin u sin( x y ) 1, lim 其中 lim 2 u 0 ( x , y )(0,0) u x y
x2 y 1 0 2 x 0, x 0 2 x y 2
sin( x 2 y ) 于是， lim 2 0. 2 x 0 x y y 0
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2
推论3( P 95)
极限 lim f ( P ) A的充要条件是：对于D的
P P0
PD
任一满足条件Pn P0，且 lim Pn P0的点列{ Pn }，它所对应的函
n
数列{ f ( Pn )}都收敛.
xy 例3( P 95) 讨论f ( x , y ) 2 当( x , y ) (0, 0)时是否存在 2 x y 极限.
| f ( x, y ) A | ，
则称f ( x)在D上当( x, y) ( x0 , y0 )时以A为极限，记作
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
f ( x , y ) A.
或
P P0
PD
lim f ( P ) A
也可记作 f (x, y) A (x x0, y y0 ) ，或， f (P) A(P P0).
P P0
PD
lim f ( P ) A的充要条件是：对于D的任
一子集E，只要P0是E的聚点，就有