332_简单的线性规划问题_课件(人教A版必修5)
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人教A版高中数学必修五课件复件wo3.3.2简单的线性规划问题
指出的日常饮食要求，同时使
花费最低，需要同时食用食物 A和食物B多少kg？
6
7
5
7
14
4
M( , )
7
77
3
7
2
7
1
7
12 3 456
1
77 7 777
【例题2】
如图所示，已知 ABC中的三顶点 A(2 , 4) , B(1, 2) ,
C(1, 0), 点 P(x , y) 在 ABC 内部及边界运动，
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步 骤：
• （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； • （2）由二元一次不等式表示的平面区域做
出可行域； • （3）在可行域内求目标函数的最优解
再见
y x
x＋y
1
y －1
2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：
5x＋3 y 15
yຫໍສະໝຸດ x＋1x－5 y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o
x
B
C
y x
x＋y
1
y －1
z＝2x＋y
作出直线y=－2x＋z的图 像，可知z要求最大值，即 直线经过C点时。
请你探究并讨论以下问题：
① z x y 在_A___处有最大值_6__，
在_B_C__处有最小值__1_；
z x y ②
在__C__处有最大值__1_， 在__B__处有最小值_-_3_；
y
B
(1 , 2)
A(2 , 4)
0 C(1 , 0)
x
练习题：
1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：
花费最低，需要同时食用食物 A和食物B多少kg？
6
7
5
7
14
4
M( , )
7
77
3
7
2
7
1
7
12 3 456
1
77 7 777
【例题2】
如图所示，已知 ABC中的三顶点 A(2 , 4) , B(1, 2) ,
C(1, 0), 点 P(x , y) 在 ABC 内部及边界运动，
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步 骤：
• （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； • （2）由二元一次不等式表示的平面区域做
出可行域； • （3）在可行域内求目标函数的最优解
再见
y x
x＋y
1
y －1
2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：
5x＋3 y 15
yຫໍສະໝຸດ x＋1x－5 y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o
x
B
C
y x
x＋y
1
y －1
z＝2x＋y
作出直线y=－2x＋z的图 像，可知z要求最大值，即 直线经过C点时。
请你探究并讨论以下问题：
① z x y 在_A___处有最大值_6__，
在_B_C__处有最小值__1_；
z x y ②
在__C__处有最大值__1_， 在__B__处有最小值_-_3_；
y
B
(1 , 2)
A(2 , 4)
0 C(1 , 0)
x
练习题：
1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：
数学人教A版必修5课件：3.3.2 简单的线性规划问题2
变式训练 3：实数 x，y 满足条件yx≥－0y≥，0， 2x－y－2≥0，
则 z＝yx－＋11的
取值范围是________．
【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分，而
z＝yx－ ＋11可以看成是可行域内的动点(x，y)与定点 C(－1,1)连线
的斜率的取值范围．
由图可知 l1 的斜率 k1＝kBC，由y2＝x－0，y－2＝0， 得 B 点坐标为 (1,0)，所以 k1＝－12，l2 与直线 x－y＝0 平行，故 z∈[－12，1)．
(1)∵z＝yx＝yx－－00， ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率． 观察图形可知 zmin＝kOB＝25. (2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域中的点到原点 O 的距离的 平方．结合图形可知，可行域中的点到原点的距离中， dmin＝|OC|＝ 2，dmax＝|OB|＝ 29， ∴2≤z≤29.
2x＋y 的最大值． 解：可行域如图所示．
由图易知，当直线 y＝－2x＋z 经过 A 点时截距最大，
由yy＝ ＝x3，x－6， 得 A(3,3)，
∴zmax＝2×3＋3＝9.
2．对于函数 z＝2x－y，当直线 2x－y－z＝0 经过 A、B、C 三 点时，z 的值分别是多少？ 答：直线经过 A(3,8)时，z 的值为－2； 直线经过 B(－3,2)时，z 的值为－8， 直线经过 C(3，－4)时，z 的值为 10. 3．当直线 2x－y－z＝0 经过平面区域时，z 的最大值是多少？ 最小值呢？ 答：z 的最大值为 10，最小值为－8.
3．若 x≥0，y≥0，且 x＋y≤1，则 z＝x－y 的最大值为________． 【解析】如图：可行域为图中△AOB， 当直线 y＝x－z 经过 B 时，－z 最小从而 z 最大， ∴zmax＝1.
人教A版高中数学必修五课件3.3简单的线性规划(一)
x=3
二元一次不等式表示平面区域
练习:画出不等式组
y
x y 6 0
x y 0
y
3
x 5
表示的平面区域。
6
x+y-6=0
C
y=3 3 A
B
0
56x
x-y=0 x=5
例3：根据所给图形，把图中的平面区域 用不等式表示出来y：
(1)
1
1 O
x
(2)
y
2
O
3
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应画成 虚线，否则应画成实线。
2、画图时应力求准确，否则将得不 到正确结果。
二元一次不等式表示平面区域
作业：P93 习题 3.3 1. 2
x
y (3)
2
O
3
x
2
4
二元一次不等式表示平面区域小结
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
3.3.1二元一次不等式（组） 与 平面区域
一、引例：
某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲 两种产品需要A种原料4t、 B种原料12t， 产生的利润为2万元；生产乙种产品需要A 种原料1t、 B种原料9t，产生的利润为1万 元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t， 如何安排生产才能使利润最大？
人教A版高中数学必修5课件 3.3简单的线性规划问题课件
优解有无数个，此时 a＝1；
当 a＜0 时，当 y＝－ax＋z 与 x－y＝0 重合时，最
优解有无数个，此时 a＝－1。
综上，a＝1 或 a＝－1。
跟踪训练 2 给出平面可行域(如图)，若使目标函数 z＝ax＋y 取最
大值的最优解有无穷多个，则 a 等于 （ B ）
A.14
B.35
C．4
D.53
解：由题意知，
x
0
y 0
将上面不等式组表示成平面上的区域, 区域内所有坐标为整数的点P(x,y), 安排生产任务x,y都是有意义的。
问题：求利润2x+3y的最大值。
y
4 3
40Biblioteka 8x若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:
当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?
把z=2x+3y变形为y=-
x－y≥0， 例 2 已知 x，y 满足约束条件x＋y≤2，
y≥0，
优解，求实数 a 的值。
若目标函数 z＝ax＋y 的最大值有无数个最
解：约束条件所表示的平面区域如图：
由 z＝ax＋y，得 y＝－ax＋z。
当 a＝0 时，最优解只有一个，过 A(1,1)时取得最大值；
当 a＞0 时，当 y＝－ax＋z 与 x＋y＝2 重合时，最
车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨。在此基础上生产甲、乙
两种肥料。已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥
料，产生的利润为 3 万元。分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数。 (1)用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
人教A版高中数学必修五课件3.3.2简单线性规划(二)
解：设需截第一种钢板x张、第二种钢板y张，满足
的条件是
2x y 15，
xx
2y 3y
18， 27，
x
0,
x
N
，
y 0, y N .
目标函数：z=x+y.
可行域如图
y
M(18/5,39/5) x+y=0
BB(3,9) CC(4,8)
M
x
0 作出一组平行直线z=x+y2，x+y=15 x+y=12 x+2y=18 x+3y=27
解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收
入为Z千元，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是y 500，
x
0，
y 0.
目标函数Z＝3x＋2y，可行域如图所示。
当直线经过点M时，截距最大，Z最大。
易得M（200，100）， Zmax＝3x＋2y＝800。
2、解线性规划问题的步骤：
一列（设未知数，列出不等式组及目标函数式） 二画（画出线性约束条件所表示的可行域和直线l0） 三移（平在移线性直目线标l函0到数取所得表最示的值一的组位平置行）线中，利用平
移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或
四解（通过解方程组求最出小最的优直线解；） 五答（作出答案）
当直线经过点M时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解.
作直线x+y=12.
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8).
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
{ 2x+y≥15, x+2y≥18,
人教A版高中数学必修五课件3.3.2.1简单线性规划
问题：z=2x+y 有无最大（小）值？
y
5C
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x-4y+3=0
B
O1
x=1
A
5
x
3x+5y-25=0
可行域
在上述问题中
x 4 y 3 3x 5y 25 x 1
(线性)约 束条件
满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解.
所有可行解组成的集合称为可行域. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 称为最优解. 求线性目标函数在线性约束条件下的最大 值或最小值问题称为线性规划问题.
举例
例1 解下列线性规划问题：
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：
y x x y 1 y 1
1.线性目标函数的最大（小）值一般在可
行域的顶点处取得，也可能在边界处取得. 2.求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数.
练习
1.课本91页练习第1题
7x 7 y 5
2.
已知
174xx174
y y
6 6
求 Z 28x 21 y最小值。
问题：z=2x+y 有无最大（小）值？
目标函数 （线性目标函数）
定义
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及 的变量 x，y的解析式称为目标函数..
线性目标函数:关于x，y 的一次目标函数称为 线性目标函数.
约束条件:由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式 组称为x，y 的约束条件.
线性约束条件:关于x，y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x，y 的线性约束条件.
y
5C
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x-4y+3=0
B
O1
x=1
A
5
x
3x+5y-25=0
可行域
在上述问题中
x 4 y 3 3x 5y 25 x 1
(线性)约 束条件
满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解.
所有可行解组成的集合称为可行域. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 称为最优解. 求线性目标函数在线性约束条件下的最大 值或最小值问题称为线性规划问题.
举例
例1 解下列线性规划问题：
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：
y x x y 1 y 1
1.线性目标函数的最大（小）值一般在可
行域的顶点处取得，也可能在边界处取得. 2.求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数.
练习
1.课本91页练习第1题
7x 7 y 5
2.
已知
174xx174
y y
6 6
求 Z 28x 21 y最小值。
问题：z=2x+y 有无最大（小）值？
目标函数 （线性目标函数）
定义
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及 的变量 x，y的解析式称为目标函数..
线性目标函数:关于x，y 的一次目标函数称为 线性目标函数.
约束条件:由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式 组称为x，y 的约束条件.
线性约束条件:关于x，y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x，y 的线性约束条件.
人教A版高中数学必修五课件3.3.2简单的线性规划问题一
因素的制约？怎样用数学语言表述这些制约因素？
③建立数学模型：
④求解：
用图解法求出最大值．
解:设生产甲,乙两种产品分别为 x t , y t ，
利润总额为 z 元，则 z = 600x+1000y
y
O
解:设生产甲,乙两种产品分别为x t , y t ，
利润总额为 z 元，则 z = 600x+1000y
x
解：
则
(3 , 9) (4 , 8)
数学建模解决实际问题的基本步骤： 实际问题
数学模型
推理演算
实际问题的解
数学模型的解
A 规格
B 规格
C 规格
第一种钢板 第二种钢板
2 1
1 2
1 3
今需要A，B，C 三种规格的成品分别为15， 18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三 种规格成品，且使所用钢板张数最少．
解：
y
16 14
则
12
10 8 6 4 2
O
2 4
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
线性规划的图解法步骤： ①画－画出线性约束条件所表示的可行域； 画目标函数所对应的等值线. ②移－在可行域内移动目标函数等值线; ③求－通过解方程组求出最优解； ④答－作出答案．
例3要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种 规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的决数 如下表所示：
规格类型 钢板类型
3.3.2简单的线性规划问题
知识回顾 ：
解 1：
解得
y
O
x
在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的四边形 区域， 其中可行解 (3 ，1) 和 (5 ，1) 分别使目标函数取得 最大值和最小值， 它们都叫做这个问题的最优解．
人教A版高中数学必修五3.3.2 简单的线性规划课件
Zmax 2 5 2 12, Zmin 2 1 1 3
线性 规划
Z=2x+y称为目标函数,(因 这里目标函数为关于x,y的 一次式,又称为线性目标函
数
目标函数
问题： （线性目标函数）
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
线性约 束条件
5x+3y=15 y
y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
O1
-1
5
A(-2,-1)
Zmax 17; Zmin 11
X-5y=3 x
练习3：
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需 要A种原料4t、 B种原料12t，产生的利润为2万元；生 产1t乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t，产生的利 润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t，如何 安排生产才能使利润最大？
够产生最大利润，最大利润为3万元。
小试牛刀
(1)已知 x - y 0 x y -1 0 y 1 0
求z=2x+y的最大值和最小值。
y
y-x=0
5
1
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
zmax 3
zmin 3
x+y-1=0
练习2、已知
y x 1 x - 5y 3 5x 3y 15 求z=3x+5y的最大值和最小值。
4
8x
y 1 x4
2
y2x z
14 3 3
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
线性 规划
Z=2x+y称为目标函数,(因 这里目标函数为关于x,y的 一次式,又称为线性目标函
数
目标函数
问题： （线性目标函数）
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
线性约 束条件
5x+3y=15 y
y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
O1
-1
5
A(-2,-1)
Zmax 17; Zmin 11
X-5y=3 x
练习3：
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需 要A种原料4t、 B种原料12t，产生的利润为2万元；生 产1t乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t，产生的利 润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t，如何 安排生产才能使利润最大？
够产生最大利润，最大利润为3万元。
小试牛刀
(1)已知 x - y 0 x y -1 0 y 1 0
求z=2x+y的最大值和最小值。
y
y-x=0
5
1
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
zmax 3
zmin 3
x+y-1=0
练习2、已知
y x 1 x - 5y 3 5x 3y 15 求z=3x+5y的最大值和最小值。
4
8x
y 1 x4
2
y2x z
14 3 3
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
人教A版必修5 3-3-2 简单的线性规划问题 课件(54张)
3．试总结解答简单线性规划问题的一般步骤．
提示：解简单的线性规划问题，一般经历以下四个步骤： (1)画：画出线性约束条件所表示的可行域． (2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移 的方法找出与可行域有公共点且使纵截距最大或最小的直线． (3)求：通过解方程组求出最优解． (4)答：写出答案．
y≤2x， 3．已知实数 x、y 满足y≥－2x，
x≤3， 的最小值是 －9 .
则目标函数 z＝x－2y
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
目标函数可化为 y＝12x－12z，作直线 y＝12x 及其平行线，知 当此直线经过点 A 时，－12z 的值最大，即 z 的值最小．又 A 点坐 标为(3,6)，所以 z 的最小值为 3－2×6＝－9.
x－4y＋3≤0， [变式训练 2] 如果实数 x、y 满足3x＋5y－25≤0，
x≥1，
目标函数 z＝kx＋y 的最大值为 12，最小值为 3，那么实数 k
的值为( C ) A．－2
B．15
C．2
D．不存在
解析：作出不等式组表示的可行域如图所示．可行域中的最
优解可能是 A(5,2)，B1，252，C(1,1)．若 k＝－2，则目标函数 z ＝kx＋y 取得最大值的最优解是 B1，252，取得最小值的最优解 是 A(5,2)，有 12＝－2×1＋252不成立与 3＝－2×5＋2 不成立， 排除选项 A．若 k＝2，则目标函数 z＝kx＋y 取得最大值的最优 解是 A(5,2)，取得最小值的最优解是 C(1,1)，有 12＝2×5＋2 与 3 ＝2×1＋1 都成立，所以选 C．
[例 4] 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲 种原料每 10 g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质，售价 3 元；乙种 原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质，售价 2 元．若病人 每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质．试问：应如何使用 甲、乙两种原料，才能既满足病人的营养需要，又使费用最省？
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线性规划问题(二)》实用课件(共34张PPT)
x y x y
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
线性规划的有关概念：
③可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）
叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫
做可行域． 使目标函数取得最大或最小
值的可行解叫线性规划问题 的最优解． ④线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在 线性约束条件下的最大值或 最小值的问题，统称为线性 规划问题．
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
BD
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
解题反思
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
课堂小结
我学习了…… 我感受到了……
我将继续学习的……
画
hua 化
华
画 画图
化
实际问题 不等式组
函数Z=2x+y 方程Z=2x+y 变：直线Z=2x+y点
特殊 抽象
数学问题 平面区域
方程Z=2x+y 直线Z=2x+y 不变：相应2x+y值 一般 具体
华 升华
谢 谢！
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)