省级高中数学优质课：周期函数教学设计

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人教版高中数学-周期函数

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23 0. 2 3 为例，谁能同样构造函 99 3 2 23 2 23 0. 2, 0. 3, 0. 0 2, 0. 2 3 ，如，小数点后 2,3 依次 9 9 99 99 99
【教师追问 1】这里是否存在两个量，一个量引起另一个量的变化？【教师追问 2】
函数的周期性
浙江省温州中学王礼勇
1
各位专家评委、老师们：大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师王礼勇.有机会参加本次高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸. 我的课题是《函数的周期性》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、课堂教学目标检测、教学特点及反思六个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见.
2, n 2k 1 ,k N . 【学生回答】可写成分段函数的形式， f n 3, n 2k
【教师追问 5】如何用函数的关系式来刻画循环小数出现周而复始的现象？【学生回答】 f n 2 f n .循环小数的循环节的长度为 2，自变量每增加 2，函数值会重复出现. 问题 5：水车上 A 点到水面的距离呈现周而复始的现象，这给我们似曾相识的感觉，当初我们定义正弦函数，就是类似这个背景.正弦函数是如何定义的？选用哪条有向线段表示正弦线？【学生回答】正弦函数是以角 x 为变量，角的终边与单位圆的交点纵坐标为函数值的函数.选用有向线段 MP 表示正弦线.
三、教学策略分析
本节课在教学材料的组织上，选择了学生上课举例、数学学习小组课前查阅现实世界中周而复始的现象，以小组选派代表的形式汇报成果.应用问题探究式教学方式，运用正反例，让学生积极参与形式化定义形成过程.借助几何画板，回顾正弦函数的定义，并对正弦函数的图像进行“修补”，进一步加深对周期函数这一概念的认识；运用高拍仪展示学生思考成果，充分展示学生的思维过程. 因此本节课采用数学抽象与逻辑推理紧密结合的方式，学生以周而复始的感性认识为基础，经过思考与讨论，进一步数学抽象，获得对数学概念深刻理解的过程；．．．．．运用函数的周期性解决问题，从特殊函数再推广到一般函数，学生运用逻辑推理 . ．．．．采用问题探究和信息技术相结合的手段，利用几何画板和高拍仪等信息技术加以辅助，充分展示学生的思维过程，又在不断的设问中，对概念的认识进一步升华.

函数的周期性教案

函数的周期性
定义：对于函数()x f y =，若存在一个不为零的常数T ，使x 取定义域中任意一个值时，有()()x f T x f =+，则称()x f y =为周期函数，常数T 为函数的周期.在所有T 的取值中，若存在一个最小的正数t ，则称t 为函数的最小正周期.（在题目中若没有特殊强调，则周期均值最小正周期.）
性质：
.1图像重复出现，且在对应的周期区间中，增减性，最值相同；
.2若()()a x f x f +=，则a T =；若()()a x f a x f -=+，则a T 2=；若()()b x f a x f -=+，则b a T +=；若()()b x f a x f +=+，则b a T -=；例题：
已知()()22+=-x f x f 且()21=-f ，则()________11=f ；
函数()x f 为R 上的奇函数，且()()x f x f =+2，则()_______6=f ；
函数()x f 为R 上的奇函数且4=T ，且[]6,4∈x 时，()2
2x x f -=，则()______1=-f ；
已知函数()x f 周期为3，且在[]0,2-∈x 为增函数，则在区间[]6,4上为_____（填增，减）；函数()x f 为R 上的偶函数且2=T ，在区间[],01-递减，则在区间[],32上为_____；
函数()x f 为R 上的奇函数，且()()x f x f -=+2，[]1,0∈x 时，()x x f =，则()__5.7=f ；函数()x f 为R 上的奇函数，且()()x f x f 12-
=+，[]3,2∈x 时，()x x f =，则()__5.105=f ；。

高中数学单位圆与周期性、诱导公式优质课教学设计

1.学生刚开始接触任意角三角函数，基础相对薄弱但对新知识比较渴望
2.学生已经掌握单位圆概念、任意角三角函数定义，但关于对称问题还缺少比较清晰的认识
学
习
目
标
描
述
知识点
编号
学习目标层次
具体描述语句
4.2-1
了解
通过对正、余弦函数的分析使学生能初步了解函数的周期性
4.3-1.2.3
理解
借助单位圆、三角函数定义、对称性等知识点引导学生积极参与诱导公式的产生过程，加深对诱导公式的理解
教师语言：大家观察四幅图片，展示的是我国哪种自然现象这种自然现象又有什么规律？
思考、发言、
小组讨论
图片展示
吸引学生注意力、自然引入周期的话题
学习新知
教师提问：周期现象是自然界中非常普遍的现象，那在我们所学过的函数中是否存在周期现象哪？
1.探讨函数中是否有周期现象，借助单位圆得出正、余弦函数为周期函数。并学习周期函数定义
2.提出猜想
之间是否存在关联？
通过对猜想的分析引出诱导公式的必要性
3.借助单位圆合作探究诱导公式的产生，在小结－α的诱导公式发现过程的基础上，教师的引导学生合作推出α+π、α－π的诱导公式（分组竞技）
4.乘胜追击
学生合作推出
π－α的诱导公式
归纳、总结、理解性记忆
归纳、理解、小组讨论、总结性发言
思考、发言、小组讨论归纳、总结、理解性记忆总结性发言
学生课前需要
做的准备工作
1、预习单位圆与周期性和单位圆与诱导公式
2、任意角三角函数的定义
3、关于x轴、y轴、原点对称的点坐标之间的关系的相关内容
4、完成有效作业相关内容
学习
环境

2022年教学教材《函数的周期性基础知识》优秀教案

函数的周期性
1.周期函数的定义
对于函数，如果存在一个常数，能使得当取定义域内的一切值时，都有，那么函数叫做以为周期的周期函数。

2.与周期相关的结论
(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最
小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数；
(2)周期函数的定义域是无界的；
(3)假设为的周期，那么也是的周期
(4)假设函数恒满足，那么是周期函数，是它的一个周期；
(5)假设函数恒满足，那么是周期函数，是它的一个周期；
推论：假设函数恒满足，那么是周期函数，是它的一个周期；
〔4〕〔5〕以及周期性定义可概括为：“和或差为0型〞即型
(6)假设函数恒满足，那么是周期函数，是它的一个周期；
推论：假设函数恒满足，那么是周期函数，是它的一个周期；
(7)假设函数恒满足，那么是周期函数，是它的一个周期；
推论：假设函数恒满足，那么是周期函数，是它的一个周期；
〔6〕〔7〕可概括为：“乘积为型〞即型
(8)假设函数是偶函数，且关于直线对称，那么是周期函数，是它的一个周期；推论：假设函数关于直线对称，那么是周期函数，是它的一个周期；
(9)假设函数是奇函数，且关于直线对称，那么是周期函数，是它的一个周期；推论：假设函数关于点、直线对称，那么是周期函数，是它的一个周期；(10)假设函数是奇函数，且关于点对称，那么是周期函数，是它的一个周期；推论：假设函数关于点、对称，那么是周期函数，是它的一个周期。

〔8〕〔9〕〔10〕可概括为：“满足两个对称型〞即“两条对称轴或两个对称中心或一个对称中心，一条对称轴〞型
〔11〕分式递推型：即函数满足
由得，进而得
，由前面的结论得的周期是。

高中数学周期对称函数教案

高中数学周期对称函数教案教学目标：通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解周期对称函数的定义和性质；2. 掌握周期对称函数的图像特点；3. 能够解决与周期对称函数相关的问题。

教学重点与难点：周期对称函数的定义和性质是本节课的重点；周期对称函数的图像特点是本节课的难点。

教学准备：1. 教材：高中数学课本；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教案、讲义；3. 学具：学生课本、笔记本、作业本。

教学过程：一、引入教师可以通过一组周期对称函数的图像引入本节课的主题，让学生观察图像特点并思考周期对称函数的定义。

二、概念讲解1. 周期对称函数的定义：周期对称函数是指满足$f(x+T)=f(x)$的函数，其中T为一个正数且称为函数的周期。

2. 周期对称函数的性质：周期对称函数的图像以周期为中心对称；3. 周期对称函数的图像特点：周期对称函数的图像在周期范围内呈现对称分布的特点。

三、示范与练习1. 教师以具体的例子演示周期对称函数的图像特点；2. 学生跟随教师的示范，练习绘制周期对称函数的图像。

四、课堂练习通过一些简单的练习题和实际问题的应用，让学生熟练掌握周期对称函数的性质和应用。

五、课堂总结教师对本节课学习的重点进行梳理和总结，引导学生复习巩固所学知识。

六、作业布置布置相关的作业，让学生在课后巩固所学知识，并在下节课进行检查和讨论。

教学反思：通过本节课的教学，学生对周期对称函数的定义和性质有了更深入的理解，能够准确把握周期对称函数的图像特点。

在教学过程中，教师需要注重引导学生发现和思考，培养其解决问题的能力和独立思考的能力。

高中数学第一节周期现象与周期函数教案北师大版必修4

2014高中数学第一节周期现象与周期函数教案北师大版必修4一、教学目标：1、知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。

2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。

3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。

难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。

三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。

在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。

并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。

教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。

众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。

再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。

所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。

(板书课题)【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。

请你举出生活中存在周期现象的例子。

（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。

北师大版数学高一必修4教学设计 1.1周期现象与周期函数

1.1 周期现象【创设情境，揭示课题】借助多媒体让学生观看钱塘江发生潮汐壮观现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。

请同学们观察实物时钟，引导学生发现时钟变化中有周期现象吗？[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。

旋转方向顺时针，逆时针均包含周期现象（为任意角的学习做铺垫），我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。

(显示课题) 【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们仔细观察钱塘江潮的场景，注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。

请你举出生活中存在周期现象的例子。

（单摆运动、四季变化等）一、周期现象2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3—P4的相关内容，并思考回答下列问题：1)“散点图”？[观察潮汐现象数学方法：采集数据观察某港口某一天水深h与时间的对应表→在坐标系描出散点图→给出周期的数学符号H(t+24)=h(t) ]2)图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？3)如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？4)对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；H(t＋T)＝H(t)。

二、周期概念1)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11)略解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝20052)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)略解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－23)已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)。

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省级优质课参赛教案
《正弦函数、余弦函数的周期性》教学设计

1．教学任务分析
（1）从实际生活的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的
分析与正弦函数xysin，Rx的图象比较，抽象概括出周期函数的定义．让学
生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程．
（2）运用周期函数的定义，结合诱导公式（一）研究正弦函数xysin，
Rx

的周期性，通过类比的方法，让学生自己动手研究余弦函数xycos，Rx的周
期性，体会知识形成的过程．
（3）通过例题的教学，学生的练习、讨论、归纳出函数)sin(xAy与
)cos(xAy
(其中)0,0A的周期公式2T，并用此公式解决正弦型、

余弦型函数的周期，让学生形成系统的认识．
（4）通过本节课的学习，使学生能够初步对周期函数的定义形成认知，完善
函数性质，并能够利用周期函数的定义解决简单的函数周期问题．
2．教学重点与难点：
重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.
难点：对周期函数的理解及运用定义求函数的周期.
3．教学基本流程
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4．教学情景设计
问题设计意图师生活动

1．生活中有哪些周期性变化规律的例子？创设情境，让学生感受周期现象丰富的实际背景，
激发学生的学习兴趣，拉近
了数学与现实的距离．

教师先展示一
些周期性变化规律
的例子，然后由学生
举出生活中的周期
性变化规律的例子．
2．复习回顾诱导公式（一）和正弦函数的图象．引导学生回顾旧知为
本课做好准备.
师生共同回顾．

3．正弦函数的图象有什么特征？通过动画演示让学生直观感知正弦函数图象周
期性变化规律.

教师引导学生

回答问题．

4．正弦函数图象的这种周期性的变
化规律如何用数学语言表示？

通过对正弦函数
xysin
的图象观察、分
析，结合诱导公式，构建出
周期性变化规律，主要是立
足于从学生的最近思维区
入手，着力于知识建构，培
养学生观察、分析和抽象概
括能力，并进一步渗透数形
结合思想方法．

教师提示学生
注意观察图象上的
每一点向右平移
个单位，横、纵坐标
的变化规律．并将此
规律推广到一般函
数．

5．把具有周期性变化规律的函数
叫做周期函数，请同学们尝试着给
周期函数下一个定义．

把发现定义的主动权
交给了学生，在突出重点的
同时培养了学生思维的深
刻性与创造性，为学生的可
持续发展奠定了基础。

学生分组讨论，
小组代表汇报讨论
结果．

6．请同学们仔细读定义并找出其中的关键词．教给学生学习定义时首先应把握住定义中的关键词，抓定义的本质，实现对定义的正确理解．学生回答教师
提出的问题．
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7．教师强调并解释定义中的关键词，加深学生对关键词的理解．
8.判断题：

1.因为4sin)24sin(，所以
2



是xysin的周期.
2．因为2sin)22sin(xx，所以

2
sinxy
的周期是2．
3．若定义在R上的函数)(xf是周
期函数，且周期为T,试问T2、T3、
T
是它的周期吗？由此你能归纳
出什么结论？

帮助学生正确理解概念，防止学生以偏概全，通过具体的实例，从学生易错点出发，让学生认识到概念的本质以及关键词在定义中的含义，培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质．学生回答对错的同时，解释理
由．教师进行点评，
引导学生结合定义
分析．学生谈体会：
周期的定义是对定
义域中的每一个
值来说的；周期T是
自变量x的增加值；
周期函数的周期不
唯一．
9．给出最小正周期的定义．

10．axf)( (a为常数)是周期函
数吗？最小正周期是多少？
让学生体会周期函数

不一定存在最小正周期，形
成对最小正周期的准确理
解．

学生根据定义
判断出是周期函数，
教师提问学生周期
是什么？最小正周
期是什么？学生总
结出周期函数不一
定有最小正周期．

11．正弦函数的周期是多少？最小正周期是多少？从具体的问题入手，检验学生对周期函数、最小正
周期概念的理解．同时完善
新知．

教师引导学生
紧扣周期函数的定
义，结合诱导公式
（一）探究正弦函数
的周期性．

12．同学们用同样的方法研究一下余弦函数的周期性．培养学生类比思想．学生独立完成，
教师补充完善．
13.例1．求下列函数的最小正周紧扣周期函数的定义，师生共同完成
- 4 -

期． 1．xxfcos3)(，Rx； 2．xxf2sin)(，Rx； 3．)621sin(2)(xxf，Rx．形成求正弦型、余弦型函数的周期的方法. 1、2．第3个题由学
生口答，教师板
书．以规范总结解题
步骤，为学生解答例
2提供参考．

14.例2、求下列函数的周期.
第一组： 1．xxf2cos3)(，Rx； 2．)641sin(2)(xxf， Rx；第二组： 1．)32sin()(xxf，Rx； 2．)441cos(2)(xxf，Rx；使学生在解题过程中寻找规律，归纳周期公式．
分组练习，教师
引导学生在解题过
程中注意归纳周期
和表达式中的哪些
量有关，各组之间相
互交流讨论，小组代
表展示研究成果

15.学生归纳出函数
)sin(xAy
与
)cos(xAy
(其中
)0,0A
的周期公式为2T.

使学生产生对正弦型、
余弦型函数的周期性的系
统的认识，也为下一节的学
习奠定基础．

教师进行点评,
并对学生的研究成
果给予肯定和赞扬．

16．练习
1.下列函数中周期为2的是（）

A.2sinxy B.xy2sin
C.4cosxy D.xy4cos
2．求下列函数的周期.
（1）)2sin(3xy，Rx；
- 5 -

（2）)32sin(xy，Rx；
（3）)131cos(2xy，Rx;
( 4 ) )3sin(4xy, Rx．
3．函数)3cos(2xy，
Rx

（)0的最小正周期为4．求

的值．

及时巩固周期公式
学生口答，教师进行
点评．

17．小结通过小结，使学生对所学知识系统化、条理化，便
于学生记忆．

学生回忆、归

纳、总结．

18. 必做题：习题1.4 A 组第3、
10题
选作题：
1.函数xxfsin)(的最小正周期
为（）
A. 2 B. C.2 D.4
2.设函数)(xf是定义在R上周期
为的偶函数，当2,0x时，

xxfsin)(
. 试求)35(f的值.

课后作业分必做题和
选做题，必做题是对课堂学
习的反馈，选做题是对课堂
学习的延伸与拓展．

5．几点说明
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1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而
复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难，为了突破
这个难点，借助了多媒体动画演示来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．
2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，对周期T
是自变量的增加值理解有偏差，为了突破这个难点，设计了二道判断题让学生思
考，引导学生逐步形成正确的认知结构。
3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困
难，在设计中，例１的前2问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再
由个别学生口答，教师板书完成第3问，再由师生共同点评．
4.预计学生在归纳周期公式时有一定的困难，所以采用了小组讨论的方式归纳
周期公式。

省级高中数学优质课：周期函数 教学设计