最新沪科版九年级数学上册第22章相似形单元检测试卷(附答案)

最新沪科版九年级数学上册第22章相似形单元检测试卷（附答案）班级：___________姓名：___________等级：___________时间：120分钟满分：150分一、单选题（共10题；共30分）1.已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出（）个A. 1个B. 2个C. 4个D. 无数个【答案】B本题主要考查了对位似图形的认识．根据题意作图，注意有两种作法，在位似中心的两侧或同侧．所以这样的图形可以作出2个．解：如图：∴这样的图形可以作出2个．故选B．2.两个多边形相似的条件是（）A. 对应角相等B. 对应边相等C. 对应角相等，对应边相等D. 对应角相等，对应边成比例【答案】D试题分析：根据多边形相似的条件依次分析各项即可判断.两个多边形相似的条件是对应角相等，对应边成比例，故选D.考点：多边形相似的条件点评：本题是判定多边形相似的基础应用题，难度一般，学生只需正确理解多边形相似的判定方法即可轻松完成.3. 小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A. 0.5mB. 0.55mC. 0.6mD. 2.2m【答案】A根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，设小刚举起的手臂超出头顶是xm ，则有1.71.10.850.85x =-，x=0.5． 4.某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ） 舞蹈社 溜冰社 魔術社上學期 3 45 下學期 43 2A. 舞蹈社不变，溜冰社减少B. 舞蹈社不变，溜冰社不变C. 舞蹈社增加，溜冰社减少D. 舞蹈社增加，溜冰社不变 【答案】D【解析】若甲：乙：丙=a ：b ：c ，则甲占全部的a a b c ++，乙占全部的b a b c ++，丙占全部的c a b c++． 【详解】由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：∴舞蹈社增加，溜冰社不变．故选D ．【点睛】本题考查了比例的性质．找出各社团人数占全部人数的比例是解题的关键．5.如下图，已知⊙O 的直径为AB ，AC ⊥AB 于点A, BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得ED=EA ．下面四个结论：①ED 是⊙O 的切线；②BC=2OE ③△BOD 为等边三角形；④△EOD ∽ △CAD ，正确的是（ ）A. ①②B. ②④C. ①②④D. ①②③④【答案】C解：如图，连接OD．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．在△AOE与△DOE中，∵OA=OD，AE=DE，OE=OE，∴△AOE≌△DOE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．故①正确；∵△AOE≌△DOE，∴∠AOE=∠DOE，∵OB=OD，∴∠B=∠BDO，∵∠B+∠BDO=∠AOE+∠DOE，∴∠B=∠AOE，∴OE∥BC，∵AO=OB，∴OE是△BAC的中位线，∴BC=2OE,故②正确；∵OE∥BC，∴∠AEO=∠C．∵△AOE≌△DOE，∴∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，∴∠ODE=ADC=90°，∴△EOD∽△CAD，∴正确的①②④．故选C．点睛：本题考查了切线的判定，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质以及三角形相似的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．6.下列图形中一定相似的一组是（）A. 邻边对应成比例的两个平行四边形；B. 有一个内角相等的两个菱形；C. 腰长对应成比例的两个等腰三角形；D. 有一条边相等的两个矩形【答案】B分析：利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．解答：解：A、邻边对应成比例的两个平行四边形，对应的角不一定相等，因而不一定相似，故本选项错误；B、有一个内角对应相等的两个菱形相似，故本选项正确；C、腰长对应对应成比例的等腰三角形不一定相似，故本选项错误；D、有一条边相等的两个矩形不一定相似，故本选项错误．故选B．7.如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝6，DB＝7，则BC的长是（）A. 91B. 73C. 134D. 130【答案】D【解析】连接CA、CD，根据翻折的性质可得弧CD所对的圆周角是∠CBD，再根据AC弧所得的圆周角也是∠CBA，然后求出AC=CD，过点C作CE⊥AB于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=12AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后求出△ACE和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE2，再求出BE，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC．【详解】如图，连接CA、CD，根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，∵弧AC所对的圆周角是∠CBA，∠CBA=∠CBD，∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等），过点C作CE⊥AB于E，则AE=ED=12AD=12×6=3，∴BE=BD+DE=7+3=10，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB，∴∠ACB=∠AEC=90°，∴∠A+∠ACE=∠ACE+∠BCE=90°，∴∠A=∠BCE，∴△ACE∽△CBE，∴AE CE CE BE，即CE2=AE•BE=3×10=30，在Rt △BCE 中，BC=22BE CE +=21030+=130，故选D ．【点睛】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD 是解题的关键．8.如图，将矩形ABCD 密铺在长为4cm ．宽为2cm 的矩形纸片右侧，若组成的新矩形与原矩形（图中阴影部分）相似，则AB=（ ）cm ．A. 3B. 6C. 8D. 17﹣1【答案】A【解析】 此时的矩形与原来的矩形相似，则相对应的边长成比例.【详解】可得24=42AB -，AB=3，所以答案选择A 项. 【点睛】本题考查了相似，熟悉找出对应边是解决本题的关键.9.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( )A. 增大1.5米B. 减小1.5米C. 增大3.5米D. 减小3.5米【答案】D 试题分析：设小明在A 处时影长为x ，B 处时影长为y ．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴BD BNOP ON=，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D．考点：中心投影．10.如图，已知矩形ABCD满足AB：BC=1：2，把矩形ABCD对折，使CD与AB重合，得折痕EF，把矩形ABFE绕点B逆时针旋转90°，得到矩形A′BF′E′，连结E′B，交A′F′于点M，连结AC，交EF于点N，连结AM，MN，若矩形ABCD面积为8，则△AMN的面积为（）A. 4 2B. 4C. 2D. 1【答案】C【解析】先根据已知条件判定△E'A'B∽△ABC，得出∠A'BE'=∠ACB，进而判定AC∥BE'，连接BN，则△AMN 的面积=△ABN的面积，根据N为AC的中点，故△ABN的面积为△ABC面积的一半，进而得到△AMN 的面积为△ABC面积的一半，即矩形ABCD面积的四分之一，据此可得结论．【详解】如图：由折叠可得，BE=12BC=AF，而AB：BC=12，∴1222BCAFAB AB==，由旋转可得，AF=A'E'，AB=A'B ， ∴2A E A B ''='， 又∵2AB BC =， ∴A E AB A B BC''='， 又∵∠E'A'B=∠ABC=90°，∴△E'A'B ∽△ABC ，∴∠A'BE'=∠ACB ，∴AC ∥BE'，连接BN ，则△AMN 的面积=△ABN 的面积，由题可得，N 为AC 的中点，故△ABN 的面积为△ABC 面积的一半，∴△AMN 的面积为△ABC 面积的一半，即矩形ABCD 面积的四分之一，∴△AMN 的面积=14×8=2， 故选C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及旋转的性质，相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应角相等，得出平行线．解题时注意：平行线之间的距离处处相等．二、填空题（共10题；共30分） 11.如图，线段AC 、BD 交于点O ，请你添加一个条件：________，使△AOB ∽△COD ．【答案】OB=OD ．(答案不唯一)【解析】AO=OC ，有一对对顶角∠AOB 与∠COD ，添加OB=OD ，即得结论．【详解】解： ∵OA=OC ，∠AOB=∠COD （对顶角相等），OB=OD ，∴△ABO ≌△CDO （SAS ）．故答案为：OB=OD ．(答案不唯一)【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．12.△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为________．【答案】3:4【解析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，∴△ABC 与△DEF 的周长之比3：4，故答案为：3:4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．13.如图标记了△ABC 与△DEF 边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC ∽△DEF ，那么这个条件可以是________．（只填一个即可）【答案】∠C=60°．（答案不唯一）【详解】解：添加：∠C=60°，∵∠A=80°=∠D ，∠C=∠F=60°，∴△ABC ∽△DEF ，故答案为∠C=60°．（答案不唯一） 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握和运用相似三角形的判定方法是解题的关键． 14.如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）．【答案】见解析 【解析】 【详解】∵锐角三角形ABC 的边AB 和AC 上的高线CE 和BF 相交于点D∴∠AEC=∠BEC=∠AFB=∠CFB=90°∵∠ABF=∠DBE，∠ACE=∠DCF∴△ABF∽△DBE，△ACE∽△DCF∵∠EDB=∠FDC∴△EDB∽△FDC∴△ABF∽△DBE∽△DCF∽△ACE答案不唯一，如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等．15.如图，在△ABC中，DE∥AB分别交AC，BC于点D，E，若AD=2，CD=3，则△CDE与△CAB的面积的比为________．【答案】3 5【解析】由平行线可得两个三角形相似，再由其周长比等于其对应边的比，进而即可得出结论．【详解】解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，又相似三角形的周长比等于其对应边的比，∴△CDE与△CAB的周长比=CD3 AC5=．故答案为35．16.△ABC中，∠BAC=90°AD⊥BC于D，若AB=2，BC=3，则CD的长=________．【答案】5 3【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，又∠BAC=90°，∴∠ADB=∠BAC，又∠B=∠B，∴△ABD∽△CAB，∴AB BDBC AB=，即AB2=BC•BD，∵AB=2，BC=3，∴BD=43，则CD=BC-BD=3-43=53．17.已知三条线段的长分别是4cm，5cm和10cm，则再加一条________ cm的线段，才能使这四条线段成比例． 【答案】252或8或2 【解析】 运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式::a b c d =中的任何一项，进行计算即可．【详解】解：设所加的线段是x ,则得到：4105x =或4510x =或5410x =， 解得：252x =或x =8或2. 故答案为252x =或x =8或2． 【点睛】本题主要考查了成比例线段，解题的关键是理解成比例线段的概念，写比例式的时候，要注意分情况讨论．18.如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥BC ，BC=12，则GE=________．【答案】4．【解析】试题分析：首先根据G 点为△ABC 的重心，判断出AG ：AD=2：3；然后根据平行线的性质，判断出23GE AG CD AD ==，即可求出GE =23CD=263⨯=4． 考点：三角形的重心19.如图，已知零件的外径为30 mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD ）测量零件的内孔直径AB ．若OC ∶OA=1∶2，且量得CD ＝12 mm ，则零件的厚度x=________mm ．【答案】3.试题分析：要求零件的厚度，由题可知只需求出AB即可．因为CD和AB平行，可得△AOB∽△COD，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答：∵两条尺长AC和BD相等，OC=OD，∴OA=OB.∵OC：OA=1：2，∴OD：OB=OC：OA=1：2.∵∠COD=∠AOB，∴△AOB∽△COD．∴CD：AB=OC：OA=1：2.∵CD=12mm，∴AB=24mm∴2x+24=30．∴x=3mm．考点：相似三角形的应用．20.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，连接DE交AC于F，请写出图中一对相似的三角形：________（只要写出一对即可）．【答案】△ABD∽△AEF(或△ABD∽△DCF或△DCF∽△AEF或△ADE∽△ABC)分析：先根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，再利用旋转的性质得∠ADE=∠E=∠B=∠C，且∠BAD=∠CAE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽AEF．详解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，∴∠ADE=∠E=∠B=∠C，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽AEF．故答案为△ABD∽AEF．点睛：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．三、解答题（共8题；共60分）21.正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC和一线段DE（1）以DE为一边做格点△DEF与△ABC相似；（2）直接写出△DEF的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）7.5．【解析】（1）由于每个小正方形边长为1，先利用勾股定理求出△ABC的三边分别为AB=5，BC=2，AC=5，DE=5，根据三边对应成比例的两三角形相似，可以画出格点△DEF，使DF=5，EF=10；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）如图所示，△DEF与△ABC相似；（2）△DEF的面积=12×5×3=7.5．【点睛】本题考查了利用相似变换作图，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积，熟练掌握网格结构，根据相似比准确找出对应点的位置是解题的关键．22.已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．求证：Rt△ADC∽Rt△CDB ．【答案】详见解析.【解析】求出∠ADC=∠CDB=90°，根据∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，根据相似三角形的判定推出即可．【详解】∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD ，∵∠ADC=∠CDB=90°，∴Rt△ADC∽Rt△CDB ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定的应用，解题的关键是推出∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB．23.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．【答案】河宽为17米．【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长.【详解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴∆ABC∽∆ADE，∴AD DE AB BC=，又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，∴8.5 1.51 ABAB+=，∴AB＝17，即河宽为17米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.24.如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．【答案】AP=247或AP=2或AP=6【解析】试题分析:由AD//BC, ∠B=90°,可证∠PAD=∠PBC=90°,又由AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP 长为8-x,然后分别从APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析,利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案.试题解析:∵AB⊥BC,∴∠B=90°,∵AD∥BC,∴∠A=180°﹣∠B=90°,∴∠PAD=∠PBC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,设AP长为x,则BP长为8﹣x,若AB边上存在P点,使△PAD与△PBC相似,那么分两种情况:若△APD∽△BPC,则AP:BP=AD:BC,即x:（8﹣x）=3:4,解得x=24 7,若△APD∽△BCP,则AP:BC=AD:BP，即x:4=3:（8﹣x）,解得x=2或x=6,所以AP=247或AP=2或AP=6．25.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？【答案】相似【解析】先根据正方形的性质得∠A=∠D=90°，AB=AD=CD，设AB=AD=CD=4a，利用E为边AD的中点，CF=3FD，得到AE=DE=2a，DF=a，则可计算出AB AEDE DF==2，加上∠A=∠D，于是根据相似三角形的判定方法即可得到△ABE∽△DEF．【详解】△ABE与△DEF相似．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD，设AB=AD=CD=4a，∵E为边AD的中点，CF=3FD，∴AE=DE=2a，DF=a，∴=2，=2，∴=2而∠A=∠D，∴△ABE∽△DEF．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质26.一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC 的面积．【答案】（1）22（2）2.【解析】（1）设它的另一边长为2x ，则AM=DM=x ，根据相似多边形的性质得AM AB =AB AD ，即x 2=22x ，然后解方程求出x 则可得到矩形ABCD 的另一边长；（2）设DF=a ，根据相似多边形的性质得CD AD =DF AB ，即24=2DF ，然后利用比例性质求出DF ，再利用矩形面积公式计算矩形EFDC 的面积.【详解】解：()1由已知得2MN AB ==，1122MD AD BC ==， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，DM MN AB BC=， ∴DM BC AB MN ⋅=⋅，即2142BC =， ∴22BC =它的另一边长为22()2∵矩形EFDC 与原矩形ABCD 相似，∴DF CD AB BC=， ∵2AB CD ==，4BC =， ∴1AB CD DF BC ⋅==， ∴矩形EFDC 的面积212CD DF =⋅=⨯=． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比. 27.如图，△ABC 中，A 、B 两点在x 轴的上方，点C 的坐标是（-1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形 A B C '''V ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点 B ' 的横坐标是2，求点B 的横坐标．【答案】-2.5解：过点B 、B '分别作BD ⊥x 轴于D ,B E '⊥x 轴于E ，90BDC B EC '∴∠=∠=︒. ……………………1分∵ABC ∆的位似图形是A B C ∆''，∴点B 、C 、B '在一条直线上，BCD B CE ∴∠='∠．……………………2分BCD B CE ∴'V V ∽． 3分CD BC CE B C∴='．………………………4分 又∵12BC B C '=， 12CD CE ∴=. 又∵点B '的横坐标是2，点C 的坐标是(-1，0) ，3CE ∴=，32CD ∴=．…………………………………………5分 52OD ∴=． ∴点B 的横坐标为52-．…………………………………………6分28.在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN 相交于E．（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD－2DE=2BM；（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是什么？；（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若DE=2，且AF：FD=1：2时，求线段DG的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）BD+2DE=BM；（3）2．试题分析：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）根据已知求出CM的长，证△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出CD长，求出FM长即可．试题解析：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=90°，∴FM∥CD，∴∠NDE=∠MFE，∴FM=BM，∵BM=DN，∴FM=DN，在△EFM和△EDN中，∵∠NDE=∠MFE，∠NED=∠MEF，DN=FM，∴△EFM≌△EDN，∴EF=ED，∴BD﹣2DE=BF，根据勾股定理得：BF=BM，即BD﹣2DE=BM；（2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，与（1）证法类似：BD+2DE=BF=BM，故答案为BD+2DE=BM；（3）由（2）知，BD+2DE=BM，BD=BC，∵DE=，∴CM=2，∵AB∥CD，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD=AB：ND，∵AF：FD=1：2，∴AB：ND=1：2，∴CD：ND=1：2，CD：（CD+2）=1：2，∴CD=2，∴FD=43，∴FD：BM=1：3，∴DG：BG=1：3，∴DG=22．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．相似三角形的判定与性质；4．和差倍分．。