数学第八章 二元一次方程组(讲义及答案)附解析

数学第八章 二元一次方程组(讲义及答案)附解析

一、选择题

1．用加减法将方程组2311

255

x y x y -=??+=-?中的未知数x 消去后，得到的方程是（ ）．

A ．26y =

B ．816y =

C ．26y -=

D ．816y -= 2．已知22x y =-??=?

是方程kx +2y ＝﹣2的解，则k 的值为（ ）

A ．﹣3

B ．3

C ．5

D ．﹣5

3．若24

46x y x y -=??+=?

，则x +y 的值是（ ）

A ．﹣5

B ．5

C ．﹣4

D ．4

4．若二元一次方程组,

3x y a x y a

-=??+=?的解是二元一次方程3570x y --=的一个解，则a 为

（ ） A ．3

B ．5

C ．7

D ．9

5．某单位采购小李去商店买笔记本和笔，他先选定了笔记本和笔的种类，若买25本笔记本和30支笔，则他身上的钱缺30元；若买15本笔记本和40支笔，则他身上的钱多出30元．（ ）

A ．若他买55本笔记本，则会缺少120元

B ．若他买55支笔，则会缺少120元

C ．若他买55本笔记本，则会多出120元

D ．若他买55支笔，则会多出120元

6．已知方程组()21119x y kx k y +=?

?+-=?

的解满足 x +y ＝3，则 k 的值为（ ）

A ．k ＝-8

B ．k ＝2

C ．k ＝8

D ．k ＝﹣2

7．小兰：“小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？”小红：“哦，…，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了 5 支笔和 10 本笔记本共花了 42 元钱，第二次买了 10 文笔和 5 本笔记本共花了 30 元钱．”请根据小红与小兰的对话，求得小红所买的笔和笔 记本的价格分别是( ) A ．0.8 元／支，2.6 元／本 B ．0.8 元／支，3.6 元／本 C ．1.2 元／支，2.6 元／本

D ．1.2 元／支，3.6 元／本

8．规定”△”为有序实数对的运算，如果(a ，b)△(c ，d)＝(ac+bd ，ad+bc)．如果对任意实数a ，b 都有(a ，b)△(x ，y)＝(a ，b)，则(x ，y)为( ) A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(﹣1，0) D ．(0，﹣1)

9．某校开展社团活动，参加活动的同学要分组活动，若每组7人，则余3人；若每组8人，则少5人；求课外活动小组的人数x 和分成的组数y ，可列方程组为( ) A ．7385

y x y x =-??

=+?

B ．73

85y x y x

=+??

+=?

C ．7385x y

x y

+=??

-=?

D ．73

85y x y x =+??

=+?

10．若关于x ，y 的二元一次方程组432x y k

x y k

+=??-=?的解也是二元一次方程2310x y +=的

解，则x y -的值为（ ） A ．2 B ．10 C ．2- D ．4 二、填空题

11．为了应对疫情对经济的冲击，增加就业岗位，某区在5月份的时候开设了一个夜市，分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域，三者摊位数量之比5:4:3，市场管理处对每个摊位收取50元/月的管理费，到了6月份，市场管理处扩大夜市规模，并将新增摊位数量的

1

2用于餐饮，结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的920

，同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了10元、20元和30元，结果市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了1

12

，则百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是______．

12．三位先生A 、B 、C 带着他们的妻子a 、b 、c 到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A 比b 多买9件商品，先生B 比a 多买7件商品．则先生C 购买的商品数量是________．

13．方程组31810x y z x y x y z =+??

+=??++=?

的解是________．

14．一片草原上的一片青草，到处长的一样密、一样快．20头牛在96天可以吃完，30头牛在60天可以吃完，则70头牛吃完这片青草需__________天．

15．甲乙两人共同解方程组515(1)

42(2)ax y x by +=??-=-?，由于甲看错了方程（1）中的a ，得到方程

组的解为31x y =-??=-?；乙看错了方程（2）中的b ，得到方程组的解为5

4x y =??=?

；计算

2019

2018

110a

b ??+-= ???

________．

16．小明今年五一节去三峡广场逛水果超市，他分两次购进了A 、B 两种不同单价的水果．第一次购买A 种水果的数量比B 种水果的数量多50%，第二次购买A 种水果的数量比第一次购买A 种水果的数量少60%，结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，且第二次购买A 、B 水果的总费用比第一次购买A 、B 水果的总费用少10%（两次购买中A 、B 两种水果的单价不变），则B 种水果的单价与A 种水果的单价的比值是______．

17．中国古代著名的《算法统宗》中有这样一个问题:“只闻隔壁客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”大意为:“一群人分银子，若每人分七两，则剩余四

两;若每人分九两，则还差八两，问共有多少人?所分银子共有多少两?”(注:当时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语)设共有x 人，所分银子共有y 两，则所列方程组为_____________ 18．解三元一次方程组

时，先消去z ，得二元一次方程组

，

再消去y ，得一元一次方程2x ＝3，解得x ＝，从而得y ＝_____，z ＝____．

19．从﹣2，﹣1，0，1，2，3这六个数中，任取一个数作为a 的值，恰好使得关于x 、y

的二元一次方程组2

x y a

x y -=??+=?有整数解，且方程ax 2+ax+1=0有实数根的概率是_____．

20．a 与b 互为相反数，且4a b -=，那么21

1a ab a ab -+++=_______．

三、解答题

21．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元． （1）求A ，B 两种奖品的单价；

（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的1

3

．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

22．在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织七年级400名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司小客车，大客车两种型号客车作为交通工具．已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．

（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？

（2）若学校计划租用小客车a 辆，大客车b 辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案；

②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．

23．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,

2n P m +??

- ???

为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；

（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；

（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y 的方程组333x y q x y q

?+=+??-=-??解为坐标的点

(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．

24．李师傅要给-块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖.如图，现有A 和B 两种款式的瓷砖，且A 款正方形瓷砖的边长与B 款长方形瓷砖的长相等, B 款瓷砖的长大于宽.已知一块A 款瓷砖和-块B 款瓷砖的价格和为140元; 3块A 款瓷砖价格和4块B 款瓷砖价格相等.请回答以下问题:

(1)分别求出每款瓷砖的单价.

(2)若李师傅买两种瓷砖共花了1000 元，且A 款瓷砖的数量比B 款多，则两种瓷砖各买了多少块?

(3)李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖.若A 款瓷砖的用量比B 款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B 款瓷砖的长和宽分别为_ 米(直接写出答案).

25．规定:二元一次方程ax by c +=有无数组解，每组解记为(),P x y ,称(),P x y 为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题： (1) 已知()()()1,2,4,3,3,1A B C ---，则是隐线326x y +=的亮点的是 ;

(2) 设()10,2,1,3P Q ??-- ???是隐线2

6t x hy +=的两个亮点，求方程

()

22

144265t x t h y ??+-++= ???

中,x y 的最小的正整数解; (3)已知,m n 是实数， 27m n =,若)

,P m n 是隐线23x y s -=的一个亮点，求

隐线s 中的最大值和最小值的和. 26．（1）阅读下列材料并填空：

对于二元一次方程组

4354

{

336

x y

x y

+=

+=

，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数

表

4354

()

1336

，求得的一次方程组的解{

x a

y b

=

=

，用数表可表示为

10

)

01

a

b

（．用数表可

以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：

从而得到该方程组的解为x= ，y= ．

（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组

236

{

2

x y

x y

+=

+=

的过程．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题

1．D

解析：D

【分析】

方程组两方程相减消去x即可得到结果．

【详解】

解：

2311? 255?

x y

x y

-=

?

?

+=-

?

①

②

②-①得：8y=-16，即-8y=16，

故选D．

【点睛】

本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

2．B

解析：B

【分析】

把

2

2

x

y

=-

?

?

=

?

代入是方程kx+2y＝﹣2得到关于k的方程求解即可.

【详解】

解：把22x y =-??=?

代入方程得：﹣2k +4＝﹣2，

解得：k ＝3， 故选B ． 【点睛】

本题主要考查二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

3．B

解析：B 【分析】

①+②得：2x+2y ＝10，进而即可求得x+y ＝5． 【详解】

解：2446x y x y -=??+=?

①②，

①+②得：2x+2y ＝10， ∴x+y ＝5． 故选：B ． 【点睛】

本题考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意加减法和代入法的应用．

4．C

解析：C 【分析】

先用含a 的代数式表示x 、y ，即解关于x 、y 的方程组，再代入3570x y --=中即可求解. 【详解】

解：解方程组3x y a x y a -=??+=?，得2x a y a =??=?

，

把x =2a ，y=a 代入方程3570x y --=，得6570a a --=，

解得：a =7. 故选C. 【点睛】

本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念，求解的关键是先把a 看成已知，通过解关于x 、y 的方程组，得到x 、y 与a 的关系.

5．D

解析：D 【分析】

设笔记本的单价为x 元，笔的单价为y 元，根据小李身上的总额列出方程，然后变形即可求解． 【详解】

设笔记本的单价为x 元，笔的单价为y 元，根据题意得： 25x+30y-30=15x+40y+30 整理得：10x-10y=60，即x-y=6

∴()253063055210x x x +--=-，即买55个笔记本缺少210元

()256303055120y y y ++-=+，即买55支笔多出120元

故选D ． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组，根据题意列出等量关系然后进行推导是本题的关键．

6．C

解析：C 【分析】

方程组两方程相减表示出x+y ，代入已知方程计算即可求出k 的值． 【详解】

解：()21119x y kx k y +=??

?+-=??

①②，

②-①得：()()2218k x k y -+-=，即()()218k x y -+=， 代入x+y=3得：k-2=6， 解得：k=8， 故选：C ． 【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

7．D

解析：D 【分析】

首先设小红所买的笔的价格是x 元/支，笔记本的价格是y 元/本，根据关键语句“第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，”可得方程5x+10y=42，“第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱”可得方程10x+5y=30，联立两个方程，再解方程组即可. 【详解】

解：设小红所买的笔的价格是x 元/支，笔记本的价格是y 元/本，由题意得：

5104210530x y x y +=??

+=? 解得： 1.2

3.6x y =??=?

故答案为D. 【点睛】

本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，再列出方程组即可.

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据新定义运算法则列出方程ax +by =a ①，ay +bx =b ②，由①②解得关于x 、y 的方程组，解方程组即可． 【详解】

由定义，知：（a ，b ）△（x ，y ）=（ax +by ，ay +bx ）=（a ，b ），则ax +by =a ①，ay +bx =b ②

由①+②，得：（a +b ）x +（a +b ）y =a +b ． ∵a ，b 是任意实数，∴x +y =1③

由①﹣②，得：（a ﹣b ）x ﹣（a ﹣b ）y =a ﹣b ，∴x ﹣y =1④ 由③④解得：x =1，y =0，∴（x ，y ）为（1，0）． 故选B ． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解法．解答此题的关键是弄懂新定义运算的法则，根据法则列出方程组．

9．A

解析：A 【解析】

分析：根据题意确定等量关系为：若每组7人，则余3人；若每组8人，则少5人，列方程组求解即可.

详解：根据题意可得：73

85y x y x =-??

=+?

. 故选：A.

点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是确定问题的等量关系.

10．D

解析：D 【分析】

把k 看做已知数求出x 与y ，代入已知方程计算即可求出k 的值，从而求得x y -的值． 【详解】

432x y k x y k +=??

-=?

①

②， ①-②得：5

k

y =， 把5k y =代入②得：115

k x =， 把115k x =

，5k

y =代入2310x y +=，得：11231055

k k ?

+?=

解得：2k =， ∴225x =

，25y =， ∴222

455

x y -=-=． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

二、填空题

11．【分析】

由题意设月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为，再假设新增摊位数量为，则餐饮区新增摊位数量为，进而根据条件得出n 和m 的关系，利用市场管理处月份收到的管理费比月份增加了建立关系式， 解析：3:20

【分析】

由题意设5月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为5,4,3n n n ，再假设新增摊位数量为m ，则餐饮区新增摊位数量为

1

2

m ，进而根据条件得出n 和m 的关系，利用市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了1

12

建立关系式，进行代入分析即可得出答案． 【详解】

解：由题意设5月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为5,4,3n n n ， 则5月份的管理费为：(543)50600n n n n ++?=（元）， 6月份的管理费为：1

(1)60065012

n n +

?=（元）， 再假设新增摊位数量为m ，则餐饮区新增摊位数量为1

2

m ， 由餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的

9

20

，可得： 91

(12)5202

n m n m +?

=+，化简后可得：8m n =， 即有新增摊位数量为8n ，餐饮区新增摊位数量为4n ，

且6月份下调后的餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别为：40元、30元、20元，

由此可得百货区和杂项区6月份的管理费为：650(54)40290n n n n -+?=（元）， 百货区和杂项区没新增摊位数量时管理费为：430320180n n n ?+?=（元），

则百货区和杂项区新增的摊位数量管理费为：290180110n n n -=（元）， 当百货区新增3n ，杂项区新增n 时，满足条件， 所以百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是

3:(128)3:203:20n n n n n +==．

故答案为：3:20． 【点睛】

本题考查不定方程的应用，注意掌握根据条件得出n 和m 的关系以及利用市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了

1

12

建立关系式，进行代入分析是解答本题的关键． 12．7件． 【分析】

设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y

解析：7件． 【分析】

设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合x-y=9和x-y=7的情况即可进行解答． 【详解】

解：设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品． 则有x 2-y 2=48，即（x 十y ）（x-y ）=48．

∵x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性， 又∵x+y ＞x-y ，48=24×2=12×4=8×6，

∴242x y x y +??-?＝＝或124x y x y +??-?＝

＝或86x y x y +??-?

＝＝．

解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1．

符合x-y=9的只有一种，可见A 买了13件商品，b 买了4件． 同时符合x-y=7的也只有一种，可知B 买了8件，a 买了1件． ∴C 买了7件，c 买了11件． 故答案为：7件． 【点睛】

此题考查了非一次不定方程的性质．解题的关键是理解题意，根据题意列方程，还要注意分类讨论思想的应用．

13．【分析】

①+③解得x=5,然后将x=5代入②得y=3,最后将x=5、y=3代入③可得z=2即可．

【详解】 解：

①+③解得：2x=10,即x=5； 将x=5代入②得y=3； 将x=5,y=3代

解析：532x y z =??

=??=?

【分析】

①+③解得x=5,然后将x=5代入②得y=3,最后将x=5、y=3代入③可得z=2即可． 【详解】

解：31810x y z x y x y z =+??

+=??++=?

①②③

①+③解得：2x=10,即x=5； 将x=5代入②得y=3； 将x=5,y=3代入③可得z=2．

故答案为532x y z =??

=??=?

．

【点睛】

本题考查了解三元一次方程组，观察方程组、寻找各方程的特点、运用整体思想代入消元是解答本题的关键．

14．24 【分析】

设草地原有青草为a ，草一天长b ，一只羊一天吃x ，根据“20头牛在96天可以吃完，30头牛在60天可以吃完”可得到两个关于a 、b 、x 的方程，解可得a 、b 与x 的关系．再设70头牛吃可以吃

解析：24 【分析】

设草地原有青草为a ，草一天长b ，一只羊一天吃x ，根据“20头牛在96天可以吃完，30头牛在60天可以吃完”可得到两个关于a 、b 、x 的方程，解可得a 、b 与x 的关系．再设70头牛吃可以吃y 天，列出方程，把关于a 、b 的代数式代入即可得解． 【详解】

解：设草地原有青草为a ，草一天长b ，一只羊一天吃x ，根据题意得：

969620606030a b x

a b x +??

+?

＝＝ 解得：b=

10

3

x ，a=1600x ， 当有70头牛吃时，设可以吃y 天，则 a+yb=70xy ，把b=10

3

x ，a=1600x 代入得：y=24（天）． 故答案为：24． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，把握牛吃青草的同时草也在生长是解答此题的关键．

15．0 【分析】

根据题意，将代入方程（2）可得出b 的值，代入方程（1）可得出a 的值，将a 与b 的值代入所求式子即可得出结果． 【详解】

解：根据题意，将代入方程组中的4x-by=-2得：-12+b=-2

解析：0 【分析】

根据题意，将31x y =-??=-?代入方程（2）可得出b 的值，5

4x y =??=?

代入方程（1）可得出a 的

值，将a 与b 的值代入所求式子即可得出结果． 【详解】

解：根据题意，将3

1x y =-??=-?

代入方程组中的4x-by=-2得：-12+b=-2，即b=10；

将5

4x y =??=?

代入方程组中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=-1，

∴2019

2018

110a

b ??+- ???

=1-1=0．

故答案为：0． 【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解为能使方程组中两方程成立的未知数的值．

16．【分析】

根据水果数量的等量关系，可设第一次购买种水果数量为个，用分别表示第一次购买种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为元和元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方

解析：1

2

【分析】

根据水果数量的等量关系，可设第一次购买B 种水果数量为x 个，用x 分别表示第一次购买A 种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为a 元和b 元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方程中x 是可以约去的，化简即得到a 与

b 的数量关系． 【详解】

解：设第一次购买B 种水果数量为x ，

∴第一次购买A 种水果的数量为：3

(150%)2

x x +=

， ∴第二次购买A 种水果数量为：3323

(160%)2

2

55x x

x -==， ∴第二次购买水果的总数量为：356

()(120%)32

2

5

x x x

x ++==， ∴第二次购买B 种水果个数为：312

355

x x x -=，

设A 种水果单价为a 元，B 种水果单价为b 元，依题意得：

3312()(110%)255

a

x bx a x b x +-=+， 化简得：2a b =

∴

12

b a =， B ∴水果的单价与A 水果的单价的比值是12

，

故答案为：12

． 【点睛】

本题考查了一次方程的应用，在缺少确切数值的情况下，可先假设等量关系中的关键量为未知数，再列方程化简求值．

17．【解析】 【分析】

题中涉及两个未知数：共有x 人，所分银子共有y 两；两组条件：每人分七两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两；列出二元一次方程组即可. 【详解】

两组条件：每人分七两，则剩余四两；

解析：7498x y

x y +=??

-=?

【解析】

题中涉及两个未知数：共有x人，所分银子共有y两；两组条件：每人分七两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两；列出二元一次方程组即可.

【详解】

两组条件：每人分七两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两；

解：

74

98

x y x y

+=?

?

-=?

【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系，列方程组是解答本题的关键. 18．76， 56.

【解析】

【分析】

逐项代入求值即可解题.

【详解】

解：将x＝32代入x+3y=5得,y=76,

将x＝32,y=76代入x+2y-z=3得z=56,

∴y=76,

解析：，.

【解析】

【分析】

逐项代入求值即可解题.

【详解】

解：将x＝代入x+3y=5得,y=,

将x＝,y=代入得z=,

∴y=, z=.

【点睛】

本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入求值的方法是解题关键. 19．【分析】

从6个数中找到使得关于x、y的二元一次方程组有整数解，且方程ax2+ax+1=0有实数根的a的个数后利用概率公式求解即可．

【详解】

解：能使得使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的

解析：1 6

从6个数中找到使得关于x 、y 的二元一次方程组2

x y a

x y -=??+=?有整数解，且方程ax 2+ax +1=0

有实数根的a 的个数后利用概率公式求解即可． 【详解】

解：能使得使得关于x 、y 的二元一次方程组2x y a

x y -=??+=?

有整数解的a 的值有﹣2，0，2共

3个数．

当a =0时，方程ax 2+ax +1=0无实数根，∴a ≠0．

∵方程ax 2+ax +1=0有实数根，∴b 2﹣4ac =a 2﹣4a ≥0且a ≠0，解得：a ＜0或a ≥4，∴使得

关于x 、y 的二元一次方程组2x y a

x y -=??+=?有整数解，且方程ax 2+ax +1=0有实数根的a 的值

只有﹣2，共1个，∴P （使得关于x 、y 的二元一次方程组2x y a

x y -=??+=?

有整数解，且方程

ax 2+ax +1=0有实数根）=1

6

．

故答案为1

6

．

【点睛】

本题考查了概率公式的应用，二元一次方程组的解以及根的判别式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．7或3 【解析】 【分析】

解此题可设b=-a ，求出a ，b 的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】 由题意得， 解得：或，

当a=2，b=-2时，=7； 当a=-2，b=2时，=3， 故答案为：7或

解析：7或3 【解析】 【分析】

解此题可设b=-a ，求出a ，b 的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】

由题意得0

4a b a b +=??

-=?， 解得：22a b =??=-?或2

2

a b =-??

=?， 当a=2，b=-2时，2a ab 1

a a

b 1

-+++=7；

当a=-2，b=2时，2a ab 1

a a

b 1

-+++=3，

故答案为：7或3. 【点睛】

本题考查了解二元一次方程组以及代数式求值，正确求出a 、b 的值是解题的关键.

三、解答题

21．（1）A 的单价30元，B 的单价15元（2）购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少 【分析】

（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意列出方程组32120

54210x y x y +=??+=?

，即可求

解；

（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元，根据题意得到由题意可知，1

(30)3

z z ≥-，3015(30)45015W z z z =+-=+，根据一次函数的性质，即可求解； 【详解】

解：（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元， 根据题意，得

32120

54210x y x y +=??

+=?

， 3015x y =?∴?=?

，

∴A 的单价30元，B 的单价15元；

（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，1

(30)3

z z ≥

-， 152

z ∴≥

， 3015(30)45015W z z z =+-=+，

当=8z 时，W 有最小值为570元，

即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少； 【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．

22．（1）65人；（2）①小客车20辆，大客车0辆；小客车11辆，大客车4辆；小客车

2辆，大客车8辆；②方案③最省钱，最少租金3440元 【分析】

（1）由题意设1辆小客车一次可送x 人，1辆大客车一次可送y 人，并根据题意列出二元

一次方程组求解即可；

（2）①由题意假设学校计划租用小客车a 辆，大客车b 辆，得2045400,a b +=并以此进行分析即可；

②根据题意计算出3种方案各自的租金，并进行比较即可. 【详解】

解: （1）设1辆小客车一次可送x 人，1辆大客车一次可送y 人．

可得:31052110x y x y +=??

+=? 解得:20

45x y =??=?

， 答: 1辆小客车一次可送20人，1大客车一次可送45人；

()2①若学校计划租用小客车a 辆，大客车b 辆，由题意得2045400,a b += 可变形为:()8094a b =-÷ ，

每辆汽车恰好都坐满，

,a b ∴的值均为非负数

,a b ∴可取200a b =??=?，114a b =??=?，2

8a b =??=?

，

∴租车方案共有3种:I 、小客车20辆，大客车0辆； II 、小客车11辆，大客车4辆； III 、小客车2辆，大客车8辆.

②各种租车费用:方案I 租金:202004000?=(元)； 方案II 租金:1120043803720?+?=(元) ； 方案III 租金:220083803440?+?=(元). 344037204000<<．

∴方案③最省钱，最少租金3440元． 【点睛】

本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据题意列出方程组是解题的关键. 23．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，

q =23

-

【分析】

（1）分别把A、B点坐标，代入（m﹣1，

2

2

n+

）中，求出m和n的值，然后代入2m＝

8+n检验等号是否成立即可；

（2）把点A（a，﹣4）、B（4，b）各自代入（m﹣1，

2

2

n+

）中，分别用a、b表示出

m、n，再代入2m＝8+n中可求出a、b的值，则可得A和B点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C点坐标，然后即可判断点C所在象限；

（3）解方程组，用q和p表示x和y，然后代入2m＝8+n可得关于p和q的等式，再根据p，q为有理数，即可求出p、q的值．

【详解】

解：（1）A点为“爱心点”，理由如下：

当A（5，3）时，m﹣1＝5，

2

2

n+

＝3，

解得：m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，

所以A（5，3）是“爱心点”；

当B（4，8）时，m﹣1＝4，

2

2

n+

＝8，

解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，

所以B点不是“爱心点”；

（2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下：∵点A（a，﹣4）是“爱心点”，

∴m﹣1＝a，

2

2

n+

＝﹣4，

解得：m＝a+1，n＝﹣10．

代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2，所以A点坐标为（﹣2，﹣4）；

∵点B（4，b）是“爱心点”，

同理可得m＝5，n＝2b﹣2，

代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2．

所以点B坐标为（4，2）．

∴A、B两点的中点C坐标为（

2442

,

22

-+-+

），即（1，﹣1），在第四象限．

（3）解关于x，y

的方程组

3

x y q

x y q

?+=+

?

?

-=-

??

，

得：

2

x q

y q

?=-

?

?

=

??

．

∵点B（x，y）是“爱心点”，

∴m﹣1

﹣q，

2

2

n+

＝2q，

解得：m﹣q+1，n＝4q﹣2．

代入2m＝8+n，得：﹣2q+2＝8+4q﹣2，

整理得﹣6q＝4．

∵p，q为有理数，若使p﹣6q结果为有理数4，

则P＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣2

3

．

所以P＝0，q＝﹣2

3

．

【点睛】

本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．

24．（1）A款瓷砖单价为80元，B款单价为60元.（2）买了11块A款瓷砖，2块B款;

或8块A款瓷砖，6块B款.（3）B款瓷砖的长和宽分别为1，3

4

或1，

1

5

.

【解析】

【分析】

（1）设A款瓷砖单价x元，B款单价y元，根据“一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为140元；3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等”列出二元一次方程组，求解即可；（2）设A款买了m块，B款买了n块，且m>n，根据共花1000 元列出二元一次方程，求出符合题意的整数解即可；

（3）设A款正方形瓷砖边长为a米，B款长为a米，宽b米，根据图形以及“A款瓷砖的

用量比B款瓷砖的2倍少14块”可列出方程求出a的值，然后由9

2

b

b

-

+

是正整教分情况求

出b的值.

【详解】

解: (1)设A款瓷砖单价x元，B款单价y元，

则有

140

34

x y

x y

+=

?

?

=

?

，

解得

80

60 x

y

=

?

?

=

?

，

答: A款瓷砖单价为80元，B款单价为60元；

(2)设A款买了m块，B款买了n块，且m>n，

则80m+60n=1000，即4m+3n=50

∵m，n为正整数，且m>n

∴m=11时n=2；m=8时，n=6，

答：买了11块A款瓷砖，2块B款瓷砖或8块A款瓷砖，6块B款瓷砖；

(3)设A款正方形瓷砖边长为a米，B款长为a米，宽b米.

由题意得：79972211422b b a a b a b a

--????=+?- ?++??， 解得a=1. 由题可知，92b

b

-+是正整教. 设

92b

k b

-=+ (k 为正整数)， 变形得到921

k

b k -=

+， 当k=1时，77

(122

b =>,故合去)， 当k=2时，55

(133b =>， 故舍去)， 当k=3时，34b =， 当k=4时，15

b =

， 答: B 款瓷砖的长和宽分别为1，34

或1，15.

【点睛】

本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，（1）（2）较为简单，（3）中利用数形结合的思想，找出其中两款瓷砖的数量与图形之间的规律是解题的关键. 25．（1）B ；（2）,x y 的最小整数解为10

4

x y =??=?；（3）隐线中s 的最大值和最小值的和

为

72

【分析】

（1）将A,B,C 三点坐标代入方程,方程成立的点即为所求, （2）将P,Q 代入方程,组成方程组求解即可,

（3）将P 代入隐线方程,27n +=组成方程组,求解方程组的解,再由

()2723147s n n n =--=-即可求解.

【详解】

解：（1）将A,B,C 三点坐标代入方程,只有B 点符合, ∴隐线326x y +=的亮点的是B.

（2）将()10,2,1,3P Q ?

?-- ??

?代入隐线方程