竖曲线各元素的精确计算公式

二、计算原理

1. 近似计算公式

如图1所示，设道路纵坡的变坡点为I，其设计高程为H

I ,里程为D

I

，两侧

的纵坡度分别为i

1、i

2

，竖曲线设计半径为R，竖曲线各元素的近似计算公式如

下：

图 1

2. 精确计算公式

如图2所示，在图中建立以水平距离为横坐标轴d,铅垂线为纵坐标

轴H′的dOH′直角坐标系，A点的坐标为(d

A ，0)，Z点的坐标为(0，H

Z

′)，

竖曲线各元素的精确计算公式如下：

α

1＝arctani

1

(1)

α

2＝arctani

2

(2)

ω＝α

1-α

2

(3)

T＝Rtan(4) E＝R(sec-1) (5)

d I ＝Tcosα

1

(6)

d A ＝Rsinα

1

(7)

H Z ′＝Rcosα

1

(8)

竖曲线在直角坐标系中的方程为：(d-d

A

)2+H′2＝R2 (9)

图 2

由式(9)可推算出竖曲线上任一与Z点的里程差为d的点的纵坐标值H′，则

0≤d≤d

Y

(10)

并可立即推算点的设计高程和里程：

H＝H′-ΔH

(11)

D＝D

Z +d (D

Z

＝D

I

-d

I

)

(12)

式中，α

1，α

2

分别为纵坡线与水平线的夹角；ω为变坡角；Τ为

切线长；Ε为外矢距；d

I 为纵坡变坡点I与Z点的里程差；d

A

为竖圆曲

线圆心A与Z点的里程差；H′为竖圆曲线上任一点的纵坐标值；d为竖圆曲线上任一点与Z点的里程差；H为竖圆曲线上任一点的设计高程；ΔH＝H′Z-H Z为Z点纵坐标值与Z点设计高程之差(H Z＝H I-d I.i1)；D为竖曲线上任一点的里程。

由式(10)可知，当d=d

A 时，则里程D

N

＝D

Z

+d

A

的N点为竖圆曲线的变

坡点，其高程H

N ＝H

N

′-ΔH＝R-ΔH＝max，N点在现场施工中具有很重要

的指导意义。

三、计算实例

某山岭重丘的二级公路的纵坡变坡点I，其设计高程H

I

＝68.410 m，

里程D

I

＝6+710.280，两侧纵坡分别为7%和-5%，凸形竖曲线的设计半径R＝3 500 m，其计算结果见表1。

表1

四、结论

采用传统的近似计算公式推算竖圆曲线上点的设计高程和里程，存在着一定的误差，并且随着道路纵坡的增大而增大。特别对于大纵坡又有超高横坡的外边线的竖曲线(有超高的外边线纵坡比中线纵坡更大)以及风景区和校区、别墅区等的竖曲线(纵坡常在10%左右)，若用近似方法计算，误差更大，而且没有勘测设计竖圆曲线的变坡点N，直接影响路面施工精度和质量。而采用本文介绍的方法计算，计算公式精确严密，不受坡度和半径大小的影响，方便迅速，又可计算和测设具有重要作用的竖曲线变坡点N。采用本方法具有较高的应用价值和施工实际指导意义。