苏教版 【数学】初二下 期末重点题整理

苏教版 初二（下 ）期末数学重点题

1．阅读下面的短文，并回答下列问题

我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。如图，甲、乙是两个不同的立方体，立方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a ：b ）。设S 甲、S 乙 分别表示这两个立方体的表面积，则

222)(66b a

b

a S S ==乙甲，V 甲、V 乙 分别表示这两个立方体的体积，则

333)(b

a

b a V V ==乙甲

。

（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ） A 两个球体 B 两个圆锥体 C 两个圆柱体 D 两个长方体

（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于

_______ ；②相似体表面积的比等于_____________ ；③相似体体积的比等于________________________ 。 （3）寒假里，康子帮母亲到市场去买鱼，鱼摊上有一种鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如下图所示，鱼长10厘米的每条10元，鱼长13厘米的每条15元。康子不知道买哪种更好些，你能否帮他出出主意？

2．如图，在平面直角坐标系内，已知点A (0，6)、点B (8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段DA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒， (1)求直线AB 的解析式； (2)当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似?并求出此时点P 与点Q 的坐标； (3)当t 为何值时， △APQ 的面积为24

5

个平方单位?

3．“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直

角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数x

y 1

的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，

连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=3

1

∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：

（1）设)1,(a a P 、)1

,(b

b R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．

（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点

Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=3

1

∠AOB ．

（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

4.已知,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD

（1）P 为AD 上一点,满足∠BPC=∠A,求证:△ABP ∽△DPC ； （2）如果点P 在AD 边上移动（P 与点A 、D 不重合）， 且满足∠BPE=∠A,PE 交直线BC 于点E,同时交直线DC 于点Q ,那么,当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP=x ，CQ=y ， 求关于的函数解析式,并写出函数的取值范围.

5、如图在平面直角坐标系中，已知直角梯形OABC 的顶点分别是O （0，0），点A （9，0），B （6，4），C （0，4）．点P 从点C 沿C —B —A 运动，速度为每秒2个单位，点Q 从A 向O 点运动，速度为每秒1个单位，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．两点同时出发，设运动的时间是t 秒．（1）点P 和点Q 谁先到达终点？到达终点时t 的值是多少？ （2）当t 取何值时，直线PQ ∥AB ？并写出此时点Ｐ的坐标．（写出解答过程） （3）是否存在符合题意的t 的值，使直角梯形OABC 被直线PQ 分成面积相等的两个部分？

如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．

（4）探究：当t 取何值时，直线PQ ⊥AB ?（只要直接写出答案，不需写出计算过程）．

图 １ 图 ２（备用） 图 ３（备用

B C D

A

P

E Q

6．如图一，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连

结AE。求证：AE∥BC；

（2）如图二，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC

改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE∥BC？证明你的结论。

7

．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P

异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，

作PF∥AQ交DQ于F.

（1）求证：△APE∽△ADQ；

（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当

P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？

（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或

方法，不必给出证明）

12

A

B C

D

P

E

F

Q

C

B

A

8、⑴如图①，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AD 与BC 相交于点E ，EF ⊥BD ，垂足为F ，试回答图中，△DEF ∽△ ，△BEF ∽△ ，△ABE ∽△ ⑵、如图②，工地上有两根电线杆，分别在高为4m 、6m 的A 、C 处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD 与铁丝BC 的交点M 处离地面的高。

⑶、如图③，已知：AB ∥CD ，AD 、BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交AB 于点F ，分别对AB 、CD 取几组简单的值，并计算

CD EF

AB EF

的值，你有什么发现？请给予说明。

9、已知：如图，在⊿ABC 中，AB=3，AC=2，能否在AC 上（不同于A 、C ）找到点D ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于E ，过点E 作EF ∥AC 交AB 于F ，连结FD ，将⊿ABC 分割成四个相似的小三角形，但其中至少有两个小三角形的相似比不等于1？若能，求出点D 的位置；若不能，请说明理由。

10. 在△ABC 中，AB=AC=2，∠A=90°，取一块含45°角的直角三角形尺，将直角顶点放在斜边BC 边的中点O 处，顺时针方向旋转（如图1）；使90°角的两边与Rt △ABC 的两边AB ，AC 分别相交于点E ，F （如图2），设BE=x ，CF=y 。

（1）求y 与x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；

（2）将三角尺绕O 点旋转的过程中，△OEF 是否能成为等腰直角三角形？若能，请证明你

的结论； （3）若将直角三角形尺45°角的顶点放在斜边BC 边的中点O 处，顺时针方向旋转（如图3），

其它条件不变。

①试直接写出y 与x 的函数解析式，及x 的取值范围；

②将三角尺绕O 点旋转（图4）的过程中，△OEF 是否能成为等腰三角形？若能，求出△OEF 为等腰三角形时x 的值；若不能，请说明理由。

图②

M F

E D C

B H A A E F C

D 图③ A C

B D F E 图①

11. 定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.

探究：（1）如图甲，已知△ABC 中∠C=900

，你能把△ABC 分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画 出分割线，并说明理由. （2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去.n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n 为正整数），设此时小三角形的面积为S N .

①若△DEF 的面积为10000，当n 为何值时，2

②当n>1时，请写出一个反映S n-1,S n ,S n+1 之间关系的等式（不必证明）

12、有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC 、BD 的长度分别为200厘米和300厘米，CD ＝300厘米．现有一人站在斜杆AB 下方地面上的点E 处，直立、单手上举时中指指尖（点F ）到地面的高度为EF ，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好接触到斜杆AB 的点G 处，那么GF 的值就可作为该同学的弹跳成绩y （厘米）．设CE ＝x （厘米）， EF ＝a （厘米）．

（1）求出由x 和a 算出y 的计算公式．

（2）现有甲、乙两组同学，每组三人，每人各选择一个适当的位置尽力跳了一次，且均刚好触到斜杆，由所得公式

算得两组同学弹跳成绩如表所示，由于某种原因，甲组一同学C 的弹跳成绩看不清楚，但知他的位置为x ＝150厘米，a ＝205厘米，请你计算同学C 此次的弹跳成绩，并从两组同学弹跳成绩的稳定性角度比较甲、乙两组同学的弹跳成绩．

A 图甲

13、当x =6时,反比例函数y =和一次函数y =-x －7的值相等.(1)求反比例函数的解析式.(2)若等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数的图象上,顶点C 、D 在这个反比例函数的图象上,且BC ∥AD ∥y 轴,A 、B 两点的横坐标分别是a 和a +2(a >0),求a 的值.

14、如图，在△OAB 中，O 为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同，A 、B 的坐标分别为(8，6)，(16，0)，点P 沿OA 边从点O 开始向终点A 运动，速度每秒1个单位，点Q 沿BO 边从B 点开始向终点O 运动，速度每秒2个单位，如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 求(1)几秒时PQ∥AB

(2)设△OPQ 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式

(3)△OPQ 与△OAB 能否相似，若能，求出点P 的坐标，

若不能，试说明理由

１5、在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝３ＡＣ＝４，ＰＱ//ＡＢ，点Ｐ在ＡＣ上，（与Ａ、Ｃ）不重合，Ｑ在ＢＣ上。

１）当△ＰＱＣ的面积与四边形ＰＡＢＱ的面积相等时，求ＣＰ的长； ２）当△ＰＱＣ的周长与四边形ＰＡＢＱ的周长相等时，求ＣＰ的长； ３）在ＡＢ上是否存在点Ｍ，使得△ＰＱＭ为等腰直角三角形？若存在说明理由，若不存在，

求ＰＱ的长。

16、已知如图，四边形ABCD是菱形，AF⊥AD交BD于E，交BC于F.

（1）求证：AD2= DE·DB；

（2）过点E作EG⊥AF交AB于点G，若线段BE、DE（BE

长是方程（m>0）的两个根，且菱形ABCD

的面积为6，求EG的长.

17、某房地产集团筹建一小区，居民楼均为平顶条式，南北朝向，楼高统一为16m（五层）.已知该城市

冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为32°，如果南北两楼相隔仅

有20m（如图所示），

试求：（1）此时南楼的影子落在北楼上有多高？（已知tan32°=0.6249）

（2）如按城市规划要求，使前后楼每层居民在冬天都能有阳光，两楼间的距离应是多少米？

19、如图（1）所示，四边形ABCD是一张矩形纸片，∠BAC=α

（0°<α45°），现将其折叠，使A、C二点重合.

（1）作出折痕EF ；

（2）设AC=x ，EF=y ，求出y 与x 之间的函数关系式；

（3）如图（2），当45°<α<90°时，（2）中求得的函数的关系式是否成立？若成立，请说明理由；若不

成立，请求出当45°<α<90°时，y 与x 之间的函数关系式.

18.(1)将甲种漆3g 与乙种漆4g 倒入一容器内搅匀，则甲种漆占混合漆的 ；如从这容器内又倒出5g 漆，那么这5㎏漆中有甲种漆有 g.

(2)小明到姑姑家吃早点时，表妹小红很淘气，她先从一杯豆浆中，取出一勺豆浆，倒入盛牛奶的杯子中搅匀，再从盛牛奶的杯子中取出一勺混合的牛奶和豆浆，倒入盛豆浆的杯子中.小明想：现在两个杯子中都有了牛奶和豆浆，究竟是豆浆杯子中的牛奶多，还是牛奶杯子中的豆浆多呢？（两个杯子原来的牛奶和豆浆一样多）.现在来看小明的分析：

设混合前两个杯子中盛的牛奶和豆浆的体积相等，均为a,勺的容积为b.为便于理解，

①将上面表格填完（表格中只需列出算式，无需化简）.

②请通过计算判断：最后两个杯子中都有牛奶和豆浆，究竟是豆浆杯子中的牛奶多，还是牛奶杯子中的豆浆多呢？

19．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB h =，灯柱的高OP O P l ''==，两灯柱之间的距离OO m '=．

（1）若李华距灯柱OP 的水平距离OA a =，求他影子AC 的长； （2）若李华在两路灯之间行走．．．．．．．

，则他前相关链接 1、“定值”可以理解为一个固定不变的值或常

量．

后的两个影子的长度之和（DA AC +）是否是定值？请说明理由；

（3）若李华在点A 朝着影子（如图箭头）的方向以1v 匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度2v ．

答案28、解：（1）由已知：AB OP ∥， ABC OPC ∴△∽△．

AC AB

OC OP

=

， OP l AB h OA a ===，，

，

AC h

a AC l

∴

=+，

∴解得：ah AC l h

=-． （2）AB OP ∥，

ABC OPC ∴△∽△， AB AC h OP OC l ∴==， 即AC h OC AC l h =--，即AC h OA l h

=-． h

AC OA l h

∴=-．

同理可得：h

DA O A l h '=-，

()h DA AC OA O A l h

'∴+=+-hm

l h =

-是定值． （3）根据题意设李华由A 到A '，身高为A B ''，A C ''代表其影长（如上图）．

由（1）可知AC AB OC OP =即h AC

l OC

=， OA OC AC l h OC OC l

--∴==， 同理可得：OA l h

OC l

'-='， OA OA OC OC

'∴='，

Ｃ P A A '

C '

B ' B O

由等比性质得：

AA OA OA l h

CC OC OC l

''--==

''-， 当李华从A 走到A '的时候，他的影子也从C 移到C '，因此速度与路程成正比

12v AA l h

CC v l

'-=='∴

， 所以人影顶端在地面上移动的速度为1

2lv v l h

=

-． 20．把两块全等的等腰直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，AB=DE=4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．

（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证△APD ∽△CDQ ．此时，AP ×CQ= ．

（2）将三角板由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转， 设旋转角为 ．其中 ，问AP ×CQ 的值是否改变？说明你的理由． （3）在（2）的条件下，设CQ=X ，两块三角板重叠面积为Y ，求Y 与X 的函数关系式．

21．请阅读下面的材料，并回答所提出的问题． 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．

已知：如图，△ABC 中，AD 是角平分线，求证：AC

AB

DC BD =． 分析：要证

AC

AB

DC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在的三角形相似。现在B 、D 、C 在一直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比．

在比例式

AC

AB

DC BD =中，AC 恰是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE α

090α

<

<

∥AD ，交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、DC 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明

AC

AB

DC BD 就可以转化为证AE =AC ．

证明：过C 作CE ∥DA ，交BA 的延长线于E ．（完成以下证明过程）

问题：

①上述证明过程中，用到了哪些定理?(写对两个定理即可) ． ②用三角形内角平分线性质定理解答问题：

已知：如图，△ABC 中，AD 是角平分线，AB =5cm ，AC =4em ，BC =7cm ．

求：BD 的长． A

B 22、（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E 坐标为(4，0)，顶点G 坐标为(0，2)．将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在轴的点N 处，得到矩形OMNP ，OM 与GF 交于点A ．

（1）判断△OGA 和△OMN 是否相似，并说明理由； （2）求过点A 的反比例函数解析式；

（3）设（2）中的反比例函数图象交EF 于点B ，求直线AB 的解析式；

（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG 的对称中心，并说明理由．

6.将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，

折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.

（1）如果正方形边长为2，M 为CD 边中点。求：EM 的长； （2）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5；

（3）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB=2a ，

问△CMG 的周长是否与点M 的位置有关？若有关，

请把△CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由.

34．（本题6

线x

y 4

=

在第一象限交于为1．B 点横坐标为４

（1（2（3） 点P 是x 点的横坐标是t(t>0),和t 的函数关系式。 答案34、（1）S=-0.5t 2

+2.5t-2.

A B

C

D

E F M

G 第28题图

28、小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以下尝试.（1）如图（1），垂直于地面放置的正方形框架ABCD ，边长AB 为30cm ，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A ′B ，D ′C 的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度为 .

（2）不改变（1）中灯泡的高度，将两个边长为30cm 的正方形框架按图（2）摆放，请计算此时横向影子A ′B ，D ′C 的长度和为多少？

（3）有n 个边长为a 的正方形按图（3）摆放，测得横向影子A ′B ，D ′C 的长度和为b,求灯泡离地面的距离.（写出解题过程，结果用含a,b,n 的代数式表示）

20、如图，△ABC 中，AB=AC=5，BC=2，1E ，2E ，……，

n E 在AB 上，1H ，2H ，……n H 在AC 上，四边形E 1F 1GH 1，

E 2

F 2

G 2

H 2，……，E n F n G n H n 是△ABC 的内接矩形，F 1，F 2，……

F n ，

G ，G 2，……，G n 在BC 上，则这n 个矩形的周长和是

图(1) 图(2) 图(3)