1-1-求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形-…
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1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|c n |–ω和φn –ω图,并与表1-1对比。
解答:在一个周期的表达式为
00 (0)2() (0)2
T A t x t T A t ⎧
--≤<⎪⎪=⎨
⎪≤<⎪⎩
积分区间取(-T/2,T/2)
00000000
220
2
00
2
111()d =
d +
d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )L T T jn t
jn t
jn t T T n c x t e
t Ae
t Ae t
T T T A
j
n n n ωωωππ
-----=
-±±±⎰
⎰
⎰
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
001
()(1cos )jn t
jn t n n n A
x t c e
j
n e n
∞
∞
=-∞
=-∞=
=--∑∑ωωππ,=0, 1, 2, 3, n ±±±L 。
(1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0nI nR A c n n n c ⎧
=-
-⎪±±±⎨
⎪=⎩L ππ
21,3,,(1cos )00,2,4,6, n A
n A c n n n n ⎧=±±±⎪
==-=⎨⎪=±±±⎩
L L
πππ 图1-4 周期方波信号波形图
1,3,5,2arctan 1,3,5,2
00,2,4,6,nI n nR π
n c π
φn c n ⎧-=+++⎪⎪⎪===---⎨⎪=±±±⎪⎪⎩
L L
L 没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
1-2 求正弦信号0()sin x t x ωt =的绝对均值x μ和均方根值rms x 。
解
答
:
000
2200000
224211()d sin d sin d cos T
T
T T
x x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T T
T ωT ωπ
====-==⎰⎰⎰
rms
x ==== 1-3 求指数函数()(0,0)at
x t Ae a t -=>≥的频谱。
解答:
(2)220
2
2
(2)
()()(2)
2(2)a j f t
j f t
at j f t
e A A a j
f X f x t e
dt Ae e
dt A
a j f a j f a f -+∞
∞
---∞-∞
-====
=-+++⎰⎰πππππππ
()X f =
Im ()2()arctan
arctan Re ()X f f
f X f a
==-πϕ
幅频图
相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
1-5 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。 0cos ()0
ωt t T x t t T
⎧<⎪=⎨
≥⎪⎩
解:0()()cos(2)x t w t f t =π
w (t )为矩形脉冲信号
()2sinc(2)W f T Tf =π
()
002201cos(2)2j f t j f t
f t e e
πππ-=
+ 所以002211()()()22
j f t
j f t x t w t e w t e -=+ππ
根据频移特性和叠加性得:
000011
()()()
22
sinc[2()]sinc[2()]
X f W f f W f f T T f f T T f f =-++=-++ππ
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二,各向左右移动f 0,同时谱
线高度减小一半。也说明,单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
单边指数衰减信号频谱图
f
|X (f )|
A /a
φ(f )
f
π/2
-π/2
图1-26 被截断的余弦函数
t
t
T -T
T -T
x (t )
w (t )
1
1
-1
1-6 求指数衰减信号0()sin at
x t e
ωt -=的频谱
解答:
()
0001sin()2j t j t
t e e j
-=
-ωωω 所以()
001()2j t j t
at
x t e e e j
--=-ωω
单边指数衰减信号1()(0,0)at
x t e
a t -=>≥的频谱密度函数为
1122
1()()j t at j t a j X f x t e dt e e dt a j a ∞
∞
----∞
-===
=++⎰⎰ωωω
ωω
根据频移特性和叠加性得:
[]001010222200222
000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]
a j a j X X X j j a a a a j a a a a ⎡⎤
---+=--+=-⎢⎥
+-++⎣⎦
--=-+-+++-++ωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωω
指数衰减信号
x (t )
f
X (f )
T
f 0 -f 0
被截断的余弦函数频谱