FFT频谱分析

Matlab fftshift 详解- 信号处理基本功

一. 实信号情况

因为实信号以fs为采样速率的信号在fs/2 处混叠，所以实信号fft的结果中前半部分对应[0, fs/2],后半部分对应[ -fs/2, 0]

1）实信号fft的结果前半部分对应[0, fs/2]是正频率的结果,后半部分对应[ -fs/2, 0]是负频率的结果。大于fs/2的部分的频谱实际上是实信号的负频率加fs的结果。故要得到正确的结果，只需将视在频率减去fs即可得到频谱对应的真实负频率

2）如果要让实信号fft的结果与[-fs/2, fs/2]对应，则要fft后fftshift一下即可，fftshift的操作是将fft结果以fs/2为中心左右互换

3）如果实信号fft的绘图频率f从[-fs/2, fs/2]，并且没有fftshift，则fft正频谱对应f在[0, fs/2]的结果将混叠到(f - fs/2)的位置;

fft负频谱对应f在[-fs/2, 0]的结果混叠到f + fs - fs/2 的位置，注意这里f为负值，也就是说此种情况下fft负频谱对应的视在频率减去fs/2即可得到频谱对应的真实负频率

二. 复信号情况

1）复信号没有负频率，以fs为采样速率的信号，fft的频谱结果是从[0, fs]的。

2）在f > fs/2 时，对复信号的fft结果进行fftshift会产生频率混叠(将下面的示例2中的频率从f=15改为f=85可以验证f=85的谱线在fftshift后跑到f = -15 = 85 - fs = 85 - 100的位置了)，所以复信号也一般要求f <= fs/2

3）在对雷达的慢时间维(复信号)进行fft后，由于要用doppler = ((0:LFFT-1)/LFFT - 0.5)*PRF; 计算多普勒频率，所以对该慢时间信号fft后要fftshift下，以便和正确的频率单元相对应。注意多普勒频率fd < = PRF/2 时才测的准！

fftshift

作用：将零频点移到频谱的中间

用法：

Y=fftshift(X)

Y=fftshift(X，dim)

描述：fftshift移动零频点到频谱中间，重新排列fft,fft2和fftn的输出结果。将零频点放到频谱的中间对于观察傅立叶变换是有用的。

结论：

1）如果期望绘制的幅频图的频率范围为0~fs，则无需运行fftshift变换，正频率对应在[0, fs/2],

大于fs/2的频谱的频率值为对应[-fs/2 , 0 ]负频率f + fs，注意f是负频率，是个负数。

如图1。

2）如果期望绘制的幅频图的频率范围为-fs/2~fs/2，则需要运行fftshift变换，如图3；

如果不变换，图示的响应频点会发生变换，如图2，分析见顶端。

FFT是离散傅立叶变换的快速算法

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。

现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍。

采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。

假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的

N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n 所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到

1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。

假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号

a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即

2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。

下面以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos 参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第50个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？我们来看看FFT 的结果的模值如图所示。

从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：

1点：512+0i

2点：-2.6195E-14 - 1.4162E-13i

3点：-2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i

51点：332.55 - 192i

52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i

76点：3.4315E-12 + 192i

77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i

很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：

1点：512

51点：384

76点：192

按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为

192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。

然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz 信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是

180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192,

3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。

[附录：本测试数据使用的matlab程序]

clc;

clear;

Adc=2; %直流分量幅度

A1=3; %频率F1信号的幅度

A2=1.5; %频率F2信号的幅度

F1=50; %信号1频率(Hz)

F2=75; %信号2频率(Hz)

Fs=256; %采样频率(Hz)

P1=-30; %信号1相位(度)

P2=90; %信号相位(度)

N=256; %采样点数

t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻

%信号

S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180); %显示原始信号

subplot(411);plot(S);

title('原始信号');

Y = fft(S,N); %做FFT变换

Ayy = (abs(Y)); %取模

subplot(412);stem(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果

title('FFT 模值');

Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度

Ayy(1)=Ayy(1)/2;

F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值，Fn=(n-1)*Fs/N

subplot(413);stem(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果title('幅度-频率曲线图');

Pyy=[1:N/2];

for i=1:N/2

Pyy(i)=angle(Y(i)); %计算相位

Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度

end;

subplot(414);stem(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图

title('相位-频率曲线图');

一.调用方法

X=FFT(x)；

X=FFT(x，N)；

x=IFFT(X);

x=IFFT(X,N)

用MATLAB进行谱分析时注意：

（1）函数FFT返回值的数据结构具有对称性。

例：

N=8;

n=0:N-1;

xn=[4 3 2 6 7 8 9 0];

Xk=fft(xn)

→

Xk =

39.0000 -10.7782 + 6.2929i 0 - 5.0000i 4.7782 -

7.7071i 5.0000 4.7782 + 7.7071i 0 + 5.0000i -10.7782 -

6.2929i

Xk与xn的维数相同，共有8个元素。Xk的第一个数对应于直流分量，即频率值为0。

（2）做FFT分析时，幅值大小与FFT选择的点数有关，但不影响分析结果。在IFFT时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小，只要将得到的变换后结果乘以2除以N即可。

二.FFT应用举例

例1：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)。采样频率fs=100Hz，分别绘制N=128、1024点幅频图。

clf;

fs=100;N=128; %采样频率和数据点数

n=0:N-1;t=n/fs; %时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号

y=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换

mag=abs(y); %求得Fourier变换后的振幅

f=n*fs/N; %频率序列

subplot(2,2,1),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=128');grid on;

subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=128');grid on;

%对信号采样数据为1024点的处理

fs=100;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号

y=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换

mag=abs(y); %求取Fourier变换的振幅

f=n*fs/N;

subplot(2,2,3),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;

subplot(2,2,4)

plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;

fs=100Hz，Nyquist频率为fs/2=50Hz。整个频谱图是以Nyquist频率为对

称轴的。并且可以明显识别出信号中含有两种频率成分：15Hz和40Hz。由此可以知道FFT变换数据的对称性。因此用FFT对信号做谱分析，只需考察

0~Nyquist频率范围内的福频特性。若没有给出采样频率和采样间隔，则分析通常对归一化频率0~1进行。另外，振幅的大小与所用采样点数有关，采用128点和1024点的相同频率的振幅是有不同的表现值，但在同一幅图中，40Hz与15Hz振动幅值之比均为4：1，与真实振幅0.5：2是一致的。为了与真实振幅对应，需要将变换后结果乘以2除以N。

例2：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t),fs=100Hz,绘制：

（1）数据个数N=32，FFT所用的采样点数NFFT=32；

（2）N=32，NFFT=128；

（3）N=136，NFFT=128；

（4）N=136，NFFT=512。

clf;fs=100; %采样频率

Ndata=32; %数据长度

N=32; %FFT的数据长度

n=0:Ndata-1;t=n/fs; %数据对应的时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %时间域信号

y=fft(x,N); %信号的Fourier变换

mag=abs(y); %求取振幅

f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率

subplot(2,2,1),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');

title('Ndata=32 Nfft=32');grid on;

Ndata=32; %数据个数

N=128; %FFT采用的数据长度

n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);

y=fft(x,N);

mag=abs(y);

f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率

subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');

title('Ndata=32 Nfft=128');grid on;

Ndata=136; %数据个数

N=128; %FFT采用的数据个数

n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);

y=fft(x,N);

mag=abs(y);

f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率

subplot(2,2,3),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅

xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');

title('Ndata=136 Nfft=128');grid on;

Ndata=136; %数据个数

N=512; %FFT所用的数据个数

n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);

y=fft(x,N);

mag=abs(y);

f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率

subplot(2,2,4),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');

title('Ndata=136 Nfft=512');grid on;

结论：

（1）当数据个数和FFT采用的数据个数均为32时，频率分辨率较低，但没有由于添零而导致的其他频率成分。

（2）由于在时间域内信号加零，致使振幅谱中出现很多其他成分，这是加零造成的。其振幅由于加了多个零而明显减小。

（3）FFT程序将数据截断，这时分辨率较高。

（4）也是在数据的末尾补零，但由于含有信号的数据个数足够多，FFT振幅谱也基本不受影响。

对信号进行频谱分析时，数据样本应有足够的长度，一般FFT程序中所用数据点数与原含有信号数据点数相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响。

例3：x=cos(2*pi*0.24*n)+cos(2*pi*0.26*n)

（1）数据点过少，几乎无法看出有关信号频谱的详细信息；

（2）中间的图是将x(n)补90个零，幅度频谱的数据相当密，称为高密度频谱图。但从图中很难看出信号的频谱成分。

（3）信号的有效数据很长，可以清楚地看出信号的频率成分，一个是0.24Hz，一个是0.26Hz，称为高分辨率频谱。

可见，采样数据过少，运用FFT变换不能分辨出其中的频率成分。添加零后可增加频谱中的数据个数，谱的密度增高了，但仍不能分辨其中的频率成分，即谱的分辨率没有提高。只有数据点数足够多时才能分辨其中的频率成分。

1.FFT求频谱

Fs = 40;

n = 0:1/Fs:159*1/Fs;

x = sin(2*pi*10*n)+sin(2*pi*8*n);

N = length(n);

X = fftshift(fft(x));

Px1 = X.*conj(X)/N;

plot((-N/2:N/2-1)*Fs/N,Px1);

grid on;

axis([0 15 0 50])

title('使用FFT方法获得功率谱');

fft得到的是频谱范围在【0-2*pi】范围内的频谱，以高频pi为中心，但是一般使用过程中，使用的频谱习惯以低频0为中心，fftshift的功能就是将频谱进行移位，使之在【-pi，pi】之间；

另外，纵坐标的问题，版主edifier2008提示说用/N的方法归一化，我试了一下，每次采样长度变大时，纵坐标的整体值都会变大，/N之后，值变为1之内了，但是并不是理论算法中得到的1.

单边谱的幅值为双边谱的幅值的两倍，也就是说，我用的是双边谱线，在归一化是要使用*2/N的方法。能再详细的解释一下么，并且，我在求解时是求的双边的频谱，只是绘制图的时候显示的是单边的。如下：

【CODE】

Fs = 40;

n = 0:1/Fs:159*1/Fs;

x = sin(2*pi*10*n)+sin(2*pi*8*n);

N = length(n);

X = fftshift(fft(x));

plot((-N/2:N/2-1)*Fs/N,abs(X)*2/N);

grid on;

axis([0 15 0 1.2])

2.维纳辛钦定理求解功率谱的问题

Fs = 40;

n = 0:1/Fs:159*1/Fs;

x = sin(2*pi*10*n)+sin(2*pi*8*n);

N = length(n);

Rx = xcorr(x);

Px2 = fftshift(fft(Rx));

plot((-N+1:N-1)*Fs/(2*N-1),abs(Px2));

grid on;

axis([0 15 0 7000])

title('维纳-辛钦定理，自相关函数获得功率谱');

程序中可以看出，也要使用fftshift对fft得到的频谱进行移位以得到以低频0为中心的频谱，另外，得到的功率谱纵轴值特别大，是不是也需要除以采样长度，我试了一下，仍然是很大，个人认为，在MATLAB中计算自相关函数以及计算FFT时，都没有对加和进行归一，将/N这一个系数可能都给省略掉了。

此外，我在很多教材里面看了不少里面的例题，都没有注意纵轴值的问题，我觉得在进行频谱分析，重点在于频率点，以及相近频率点的谱图是不是能够分辨出来，而对于各谱的大小，有个相对的比较即可。

使功率谱的结果与实际有偏差，只要做些改进就能与实际的相符合了。实际上在计算功率谱时，也很关心功率谱的幅值，只是在编程中注意不够使计算结果不正确。在MATLAB的一些计算功率谱函数中都注意这一方面，就是计算出的功率谱Px要乘以dt=1/fs：

“The resulting spectrum estimate is scaled to compute the power spectral density as S/F , where F is

2πwhen you do not supply the sampling frequency

fs when you supply the sampling frequency ”

所以把笫1个程序改为

Fs = 40;

n = 0:1/Fs:159*1/Fs;

x = sin(2*pi*10*n)+sin(2*pi*8*n);

N = length(n);

X = fftshift(fft(x));

Px1 = X.*conj(X)/N/Fs;

plot((-N/2:N/2-1)*Fs/N,Px1);

grid on;

axis([0 15 0 1.2])

title('使用FFT方法获得功率谱');

得的图见附图1；笫2个程序中楼主在xcorr中用的参数不完全，改为

Fs = 40;

n = 0:1/Fs:159*1/Fs;

x = sin(2*pi*10*n)+sin(2*pi*8*n);

N = length(n);

Rx = xcorr(x,'coeff');

Px2 = fftshift(fft(Rx));

plot((-N+1:N-1)*Fs/(2*N-1),abs(Px2)/Fs);

grid on;

axis([0 15 0 1.2])

title('维纳-辛钦定理，自相关函数获得功率谱');

得的图见附图2。在附图1中看出在8和10Hz处幅值都为1，而在附图2中在8和10Hz处幅值都不为1，其原因是，通过求相关系数Rx，其长为319点，8和10Hz都不在谱线上，所以造成这个结果。

您好，谢谢您给予解释，我弄了好长时间都没有做好这个谱线，但是，有一点，您说，最后的一句话“8hz和10hz都不在谱线上”是什么意思呢？

在笫1个程序中，频率分辨率是df=40/160=0.25Hz，8Hz在谱图的笫33根谱线上，10Hz在谱图的笫41根谱线上。但在笫2个程序中频率分辨率是df=40/319=0.125392Hz，8Hz在谱图的笫64-65根谱线之间，因为笫64根谱线对应频率是7.8997Hz，笫65根谱线对应频率是8.0251Hz，所以8Hz在笫64-65根谱线之间；同样10Hz在笫80-81根谱线之间。

在笫1个程序中，频率分辨率是df=40/160=0.25Hz，8Hz在谱图的笫33根谱线上，10Hz在谱图的笫41根谱线上。但在笫2个程序中频率分辨率是df=40/319=0.125392Hz，8Hz在谱图的笫64-65根谱线之间，因为笫64根谱线对应频率是7.8997Hz，笫...

关于功率谱密度的方法的讨论及其实现

直接法：

直接法又称周期图法，它是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以

N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。

Matlab代码示例：

clear;

Fs=1000; %采样频率

n=0:1/Fs:1;

%产生含有噪声的序列

xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));

window=boxcar(length(xn)); %矩形窗

nfft=1024;

[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs); %直接法

plot(f,10*log10(Pxx));

间接法：

间接法先由序列x(n)估计出自相关函数R(n)，然后对R(n)进行傅立叶变换，便得到x(n)的功率谱估计。

Matlab代码示例：

clear;

Fs=1000; %采样频率

n=0:1/Fs:1;

%产生含有噪声的序列

xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));

nfft=1024;

cxn=xcorr(xn,'unbiased'); %计算序列的自相关函数

CXk=fft(cxn,nfft);

Pxx=abs(CXk);

index=0:round(nfft/2-1);

k=index*Fs/nfft;

plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));

plot(k,plot_Pxx);

改进的直接法：

对于直接法的功率谱估计，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，若N太小，谱的分辨率又不好，因此需要改进。

1. Bartlett法

Bartlett平均周期图的方法是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均。Matlab代码示例：

clear;

Fs=1000;

n=0:1/Fs:1;

xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));

nfft=1024;

window=boxcar(length(n)); %矩形窗

noverlap=0; %数据无重叠

p=0.9; %置信概率

[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,Fs,window,noverlap,p);

index=0:round(nfft/2-1);