备战2021高考数学高三二轮核心能力突破【方法02 填空题的解法 测试卷一】【解析版】

填空题限时强化训练测试一

1. （2021·全国高三其他模拟）已知函数()3

21ln 2

=-+-f x ax x x x x 存在两个极值点，则实数a 的取值范围

是______．

【答案】10,3?? ???

【详解】

由题意得()2

3ln ax x f x x '=--，因为函数()f x 有两个极值点，所以()f x '有两个正数零点．由()0

f x '=得23ln ax x x =+，即2ln 3x x a x +=

，令()2

ln x x g x x

+=，则()312ln x x

g x x -+-'=，易知函数12ln y x x =-+-是减函数，且当1x =时，0y =，所以当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，

()g x 单调递减．故()()max 11g x g ==，又当1

0x e

<<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >，所以要使()

f x '有两个零点，需031a <<，即1

03

a <<．

故答案为：10,3?? ???

【用到方法】构造法

2．（2021·全国高三专题练习）已知函数()2

sin 21A x

f x x

=++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________ 【答案】4 【详解】

()2sin 21A x f x x =++，该函数的定义域为R ，()()()22sin sin 2211

A x A x f x x x --=+=-++-+， ()()4f x f x ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,2对称，

则函数()f x 图象上的最高点和最低点也关于点()0,2对称， 因此，4M m +=. 故答案为：4.

【用到方法】数形结合法

3. （2020·天津南开中学高三月考）在ABC ?中，若3

B π

=

，AC =

则2AB BC +的最大值为__________．

【答案】 【解析】 【详解】

设

22sin sin 3AB BC A θ

θπθ====??- ???22sin

,3AB πθ??

∴=- ???

2sin BC θ=()222sin 4sin 3

AB BC πθθθ???∴+=-+=+ ???

，最大值为

【用到方法】构造法 4.观察下列各式：

22222213

1221151233111712344+

<++<+++<

…

照此规律，当*

n N ∈时，()

2

22

11

1

1231n +

+++

<+ ．

【答案】

1

1

2++n n

【解析】观察所给的几个不等式的左右两边可以看出：不等式的右边的分子是1

1

2++n n 的形式，分母是1+n 的形式，故由归纳推理的模式可得该不等式的右边是.故应填答案

1

1

2++n n .

【用到方法】归纳推理法

5.（2021·全国高三专题练习（文））等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则

3132310log log log a a a ++???+=__________.

【答案】10 【详解】

解：因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，

所以110293847569a a a a a a a a a a =====，

所以3132310312310log log log log ()a a a a a a a ++???+=???

31102956log ()a a a a a a =?????? 53log 910==

故答案为：10

【用到方法】直接法

6.定（2021·全国高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

cos sin a B b A c +=．若2a =，ABC 的面积为1)，则b +c =______

【答案】4 【详解】

由cos sin a B b A c +=．根据正弦定理可得，sin cos sin sin sin A B B A C += 又在ABC 中有：sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+ 即sin sin sin cos B A B A =.

因为0B π<<,所以sin 0B ≠，则sin cos A A =即tan 1A =，所以4

A π

=

，

1

sin 1)24

ABC

S

bc A bc ===，所以12bc =-

因为2a =，由余弦定理可得，2222242cos ()2()12a b c bc A b c bc b c ==+-=+--=+-，故

4b c +=．

故答案为：4 【用到方法】直接法

7. （2021·广西玉林市·高三其他模拟（理））函数()()sin 03f x x πωω?

?

=-

> ??

?

的图象向右平移6π

个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线6

x π

=-

，则ω的最小值为___________.

【答案】

1

2

【详解】

()sin 663g x f x x πππω???

???=-=-- ? ??????

???，又6x π=-是()g x 的对称轴，

()663

332k k Z πππ

πππωωπ??∴---=--=+∈ ???，解得：()532k k Z ω=--∈，

0ω>，∴当1k =-时，min 1

2

ω=.

故答案为：

12

.

【用到方法】直接法

8. 【福建省厦门市2019届3月质量检查】在ΔABC 中，AB =4，AC =2，A =π3

，动点P 在以点A 为圆心，半径为1的圆上，则PB ????? ·PC ????? 的最小值为__________． 【答案】5?2√7

【解析】如图，以点A 为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．则A(0,0),B(4,0),C(1,√3)，设P(x,y)，则PB ????? =(4?x,?y),PC ????? =(1?x,√3?y)，∴PB ????? ?PC ????? =(4?x)(1?x)?y(√3?y)=x 2?5x +y 2?√3x +4=(x ?5

2)2+(y ?

√32

)2

?3，其中(x ?5

2)2+(y ?√3

2)2表示圆A 上的点P 与点M(5

2,√

3

2)间距离|PM|的

平方，由几何图形可得|PM|min =|AP|?1=√(52)2+(√32)2?1=√7?1，∴(PB ????? ?PC

????? )min =(√7?1)2?3=5?2√7．故答案为5?2√7．

【用到方法】数形结合法

9. （2021·全国高三月考（理））已知()

1,2a =，若向量b 满足()

a b a +⊥，则b 在a 方向上的投影为________.

【答案】【详解】

由()

a b a +⊥得：()

2

a b a a a b +?=+?，即2a b a ?=-，

∴b 在a 方向上的投影为：2

12a b a a a a

?-==-=-+=

故答案为： 【用到方法】直接法

10. （2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a +-=，数列{}n b 满足2n n b a =，则数列

{}n b 的前n 项和n S =______．

【答案】

214233

n n n ?-++ 【详解】

因为数列{}n a 满足11a =，1n n n a a +-=，所以当2n ≥时，

()()()()()()()()1122111111121111

2

2

n n n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+---=-+-+???+-+=-+-+???++=

+=+，又11a =也满足上式，所以()

112

n n n a -=

+， 所以()12

22141212

2

n n n n

n n b a --==+=-+，所以

1211210121

444444442121212122222222n n n n n n n S ----??????????=-++-++???+-++-+=++???++ ? ? ? ? ?

?????????

?()()0121

2141221222242141233

n

n n n n n n n n -----++???+++=-+=?-++--．

【用到方法】直接法，构造法