高考数学公式(文科)
高考数学常用公式及结论
1. 元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??
☆☆☆2.德摩根公式 ：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==
3.包含关系：
A B A A B B =?= U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ U C A B R ?=
*4.容斥原理：()()card A B cardA cardB card A B =+-
()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-
()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+
5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个
☆☆☆6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式2
()(0)f x ax bx c a =++≠ 对称轴：2b x a
=-
最值：
2
444ac b a
a
--?=
(2)顶点式2
()()(0)f x a x h k a =-+≠ 对称轴：x h = 最值：k
(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ 对称轴：12
2
x x x += 最值：12
(
)2
x x f +
7.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 特别地, 方程)0(02 ≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于 0)()(21 22 11k k a b k +< - <,或0)(2=k f 且 22 122 k a b k k <- <+ ☆☆☆8.闭区间上的二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 的最值： 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： （1） 当a>0时， 若[]q p a b x ,2∈- =， {}m in m ax m ax ()(), ()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}min min ()(),()f x f p f q = {}max max ()(), ()f x f p f q =； (2) 当a<0时， 若[]q p a b x ,2∈-=，{}min ()min (),()f x f p f q =， m ax ()(), 2b f x f a =- 若[]q p a b x ,2?-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 9.一元二次方程的实根分布：)0(02≠=++a c bx ax 的根为12,x x (1) 12,x m x m << (2) 12,x m x m >> 02()0 b m a af m ?≥???- ??或 1212 ()()0()()0x m x m x m x m ?≥?? -->??-+- 2()0 b m a a f m ?≥???- >??>??或 1212 ()()0()()0x m x m x m x m ?≥?? -->??-+->? (3)12m x x n <≤< (4) 12x m n x <<< （5）12x m x << 则0 ()0 ()02af m af n b a αβ ?≥??>?? >?? ?<- 则0()0 ()0af m af n ?≥?? (6）若()0f x =在区间(m,n)内只有一个实根 （7）若()0f x =在区间[m,n]内至少有一个实根 则())0f m f n ?(<或0 2b m n a ?=?? ?<- ()0f m =或()0f n = 或())0f m f n ?(<，或0 ()0 ()0af m af n b αβ?≥?? >?? >?? ?<- 10.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的，二次不等式 (,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是m in (,)0()f x t x L ≥? (2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是 (,)0()m a n f x t x L ≤? (3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是0 00 a b c ≥?? ≥??>? 或2040a b ac 11.真值表 12. 13.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 14.四种命题的相互关系 ☆☆☆15.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x -- []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数（不是等价条件） 16. 在公共定义域内,增+增=增；增-减=增；减+减=减；减-增=减； 若函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上单调性相同，复合函数)]([x g f y =为增函数 若函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上单调性相反，复合函数)]([x g f y =为减函数 若函数)(x f y =为增函数，()y f x =-为减函数 若函数在定义域上恒正或恒负，则函数1() y f x =为减函数 17．奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 反之，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数（若定义域中含有0，则()0f x =）；若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数 ☆☆☆18. ()()f a x f b x +=-?函数)(x f y =关于直线2 a b x += 对称 ()()f a mx f b mx +=-?函数)(x f y =关于直线2 a b x += 对称 ()()f a b mx f mx +-=?函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称 若()()f x f x a =--+?函数)(x f y =的图象关于点)0,2 (a 对称; 若()()2f a x f a x b ++-=?函数)(x f y =关于点(,)a b 对称 若)(x f y =是偶函数，则 ()()f x f x =-， ()()f x a f x a +=-- 若)(a x f y +=是偶函数，则 )()(a x f a x f +-=+ 若()()f x a f x b +=+,则函数)(x f y =的周期为a b - 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数 若1()()f x a f x +=(()0)f x ≠则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数 若1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数 有两个对称点(,0)a ，(,0)b 的函数一定是周期函数，2T a b =- 有两条对称轴,x a x b ==的函数一定是周期函数, 2T a b =- 有一个对称点(,0)a 与一条对称轴x b =的函数一定是周期函数, 4T a b =- 20.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象 若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象 21．互为反函数的两个函数的关系 函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称 a b f b a f =?=-)()(1 22.几个常见的函数 (1)正比例函数：()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+= (2)指数函数：()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠ (3)对数函数：()log a f x x =,()()(),()1,(1)0,(0,1)f xy f x f y f a f a a =+==>≠ (4)幂函数:()f x x α =,()()(),(1)1f xy f x f y f == (5)正弦函数:()sin f x x = ()()()()()f x y f x f y g x g y ±=±，(2)1,(2)1,()02 2 f k f k f k π π πππ+ =- =-= (6)余弦函数:()cos f x x =, ()()()()()f x y f x f y g x g y ±= ，(2)1,(2)1,()02 f k f k f k π ππππ=+=-+ = 23.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >） (2)1 m n m n a a - = （0,,a m n N *>∈，且1n >） ☆☆☆24．根式的性质 （1 ）n a = （2）当n 为奇数时，a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? - 25．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈ 注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 ☆☆☆26.指数式与对数式的互化式： log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠> ☆☆☆27．对数的运算法则（若a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0） (1)log log 10,log 1,log ,(0)a x x a a a a x a x a x ====> (2)log ()log log a a a M N M N =+ (3) log log log a a a M M N N =- (4)log log ()n a a M n M n R =∈ (5)1log log (0)n a a M M n n = ≠ log log m n a a n b b m = (0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >) 28.对数的换底公式：log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >) 29.设函数)0)((log )(2 ≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=? 若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0a ，且0≥? 前n 项和公式：1() () (1)2 2 p q n n n a a n a a s p q n ++= = +=+ 1(1)2 n n na d -=+ 2 11()2 2 d n a d n = +- . ☆☆☆31.等比数列的通项公式：1** 11(,)n n m n n m a a a q a q q n N m N q --==?= ?∈∈ 前n 项的和公式：11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=? 或 11,11,1 n n a a q q q s na q -?≠? -=??=? ☆☆☆32.数列的通项公式与前n 项的和的关系 11, 1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ) 33．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π ∈，则sin tan x x x << (2) 若(0, )2 x π ∈ ，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. (4) 若5(2,2),sin cos 044 x k k x x π πππ∈+ + ->。若3(2,2),sin cos 044 x k k x x ππ ππ∈- +-< （5）若(2,2),sin cos (1,)2 x k k x x π ππ∈++∈+∞。若3(2,2),sin cos 044 x k k x x ππ ππ∈- + -< ☆☆☆34.同角三角函数的基本关系式 22 sin cos 1θθ+= tan θ= θ θcos sin tan 1cot θθ?= 35.正弦、余弦的诱导公式 正确理解“奇变偶不变 、符号看象限”的含义（其中一定要把α看成锐角） 36.和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= * 22 sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式) * 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=- 提斜公式：sin cos a b αα+ )α?+ )αθ- (辅助角?，θ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?=，tan a b θ= ) ☆☆☆37.二倍角公式 sin 2sin cos ααα= 2222 cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 2 2tan tan 21tan ααα = -. 变形：2 2 1cos 21cos sin cos 2 2 α α αα-+== 38.三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+，x ∈R 函数cos()y x ω?=+，x ∈R (A ,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π ω = 函数tan()y x ω?=+，,2 x k k Z π π≠+ ∈ (A ,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω = ☆☆☆39.正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C = = = 变形：2sin 2sin 2sin ::sin :sin :sin sin sin sin sin a R A b R B c R C a b c A B C a B b A a C c A ====?=??=? sin sin ABC a b A B A B ?>?>?>中 40.余弦定理 2 2 2 2cos a b c bc A =+- 222 cos 2b c a A bc +-= 222 2cos b c a ca B =+- 2 2 2 cos 2a c b B ac +-= 222 2cos c a b ab C =+- 222 cos 2a b c C ab +-= 41.三角形面积定理 （1）111222 a b c S ah bh ch == =（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高） （2）11 1 sin sin sin 22 2 S ab C bc A ca B = == *(3)O A B S ?= 42.三角形内角和定理 在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+22 2 C A B π +?= - 222()C A B π?=-+ 则有 sin sin() sin cos 22 A B C A B C +=+= （,B C ∠∠存在类似关系） 43. 简单的三角方程的通解 sin 12()2 x x k k Z π π=?=+ ∈ sin 12()2 x x k k Z π π=-?=- ∈ sin 0()x x k k Z π=?=∈ 15sin 2 2()2 6 6 x x k x k k Z π πππ=?=+ =+ ∈或 3sin 2 2() 24 4x x k x k k Z π πππ= ?=+=+ ∈或 2sin 2 2()2 3 3 x x k x k k Z π πππ=?=+ =+∈或 （能写出特殊的正余弦、切函数所对的所有角，上面给出了sin 的几个例子，其他自己推导） 44.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么： (1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb 45.向量的数量积的运算律 (1) a ·b= b ·a （交换律） (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ） 46．向量平行的坐标表示 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0 a ∥b(b ≠0)12210x y x y ?-= ☆☆☆47. a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ 48. a ·b 的几何意义 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积 ☆☆☆49.平面向量的坐标运算 (1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++ (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y -- (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=-- (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y + 50.两向量的夹角公式 cos x x y y a b a b θ+?== ? a =11(,)x y , b =22(,)x y ). 51.平面两点间的距离公式 ,A B d =||AB = = A 11(,)x y ， B 22(,)x y 52.向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0 A //b ?b =λa 12210x y x y ?-= a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+= 53.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ), 则△ABC 的重心的坐标是123 123 (, )3 3 x x x y y y G ++++ 54. 三角形四“心”向量形式的充要条件 设O 为A B C ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为A B C ?的外心222 O A O B O C ?== （2）O 为A B C ?的重心0OA OB OC ?++= （3）O 为A B C ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=? （4）O 为A B C ?的内心0aOA bOB cOC ?++= ☆☆☆55.常用不等式 （1）,a b R + ∈? 2 a b +≤ ≤ 当且仅当a ＝b 时取“=”号) （2）,a b R ∈?2 2 2 22a b a b ab ++?? ≤≤ ? ?? (当且仅当a ＝b 时取“=”号) *（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> *（4）柯西不等式 ：22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）a b a b a b -≤+≤+（“=”成立的条件） 56.均值不等式： 已知y x ,＞ 0 （1）若xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2 （2）若y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值 2 4 1s 推广：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2 2 +-=+ （1）若xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小 （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大. 57.一元二次不等式2 0(0)ax bx c ++><或2 (0,40)a b ac ≠?=-> 如果a >0则其解集在两根之外(之内)； 如果a <0则其解集在两根之内（之外） 58.含有绝对值的不等式 当a> 0时 2 2 x a x a a x a x a x a x a >?>?>或x a <- 59.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x >?>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>? (2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >?<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>?? 60.斜率公式 2121 y y k x x -= -（111(,)P x y 、222(,)P x y ） ☆☆☆61.直线的五种方程 （1）点斜式：11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k ) （2）斜截式：y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距) （3）两点式：112121 y y x x y y x x --= --(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)) (4)截距式： 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式：0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0) 62.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠ ②12121l l k k ⊥?=- (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零 ①111122 2 2 ||A B C l l A B C ? =≠ ②1212120l l A A B B ⊥?+= *63.夹角公式 (1)2121 tan | |1k k k k α-=+ (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212 tan | |A B A B A A B B α-=+(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠) 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π *64. 1l 到2l 的角公式 (1)2121 tan 1k k k k α-= +(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212 tan A B A B A A B B α-= +(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠) 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2 π **65．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 待定的系数； 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数 (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数 (3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程。直线 0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量 (4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是 0Bx Ay λ-+=,λ是参变量 ☆☆☆66.点到直线的距离： || Ax By C d ++=(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=) 67. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域 设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表 若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域。 简言之,同号在右,异号在左 ☆☆☆68. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= （2）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0) *（3）圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ =+?? =+?. （4）圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、 22(,)B x y ) **69. 圆系方程 (1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是 1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ?--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线A B 的方程, λ是待定的系数 (2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是 22 ()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数 (3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :22 2220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是 2222 111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数 70.点与圆的位置关系： 点00(,)P x y 与圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 若d = 则d r >?点P 在圆外；d r =?点P 在圆上； d r 71.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 若2 2 B A C Bb Aa d +++= . 则 0相离r d ；0=???=相切r d ； 0>???<相交r d 72.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d 条公切线外切321??+=r r d 条公切线相交22121??+<<-r r d r r 条公切线内切121??-=r r d 无公切线内含??-<<210r r d 73.圆的切线方程 (1)已知圆220x y Dx Ey F ++++= ①若已知切点00(,)x y ，则切线只有一条，其方程是0000() () 02 2 D x x E y y x x y y F ++++ + += ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉垂直于x 轴的切线 ③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222 x y r += ①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为2 00x x y y r += ②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±. *74.椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的参数方程是cos sin x a y b θ θ=??=? 75.椭圆2222 1(0)x y a b a b + =>>焦半径公式： )(2 1c a x e PF + =，)( 2 2x c a e PF -= 76．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的内部22 002 2 1x y a b ? + < （2）点00(,)P x y 在椭圆222 2 1(0)x y a b a b +=>>的外部22 002 2 1x y a b ? + > 77. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是 002 2 1x x y y a b + = *（2）椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222 A a B b c += 78.双曲线222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>的焦半径公式2 1|()|a PF e x c =+ ，2 2|( )|a PF e x c =- 79.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>的内部22 002 2 1x y a b ? - > (2)点00(,)P x y 在双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b -=>>的外部22 002 2 1x y a b ? - < 80.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 12 22 2=- b y a x ?渐近线方程： 222 2 0x y a b - =?x a b y ± = (2)若渐近线方程为x a b y ± =? 0=± b y a x ?双曲线可设为 λ=- 2 22 2b y a x (3)若双曲线与 12 22 2=- b y a x 有公共渐近线，可设为 λ=- 2 22 2b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ， 焦点在y 轴上） 81. 双曲线的切线方程 (1)双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是 002 2 1x x y y a b - = *（2）双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222 A a B b c -= 82. 抛物线px y 22 =的焦半径公式： p C F x =+ 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+ ++=21212 2 . 83.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y p y 或或)2,2(2 pt pt P P (,)x y ，其中 2 2y px = 84.二次函数2 2 2 4()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=+ + (0)a ≠的图象是抛物线： （1）顶点坐标为2 4(, )24b ac b a a -- （2）焦点的坐标为2 41 (, )24b ac b a a -+- （3）准线方程是2 41 4ac b y a --= 85.抛物线的内外部 (1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ?<> 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ?>> (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ?<-> 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ?>-> (3)点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)x py p =>的内部2 2(0)x py p ?<> 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)x py p =>的外部2 2(0)x py p ?>> (4) 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)x py p =>的内部2 2(0)x py p ?<> 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)x py p =->的外部2 2(0)x py p ?>-> 86. 抛物线的切线方程 (1)抛物线px y 22 =上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+ *（2）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是2 2pB AC = 87.直线与圆锥曲线相交的弦长公式： AB = 1212||||AB x x y y = = =-=- 弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程???=+=0 )y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0?>,α为直线A B 的 倾斜角，k 为直线的斜率）. **88.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -= （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是 2 2 2 2 2() 2() (,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++- - =++. 89.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a (2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c ) (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb 90.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a =λb P A B 、、三点共线?//A P A B ?AP t AB = ?(1)O P t O A tO B =-+ 91.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+ 92.射影公式 已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的 射影'B ，则'' ||cos A B AB = 〈a ，e 〉=a ·e 93.向量的直角坐标运算 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++ (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b --- (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R) (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++ 94.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =- = 212121(,,)x x y y z z --- 95.空间两点间的距离公式：若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ,A B d =||AB = = *96. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ?++=222123sin sin sin 2θθθ?++= （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例） *97. 面积射影定理 ：' cos S S θ =(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二 面角的为θ) 98.球的半径是R ，则其体积3 43 V R π=,其表面积24S R π= 99.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ 分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =??? 100.回归直线方程 y a b x ∧∧ =+，其中1221n i i i n i i x y n x y b x nx a y bx ∧==∧? -??=??-???=-?∑∑ 101.相关系数 ： r ()( ) n i i x x y y --= ∑ |r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小 102.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）0 0000 ()() ()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===?? 103.瞬时速度： 0 ()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===?? 104.瞬时加速度：0 ()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===?? 105.)(x f 在),(b a 的导数 ()f x y ''==0 ()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-=?? 106. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- ☆☆☆107.几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数） (2) '1()()n n x nx n Q -=∈ (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) e a x x a log 1)(log = ' x x 1)(ln = ' (6) a a a x x ln )(=' x x e e =')( ☆☆☆108.导数的运算法则 （1）'''()u v u v ±=± （2）''' ()uv u v uv =+ （3）'' ' 2 ()(0)u u v uv v v v -= ≠ *109.复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数'' ()x u x ?= 函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数'' ()u y f u = 则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作''' (())()()x f x f u x ??= ☆☆☆110.判别)(0x f 是极大（小）值的方法 当函数)(x f 在点0x 处连续时， （1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值 （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值 111.复数的相等 ,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈） 112.复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi + 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 4、几种常见函数的导数 ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ= θ θ cos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式 高考数学复习——公式及知识点汇总 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数． (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于ｙ轴对称。 ３、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-． ４、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ; ③x x cos )(sin '=;④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(; ⑦a x x a ln 1)(log ' = ;⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2)' ' ' ()uv u v uv =+. （3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1） 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; (2） 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值. 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=,tan θ＝ θ θ cos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式 απ±k 的正弦、余弦,等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号; απ π±+ 2 k 的正弦、余弦，等于α的余名函数,前面加上把α看成锐角时该函数的符号。 最实用最有效的高考数学常用公式及结论 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 2.U U A B A A B B A B C B C A =?=????U A C B ?=ΦU C A B R ?= 3.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; ② 顶点式 2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 4.函数单调性的等价定义 设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212 ()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=. ②函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=-()()f a b mx f mx ?+-=. ③函数()y f x =图象关于直线y 轴对称?函数()y f x =为偶函数?)()(x f x f -= ④函数()y f x =图象关于原点对称?函数()y f x =为奇函数?)()(x f x f --= 7.函数()y f x =的周期性: ①若()y f x =满足)()(x f T x f =+，则()y f x =的最小正周期是T ②若()y f x =满足) (1 )()()(x f x f T x f T x f =-=-=+，则()y f x =最小正周期是T 2 8.分数指数幂 n m n m a a =（0,,a m n N * >∈，且1n >）.1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 9.（1）对数概念： log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>；N a N a =log (对数恒等式) （2）对数的运算性质①N M MN a a a log log log += ②N M N M a a a log log log -= ③M n M a n a log log =其中a>0,a ≠0,M>0,N>0 ④log log m n a a n b b m =. 10.常用两个对数等式：②01log =a ③1log =a a 11.11, 1,2 n n n s n a s s n -=?=? -≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =++ +). 高考必考数学重点公式 高中数学基本公式大全 有了此书，高分无忧！！！ 一、基本公式（必考公式） 1、抛物线：y = ax *+ bx + c （1）就是y等于ax 的平方加上bx再加上c （2）a > 0时开口向上，a < 0时开口向下，c = 0时抛物线经过原点，b = 0时抛物线对称轴为y轴。 (3)还有顶点式y = a（x+h）* + k (4)就是y等于a乘以（x+h）的平方+k (5)-h是顶点坐标的x ，k是顶点坐标的y (6)一般用于求最大值与最小值 (7)抛物线标准方程:y^2=2px ，它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 (9)由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 2、圆：体积=4/3(pi）(r^3) （1）面积=(pi)(r^2) (2)周长=2(pi)r (3)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 (4)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 3、椭圆周长计算公式 （1）椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) （2）椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （3）椭圆面积计算公式： 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 4、三角函数： （1）两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) （2）倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota 高考数学常用公式集锦(2007.2) 1. B 符合 A B ；B 符合 A∪B=A ；B 符合 A B。 2 A BAABBABC U BC U A A C U B C U ABR 3. 若Ａ={ a1, a2 , a3 a n}, 则Ａ的子集有2n个 , 真子集有 ( 2n－ 1) 个 , 非空真子集有 ( 2n－ 2) 个 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式 f (x) ax2bx c(a 0) ;②顶点式 f ( x) a( x h)2k(a0) ; ②函数 y f (mx a) 与函数 y f (b mx) 的图象关于直线 x a b 对称 . 2m 特殊地 : y f ( x a) 与函数 y f ( a x) 的图象关于直线x a 对称 ③函数 y f ( x) 的图象关于直线 x a 对称的解析式为y f (2a x) ④函数 y f ( x) 的图象关于点 ( a,0) 对称的解析式为y f (2a x) ⑤函数 y f (x) 和 y f 1 ( x) 的图象关于直线y=x对称. m n a m（ a 8. 分数指数幂 a n 0, m, n N ，且n 1 ）. m 1 a n （ a 0, m, n N ，且 n 1 ）. ③零点式 f ( x) a(x x1 )( x x2 )(a 0) . 三次函数的解析式的三种形式①一般式f ( x) ax3 bx2 ②零点式 f ( x) a(x x1)( x x2 )( x x3 )(a 0) 5.设 x 1 x 2 a,b , x1 x2那么( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x1 ) f (x2 ) x1 x2 0 数； ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x1 ) f (x2 ) x1 x2 0 cx d (a0) f ( x)在 a,b 上是增函 f ( x) 在 a,b 上是减函 m a n a b 9. log a N b N (a 0, a 1,N 0) . log a M log a N log a MN ( a 0.a 1,M 0, N 0) log a M log a N log a M (a 0.a 1,M 0, N 0) N log m N . 推论log a m b n n log a b . 10. 对数的换底公式log a N log m a m 对数恒等式a log a N N （ a 0, a 1 ） 数 . 设函数 y f (x) 在某个区间内可导，如果 f ( x)0 ，则 f ( x) 为增函数；如果 f (x) 0，则 f (x) 为减函数. 6. 函数y f ( x) 的图象的对称性: 11. a s1, n 1 a1 a2 a n). (数列 { a n} 的前n项的和为 s n n s n s n 1 , n 2 12. 等差数列a n 的通项公式 a n a1 ( n 1)d dn a1 d (n N*)； ①函数y f (x) 的图象关于直线 x a f ( a ) x ( f fa( 2ax x) f x ②函数y f ( x) 的图象关于直 a b x f ( a ) x ( f f b( a x b ) x.( f 2 x ③函数 y f ( x) 的图象关于点 (a,0) 对称 f (x) f (2a x) 函数 y f ( x) 的图象关于点 ( a,b) 对称 f (x) 2b f (2a x) 7.两个函数图象的对称性 : ①函数 y f ( x) 与函数 y f ( x) 的图象关于直线x0 (即 y 轴)对称. 对称13. 等差数列a n 的变通项公式a n a m (n m)d 对于等差数列a n ，若 n m p q ，(m,n,p,q为正整数)则a n a m a p a q。对称14.若数列a n 是等差数列，S n 是其前n 项的和，k N *，那么 S k， S2 k S k ，S 3 k S2 k成等差数列。如下图所示： S 3 k a1 a2 a3 a k a k 1 a 2k a 2k 1 a 3k S k S 2 k S k S 3 k S 2 k 高三文科数学重要知识点及公式 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率 )(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin ' =；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ= θ θ cos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式 απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号； απ π±+ 2 k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。 10、和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±=. 高中数学公式大全（必备版） 高中数学公式大全（必备版） 篇一 篇二 篇三 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变)，然后在前面加上把α看成锐 2012届高考数学常用公式（文科） 编制：第三高级中学数学教学组 尹点 指数公式：n m n m a a a +=?； mn n m a a =)(； m m a a 1= -； n m n m a a = 对数公式： log (0,1,0) b a N b a N a a N =?=>≠>. N M MN a a a log log )(log +=； N M N M a a a l o g l o g l o g -= M n M a n a log log =； b m n b a n a m l o g l o g = a b a b a b b m m a ln ln lg lg log log log === ； N a N a =log 2.等差数列的通项公式： q pn d m n a d n a a m n +=-+=-+=)()1(1（一次函数） 其前n 项和公式 1()2n n n a a s += 1(1) 2 n n na d -=+qn pn +=2.（二次函数） 3．等比数列的通项公式：m n m n n q a q a a --==11 其前n 项的和公式 11 (1) ,11,1n n a q q s q na q ?-≠? =-??=?或 11 ,11,1n n a a q q q s na q -?≠? -=??=?. 4．同角三角函数的基本关系式 22 sin cos 1θθ+=，tan θ=θθ cos sin ，tan 1cot θθ?=. 5．诱导公式 （略）（奇变偶不变，符号看象限） 6．两角和与差三角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; c o s ()c o s c o s s αβαβαβ ±=; tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ±±= . sin cos a b αα+ )α?+ 7．二倍角公式 αααcos sin 22sin =. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 高考数学常用公式(2020.11.10) 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . 2.U U A B A A B B A B C B C A =?=????I U U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 3.()()card A B cardA cardB card A B =+-U I ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-U U I ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+I I I I I . 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则 )(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=.②函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=-()()f a b mx f mx ?+-=. 7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴) 对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称.③函数 )(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 1 m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. 10.对数的换底公式 log log log m a m N N a = .推论 log log m n a a n b b m =. 11.11 , 1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ). 12.等差数列的通项公式* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； 其前n 项和公式 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-. 高考数学重点全归纳 立体几何 线、面位置关系的证明，常出现在解答题第一小问，特别注意逻辑推理的严密性和书写的规范性。 求解与体积相关的问题，注重体积之间的转化，常用等体积法、割补法：空间角的考查，主要要求学生会用法向量和相关夹角公式进行计算。 数列 高考中有關数列的试题经常是综合题，常把数列知识与指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来考查。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。 数列求和是数列知识的综合体现。常见的求和方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、数学归纳法等。 三角函数 易错点梳理：（1）没有挖掘题目中的隐含条件而造成增、漏解现象。（2）对正余弦函数的性质：如图象、对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。（3）在利用三角函数的图象变换中，将周期变换和相位变换搞混淆。 综合运用：（1）解三角形的问题通常会与向量结合，并利用正余弦定理进行边角转换。（2）熟练掌握三角函数的图象及性质，突出数形结合思想。 概率统计 利用统计思想研究问题，一般过程是通过采取样本、建立统计模型、分析统计数据、作出合理判断，形成尽可能准确的结论。 概率思想是通过对随机现象的观察研究发现必然，去研究隐藏在随机现象背后的统计规律，进而理解随机现象。 高考的考查重点是利用统计与概率思想解决实际应用问题。考点一：概率、决策建议：考点二：二项分布;考点三：超几何分布;考点四：正态分布：考点五：统计图表;考点六：线性回归方程;考点七：独立性检验。 解析几何 解析几何的灵魂是用代数方法研究几何问题，综合性强，运算量大，题目灵活多变。 综合运用：遇到直线与圆锥曲线的位置关系的时候，常常会联立得到方程组，进而利用韦达定理求解。（1）定值、定点问题，先用变量表示所需证明的不变量，然后通过已知条件，消去变量，得到定值、定点。（2）最值与范围，选好合适变量（比如：斜率、点），建立目标函数和不等式求最值、范围。代数法常见有二次配方、基本不等式、导数等。 高考数学常用公式及结论200条（一） 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中文科数学公式--考试必备 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 4、几种常见函数的导数 ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '=5、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±.（2）''' ()uv u v uv =+.（3）'''2((0)u u v uv v v v -=≠.6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1)如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2)如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θcos sin .9、正弦、余弦的诱导公式 απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号； αππ±+2 k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。10、和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= . 高中数学常用公式精华总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学 | 高考数学50条秒杀型公式与方法 1，适用条件： [直线过焦点]，必有e c o s A=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。 2，函数的周期性问题(记忆三个)：①、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;?②、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;?③、若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。注意点：a.周期函数，周期必无限 b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=si nx y=si n派x相加不是周期函数。 3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：①，若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2; ②、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;③、若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称。 4，函数奇偶性：①、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;②、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项③，奇偶性作用不大，一般用于选择填空。 5，数列爆强定律：①，等差数列中：S奇=n a中，例如S13=13a7(13和7为下角标);②，等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；③，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等 比，在q=-1时，未必成立；④，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q。 6，数列的终极利器，特征根方程。首先介绍公式：对于a n+1=p an+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数)。 7，函数详解补充：①、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外； ②、复合函数单调性：同增异减；③、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8，常用数列b n=n×(22n)求和S n=(n-1)×(22(n+1))+2记忆方法：前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2。 9，适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：k椭=-{(b2)x o｝/{(a2)yo｝k双={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k抛=p/y o注：(x o，y o)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10，强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技：已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了防止两直线重合)注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀! 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=， 高考数学三角函数重点考点归纳 由解析式研究函数的性质 常见的考点： 求函数的最小正周期，求函数在某区间上的最值，求函数的单调区间，判定函数的奇 偶性，求对称中心，对称轴方程，以及所给函数与y=sinx的图像之间的变换关系等等。 对于这些问题，一般要利用三角恒变换公式将函数解析式化为y=Asinωx+φ的形式，然后再求相应的结果即可。 在这一过程中，一般要先利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的恒等式等将函数 化为asinωx+bcosωx形式其中常见的是两个系数a、b的比为1：1，1:1，然后再利用辅助角公式，化为y=Asinωx+φ即可。 根据条件确定函数解析式 这一类题目经常会给出函数的图像，求函数解析式y=Asinωx+φ+B。 A=最大值-最小值/2; B=最大值+最小值/2; 通过观察得到函数的周期T主要是通过最大值点、最小值点、“平衡点”的横坐标之 间的距离来确定，然后利用周期公式T=2π/ω来求得ω; 利用特殊点例如最高点，最低点，与x轴的交点，图像上特别标明坐标的点等求出某 一φ'; 最后利用诱导公式化为符合要求的解析式。 考点一：集合与简易逻辑 集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的 试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这 些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查 有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中 深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。 考点二：函数与导数高考文科数学公式大全
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