一阶微分方程解法及应用

xx
xu 1 u2
(3)
y
2x
1
y2
调换自变量与因变量的地位 , 化为 dx 2x y2, dy
用线性方程通解公式求解 .
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4
(4)
y
6x3 3x2
3x y2 y 2y3
方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u y x
*方法 2 化为微分形式
(6x3 3xy2)dx (3x2 y 2y3)dy 0
y2e y3 d y e x dx
通解
1 ey3 ex C 3
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(2) x y x2 y2 y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y 1 y 2 y
xx
xu 1 u2
x 0 时，y 1 y 2 y
变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
P315 题7
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例1 求下列方程的通解
(1)
y
1 y2
e y3x
0;
Hale Waihona Puke Baidu
(3)
y
2x
1
y2
;
(2) x y x2 y2 y ;
(4)
y
6x3 3x2
3x y2 y 2y3
.
提示: (1) 因 e y3 x e y3e x , 故为分离变量方程:
sin y 1 ， xx
即满足初始条件的解为
y x arcsin 1 ． x
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例4 求微分方程 ( y4 3x2 )d y xy d x 0的通解．
解 原方程变形为
d x 3 x y3 x1 ， dy y
即
d( x2 ) 6 ( x2 ) 2 y3 ，
dy y
此是关于函数 x2 f ( y) 的一阶线性非齐次线性微
分方程，由求解公式得
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x 2
e
6 y
d
y
2y3
e
6 y
d
y
d
y
C
y6 2
1 y3
d
y C
y4
Cy6 ．
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例5 求下列方程的通解: (1) x y y y(ln x ln y ) (2) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
dy 2u 2x du 2udu
dx
dx dx
原方程化为
x
e
2du u
2e
2 du u
du
C
1 u2
2
u2
du
C
故原方程通解
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例6
求解微分方程
y
xy2 2x2 y 3y3 ．
解法1 此方程为齐次方程，作代换 y ux，
则有
u
x
d d
u x
u 3u2
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 (下册内容).
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例2 求解方程 y d x ( x2 4x)d y 0 ．
解 此方程为一个可分离变量的微分方程．分离
变量，得
dy y
dx 4x x2
，
因
dx 4x x2
1 4
1 x
1 4
x
d
x，
两边积分，得
x
x
u x d u u tan u ，
dx
移项，得
cos u d u 1 d x ，
sin u
x
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两边积分，得
ln | sin u | ln | x | ln C ，
将u
y x
代入，有
sin
y
C，
xx
由初始条件 y x2 3，得 C 1, 即原方程的解为
ln | y | 1 (ln | x | ln | 4 x |) ln C ， 4
即得原方程的通解
y4(4 x) C x ．
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6
例3
求解方程
xy
x tan
y x
y
0，
y
x2
3
．
解 原方程变形后为齐次方程
y y tan y ．
作变换 u y ，则有 x
习题课
第七章(1)
一阶微分方程的解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 三、课外练习题
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一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 几个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
2. 一阶非标准类型方程求解
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提示: 这是一阶线性方程 , 其中
(3) d y
y
dx 2( ln y x)
提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程
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(10) y x x2 y
提示: 令 u x2 y x , 即 y 2 x u u2, 则
P315 题7
提示: (1) 原方程化为
令u=xy,得
du dx
u ln u x
(分离变量方程)
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(2) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
化方程为 d y 3( x 1)2 y2 d x 2y ( x 1) 令 t = x – 1 , 则 dy dy dt dy dx dt dx dt d y 3 t 2 y2 (齐次方程) dt 2ty 令y=ut
可分离变量方程求解
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练习题: P353 题1，2，3(1), (2), (3), (5), (10)
P353 题2 求以
为通解的微分方程.
提示:
( x C )2 2( x C )
y2 2y
y
1
0
消去
C
得
P353 题3 求下列微分方程的通解:
提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :
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例7 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
即
y2 x2 y2 C ．
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*解法2 方程变形为
d x 2 x 3 yx1 ， dy y 此方程为贝努利方程，此时令 z x2 , 则有
d z 4 z 6 y， dy y 故方程的通解为 z y2 Cy4 ， 代回原变量，得 x2 y2 Cy4 ．
， 2
分离变量，得
3u2 u(u2
2 1)
d
u
3 x
d
x，
两边积分，得
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3u2
u(u2
2 1)
d
u
3
ln
|
x
|
ln
C
，
由于
3u2 u(u2
2 1)
d
u
(
2 u
u u2
)d 1
u
2
ln
|
u
|
1 2
ln(
u2
1)
C1
，
故方程的通解为 u2
u2
1
C， x3