高三数学复习专题练习题:解三角形(含答案)
高三数学复习专题练习:解三角形(含答案)
一. 填空题(本大题共15个小题,每小题5分,共75分)
1.在△ABC 中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 三角形.
2.在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则
C
B
sin sin 的值为 . 3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且面积S △ABC =4
1(b 2
+c 2
-a 2
),则A= . 4.在△ABC 中,BC=2,B=
3π,若△ABC 的面积为2
3
,则tanC 为 . 5.在△ABC 中,a 2
-c 2
+b 2
=ab,则C= .
6.△ABC 中,若a 4
+b 4
+c 4
=2c 2
(a 2
+b 2
),则C= .
7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a,b,c ,若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.在△ABC 中,若∠C=60°,则
c b a ++a
c b
+= . 9.如图所示,已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km, 灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°, 则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.
10.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为 海里/小时. 11. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若c=2,b=6,B=120°,则a= . 12. 在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2
+c 2
-b 2
)tanB=3ac ,则角B 的值为 . 13. 一船向正北航行,看见正西方向有相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航 行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西600
,另一灯塔在船的南偏西750
,则这艘船是每小时 航行________ 海里.
14.在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为 .
15.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若(3b-c )cosA=acosC ,则cosA= .
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二、解答题(本大题共6个小题,共75分)
1、 已知△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S ,
且2S=(a+b )2
-c 2
,求tanC 的值. (10分)
2、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a,b,c ,并且a 2
=b(b+c). (11分) (1)求证:A=2B ;
(2)若a=3b,判断△ABC 的形状.
3、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A ,B ,C 的对边,且C B cos cos =-c
a b
+2. (12分)
(1)求角B 的大小;
(2)若b=13,a+c=4,求△ABC 的面积.
4、△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b 2+c 2-a 2
+bc=0. (12分) (1)求角A 的大小; (2)若a=3,求bc 的最大值;
(3)求c
b C a --?)
30sin(的值.
5、已知△ABC 的周长为)12(4+
,且sin sin B C A +=. (12分)
(1)求边长a 的值;
(2)若A S ABC sin 3=?,求A cos 的值.
6、在某海岸A 处,发现北偏东 30方向,距离A 处)(13+n mile 的B 处有一艘走私船在A 处北偏西 15的方向,距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截走私船. 此时,走私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30方向逃窜,问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船,并指出缉私船航行方向. (12分)
A
C
B
30
15
· ·
参考答案:
一、填空题:
1、等腰;
2、53
;3、45°;4、3
3
;5、60°;6、45°或135°;7、65π;8、1;
9、3a ;10、2
617;11、2;12、3π或32π;13、10;14、103;15、33
。
二、解答题:
1、解:依题意得absinC=a 2
+b 2
-c 2
+2ab,
由余弦定理知,a 2
+b 2
-c 2
=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即sinC=2+2cosC, 所以2sin
2C cos 2C =4cos 22
C 化简得:tan 2C =2. 从而tanC=
2
tan 12tan
22C C
-=-34. )
2、解:(1)证明 因为a 2=b(b+c),即a 2=b 2
+bc, 所以在△ABC 中,由余弦定理可得,
cosB=ac b c a 2222-+=ac bc c 22+=a c
b 2+
=ab a 22
=b a 2=B
A sin 2sin , 所以sinA=sin2B,故A=2B. (2)解 因为a=3b,所以b
a
=3, 由a 2
=b(b+c)可得c=2b, cosB=
ac b c a 2222-+=2
2223443b b b b -+=23
,
所以B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC 为直角三角形.
3、解:(1)由余弦定理知:cosB=ac b c a 22
22-+,
cosC=ab c b a 22
22-+. 将上式代入C B cos cos =-c a b +2得:
ac b c a 2222-+·2222c
b a ab -+=-
c a b +2,整理得:a 2+c 2-b 2
=-ac ∴cosB=ac
b c a 2222-+=ac ac
2- =-21, ∵B 为三角形的内角,∴B=32π.
(2)将b=13,a+c=4,B=
3
2π代入b 2=a 2+c 2
-2accosB, 得b 2=(a+c)2-2ac-2accosB ,∴b 2=16-2ac ??
?
?
?-211,∴ac=3. ∴S △ABC =21acsinB=
4
33.
4、解:(1)∵cosA=bc
a c
b 2222-+=b
c bc
2-=-21, 又∵A ∈(0°,180°),∴A=120°.
(2)由a=3,得b 2+c 2=3-bc, 又∵b 2+c 2
≥2bc (当且仅当c=b 时取等号),
∴3-bc ≥2bc(当且仅当c=b 时取等号). 即 当且仅当c=b=1时,bc 取得最大值为1. (3)由正弦定理得:
===C c B b A a sin sin sin 2R , ∴C R B R C A R c b C a sin 2sin 2)
30sin(sin 2)30sin(--?=--? =C
B C A sin sin )30sin(sin --? =C
C C C sin )60sin()sin 23
cos 21(23--?- =
C C C C sin 2
3
cos 23)sin 43
cos 43--
5、解:(1)
根据正弦定理,sin sin B C +=
可化为b c +=
. ………3分
联立方程组1)
a b c b c ?++=+??+=??,解得4a =.
(2)3sin ABC S A ?=, ∴1
sin 3sin 62
bc A A
bc ==,. 又由(1)
可知,b c +=
∴22222()21
cos 223
b c a b c bc a A bc bc +-+--=
==.
6、解:设缉私船至少经过t h 可以在D 点追上走私船,则t CD 35=,t BD 5= 在△ABC 中,由余弦定理得,
4)3015cos(2222=+?-+=
AC AB AC AB BC , ∴2=BC
由正弦定理得,
ABC
AC
BC sin 45sin = ,
∴2
3
sin =
ABC , 60=∠ABC ∴点B 在C 的正东方向上, 120=∠DBC 又在△DBC 中,由正弦定理得 :
BCD
BD
CD sin 120sin = ,
A
C B
30
15
· ·
D
∴2
1sin =BCD ,∴ 30=∠BCD
∴ 30=∠BDC ,∴BC BD =,即25=t ,∴5
2
=t ,又 30=∠BCD 所以:缉私船至少经过5
2
h 可以追上走私船,缉私船的航行方向为北偏东 60.
解答题专题复习---解三角形
解答题专题复习---解三角形 一、考情分析 解三角形是每年高考的热点,大题主要考查以一个三角形或四边形为背景的利用正弦、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积问题,或考查将两个定理与三角恒等变换相结合的解三角形问题。试题难度多为中等。 二、题型归类 类型一:三角形基本量的求解问题 【典例分析】(2017北京理数)在△ABC 中,A =60°,c = 3 7 a . (1)求sin C 的值;(2)若a =7,求△ABC 的面积.
【归类巩固】(2018北京理数)在△ABC中,a=7,b=8, 1 cos 7 B=-. (1)求∠A;(2)求AC边上的高. 类型二:已知一边一对角求范围问题 【典例分析】(2018·广州模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2, a cos B=(2c-b)cos A. (1)求角A的大小;(2)求△ABC的周长的最大值. 【归类巩固】△ABC的内角,, A B C的对边分别为,, a b c,已知cos sin a b C c B =+. (1)求B;(2)若2 b=,求△ABC面积的最大值.
类型三:以平面几何为载体的解三角形问题 此类问题的本质还是考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角度问题. 【典例分析】如图,在△ABC 中,3 B π ∠=,8AB =,点D 在BC 边上,且2CD =,1 cos 7 ADC ∠= . (1)求sin BAD ∠; (2)求BD ,AC 的长.. 【归类巩固】如图,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC =(1)求cos CAD ∠的值; (2)若cos sin BAD CBA ∠=∠=,求BC 的值. 三、专题总结
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
解三角形专题复习-师
解 三 角 形 ◆知识点梳理 (一)正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 表示三角形的外接圆半径) 适用情况:(1)已知两角和一边,求其他边或其他角; (2)已知两边和对角,求其他边或其他角。 变形:① 2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C = ②sin 2a A R = ,sin 2b B R =,sin 2c C R = ③ sin sin sin a b c A B C ++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C = (二)余弦定理:2 b =B a c c a cos 22 2 -+(求边),cosB=ac b c a 22 22-+(求角) 适用情况:(1)已知三边,求角;(2)已知两边和一角,求其他边或其他角。 (三)三角形的面积:①Λ=?= a h a S 21;②Λ==A bc S sin 2 1 ; ③C B A R S sin sin sin 22 =; ④R abc S 4=; ⑤))()((c p b p a p p S ---=;⑥pr S =(其中2 a b c p ++=,r 为内切圆半径) (四)三角形内切圆的半径:2S r a b c ? =++,特别地,2a b c r +-=斜直 (五)△ABC 射影定理:A c C a b cos cos ?+?=,… (六)三角边角关系: (1)在ABC ?中,A B C ++=π;sin()A B +=sin C ;cos()A B +=cos C - cos 2A B +=sin 2C ; 2 cos 2sin C B A =+ (2)边关系:a + b > c ,b + c > a ,c + a > b ,a -b < c ,b -c < a ,c -a > b ; (3)大边对大角:B A b a >?> ◆考点剖析 (一)考查正弦定理与余弦定理的混合使用 例1、在△ABC 中,已知A>B>C,且A=2C, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长. 例1、解:由正弦定理,得 C c A a sin sin = ∵A=2C ∴C c C a sin 2sin = ∴C c a cos 2= 又8=+c a ∴ c c cocC 28-= ①
高考解三角形专题(一)及答案
解三角形专题 1.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1,3 a b B π ===,则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC ?的面积,若 () 2 2214 S b c a = +-,则A ∠=( ) A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3.在ABC ?中,若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=,则该三角形的形状是( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中,内角为钝角, , , ,则 ( ) A. B. C. D. 5.在中,若,,则的周长为( )C A . B . C. D . 6. 在锐角中,角、、所对的边分别为,且、、成等差数列, 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________. 8.在中,角,,所对的边分别为,,,且,,则的最小值为 . 9.在 中,内角,,所对的边分别为,,,已知 . (1)求角的大小; (2)若的面积,为边的中点,,求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
高中数学解三角形和平面向量
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( D ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A ) A . 1 2 B .22 C . 3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B ==,则cos B =( B ) A . 53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0 90 B .0 60 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( C ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为( D )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°
中考专题复习解三角形
1.(10分) 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示,BC ∥AD ,斜坡AB=40米,坡角∠BAD=600 ,为防夏季因瀑雨引发山体滑坡,保障安全,学校决 定对山坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过450 时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A 不动,从坡顶B 沿BC 削进到E 处,问BE 至少是多少米(结果保留根号)? 2. 如图,山顶建有一座铁塔,塔高CD =20m ,某人在点A 处,测得塔底C 的仰角为45o ,塔顶D 的仰角为60o ,求山高BC (精确到1m ,参考数据:2 1.41,3 1.73≈≈) 3.(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水 坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图)
4.(8分)某市为缓解城市交通压力,决定修建人行天桥,原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ,后考虑到安全因素,将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处,使0 30=∠ADC (如图所示). (1)求调整后楼梯AD 的长; (2)求BD 的长. (结果保留根号) 5.(8分)为促进我市经济快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中,需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ,∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考 数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位) 6.(8分)(2013?恩施州)“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°,此时,他们刚好与“香底”D 在同一水平线上.然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米,到达B 处,测得“香顶”N 的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到1米,参考数据:, ).
解三角形专题题型归纳
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??=?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角