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大学课程《高等数学》PPT课件：7-2 二重积分的计算
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则 特别, 对
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此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
(2)
答:
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例6. 计算二重积分 x2 y2d，其中D是由圆 x2 y2 2 y D 围成的闭区域．
);
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I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
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3
1 cos3 )
3
0
32 9
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解: 在极坐标系下 原式
其中 故
由于 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
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利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
①
事实上,
又
故①式成立 .
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2 极坐标系下的二重积分化为二次积分 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。
关键是定出r ,的上下限 定的 上 下 限 ：
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的上下限：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
则 特别, 对
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此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
(2)
答:
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例6. 计算二重积分 x2 y2d，其中D是由圆 x2 y2 2 y D 围成的闭区域．
);
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I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
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3
1 cos3 )
3
0
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解: 在极坐标系下 原式
其中 故
由于 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
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利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
①
事实上,
又
故①式成立 .
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2 极坐标系下的二重积分化为二次积分 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。
关键是定出r ,的上下限 定的 上 下 限 ：
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的上下限：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2024/7/17
函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
2024/7/17
函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
2024/7/17
函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
2024/7/17
函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
《大学数学解析几何》PPT课件
➢笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现 出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过 具体的实例，确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法 尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整，但是在本质上它却 是地道的解析几何．
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想： （１）用有序数对表示点的坐标； （２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一 条曲线。
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四、学习要求
１、课前预习. ２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记. ３、课后及时复习，独立认真地完成作业. ４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内 容的理解.
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五、考核方式及成绩评定
考核方式：闭卷考试 总评成绩＝平时成绩×30%
+期末考试成绩70%
《解析几何》
－Chapter 1
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3．解析几何创立的意义
➢ 笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。
➢解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间 的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速 发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。
➢恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折 点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩 证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的 了。”
关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的 书，例 如李文林的《数学史概论》（高等教育出版社），或 上网查阅 查关的内容，网址：
/2/22/07/0641.htm
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二、本课程的主要内容及基本要求
本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步 学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想： （１）用有序数对表示点的坐标； （２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一 条曲线。
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四、学习要求
１、课前预习. ２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记. ３、课后及时复习，独立认真地完成作业. ４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内 容的理解.
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五、考核方式及成绩评定
考核方式：闭卷考试 总评成绩＝平时成绩×30%
+期末考试成绩70%
《解析几何》
－Chapter 1
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3．解析几何创立的意义
➢ 笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。
➢解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间 的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速 发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。
➢恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折 点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩 证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的 了。”
关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的 书，例 如李文林的《数学史概论》（高等教育出版社），或 上网查阅 查关的内容，网址：
/2/22/07/0641.htm
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二、本课程的主要内容及基本要求
本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步 学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：
大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法
则称函数 z f x, y 在点 x0, y0 处有极大值；
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，
《同济高数》课件
极限的定义与性质
总结词
极限是数学分析中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。极限具有一些重要的性质，如唯一性、局部 有界性、局部保号性等。
详细描述
极限的定义是指，对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当自变量的绝对值小于δ时，函数的值与极限 值的差的绝对值小于ε。极限的性质包括唯一性、局部有界性、局部保号性和收敛性等。这些性质在研究函数的 性质和变化趋势时非常重要。
04
一元函数积分学
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在闭区间上离散和的极 限。
定积分的性质
包括线性性质、区间可加性、常数性质、比较性质等 。
定积分的几何意义
定积分表示的是曲线与x轴所夹的面积。
定积分的计算
微积分基本定理
定积分的计算主要依赖于微 积分基本定理，即牛顿-莱布 尼茨公式。
换元法
当被积函数或积分分法
当被积函数是两个函数的乘 积时，可以使用分部积分法 。
定积分的应用
变速直线运动的路程
通过定积分可以计算变速直线运动的路程。
曲线的长度
定积分可以用来计算曲线的长度。
液体压力问题
在液体压力的计算中，定积分也有着重要的 应用。
05
《同济高数》ppt 课件
目录
• 引言 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 一元函数积分学 • 常微分方程 • 多变量函数微积分
01
引言
高数课程的重要性
高等数学是大学理工科专业的重要基础课程，为后续专业课程的学习提供数学基础 。
高数在科学研究、工程技术和实际生活中有着广泛的应用，是解决复杂问题的必备 工具。
总结词
理解多重积分的概念，掌握计算多重积分的 方法。
17-3——华东师范大学数学分析课件PPT
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
大学课程《高等数学》PPT课件：6-2 多元函数的基本概念
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显然，点集E的内点一定属于 E ；点集E的外点一定 不属于 E； E 的边界点可能属于E ，也可能不属于 E． 如果点集 E的每一点都是 E的内点，则称 E为开集.
点集 E1 x, y | 0 x2 y2 1 是开集，
E2 x, y | x y 1 不是开集．
坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面 点集，
记作 E (x, y) | (x, y)具有某种性质P .
目录内所有点的
集合是 C (x, y) | x2 y2 r2 .
如果以点 P 表示 (x, y) ，OP 表示 P 点到原点 O 的距
Rn中点 P x1, x2, , xn 与点 Q y1, y2, , yn
之间的距离定义为 PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 ．
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平面点集中的一系列概念，均可推广到n维空间中去。
例如，P0 Rn， 是某一正数，则
U P0, P | PP0 , P Rn 就称为 Rn 中点 P0 的
称为
P0 (x0 ,
y0 ) 的去心邻域，记作
o
U
(
P0
,
)
，即
o
U (P0 , ) P 0 PP0
(x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2
如果不需要强调邻域的半径 ，
则用 U (P0 ) 表示点 P0 的某个邻域，
o
用 U (P0 ) 表示 P0 (x0, y0 ) 的某个去心邻域．
如前面讲的 E1是开区域．
开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．
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开区域 E 连同它的边界 E 构成的点集，称为闭区域
显然，点集E的内点一定属于 E ；点集E的外点一定 不属于 E； E 的边界点可能属于E ，也可能不属于 E． 如果点集 E的每一点都是 E的内点，则称 E为开集.
点集 E1 x, y | 0 x2 y2 1 是开集，
E2 x, y | x y 1 不是开集．
坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面 点集，
记作 E (x, y) | (x, y)具有某种性质P .
目录内所有点的
集合是 C (x, y) | x2 y2 r2 .
如果以点 P 表示 (x, y) ，OP 表示 P 点到原点 O 的距
Rn中点 P x1, x2, , xn 与点 Q y1, y2, , yn
之间的距离定义为 PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 ．
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平面点集中的一系列概念，均可推广到n维空间中去。
例如，P0 Rn， 是某一正数，则
U P0, P | PP0 , P Rn 就称为 Rn 中点 P0 的
称为
P0 (x0 ,
y0 ) 的去心邻域，记作
o
U
(
P0
,
)
，即
o
U (P0 , ) P 0 PP0
(x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2
如果不需要强调邻域的半径 ，
则用 U (P0 ) 表示点 P0 的某个邻域，
o
用 U (P0 ) 表示 P0 (x0, y0 ) 的某个去心邻域．
如前面讲的 E1是开区域．
开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．
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开区域 E 连同它的边界 E 构成的点集，称为闭区域
16-3——华东师范大学数学分析课件PPT
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
有界闭域上连续函数的性质
又若把上述例3 的函数改为
f
( x,
y)
xy
x2 m
y
1 m2
2
,
,
( x, y) ( x, y) | y mx, x 0,
( x, y) (0, 0),
其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 y m x
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
有界闭域上连续 0, 则相应得到的
增量称为偏增量, 分别记作
x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
y f ( x0, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数 1， xy 0,
f ( x, y) 0， xy 0 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续.
数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续
高等教育出版社
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
由上述定义知道: 若P0 是 D 的孤立点, 则 P0 必定是
f 的连续点. 若P0 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点
P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
(2)
PD
如果 P0 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元
函数的对应情形相同 ), 则称 P0 是 f 的不连续点 (或
xy
x2 x2
y2 y2
，