三角形内周长最短的内接三角形 - 用于合并
三角形的各个心
三角形中心三角形只有五种心重心:三中线的交点，三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；垂心:三高的交点；内心:三内角平分线的交点，是三角形的内切圆的圆心的简称；外心:三中垂线的交点；旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.（共有三个.）是三角形的旁切圆的圆心的简称.当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心.三角形重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。
证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O, CO 延长线交AB于F。
求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，S △ AOB=S △ AOC，又S △ AOB=S △ BOC，二S△ A OC=S △ BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 : 1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为（（X1+X2+X3）/3,（ Y1+Y2+Y 3）/3）;空间直角坐标系——横坐标：（X1+X2+X3）/3 纵坐标：（Y1+Y2+Y3）/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。
重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为重心”重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好.三角形垂心的性质设/ ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C 的对边分别为a、b、c, p=（a+b+c）/2 .1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
(寒假班内部讲义)第十八章-勾股定理
第十八章勾股定理第一部分知识网络一、重、难点重点：勾股定理及其逆定理的应用。
难点：勾股定理及其逆定理的应用。
二、知识要点梳理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
三、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．第二部分 学习笔记1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？（1） 角与角之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有∠A+∠B=90°；（2） 边与边之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有222c a b =+2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c ，那么222c a b =+ 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
三角形中内接矩形课件
内接多边形的面积等于其所在三角形的面积减去三个由切线段和三 角形边组成的三角形的面积。
内接多边形的外角和
内接多边形的外角和等于360度。
内接多边形的应用
几何作图
利用内接多边形可以方便 地作出与三角形三边相切 的圆或其他图形。
面积计算
通过内接多边形可以计算 出三角形的面积，进而计 算出其他图形的面积。
三角形中内接矩形 PPT课件
contents
目录
• 引言 • 三角形中内接矩形的性质 • 三角形中内接矩形的应用 • 三角形中内接矩形的证明方法 • 三角形中内接矩形的拓展知识
01
引言
课程背景
01
三角形中内接矩形是数学中一个 经典问题，涉及几何、面积和比 例等知识点。
02
在中学数学课程中，学生需要掌 握如何利用内接矩形解决实际问 题，提高数学应用能力。
课程目标
掌握三角形中内接矩形的概念 和性质，理解内接矩形的面积 与原三角形面积的关系。
学习如何利用内接矩形解决实 际问题，提高数学应用能力和 逻辑思维能力。
通过实际操作和案例分析，培 养学生的探究精神和团队协作 能力。
02
三角形中内接矩形的性质
矩形的一边与三角形的底边平行
总结词
矩形的一边与三角形的底边平行是三角形中内接矩形的一个 重要性质。
详细描述
由于矩形的一边与三角形的底边平行，因此，矩形的长边或短边将等于三角形的高。而矩形的另一条边将等于三 角形底边的一半。因此，矩形的面积是三角形面积的1/2。
矩形的周长与三角形的周长关系
总结词
矩形的周长是三角形周长的1/2，这是三角形中内接矩形的一个重要性质。
详细描述
由于矩形的长边或短边与三角形的底边平行，因此，矩形的周长是三角形周长的 1/2。这是因为矩形的两条长边或短边的总和等于三角形底边的长度，而矩形的 另外两条边的总和等于三角形的高。因此，矩形的周长是三角形周长的1/2。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十八讲 平移、对称、旋转(含答案)
第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。
浅谈三角形的＂五心＂性质及其运用
浅谈三角形的“五心” 性质及其运用（谢建平 肖仁娅 武隆县平桥中学校）编者案：义务教育课程标准实验教科书第十一章全等三角形的教师教学用书提出三角形的“五心”，别离给与了相关的介绍。
其中，“外心”与“心里”在义务教育课程标准实验教科书九年级上册的讲义中P9九、P105别离作出了叙述和介绍.而垂心与重心两个概念随着教育教学要求的降低，从《表4．与以前知识、高中教师原有认知相较以为存在但初中已删除需衔接的内容 》中得知，三角形四心的有关概念和性质，中点公式已经删去了.可是垂心、重心与心里、外心一样重要，在高中后续学习立体几何、解析几何等内容时都是不可缺少的知识点。
因此，针对当前的中考生很有补充的必要。
关键词：五心、性质、运用众所周知，三角形是最简单的多边形，也是最重要的几何图形。
三角形的心里、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别增强的内容。
由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技能性强、方式灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型。
鉴于此，咱们对三角形的“四心”的几何性质做归纳归纳，至于“旁心”只做简要的提示。
不在此赘述。
（一）、心里三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的心里，即内切圆圆心。
△ABC的心里一般用字母I 表示，一、基础知识 (图1－1)性质1 设Ｉ为△ＡＢＣ的心里,则Ｉ到△ＡＢＣ三边的距离相等(即ID=IE=IF)，且极点与心里的连线平分顶角(即AI 平分∠BAC 、BI 平分∠ABC 、CI 平分∠BCA)。
性质2 设Ｉ为△ＡＢＣ的心里，则∠ＢＩＣ=90°+21∠Ａ，∠CIA=90°+21∠B ，∠AIB=90°+21∠C ；反之亦然。
性质3设Ｉ为△ＡＢＣ的心里，ＢＣ=ａ，ＡＣ=ｂ，ＡＢ=ｃ，Ｉ在ＢＣ、ＡＣ、ＡＢ上的垂足别离为Ｄ、Ｅ、Ｆ；内切圆半径为ｒ，令ｐ=21(ａ+ｂ+ｃ)，则(1)Ｓ△ＡＢＣ=ｐｒ；(2)ＡＥ=ＡＦ=ｐ-ａ,ＢＤ=ＢＦ=ｐ-ｂ,ＣＥ=ＣＤ=ｐ-ｃ；2、演绎证明：三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的心里．已知：△ABC中，AX，BY，CZ别离是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点．(图1－2)证明：因为AX，BY是∠BAC，∠ABC的平分线，所以AX，BY必相交于一点，设此点为I(不然的话，AX，BY必平行，则∠BAX+∠YBA=180°，这是不可能的)，所以I与AB，AC边等距，I与AB，BC边等距，所以I与AC，BC 边等距，所以I必在CZ上，所以AX，BY，CZ相交于一点．(图1－1) (图1－2)说明：若证明几条直线共点，可先证其中两条直线相交，再证那个交点别离在其余各条直线上，则这几条直线必共点于此交点．由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等，所以以此交点为圆心，以此点到各边的距离为半径作圆，此圆必与三角形三边内切，所以称此交点为三角形内切圆圆心，简趁心里．（二）、外心三角形三边垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。
三角形的四心欧拉线的证明
三⾓形的四⼼欧拉线的证明三⾓形的四⼼三⾓形的四⼼是指三⾓形的重⼼、外⼼、内⼼、垂⼼。
等边三⾓形的四⼼重合。
⼀、三⾓形的重⼼三⾓形的重⼼是三⾓形三条中线的交点。
三⾓形的三条中线必交于⼀点已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。
三⾓形的三条中线必交于⼀点求证：AE=CE证明：延长OE到点G，使OG=OB∵OG=OB,∴点O是BG的中点⼜∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的⼀条中位线∴AD∥CG∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的⼀条中位线∴CF∥AG∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平⾏四边形∴AC、OG互相平分,∴AE=CE三⾓形的重⼼的性质1.重⼼到顶点的距离与重⼼到对边中点的距离之⽐为2：1。
2.重⼼和三⾓形3个顶点组成的3个三⾓形⾯积相等。
3.重⼼到三⾓形3个顶点距离的平⽅和最⼩。
4.在平⾯直⾓坐标系中，重⼼的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直⾓坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重⼼和三⾓形3个顶点的连线的任意⼀条连线将三⾓形⾯积平分。
6.重⼼是三⾓形内到三边距离之积最⼤的点。
⼆、三⾓形的外⼼三⾓形的外⼼是三⾓形三条垂直平分线的交点(或三⾓形外接圆的圆⼼) 。
三⾓形的三条垂直平分线必交于⼀点三⾓形的三条垂直平分线必交于⼀点已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O求证：O点在BC的垂直平分线上证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO∵EO垂直平分AC，∴AO=CO∴BO=CO即O点在BC的垂直平分线上三⾓形的外⼼的性质1.三⾓形三条边的垂直平分线的交于⼀点，该点即为三⾓形外接圆的圆⼼.2三⾓形的外接圆有且只有⼀个，即对于给定的三⾓形，其外⼼是唯⼀的，但⼀个圆的内接三⾓形却有⽆数个，这些三⾓形的外⼼重合。
三角形的中心和重心
三角形的中心和重心三角形中心三角形中心三角形只有五种心重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；重心分中线比为1：2；垂心:三角形三条高的交点;内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称；旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.三角形重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明。
证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BO C，再应用从中点得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质及证明方法：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法：在▲ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h 则，S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC)，S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以，S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB)3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。
(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3 )+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+ x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+ x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的重心
三角形的重心三角形几心R：实数集Q：有理数集Z：整数集N：自然数集在这些字母后面加+的表示正的部分N+：正自然数集即正整数集Z+：正整数集R+：正实数集在字母右面加*的表示除0以外的部分N*：除了0的自然数集即正整数集Z*：非零整数集R*：非零实数集集合通常表示为大写字母A，B，C……。
而元素通常表示为小写字母a,b,c……。
重心、垂心、内心和外心。
正心是只有等边三角形才具有的，此时这四心合一。
一、重心是三角形三边中线的交点重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
证明：刚才证明三线交一时已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二、垂心是三角形的三条高的交点垂心的性质：设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
2002-2012女子数学奥林匹克CGMO
= R ( sin 2 C + sin 2 B) = 2 Rsin( B + C) cos( B - C) = 2 Rsin A·cos ( B - C) = acos( B - C) ≤a. 同理 , DE + EF ≤b , EF + DF ≤c.
将上述三式相加得
DE +
EF +
FD
≤1 2
(
a
矛盾. 故 c < a + b.
方法二 :构造函数
f ( x) = 5 x2 - 6 ( a + b) x + 5 a2 + 5 b2 - 6 ab.
则 f ( c) < 0.
因 f ( x) 在区间
3 5
(
a+
b)
,
+
∞
递增 ,且
f ( a + b) = 5 ( a + b) 2 - 6 ( a + b) ( a + b) + 5 a2 +
无正整数解. 所以 ,不存在满足题设要求的 n.
二 、(1) 当 n = 3 时 , 存在满足题意的安排. 具体
安排如下 (把 9 位女同学记为 1 ,2 , …,9) :
(1 ,2 ,3) , (1 ,4 ,5) , (1 ,6 ,7) , (1 ,8 ,9) , (2 ,4 ,6) ,
圆的内接三角形周长
《圆的内接三角形周长》嘿，咱今天来聊聊圆的内接三角形的周长这事儿。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱慢慢唠唠。
咱先说说啥是圆的内接三角形哈。
就是一个三角形，它的三个顶点都在一个圆上。
这就像三角形住进了圆这个大“房子”里。
那这个三角形的周长是啥呢？就是三条边加起来的长度呗。
不过这圆的内接三角形的周长可不是那么好算的哦。
得看圆的大小，三角形的形状啥的。
要是圆很大，三角形很小，那周长可能就短点；要是圆小，三角形大，那周长可能就长点。
这就像咱买衣服，得看身材和衣服的大小合不合适。
那有没有啥办法能算出圆的内接三角形的周长呢？嘿嘿，还真有。
咱可以用一些数学知识来帮忙。
比如说，知道圆的半径和三角形的一些角度啥的，就能算出周长啦。
咱就拿个具体的例子来说吧。
比如说有个圆，半径是5，里面有个内接三角形。
咱想知道这个三角形的周长。
那咱就得先看看这个三角形的特点。
如果这个三角形是个等边三角形，那就好办啦。
因为等边三角形三条边都一样长，而且三个角都是60 度。
咱可以通过圆的半径和三角形的角度关系，算出三角形的边长，然后再乘以3，就得到周长啦。
要是这个三角形不是等边三角形呢？那也没关系，咱可以用其他的方法。
比如说，用三角函数啥的。
虽然有点麻烦，但也能算出来。
圆的内接三角形的周长在生活中也有一些用处呢。
比如说，在建筑设计里，要是想设计一个圆形的屋顶，上面有个内接三角形的装饰，那就得知道这个三角形的周长，才能确定材料的用量啥的。
总之啊，圆的内接三角形的周长虽然有点复杂，但咱了解了它，就能在一些地方派上用场。
说不定哪天，咱也能像数学家一样，用这些知识来解决实际问题呢。
嘿嘿。
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三角形内周长最短的内接三角形
证明：在△ABC的每条边上各取一点D、E、F，△DEF称为△ABC的
内接三角形。试在锐角三角形ABC的所有内接三角形中，求周长最
短的三角形。
证明：可将此题分三步来做
（1）设D是BC上固定点，求此时的周长最短的内接三角形。
作D关于AB、AC的对称点D1、D2，连D1D2交AB、AC于
E、F，则△DEF为所求。实际上，对于△ABC的任一内接△DE′F′都有
DE′+E′F′+F′D=D1E′+E′F′+F′D2 ≥
D1D2=D1E+EF+FD2 =DE＋EF＋FD。
就是△DEF的周长≤△DEF的周长。
因此，我们只要对于每一个BC上的点D，都找出相应于该点的
周长最短的内接三角形DEF，在这些三角形中找出周长最短的一个
就行。
（2）由于 AD1=AD，AD2=AD，故△AD1D2是等腰三角形。又由于
∠1=∠2，∠3=∠4，故△AD1D2的顶角∠D1AD2=2∠BAC为定值，因此，
只有当其腰AD1最短时，D1D2最短。此时必有AD最短。从而当 AD
为△ABC的高时，内接三角形DEF的周长最短。
（3）当AD为△ABC的高时，由前面三角形垂足三角形性质，可
证△ABC的内接三角形中，以其垂足三角形DEF的周长最短。
证毕
其实还可以证明△ABC的垂心H是△DEF的内心。
由∠BEA=∠BDA=90°，知B、D、E、A共圆，于是∠CDE=
∠BAC。同样，由A、F、D、C共圆，可知∠BDF=∠BAC，于是∠CDE=
∠BDF。从而可知DA平分∠EDF。
同理FC平分∠DFE，EB平分∠DEF。故H是△DEF的内心。