周长最小值专题(完整版师用)
周长最小值专题（完整版师用）
A.线段和最小值
两种基本模型
如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？
求线段和最小值的一般步骤：
①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’
②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，
点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。
基本解法::利用对称性,将“折”转“直”
基础训练
1.如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为
A.1
B.
C.
D.2
试题分析：连接AC，与MN所得交点即为所求P点，因为D与A关于MN对称，的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC与MN交点即为所求P点。因为，，所以，所以，所以，此时，所以，即
2. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。
图4
分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC 的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值，
图5 图6
由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知，
322
3DE =?= 故PE+PB 的最小值为
3。 2.如图，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为___。
P 位于A ′B 与MN 的交点处，AP+BP 的值最小；
作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上， 连接BA ′交MN 于P ，连接PA ，则PA+PB 最小，此时PA+PB=PA ′+PB=A ′B ，连接OA 、OA ′、OB ，
B.三角形周长最小值
1.彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 一点，PO=10，
（彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．
分析：点P 是角部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线．
解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2，
根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102，
故△PQR 周长的最小值为102． 2.如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点， P 2 P 1 O A B P R Q O 图4
（1）求该抛物线的解析式。
（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC
的周长最小？如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，是△PBC的面积最大?若存在，求出点P坐标及△PBC面积的最大值;若不存在，请说明理由
重点分析第（2）问，要使△QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小，由于AC长度一定，故只要CQ+QA最小时，周长最小。设抛物线的对称轴为直线MN，则可分解出图形，构建模型，要在直线MN上找点Q，使CQ+QA最小。由抛物线的对称性可知，点A、点B关于直线MN对称，连结BC交MN于点Q，只要找出点Q的位置，其坐标不难求得。
3. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P 是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值．
（1）利用待定系数法，将点A，B，C的坐标代入解析式即可求得；
（2）根据等腰梯形的判定方法分别从PC∥AB与BP∥AC去分析，注意不要漏解；（3）首先确定点P与点H的位置，再求解各线段的长即可．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，
∴
二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含问题详解
1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值； （3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式； （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值； （3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
2019年海南中考数学压轴题预测周长最小问题(含答案)
二次函数中周长最小问题 专题训练 1.如图，已知抛物线y ＝ax 2 －4x ＋c 经过点A （0，－6）和B （3，－9）． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标； （3）点P （m ，m ）与点Q 均在抛物线上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 的坐标； （4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M ，使得△QMA 的周长最小．
解：（1）依题意有???a ×0 2 －4×0＋c ＝－6 a ×3 2 －4×3＋c ＝－9 即?????c ＝－69a －12＋c ＝－9 ····································································· 2分 ∴? ????a ＝1c ＝－6 ················································································· 4分 ∴抛物线的解析式为：y ＝x 2 －4x －6 ··············································· 5分 （2）把y ＝x 2－4x －6配方，得y ＝(x －2)2 －10 ∴对称轴方程为x ＝2 ·································································· 7分 顶点坐标（2，－10）·································································· 10分 （3）由点P （m ，m ）在抛物线上 得m ＝m 2 －4m －6 ······································································ 12分 即m 2 －5m －6＝0 ∴m 1＝6或m 2＝－1（舍去） ························································ 13分 ∴P （6，6） ∵点P 、Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称 ∴Q （－2，6） ··················································································· 15分 （4）连接AP 、AQ ，直线AP 与对称轴x ＝2相交于点M 由于P 、Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M 能够使得△QMA 的周长最小 17分 设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b 则?????b ＝－66k ＋b ＝6 ∴?????k ＝2b ＝－6 ∴直线AP 的解析式为：y ＝2x －6 18分 设点M （2，n ） 则有n ＝2×2－6＝－2 19分 此时点M （2，－2）能够使得△QMA 的周长最小 20分
2019数学中考复习——二次函数周长最小问题(含答案)
二次函数中周长最小问题 专题训练 1.如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A（0，－6）和B（3，－9）． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小． O A B x y -6 -9 3
解：（1）依题意有???a ×0 2－4×0＋c ＝－6 a ×3 2－4×3＋c ＝－9 即?????c ＝－6 9a －12＋c ＝－9 ····································································· 2分 ∴?????a ＝1c ＝－6 ················································································· 4分 ∴抛物线的解析式为：y ＝x 2－4x －6 ··············································· 5分 （2）把y ＝x 2－4x －6配方，得y ＝(x －2)2－10 ∴对称轴方程为x ＝2 ·································································· 7分 顶点坐标（2，－10）·································································· 10分 （3）由点P （m ，m ）在抛物线上 得m ＝m 2－4m －6 ······································································ 12分 即m 2－5m －6＝0 ∴m 1＝6或m 2＝－1（舍去） ························································ 13分 ∴P （6，6） ∵点P 、Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称 ∴Q （－2，6） ··················································································· 15分 （4）连接AP 、AQ ，直线AP 与对称轴x ＝2相交于点M 由于P 、Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M 能够使得△QMA 的周长最小 17分 设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b 则?????b ＝－6 6k ＋b ＝6 ∴?????k ＝2b ＝－6 ∴直线AP 的解析式为：y ＝2x －6 18分 设点M （2，n ） 则有n ＝2×2－6＝－2 19分 此时点M （2，－2）能够使得△QMA 的周长最小 20分
苏州市2019年中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导
利“刃”在手亿“折”成“直” —例析坐标系中三角形周长最小值问题 在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考. 1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点 例1 (2019年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ?的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由. 分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188y x =- +.设21 (,8)8 P m m -+(80)m -≤≤， 则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2PD PF =+, PDE ?的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++. 如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时， EP PF +的值最小，此时21 4,(4)868 P E P x x y ==-=-?-+=，所以PDE ?周长最小时点P 的坐标为 (-4,6). 点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ?的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置. 例2 (2019年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线2 23y x x =-++与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点 C ，点 D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ?的周长最小， 求出M 点的坐标. 分析 易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+.
二次函数周长最大最小
二次函数专题之------引例：如图，在一条河的一边，有A 、B 要在河边建一水泵站，使它到两村庄的距离之和 最短，你知道水泵站的位置吗？ 1、如图，在直角坐标系中， Rt △ AOB 的顶点坐标分别为 把△AOB 绕 O 点按逆时针方向旋转 90 °得到△ COD ； （ 1 ）求 C 、 D 的坐标； （ 2）求经过 C 、 D 、 B 三点的抛物线的解析式； （3 ）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ PCD 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； 2、 抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 交 x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点且B （3，0），C （0，－3）； （1）求二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使点P 到 B 、 C 两点距离之差最大？若存在，求出点P 坐标； 若不存在，说明理由； （3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M 、N 两点， 若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径； 3、如图，已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 限内，AB 与x 轴正半轴相交于点E ，点B 的坐标是（－`1，0），P 点是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合） （1）写出点A 、点E 的坐标； （2）若抛物线2 7 y x bx c =-++经过A 、E 两点， 求抛物线的解析式； （3）求点P ，使得△PBD 的周长最小；并验证此时点P 是否在抛物线上； 4、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0），C （5，0） （1）求此抛物线的解析式； （2）若点D 为线段OA 的一个三等分点， 求直线DC 的解析式； （3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点 （设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ）， 最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长； 4、已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别是（2，―3），（4，―1）； 密 封 线 内 不 得 答 题 y
二次函数线段、周长、面积最值问题
二次函数线段、周长、面积最值问题 1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． （变式）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x 轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知：抛物线l1：y=-x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，- 5/2）． （1）求抛物线l2的函数表达式； （2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标； （3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
二次函数及三角形周长,面积最值问答
二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。
练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出y x O A B
2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值；
练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2 0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． （4）过点F作FG垂直X轴，并与直线BC交于点H，求FH的最大值。
专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2 2 ,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中为ABC V 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式：()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<
二次函数最值问题与解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于 x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长 最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值 3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的 面积来得到
周长最小值专题(完整版师用)
周长最小值专题（完整版师用） A.线段和最小值 两种基本模型 如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？ 求线段和最小值的一般步骤： ①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’ ②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P， 点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。 基本解法::利用对称性,将“折”转“直”
基础训练 1.如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为 A.1 B. C. D.2 试题分析：连接AC，与MN所得交点即为所求P点，因为D与A关于MN对称，的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC与MN交点即为所求P点。因为，，所以，所以，所以，此时，所以，即 2. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。 图4 分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC 的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值， 图5 图6
由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知， 322 3DE =?= 故PE+PB 的最小值为 3。 2.如图，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为___。 P 位于A ′B 与MN 的交点处，AP+BP 的值最小； 作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上， 连接BA ′交MN 于P ，连接PA ，则PA+PB 最小，此时PA+PB=PA ′+PB=A ′B ，连接OA 、OA ′、OB ， B.三角形周长最小值 1.彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 一点，PO=10， （彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值． 分析：点P 是角部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线． 解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2， 根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102， 故△PQR 周长的最小值为102． 2.如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点， P 2 P 1 O A B P R Q O 图4
数学二次函数与三角形面积(周长最小与面积最大问题2)
1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 经过点A （1，0），C （0，3），且对称轴为直线x=﹣1． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 得面积为10，请写出所有点P 的坐标． 2、（2016秋·新泰市月考）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y= 212 x +bx+c 经过点A （-2,0），C （4,0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB ，BC. （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △B CD ：S △ABC =1:4，并求出此时点D 的坐标. 3、（永州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为（-1，0）、（03），点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x=1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式； （2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长； （3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标． 4．（2012?）已知抛物线y=ax 2 +2x+c 的图象与x 轴交于点A （3，0）和点C ，与y 轴交于点B （0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标； （3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2011?）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C （5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． 6．（2013?）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物 线交于点A、C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 7．（2009?江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 8、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0,4），B（1,0），C（5,0）,对称轴与x轴相交于点M. （1）求抛物线的解析式和对称轴.
解三角形中相关的取值范围问题
解决与三角形相关的取值范围问题 例1：在锐角ABC 中，2A B =，则c b 的取值范围是 例2：若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是 例3：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。（1）求B 的大小。 （2）若5b =，求ABC 周长的取值范围。 例4：在ABC 中，2222 3a b c ab +=+，若ABC ，则ABC 的面积的最大值为
例5：（2008，江苏）满足 2,AB AC =的ABC 的面积的最大值是 例6：已知角,,A B C 是ABC 三个内角，,,a b c 是各角的对边，向量 (1cos(),cos )2A B m A B -=-+， 5(,cos )82A B n -=，且98 m n ?= （1）求tan tan A B ?的值。 （2）求 222 sin ab C a b c +-的最大值。 通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。 巩固练习 1．在ABC 中，2,1a c ==，则C ∠的取值范围为 2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是
二次函数与三角形周长,面积最值问题
知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。 练习 1、如图，已知二次函数24 y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐
标． 2、如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0， 3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE 长度的最大值；
练习 1、如图，抛物线y =2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． （4）过点F 作FG 垂直X 轴，并与直线BC 交于点H ，求FH 的最大值。 2、 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x = -与抛物线214 y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．
二次函数周长最小问题
周长最小问题 基本解题方法： 1.如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A（0，－6）和B（3，－9）． > （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标； （4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小． 、
解：（1）依题意有???a ×02 －4×0＋c ＝－6 a ×32 －4×3＋c ＝－9 即?????c ＝－69a －12＋c ＝－9 ······················ 2分 ∴??? ? ?a ＝1c ＝－6 ·························· 4分 ∴抛物线的解析式为：y ＝x 2 －4x －6 ·············· 5分 （2）把y ＝x 2－4x －6配方，得y ＝(x －2)2 －10 ∴对称轴方程为x ＝2 ····················· 7分 < 顶点坐标（2，－10） ····················· 10分 （3）由点P （m ，m ）在抛物线上 得m ＝m 2 －4m －6 ······················· 12分 即m 2 －5m －6＝0 ∴m 1＝6或m 2＝－1（舍去） ··················· 13分 ∴P （6，6） ∵点P 、Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称 ∴Q （－2，6） ························· 15分 （4）连接AP 、AQ ，直线AP 与对称轴x ＝2相交于点M 由于P 、Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M 能够使得△QMA 的周长最小 ·························· 17分 设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b 、
二次函数面积和周长最值问题
二次函数面积和周长最值问题 15、[淮南市洞山中学第四次质量检测，21,12分]（本题12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、 B（5，0）、C（0，5）三点。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）过点C的直线y=kx+b与这个二次函数的图象相交于点E（4,m），请求出△CBE的面积S的值。 16、（2012 0)三点. (1)求抛物线的解析式；(3分) (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M 求出S的最大值；(4分) (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x 形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.(3分) 25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线k y= x 2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC与△ABE的面积； （3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？ 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． y
12．（山东省临沂市）如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 2. 如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x ，y=122+-x 的图象相交于点A ，动点E 从O 点出发，沿OA 方 向以每秒1个单位的速度运动，作EF ∥y 轴与直线BC 交于点F ，以EF 为一边向x 轴负方向作正方形EFMN ，设正方形EFMN 与△AOC 的重叠部分的面积为S. （1）求点A 的坐标； （2）求过A 、B 、O 三点的抛物线的顶点P 的坐标； （3）当点E 在线段OA 上运动时，求出S 与运动时间t （秒）的函数表达式； （4）在（3）的条件下，t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？此时（2）中的 抛物线的顶点P 是否在直线EF 上，请说明理由. 11.如图12-2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2） 求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △； （3） 设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ， 使S △P AB =8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． -2 图12-2 x C O y A B D 1 1
二次函数中线段或多边形周长最值问题
中考数学压轴题突破 二次函数中线段或多边形周长最值问题 一．二次函数与线段最值 例 1:抛物线 y=－x 2 +2x+3与 x 轴交于 A 、B 两点，且点 A 在 x 轴的负半轴上，抛物线与 y 轴交于点 C （1） 求 A 、B 两点的坐标； （2） 在抛物线的对称轴上是否存在点 P 使 PA+PC 的线段和最短，求出点 P 的坐标并求出 此时的最短线段. 练习1：如图，抛物线 y= 2122 x bx +-与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A(-1，0)。 （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论； （3）点 M （m ，0）是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD 的值最小时，求 m 的值。
练习 2 :如图所示，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A（-2，0），B（-1，-3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点p 为y 轴上任意一点，当点p 到A，B 两点的距离之和为最小时， 求此时点p的坐标； （3）点m 为y 轴上任意一点，当∣AM-CM∣的值最大时，求此时点M 的坐标，并求∣AM-CM∣的最大值。 例 3 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P 在过A，B，C三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （3）过动点P作PE 垂直于y 轴于点E，交直线AC于点D，过点 D 作x 轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P 的坐标．
练习3 :二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y= 1 -1 2 x 相 交于A、B 两点（如图），A点在y 轴上，过点 B 作BC⊥x 轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 上方），过N 作NP⊥x 轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； 二．二次函数与周长最值 例1.如图，已知抛物线Y=X2+bX+c 经过点A（—1,0）与点B（3,0）， 与y 轴交于点C， （1）求抛物线的解析式。 （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得ΔQAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在说明理由。
高考大题---解三角形中有关最值问题的题型汇总
解三角形中有关最值问题的题型汇总 1.（2010年浙江高考）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，设S 为ABC ?的面积，满足)(4 3222c b a S -+=。 （1）求角C 的大小； （2）求B A sin sin +的最大值。 2（2011年湖南高考）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，且满足C a A c sin sin = （1） 求角C 的大小； （2） 求)4cos(sin 3π +-B A 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小。 3.（2011年全国新课标2）在ABC ?中，?=60B ，AC=3，求AB+2BC 的最大值。 4.（2012太原模拟）ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，设向量),(a b a c m --=→，),(c b a n +=→，若→m 平行于→n 。 （1）求角B 的大小； （2）求C A sin sin +的最大值。 5（2012年浙江宁波模拟）已知函数θθπ2cos )4( sin 32)(2-+=x f ，A 为ABC ?中的最小内角，且满足32)(=A f 。 （1）求角A 的大小； （2）若BC 边上的中线长为3，求ABC S ?的最大值。 6. （2013年全国新课标2）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为 ，，角，已知B c C b a sin cos += （1）求B ； （2）若b=2, 求ABC S ?的最大值。
7（2014年陕西高考）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角。 （1）若c b a ,,成等差数列，证明sinA+sinC=2sin(A+C); （2）若c b a ,,成等比数列，求cosB 的最小值。 8.(2015年山东高考)设)4(cos cos sin )(2π+ -=x x x x f （1）求)(x f 的单调区间； （2）在锐角ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，若)2(A f =0，a=1，求ABC S ?的最大值。 9.（2016年北京高考）在ABC ?中，ac b c a 2222+=+ （1）求角B 的大小； （2）C A cos cos 2+求的最大值。 10（2016高考山东理数）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC 的最小值． 11．（2016河南中原名校一联，理10）在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，已知向量()cos ,cos m A B = ，(),2n a c b =- ，且//m n ． （1）求角A 的大小； （2）若4=a ，求ABC S ?的最大值。 12.（2016绥化模拟）在ABC ?中，232cos 2 --x x C 是方程的一个根。 （1）求角C ； （2）当a+b=10时，求ABC ?周长的最小值。
专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角” “角转边”，另外要注意a c,ac,a2 c 2三者的关系 . 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式” ，其中的核心是“变角” ，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式 . a b c 1、正弦定理：2R，其中R为ABC 外接圆的半径 sin A sinB sinC 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化 . 其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征 . 如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行学/科-+ 网 2 2 2 2 2 2 例如：（1） sin A sin B sin AsinB sin C a b ab c （2）bcosC ccosB a sin B cosC sinC cosB sin A （恒等式） bc sin B sinC （3） a 2 sin 2 A a sin A 2、余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A 22 变式：a2b c 2bc 1 cosA 此公式在已知a, A的情况下，配合均值不等式可得到 b c和bc 的 最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可 . 由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： a b A B sinA sinB cosA cosB 其中由A B cosA cosB 利用的是余弦函数单调性，而A B sinA sinB 仅在一个三角形内有效. 5 、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值