周长最小值专题

A.线段和最小值

两种基本模型

如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P 应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？

求线段和最小值的一般步骤：

①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’

②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，

点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。

基本解法::利用对称性,将“折”转“直”

基础训练

如图11，梯形ABCD中，AD C.

2. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。

图4

2.如图，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为___。

B.三角形周长最小值

1.（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值．

2.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点，

（1）求该抛物线的解析式。

（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC

的周长最小？如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，是△PBC的面积最大?若存在，求出点P坐标及△PBC面积的最大值;若不存在，请说明理由

3. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值．

（1）利用待定系数法，将点A，B，C的坐标代入解析式即可求得；

（2）根据等腰梯形的判定方法分别从PC∥AB与BP∥AC去分析，注意不要漏解；

（3）首先确定点P与点H的位置，再求解各线段的长即可．

B.四边形周长最小值

基本模型（一）定长不动：做双对称

思路与方法

1）总有两个已知点，即一条边是定值。

2）分别做两个已知点关于xy轴的对称点，则与两坐标轴的焦点就是所求两点3）此时，两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上，即四点共线，所以最小。

1.在直角坐标系中,设A（4，-5）B（8，-3）C（m，0）D（0，n）,当四边形的周长最短时,m/n的值为_________.

2.在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D （n，0），当四边形ABCD周长最短时，则m+n=_________

基本模型（二）定长移动:做单对称

思路与方法

1)做一个定点的对称点

2)过另一定点做移动边的平行线

3)做出平行四边形，找到定长的两个端点。

1.如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？

作法：(假设P'Q'就是在直线a上移动的定长线段)

1)过点B作直线a的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定长P'Q'；

2)作出点A关于直线a的对称点A'，连接A'B'，交直线a于P；

3)在直线a上截取线段PQ=P'Q.

.则此时AP+PQ+BQ最小.

略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四边形.

下面只要说明AP+BQ

点A与A'关于直线a对称，则AP=A'P,AP'=A'P'.

故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B';

AP'+BQ'=A'P'+B'P'.显然,A'B'

即AP+BQ

2.如图,在直线l上有动线段CD,在直线l的同侧有两定点A,B在CD运动过程中请画出使四边形ABCD周长最短的CD的位置

专题训练

1.在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（3，2），B（1，5）．

时，ABDC的周长最短．

2.（浙江省湖州市）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3）、B （4，－1）。（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=__________时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=__________时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M、N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=__________，n=__________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。

3在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标。（2）若E、F为线段边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

4.已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图(1),设C,D分别是轴、轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；

(3)在(2)中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P()()是直线上的一个动点，Q 是OP的中点，以PQ为斜边按图(2)所示构造等腰直角三角形PRQ.

①当△PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围；

②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式，并求S 的最大值。

二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含问题详解

1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

苏州市2019年中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导

利“刃”在手亿“折”成“直” —例析坐标系中三角形周长最小值问题在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考. 1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点例1 (2019年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ?的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由. 分析存在.理由:易求抛物线的解析式为2188y x =- +.设21 (,8)8 P m m -+(80)m -≤≤，则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2PD PF =+, PDE ?的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++. 如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时， EP PF +的值最小，此时21 4,(4)868 P E P x x y ==-=-?-+=，所以PDE ?周长最小时点P 的坐标为 (-4,6). 点评本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ?的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置. 例2 (2019年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线2 23y x x =-++与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点 C ，点 D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ?的周长最小，求出M 点的坐标. 分析易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+.

最大值与最小值教案

班级：高二（）班姓名：____________ 教学目标： 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f (x )在闭区间上所有点（包括端点a ，b ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学过程：一、问题情境 1．问题情境．函数极值的定义是什么？ 2．探究活动．求函数f (x )的极值的步骤．二、建构数学 1．函数的最大值和最小值．观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f ,35(),()f x f x 是极小值，24(),()f x f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的； (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个． 2．利用导数求函数的最值步骤：由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：

二次函数及三角形周长,面积最值问答

二次函数与三角形周长，面积最值问题知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题【新授课】考点1：线段、周长问题例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出y x O A B

2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；

练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2 0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．（4）过点F作FG垂直X轴，并与直线BC交于点H，求FH的最大值。

方法技巧练——最大值与最小值问题

方法技巧练——最大值与最小值问题 1.数字排列中的最大值与最小值。解决数字排列中的最大值与最小值问题,要清楚:一个自然数,数位越多,这个数越大;数位越少,这个数越小。 (1)一个六位的自然数,各个数位上的数字之和是13,这个自然数最大是( 940000),最小是( 100039)。 (2)一个八位的自然数,各个数位上的数字之和是21,这个自然数最大是( 99300000),最小是( 10000299)。 2.根据近似数推断精确数的最大值与最小值。根据近似数推断精确数的最大值与最小值,要把两种情况考虑完整:这个精确数可能比近似数大,是经过“四舍”得到的;这个精确数也可能比近似数小,是经过“五入”得到的。再结合数值最大与最小的原则确定每一位上的数字。 (1)一个自然数,省略万位后面的尾数得到的近似数是93万,最大是多少?最小是多少? 最大:934999 最小:925000 【提示】“四舍五入”后是93万,“四舍”→万位上的数是3→千位上最大是4,其余各位最大是9→最大数。“五入”→万位上的数是2→千位上最小是5,其余各位最小是0→最小数。 (2)一个整数的近似数是200万,这个数最大是多少?最小是多少? 最大:2004999 最小:1995000 3.两个数的和一定,积的最大值与最小值。 (1)两个数的和是26,这两个数分别是多少时,积最大? 13+13=26 13×13=169 答:积最大是169。

(2)两个数的和是43,这两个数相乘,积最大是多少? 21+22=43 并且两个加数最接近 21×22=462 答:积最大是462。 (3)两个数的和是52,这两个数相乘,积最大是多少? 26+26=52 26×26=676 答:积最大是676。 (4)用1,4,5,8这四个数字组成两个无重复数字的两位数,再把这两个数相乘,积最大是多少?最小是多少? 积最大:先确定两个因数的十位8,5,再根据两个因数的相近原理确定个位81×54=4374 积最小:先确定两个因数的十位1,4,再根据两个因数的相近原理确定个位15×48=720 答:积最大是4374,最小是720。

小学奥数最大值最小值问题归纳

小学奥数最大值最小值问题汇总 1．三个自然数的和为15，这三个自然数的乘积最大可能是_______。 3．一个长方形周长为24厘米，当它的长和宽分别是_______厘米、_______厘米时面积最大，面积最大是_______平方厘米。 4．现在有20米的篱笆，利用一堵墙围一个长方形鸡舍，要使这个鸡舍面积最大，长应是_______米，宽应是_______米。 5．将16拆成若干个自然数的和，要使和最大，应将16拆成_______。 6．从1，2，3，…，2003这些自然数中最多可以取_______个数，才能使其中任意两个数之差都不等于5。 7．一个两位小数保留整数是6，这个两位小数最大是_______，最小是_______。 8．用1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个和一架天平，最多可以称出_______种不同的整数的重量。 9．有一架天平，左右都可以放砝码，要称出1～80克之间所有整克数的重量，如果使砝码个数尽可能少，应该用_______的砝码。 10．如下图，将1～9这9个数填入圆圈中，使每条线上的和相等，使和为A，A最大是_____。二、解答题（30分） 1．把19分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的积最大？ 2．把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内的数的和相等，求这个和的最大值与最小值。 3．自行车的前轮轮胎行驶9000千米后要报废，后轮轮胎行驶7000千米后要报废。前后轮可在适当时候交换位置。问一辆自行车同时换上一对新轮胎，最多可行驶多少千米？ 4．如下图，有一只轮船停在M点，

现需从OA岸运货物到OB岸，最后停在N点，这只船应如何行走才能使路线最短？ 5．甲、乙两厂生产同一型号的服装，甲厂每月生产900套，其中上衣用18天，裤子用12天；乙厂每月也生产900套，但上衣用15天，裤子也要用15天。两厂合并后，每月最多可以生产多少套衣服？ 6．现在有若干千克苹果，把苹果装入筐中，要求能取出1~63千克所有整千克数的苹果，并且每次都是整筐整筐地取出。问：至少需要多少个空筐？如何装？ B卷（50分）一、填空题（每题2分，共20分） 1．在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是_____。 2．用1～8这八个数码组成两个四位数，要使这两个数的差尽量小，这个差是______。 3．三个质数的和是100，这三个质数的积最大是______。 4．有一类自然数，自左往右它的各个数位上的数字之和为8888，这类自然数中最小的 (1)求最大量的最大值：让其他值尽量小。例：21棵树载到5块大小不同的土地上，要求每块地栽种的棵数不同，问栽树最多的土地最多可以栽树多少棵?解析：要求最大量取最大值，且量各不相同，则使其他量尽可能的小且接近，即为从“1”开始的公差为“1”的等差数列，依次为1、2、3、4，共10棵，则栽树最多的土地最多种树11棵。(2)求最小量的最小值：让其他值尽量大。例：6个数的和为48，已知各个数各不相同，且最大的数是11，则最小数最少是多少?解析：要求最小数的最小值，则使其他量尽可能的大，

周长最小值专题(完整版师用)

周长最小值专题（完整版师用） A.线段和最小值两种基本模型如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？求线段和最小值的一般步骤： ①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’ ②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。基本解法::利用对称性,将“折”转“直”

基础训练 1.如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为 A.1 B. C. D.2 试题分析：连接AC，与MN所得交点即为所求P点，因为D与A关于MN对称，的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC与MN交点即为所求P点。因为，，所以，所以，所以，此时，所以，即 2. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。图4 分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC 的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值，图5 图6

由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知， 322 3DE =?= 故PE+PB 的最小值为 3。 2.如图，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为___。 P 位于A ′B 与MN 的交点处，AP+BP 的值最小；作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上，连接BA ′交MN 于P ，连接PA ，则PA+PB 最小，此时PA+PB=PA ′+PB=A ′B ，连接OA 、OA ′、OB ， B.三角形周长最小值 1.彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 一点，PO=10，（彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．分析：点P 是角部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线．解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2，根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102，故△PQR 周长的最小值为102． 2.如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点， P 2 P 1 O A B P R Q O 图4

最大值和最小值问题

最大值和最小值问题 3.2.2 最大值、最小值问题教学过程：一、复习引入： 1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（?。┘?值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（??）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（?＃┘?大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而 > （?ぃ┖?数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值三、讲解范例：例1求函数在区间上的最大值与最小值例2已知x,y为正实数，且满足，求的取值范围例

函数的最大值和最小值教案.doc

函数的最大值和最小值教案 1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数

f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标(1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1) 认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点, 这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂

线段差的最大值与线段和的最小值问题

For personal use only in study and research; not for commercial use 线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜AB （2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。作法：1、作B关于直线L的对称点B。 B

2、连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB、PB。︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB （三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB （2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。（两点之间线段最短）三、中考考点： 08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。提示：EF长不变。即求F N＋NM＋MF的最小值。利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。

小学奥数最大值最小值问题汇总

小学奥数最大值最小值问题汇总 1. _____________________________________________________ 三个自然数的和为15，这三个自然数的乘积最大可能是 _______________ 。 3. _________________________________________________ —个长方形周长为24厘米，当它的长和宽分别是_____________________ 厘米、_______ 厘米时面积最大，面积最大是__________ 平方厘米。 4. 现在有20米的篱笆，利用一堵墙围一个长方形鸡舍，要使这个鸡舍面积最大，长应是_________ 米，宽应是 _________ 米。 5 .将16拆成若干个自然数的和，要使和最大，应将16拆成__________ 。 6 .从1, 2 , 3,…，2003这些自然数中最多可以取 ____________ 个数，才能使其中任意两个数之差都不等于5。 7. __________________________________________________ —个两位小数保留整数是6,这个两位小数最大是____________________ ，最小是________ O 8. 用1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个和一架天平，最多可以称出________ 种不同的整数的重量。 9. 有一架天平，左右都可以放砝码，要称出1?80克之间所有整克数的重量，如果使砝码个数尽可能少，应该用__________ 的砝码。10 .如下图，将1?9这9个数填入圆圈中，使每条线上的和相等，使和为 A，A最大是_______ 。二、解答题（30分） 1. 把19分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的积最大？

二次函数的最大值和最小值问题

二次函数的最大值和最小值问题高一数学组主讲人---------蒋建平本节课的教学目标：重点：掌握闭区间上的二次函数的最值问题难点：理解并会处理含参数的二次函数的最值问题核心：区间与对称轴的相对位置思想：数形结合、分类讨论一、复习引入 1、二次函数相关的知识点回顾。（1）二次函数的顶点式：（2）二次函数的对称轴：（3）二次函数的顶点坐标： 2、函数的最大值和最小值的概念设函数)(x f 在0x 处的函数值是)(0x f ，如果不等式)()(0x f x f ≥对于定义域内任意x 都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0min x f y = 如果不等式)()(0x f x f ≤对于定义域内任意x 都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0max x f y = 二、新课讲解：二次函数最大值最小值问题探究类型一：无限制条件的最大值与最小值问题例1、(1)求二次函数322 ++-=x x y 的最大值 . (2)求二次函数x x y 422-=的最小值 . 本题小结：求无条件限制时二次函数最值的步骤 1、配方，求二次函数的顶点坐标。 2、根据二次函数的开口方向确定是函数的最大值还是最小值。 3、求出最值。

类型二：轴定区间定的最大值与最小值问题例2、(1)求函数])1,3[(,232-∈-+=x x x y 的最大值 ,最小值 . (2)求函数])3,1[(232∈-+=x x x y 的最大值 ,最小值 . (3)求函数])2,5[(232--∈-+=x x x y 的最大值与最小值 . 本题小结：求轴定区间定时二次函数最值的步骤 1、配方，求二次函数的顶点坐标或求对称轴，画简图。 2、判断顶点的横坐标（对称轴）是否在闭区间内。 3、计算闭区间端点的值，并比较大小。类型三：轴动区间定的最大值与最小值问题例3、求函数)(32 R a ax x y ∈++=在]1,1[-上的最大值。

二次函数与三角形周长,面积最值问题

知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题【新授课】考点1：线段、周长问题例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。练习 1、如图，已知二次函数24 y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐

标． 2、如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0， 3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；

练习 1、如图，抛物线y =2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．（4）过点F 作FG 垂直X 轴，并与直线BC 交于点H ，求FH 的最大值。 2、如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x = -与抛物线214 y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．

二次函数的最大值和最小值问题

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二次函数的最大值和最小值问题高一数学组主讲人-－---－－－－蒋建平本节课的教学目标: 重点：掌握闭区间上的二次函数的最值问题难点:理解并会处理含参数的二次函数的最值问题核心: 区间与对称轴的相对位置思想: 数形结合、分类讨论一、复习引入 1、二次函数相关的知识点回顾。（１）二次函数的顶点式： (2）二次函数的对称轴：（3)二次函数的顶点坐标： 2、函数的最大值和最小值的概念设函数)(x f 在0x 处的函数值是)(0x f ,如果不等式)()(0x f x f ≥对于定义域内任意x 都成立,那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0min x f y = 如果不等式)()(0x f x f ≤对于定义域内任意x 都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0max x f y = 二、新课讲解:二次函数最大值最小值问题探究类型一:无限制条件的最大值与最小值问题例1、(１)求二次函数322 ++-=x x y 的最大值． (2)求二次函数x x y 422-=的最小值 . 本题小结：求无条件限制时二次函数最值的步骤 1、配方，求二次函数的顶点坐标。 2、根据二次函数的开口方向确定是函数的最大值还是最小值。 3、求出最值。

类型二:轴定区间定的最大值与最小值问题例2、(1)求函数])1,3[(,232-∈-+=x x x y 的最大值，最小值 . (2）求函数])3,1[(232∈-+=x x x y 的最大值，最小值 . (３)求函数])2,5[(232 --∈-+=x x x y 的最大值与最小值 . 本题小结:求轴定区间定时二次函数最值的步骤 1、配方,求二次函数的顶点坐标或求对称轴,画简图。 2、判断顶点的横坐标(对称轴）是否在闭区间内。３、计算闭区间端点的值,并比较大小。类型三:轴动区间定的最大值与最小值问题例3、求函数)(32R a ax x y ∈++=在]1,1[-上的最大值。

中考数学指导复习例析坐标系中三角形周长最小值问题练习

—例析坐标系中三角形周长最小值问题在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考. 1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点例1 (2015年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ?的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由. 分析存在.理由:易求抛物线的解析式为2188 y x =-+.设21(,8)8 P m m -+(80)m -≤≤，则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2PD PF =+, PDE ?的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++. 如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时，EP PF +的值最小，此时2 14,(4)868P E P x x y ==-=-?-+=，所以PDE ?周长最小时点P 的坐标为(-4,6). 点评本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ?的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置. 例2 (2012年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ?的周长最小，求出M 点的坐标. 分析易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+. 如图4，作点B 关于直线AC 的对称点B '，连接B D ',交AC 于点M ，则BDM ?即为符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线AC 上取异于点M 的任一点M '，

初中数学常见8种最值问题(供参考)

最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的常见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。一. 配方法例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）可取得的最小值为_________。解：原式由此可知，当时，有最小值。二. 设参数法例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。则的最大值为________。解：设，易知由，得从而，由此可知，是关于t的方程的两个实根。于是，有解得。故的最大值为2。例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（） A. 3 B. C. D. 6 解：设，则

从而可知，当时，取得最小值。故选（B）。三. 选主元法例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足。则z的最大值是________。解：由得。代入消去y并整理成以为主元的二次方程，由x为实数，则判别式。即，整理得解得。所以，z的最大值是。四. 夹逼法例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足。设，记为m的最小值，y为m的最大值。则__________。解：由得解得

由是非负实数，得从而，解得。又，故于是，因此，五. 构造方程法例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程的两个实数根，则因为，所以，解得所以k的最小值是四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且。若，则的最大值为_________。

二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含答案(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△P M Q′与□APQM重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），

且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

最大值和最小值问题

学科组高二数学组主备人田光海执教人课题最大值与最小值问题（1）课型新授课时间2012. 课时教学目标 1、知识与技能（1）通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决设计问题中的作用。（2）通过对实际问题的研究，促进学生分析问题，解决问题的能力。 2、过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3、情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。教学设想重点：函数的最值得定义与最值的求法难点：函数的最值得定义与最值的求法教法学法指导：引导探究，【多媒体演示】教学程序与策略个性化修改一、问题情境：【多媒体演示】在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板, 用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于 20cm．设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时,V最大? 并求这个最大值？这样的问题如何解决呢？二、引出课题：【多媒体演示】分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值． 1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．问题1：如果是在开区间（a，b）上情况如何？问题2：如果[a，b]上不连续一定还成立吗？ 2．如图，在闭区间[a，b]上函数f(x)有哪些极植点？

求三角形或四边形周长最小问题

三角形或者四边形周长最小问题例一：已知直角坐标系中，A 、B 两点坐标分别为A （4，2）、B （-2， 4）、C 点在X 轴上，求：⊿ ABC 周长最小时，C 坐标，并求出这个最小值。解：画出坐标系如图，作B 点关于X 轴对称点E ，E 点坐标（-2，-4）。则，AE 直线方程式可列方程组如下，并交X 轴于点C 。 244(2)k b k b =+??-=-+? ×× 解得，K=1，b=-2，则直线AE 解析式为：y=x-2，C 点坐标为（2，0）。证明： BC=EC ，AC=AC ，当E 、C 、A 三点共线时，AC+EC 最短。又因为，AB 长是固定值，对周长的大小不具备影响。所以⊿ ABC 周长最小时，指点B 关于X 轴的对称点与点A 的连线的交点，就是所求的坐标C 点。 ⊿ ABC 周长最小值=AE+AB+BC 例二：已知直角坐标系中矩形OABC ，坐标点分别为O （0，0）、A （4，0）、C 点（0，2）且D 点为OC 中点，E 、F 分别是OA 上的动点，且EF=2，求：四边形DEFB 周长最小时，E 、F 坐标，并求出这个最小值。解：画出坐标系如图，过点D 做D 点关于X 轴对称点P ，则P 点坐

标（0，-1），过点B沿BC方向平移两个单位，该点坐标H（2，2）。连结PH，交动点所在轴X轴于点E，则E点就是所求周长最小值所在的动点位置。将该点E沿X轴正方向平移两个单位，就是F点所在位置。证明： D点与P点对称，所以DE=PE；又因为HB//=EF，所以BF=HE 所以，DE+BF=PE+EH，又因为，PEH在一条直线上，根据“两点之间线段最短”公理，所以点E，就是所求动点在周长最小时所在位置。 P（0，-1），H（2，2），则直线PH解析式为：y=3 2 x-1，设点E横坐标为x，则E点坐标为E（x，0），当y=0时，就是其与X轴的交点，代入解得，x=2 3，即点E（2 3 ，0），点F（8 3 ，0），经检算，点E、F都在OA范围内，答案有效。四边形DEFB周长 = 例三：已知边长为4的等边三角形ABC中，点D为AB点中点，M、N分别为AC、BC边上的动点，求⊿DMN周长最小值。