周长最小值专题(试题部分 生用)

周长最小值专题（试题部分生用）

A.线段和最小值

两种基本模型

如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？

求线段和最小值的一般步骤：

①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’

②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，

点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。

基本解法::利用对称性,将“折”转“直”

基础训练

1.如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为

A.1

B.

C.

D.2

2. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。

图4

2.如图，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为___。

B.三角形周长最小值

1.（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

2.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点，

（1）求该抛物线的解析式。

（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC

的周长最小？如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，是△PBC的面积最大?若存在，求出点P坐标及△PBC面积的最大值;若不存在，请说明理由

3. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x 轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值．

（1）利用待定系数法，将点A，B，C的坐标代入解析式即可求得；

（2）根据等腰梯形的判定方法分别从PC∥AB与BP∥AC去分析，注意不要漏解；（3）首先确定点P与点H的位置，再求解各线段的长即可．

B.四边形周长最小值

基本模型（一）定长不动：做双对称

思路与方法

1）总有两个已知点，即一条边是定值。

2）分别做两个已知点关于xy轴的对称点，则与两坐标轴的焦点就是所求两点3）此时，两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上，即四点共线，所以最小。

1.在直角坐标系中,设A（4，-5）B（8，-3）C（m，0）D（0，n）,当四边形的周长最短时,m/n的值为_________.

2.在直角坐标系中有四个点A （-6，3），B （-2，5），C （0，m ），D （n ，

0），当四边形ABCD 周长最短时，则m+n=_________

基本模型（二）定长移动:做单对称

思路与方法

1)做一个定点的对称点

2)过另一定点做移动边的平行线

3)做出平行四边形，找到定长的两个端点。

1.如图，A 、B 是直线a 同侧的两定点，定长线段PQ 在a 上平行移动，问PQ 移动到什么位置时，AP+PQ+QB 的长最短？

作法：(假设P'Q'就是在直线a 上移动的定长线段)

1)过点B 作直线a 的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定长P'Q'； 2)作出点A 关于直线a 的对称点A'，连接A'B'，交直线a 于P ； 3)在直线a 上截取线段PQ=P'Q. .则此时AP+PQ+BQ 最小.

略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四边形. 下面只要说明AP+BQ

Q P A'

B'

P'

A

B

Q'

点A与A'关于直线a对称，则AP=A'P,AP'=A'P'.

故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B';

AP'+BQ'=A'P'+B'P'.显然,A'B'

即AP+BQ

2.如图,在直线l上有动线段CD,在直线l的同侧有两定点A,B在CD运动过程中请画出使四边形ABCD周长最短的CD的位置

专题训练

1.在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（3，2），B（1，5）．（1）若点P的坐标为（0，m），当m= 时，△PAB的周长是；（2）若点C、D的坐标分别为（0，a）、（0，a+4），则当a=

时，ABDC的周长最短．

2.（浙江省湖州市）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3）、B （4，－1）。（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=__________时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=__________时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M、N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=__________，n=__________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。

3在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标。（2）若E、F为线段边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

4.已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图(1),设C,D分别是轴、轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；

(3)在(2)中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P()()是直线

上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图(2)所示构造等腰直角三角形PRQ.

①当△PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围；

②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式，并求S的最大值。