数的整除
数的整除知识讲解
数的整除第一章数的整除知识要点1.整除：整数a除以整数b所得的商是整数，而余数为零，那么我们就说a能被b整除或b能整除a.即只有整数参与的除法。
如：52134,91713,34172÷=÷=÷=都是整除。
判断关键：①被除数与出数都是整数；②商也为除数，且余数为0.2.整数的分类：⑴整数一般分为正整数（1,2,3…）、0、负整数（-1，-2，…，-98，…）⑵按能否被2整除，整数又可以分为奇数与偶数。
能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。
奇数、偶数有正负之分。
⑶按因数的个数，整数又可以分为素数与合数。
2,3,5,7,11,13,17,19…4,6,8,9,10,15,21,…①特征：素数只有两个因数（1和它本身）；合数至少有三个因数。
奇数素数正整数分类：合数偶数 1②判断方法：分解素因数：就是把一个合数分解成几个素数相乘的形式。
所以只有合数可以分解素因数，即能分解的事合数，不能分解的是素数。
熟练掌握短除法分解素因数的。
最好能认识100以内的素数与合数，熟记20以内的素数，理解1-9这九个数字的一切特征。
3.数与数之间的关系：⑴因数与倍数：整数a 能被整数b 整除，那么我们就说a 是b 的倍数，b 是a 的因数。
①如果b 是素数，这时我们又说b 是a 的素因数；②公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数； ③公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数； ④因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；倍数的个数是无限的，只有最小的它本身。
⑵互 素：是指两个正整数只有公因数1（或最大公因数是1），那么这两个数称为互素数。
肯定互素的三种情况：①连续的两个正整数；②1与其它正整数；③不相等的素数。
4. 最大公因数和最小公倍数的求法：①列举法；②分解素因数法；③短除法。
求90与72的最大公因数和最小公倍数法一：90=2×3×3×5 法二：72=2×2×2×3×390和72的公有因数分别是2、3、3。
数的整除特征(1--11)
数的整除特征
1.能被2整除的数的特征：
个位是：0、2、4、6、8.
2.能被3整除的数的特征：
各位数字之和是3的倍数。
3.能被4整除的数的特征：
一个数的末尾2位数能被4整除。
4.能被5整除的数的特征：
个位是0或5.
5.能被6整除的数的特征：
个位数字是：0、2、4、6、8.且各位数字之和是3的倍数。
6.能被7整除的数的特征：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
7.能被8整除的数的特征:
若一个整数的末尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。
8.能被9整除的数的特征：
若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
9.能被10整除的数的特征：
个位是0。
10 . 能被11整除的数的特征：
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
数的整除练习题
数的整除练习题一、选择题：1. 一个数能被4整除，那么这个数的个位数字是：A. 0B. 2C. 8D. 62. 以下哪个数是3的倍数？A. 12B. 14C. 16D. 183. 一个数的末两位数能被4整除，那么这个数：A. 一定被4整除B. 可能被4整除C. 不一定被4整除D. 一定不被4整除二、填空题：1. 一个数的个位是5，十位是偶数，这个数能被______整除。
2. 一个数的个位和十位数字交换位置后，得到的新数比原数大18，原数的个位数字是______。
3. 如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数也能被______整除。
三、判断题：1. 一个数是偶数，那么它一定可以被2整除。
（对/错）2. 一个数的各位数字之和是3的倍数，那么这个数也是3的倍数。
（对/错）3. 一个数的末尾是0或5，那么这个数一定是5的倍数。
（对/错）四、计算题：1. 计算下列各数的各位数字之和，并判断它们是否能被3整除。
- 123- 456- 7892. 一个数是9的倍数，且它的个位数字是6，求这个数的十位数字。
3. 一个数是11的倍数，且它的个位和百位数字相同，求这个数。
五、解答题：1. 证明：如果一个整数的末三位能被8整除，那么这个整数也能被8整除。
2. 一个数的个位数字是4，且这个数是11的倍数，求这个数的百位数字。
3. 一个数的各位数字之和是33，且这个数能被7整除，求这个数。
六、应用题：1. 一个班级有48名学生，如果每组有相同数量的学生，且每组至少有一名学生，那么可能的组数有几种？2. 一个数的各位数字之和是35，且这个数能被9整除，求这个数的可能值。
3. 一个数的末尾两位数是45，且这个数是7的倍数，求这个数。
数的整除
第三讲数的整除第一课时教学内容：整除的概念与能被2、5；4、25、8、125；3、9整除的数的特点教学目的：通过教学使学生进一步掌握数的整除的概念，并能掌握能被2、5；4、8；3、9整除的数的特点。
教学重点：整除的概念教学难点：抓住特征进行判断。
教学过程：一、复习引新1、把下面的算式分类：24÷4 16÷5 3.5÷7 36÷9 20÷32.4÷1.2 132÷11 10÷6 7.8÷3.9 34÷0.72、分类小结你是怎能样进行分类的？你为什么这样分？二、探究新知（一）整除的的概念定义：如果整数a除以非零整数b，商是整数且没有余数，则称a能被b整除，或b能整除a，记作b|a。
其中a叫做b的倍数，b叫做a的约数。
0是任何数的倍数；1是任何数的约数。
复习题中哪些是整除？并说出谁整除谁，谁被谁整除。
（二）一些常见的数的整除特征1、能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征。
（末位判断）个位是偶数的整数一定能被2整除；如2|2456个位数字是0或5的整数一定能被整除；如5|2435末两位数字是4或25的倍数的整数一定能被4或整除；如4|1248 25|23475末三位数字是8或125的倍数的整数一定能被8或125整除。
如8|24464 125|456252、能被3、9整除的数的特征。
（数字和判断）各位数字之和能被3整除的整数，可以被3整除；如3|3465各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除。
如9|65421（三）运用例1在□内填入适当的数，使六位数35267□能被4（或25）整除。
分析：六位数35267□的个位数字现在不知道是几，先设它为x，那么该六位数的末两位为7x。
根据能被4整除数的特征，如果7x能被4整除，则该六位数能被4整除；如果7x能被25整除，则该六位数能被25整除。
解（1）7x能被4整除，x只能是2和6，因为72和76是4的倍数，所以，六位数352672和325676能被4整除。
数的整除性
数的整除性我们在三年级已经学习了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将讨论整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征;数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除;例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除;性质2 如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除;例如,21与15都能被3整除,那么21＋15及21-15都能被3整除;性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除;例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×7＝63整除;利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题;为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：1一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除;2一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除;3一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除;4一个数的末两位数如果能被4或25整除,那么这个数就能被4或25整除;5一个数的末三位数如果能被8或125整除,那么这个数就能被8或125整除;6一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除;例1在下面的数中,哪些能被4整除哪些能被8整除哪些能被9整除234,789,7756,8865,3728,8064;例2在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除例3从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列;例4五位数能被72整除,问：A与B各代表什么数字例5六位数是6的倍数,这样的六位数有多少个例6 要使六位数能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字练习11. 6个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个2.个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个3.一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除;在这样的四位数中,最大的和最小的各是多少4.五位数能被12整除,求这个五位数;5.从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个,可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数6.学校买了72只小足球,发票上的总价有两个数字已经辨认不清,只看到是□□元,你知道每只小足球多少钱吗。
(完整版)数的整除练习题
数的整除练习题A 组1、（1）五位数73□28能被9整除，□里应填上（）。
（2）一个六位数2709□6能被12整除，□里应填上（）。
（3）一个五位数4□1□6是72的倍数，这个五位数是（）。
（4）一个六位数356□□□能被3、4、5整除，这个六位数最小是（）。
（5）能同时被2、3、5整除的三位数中最大的是（）。
（6）四位数36□□能同时被2、3、4、5、6、9整除，则36□□是（）。
（7）一个位数减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数362□，那么□填（）。
（8）有一六位数能被11整除，首位是3，其余各位数字各不相同，这个六位数最小是（）。
2、已知五位数154xy _________能被72整除，求x+y 的值3、一个六位数358□□□能同时被4、5、9整除，求这样的六位数中最小的一个。
4、有数字0、1、4、7、9，如果从中选出四个数字组成不同的四位数，把其中能被3整除的从小到大排列起来，第三个数是多少？5、从0、1、3、5这四个数字中任选三个数字排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有多少个？把他们写出来。
6、在五位数中，数字和等于43且能被11整除的数有那些？7、一个自然数与17的乘积的最后三位数是999，求满足条件的最小的自然数。
8、从1~1996中选出一些数，使得这些数中任意两个数的和都能被18整除。
这样的数最多能取多少个？9、一个四位数能被9整除，如果去掉末位数字后得到的三位数是8的倍数。
这样的四位数中最大的一个是多少？10、从2、3、5、7四个数中任选三个数，组成能同时被3和25整除的三位数，这样的三位数是多少？11、下列这个51位数55...5□99 (9)能被7整除，那么中间方格内的数字是几？25个5 25个912、商店里有六箱货物，分别重20、21、23、12、14、17千克。
两位顾客买走了其中的五箱。
已知一位顾客买的货物重量是另一位顾客的3倍。
那么剩下的一箱货物重多少千克？B组1、如果把1、3、5、7这四个数字进行各种各样的排列，可以组成24个数，其中能被11整除的数从大到小排列的第三个数是多少？2、用数字1～9组成九位数，左起第一位数能被1整除，前两位数能被2整除，前三位数能被3整除……前九位数能被9整除。
数的整除特征总结
数的整除特征总结
嘿，朋友们！今天咱要来好好唠唠数的整除特征总结啦！你知道不，这可太有意思啦！
咱先说说能被 2 整除的数吧，就比如 12，它就能被 2 整除。
只要个位上是 0、2、4、6、8 的数，那就能轻轻松松被 2 整除哟！这多简单呀，就
像咱走路一样顺畅！
再讲讲能被 3 整除的数呀，像 15 就是个典型例子。
只要这个数各个数位上的数字之和能被 3 整除，那它肯定没问题！这就像搭积木，一块块稳稳当当凑在一起就能立住啦！
还有能被 5 整除的数，像 25 呀。
你瞧，个位上是 0 或 5 的数就可以啦，多清晰明了呀！这就好比找东西，一下子就能找到那个关键特征！
能被4 整除呢？嘿，那就要看最后两位是不是能被4 整除喽。
“哎呀，这是不是挺神奇的呀？”
能被 9 整除的也有规律呢，跟 3 整除有点像，就是各数位数字之和能
被 9 整除就行啦。
这么多整除特征，是不是感觉数学的世界好神奇呀？“这不是跟变魔术似的嘛！”咱掌握了这些，解题的时候不就如有神助啦！
数的整除特征就像是一把把钥匙，能打开数学大门后的各种奇妙宝藏！咱可得好好记住它们，让它们为咱的数学之旅助力呀！所以呀，大家一定要用心去理解和记忆，这样才能在数学的海洋里畅游无阻哟！。
数的整除特征
数的整除特征
对于整数a与b（b≠0），若存在整数q，使等式a=bq成立，则称b整除a，或a能被b整除.
这时，称a是b的倍数，b是a的约数，并记作
整数的整除性质：
1.如果整数a、b都能被整数c整除，那么（a＋b）与（a-b）也能被c整除.
2.几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整
除.
3.如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除.
反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数整
除.
数的整除特征：
1.末位数字是偶数的整数能被2整除；末位数字是0或5的整数能被5整除；末两位数是4
（或25）的倍数的整数能被4（或25）整除；末三位数是8（或125）的倍数的整数能被8
（或125）整除.
2.各位数字之和能被3（或9）整除的整数，能被3（或9整除）.
整除数的性质和规律
整除数的性质和规律一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。
二、整除规律⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。
⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。
⑶、能被5整除的数一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。
⑷、能被3或9整除的数：一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。
例如：判断3576，2549能不能被3整除3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）∴3576能被3整除。
2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）∴2549不能被3整除。
检验：2549÷3=849 (2)又如：判4212、5282能不能被9整除4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）∴4212能被9整除。
5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）∴5282不能被9整除。
用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。
如：判断7485能不能被9整除7+4+8+5=24→2+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。
最后得出的6，就是7485除以9的余数。
即：7485÷9=831 (6)能被9整除的数，一定能被3整除。
能被3整除的数，却不一定能被9整除。
⑸、能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。
①.首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。
数的整除特征
阅读材料数的整除特征根据整除的含义，我们可以归纳出一些数的整除特征：（1）看末位或末几位数。
①能被2、5整除的数的特征：这个数的末一位数能分别被2、5整除。
②能被4、25整除的数的特征。
这个数的末两位数能分别被4、25整除。
③能被8、125整除的数的特征。
这个数的末三位数能分别被8、125整除。
④能被16、625整除的数的特征。
这个数的末四位数能分别被16、625整除。
⑤若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除；若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（2）看各位上的数字的和。
能被3、9整除的数的特征：各数位的数字和能分别被3、9整除。
（3）看两部分数字和的差。
①能被11整除的数的特征：奇位上的数字的和与偶位上的数字的和的差能被11整除。
②若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续这样做，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
2．整除还具有这样的一些性质：（1）如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。
如：125÷25=5，150÷25=4；那么，（125+150）或（150－125）也能被25整除。
（2）如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整数倍也能被另一个数整除。
如：39÷13=3；那么，117÷13=9。
（3）如果第一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。
如：80÷40=2，40÷5=8；那么，80÷5=16。
（4）如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这个数也能被另外两个数的积整除。
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《数的整除》知识过关测评卷
、填空题
1、8和56，（ ）是（ ）的约数，（ ）是（ ）的倍数。
2、48的所有约数是（ ），48的全部质因数有（ ）
3、一个数的最小倍数是16，这个数的所有约数是（ ）。
4、在0、1、2、7、8、9、48和51中，奇数是（ ），偶数是（ ），质数
是（ ），合数是（ ），是奇数但不是质数的是（ ）是偶数但不是合
数的是（ ）。
5、一个合数的质因数是10以内所有的质数，这个合数是（ ）。
6、a=2×3×7 ,b=2×5×7,a、b两数的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
7、a与b是互质数，它们的最大公约数是（ ），它们的最小公倍数是
（ ）。
8、两个数的最大公因数是15，最小公倍数是30， 这两个数分别是（ ）和（ ）
9、把180分解质因数是（ ）。
10、一个数除以2、3、5和7都余1，这个数最小是（ ）
11、一个能被2和3同时整除的四位数，它的千位上的数既是奇数又是合数，百位上的
数不是质数也不是合数，十位上的数是最小质数，个位上的数是（ ）。
12、要使75×25×a的末尾有3个0，a最小是（ ）。
13、自然数a和（ ）一定是互质数。
14、如果一个质数分别加上2、8、10和20后，所得的数仍是质数，那么原来的质数是
（ ）。
15、用0、1、8、9四个数组成同时是2、3、5的倍数的四位数，最大的一个是（ ），
最小的一个（ ）。
二、判断（对的打“√”，错的打“×”）
1、能被2整除的数都是合数。 （ ）
2、一个自然数，如果不是质数就是合数。 （ ）
3、任何自然数都有两个约数。（ ）
4、一个自然数，如果不是奇数就一定是偶数。（）
5、所有的质数都是奇数。（ ）
6、5.6 ÷0.4=14，所以5.6能被0.4整除。 （ ）
7、质数可能是奇数也可能是偶数。（ ）
7、因为24=2×3×4所以2、3、4、都是24的质因数。（）
9、三个连续自然数的和一定能被3整除。（ ）
10、13既是13的约数，又是13的倍数。()
11、有公约数1的两个数，叫做互质数。（ ）
12、所有偶数的公约数是2。（ ）
13、因为8和15的公约数只有1，所以8和15是互质数。（）
14、三个连续自然数的积一定是6的倍数。 （ ）
15、a除以5余数是4，则a+290的和除以5分余数也是4。（ ）
三、选择（将正确答案的序号填在括号里）
1、下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）
（1）4.8和0.4（2）15和3（3）5和65
2、下面各组数，一定不能成为互质数的一组是（ ）
（1）质数与合数 （2）奇数与偶数
（3）质数与质数 （4）偶数与偶数
3、把294分解质因数是（ ）
（1）294＝2×3×7×7×1（2）294＝2×3×49（3）210＝2×7×21
4、两个奇数的和（ ）
（1）是奇数 （2）是偶数 （3）可能是奇数，也可能是偶数
5、如果a、b都是自然数，并且a÷b=4,那么数a和数b的最大公约数是（）。
（1）4（2）a（3）b
6、一个合数至少有（ ）个约数。
（1）1（2）2（3）3
7、两个合数是互质数，它们的最小公倍数是260，这样的数有（ ）
（1）3对 （2）4对 （3）1对
8、有3、5、8、9这四个数，能组成（ ）组互质数。
（1）3（2）4（3）5
9、一个正方形的边长是一个奇数，这个正方形的周长一定是（ ）
（1）质数 （2）奇数 （3）偶数
10、下列各数中，同时能被2、3和5整除的最小数是（ ）
（1）100（2）120（3）300
11、已知a能整除23，那么a是（ ）
（1）46（2）23（3）1或23
12、如果用a表示自然数，那么偶数可以表示为（ ）
（1）a+2 (2)2a (3)a-1 (4)2a-1
13、一个能被9、12、15整除的最小数是（ ）
（1）3 （2）90 （3）180
14、将1999表示为两个质数之和，共有（ ）种表示方法
（1）100 （2）53 （3）15
15、250000这个数分解质因数后，共有（ ）质因数5
（1）4 （2）5 （3）6 （4）2
四、能力提高
1、 2010年10月1日是星期五，2011年10月1日是星期（ ）
2、 三个连续自然数的积是504，这三个连续自然数分别是（ ）、（ ）、（ ）
3、甲、乙两数的最大公约数是5，最小公倍数是60，已知甲数是15，乙数是（ ）。
4、a、b、c是三个不同的质数，++=,这三个质数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
5、一个数被3、4、7、除都余1，这个数最小是（ ）。
6、有7、6、2、1、0五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被7、3、5整除的最小
的四位数是（ ）。
8、某公共汽车始发站，1路车每5分钟发车一次，2路车每10分钟发车一次，3路车每12
分钟发车一次。这三路汽车同时发车后，至少再经过（ ）分钟又同时发车？
9、五1班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5
人。问上体育课的同学最少多少名？
10、学校决定在操场周围种树，开始时每隔3米种一棵，种到9棵后，发现树苗不够，
于是决定重种，改为每隔4米一棵，这时重种时，不必再拔掉的树有多少棵？
11、一次数学竞赛，结果参加竞赛的学生有的人获得一等奖，获得二等奖占，获得三等
奖 ，其余获纪念奖。已知参加这次竞赛的学生不少于50人，也不满100人，问获纪念奖的
有多少人？