第2部分专题五第2讲课时作业

课时作业[学生用书P128(独立成册)] 1．(2016·贵阳模拟)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(4，3)在C的渐近线上，则C的方程为( ) A.x216－y29＝1 B.x29－y216＝1

C.x264－y236＝1 D.x236－y264＝1 A [解析] 因为双曲线的焦距为10，点P在渐近线上，所以c＝5，ba＝34，因为a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以C的方程为x216－y29＝1. 2．已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为x±3y＝0，则C1与C2的离心率之积为( ) A.154 B.32 C.65 D.223 D [解析] 由题意得，ba＝13，所以椭圆与双曲线的离心率之积为 1－b2a2·1＋b2a2

＝223，故选 D. 3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( ) A.12 B.1 C.32 D.2 D [解析] 易知抛物线的焦点为F(1，0)，设P(xP，yP)，由PF⊥x轴可得xP＝1，代入抛物线方程得yP＝2(－2舍去)，把P(1，2)代入曲线y＝kx(k>0)得k＝2.

4．(名师原创)已知双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2.若直线AB过原点，则k1k2

的值为( )

A．2 B.3 C.3 D.6 B [解析] 由题意知e＝ca＝2，则b2＝3a2，双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A(m，n)，M(x，y)，则B(－m，－n)，k1k2＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝3x2－3a2－3m2＋3a2x2－m2＝3. 5．(2016·高考全国卷丙)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )

A.13 B.12 C.23 D.34 A [解析] 由题意，不妨设点P在x轴上方，直线l的方程为y＝k(x＋a)(k＞0)，分别令x＝－c与x＝0，得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka，设OE的中点为G，由△OBG∽△FBM，

得|OG||FM|＝|OB||BF|，即ka2k（a－c）＝aa＋c，整理得ca＝13，所以椭圆C的离心率e＝13，故选A.

6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为3，则抛物线的准线方程为( ) A．x＝－2 B.x＝2 C．x＝1 D.x＝－1

D [解析] 因为e＝ca＝2，所以c＝2a，b＝3a，双曲线的渐近线方程为y＝±3x，

又抛物线的准线方程为x＝－p2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A－p2，3p2，B－p2，－3p2，在△AOB中，|AB|＝3p，点O到AB的距离为p2，所以12·3p·p2＝3，所以p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故选 D. 7．(2016·石家庄第一次模考)已知椭圆x2a2＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点F1关于直线y＝－x的对称点P仍在椭圆上，则△PF1F2的周长为________． [解析] 椭圆左焦点F1(－c，0)关于直线y＝－x的对称点P(0，c)仍在椭圆上，则c＝b＝1，a＝2，则△PF1F2的周长为2a＋2c＝22＋2. [答案] 2＋22

8．(2016·武汉模拟)双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于________． [解析] 因为e＝ca＝54，所以c＝54a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝abx，即ax－by＝0，焦点为(0，c)，所以bca2＋b2＝b＝3，所以a＝c2－b2＝2516a2－9，所以a2＝16，即a＝4，故2a＝8. [答案] 8 9．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x2－y2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.

[解析] 由题意可知，抛物线的焦点为F0，p2，准线方程为y＝－p2，联立y＝－p2x2－y2＝1，解得x＝± 1＋p24. 因为△ABF为等边三角形，所以p2＋x2＝2|x|，即p2＋1＋p24＝41＋p24，解得p＝23或－23(舍去)． [答案] 23

10．(2016·山西重点中学协作体模拟)若椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C的内接正方形的面积为________． [解析] 由已知得，a＝1，b＝c＝22，所以椭圆C的方程为x2＋y212＝1，设A(x0，y0)是椭

圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x0＝y0，所以1＝x20＋2y20＝3x20，解得x20＝13，所以椭圆C的内接正方形的面积S＝(2x0)2＝4x20＝43. [答案] 43 11．(2016·高考全国卷丙)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点． (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

[解] 由题知F12，0.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且Aa22，a ，Bb22，b ，

P－12，a ，Q－12，b ，R－12，a＋b2 . 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0. (1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0. 设AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝k2. 所以AR∥FQ. (2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则

S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a||x1－12|，S△PQF＝|a－b|2.

由题设可得2×12|b－a||x1－12|＝|a－b|2， 所以x1＝0(舍去)，x1＝1. 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．

当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．

而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)． 当AB与x轴垂直时，E与D重合． 所以所求轨迹方程为y2＝x－1.

12．(2016·东北四市教研联合体模拟)椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于圆C2：x2

＋y2＝4的直径，且C1的离心率等于12.直线l1和l2是过点M(1，0)，且互相垂直的两条直线，l1交C1于A，B两点，l2交C2于C，D两点． (1)求C1的标准方程；

(2)当四边形ACBD的面积为12714时，求直线l1的斜率k(k>0)． [解] (1)由题意得2a＝4，即a＝2. 因为ca＝12，所以c＝1， 所以b＝3， 所以椭圆C1的标准方程为x24＋y23＝1.

(2)直线AB：y＝k(x－1)，则直线CD：y＝－1k(x－1)， 由y＝k（x－1）3x2＋4y2＝12， 得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1＋x2＝8k23＋4k2x1x2＝4k2－123＋4k2， 所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝12（k2＋1）3＋4k2. 因为圆心(0，0)到直线CD：x＋ky－1＝0的距离d＝1k2＋1， 又|CD|24＋d2＝4， 所以|CD|＝24k2＋3k2＋1， 因为AB⊥CD， 所以S四边形ACBD＝12|AB|·|CD|＝12k2＋14k2＋3，

由12k2＋14k2＋3＝12147， 解得k＝1或k＝－1， 由k>0，得k＝1.

13．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x2

＝－43y的焦点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标．

[解] (1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，

由题意得b＝3，ca＝12， 解得a＝2，c＝1. 故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1. (2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在， 故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0)．

由x24＋y23＝1，y＝k（x－2）＋1， 得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.① 因为直线l与椭圆C相切， 所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0. 整理，得2k＋1＝0，

解得k＝－12.

所以直线l的方程为y＝－12(x－2)＋1＝－12x＋2.将k＝－12代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为1，32.