高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 . 指数与指数函数练习 理讲解
高考数学一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 第6讲 指数与指数函数分层演练直击高考 文
第6讲 指数与指数函数1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )＝________．解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a ＋2＝9，即22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝7.答案：72．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：由0.2<0.6，0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .答案：a >b >c3．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________． 解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为减函数，又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3. 答案： 34.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________． 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 答案：25．已知函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________． 解析：因为f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，f (a )＝－12， 所以e a －e －ae a ＋e －a ＝－12. 所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －a e a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12. 答案：126．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9，则f (x )的单调递减区间是________．解析：由f (1)＝9得a 2＝9，所以a ＝3.因此f (x )＝3|2x －4|，又因为g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，2]． 答案：(－∞，2]7．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________． 解析：因为x ∈[－3，2]，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8. 则y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57. 所以所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 8．已知函数f (x )＝e|x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1.答案：(－∞，1]9．(2018·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析：由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.答案：e10．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示有两个公共点．答案：(1，＋∞)11．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1，6)，B (3，24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，①b ·a 3＝24，② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，所以a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x， 则g (x )在(－∞，1]上单调递减，所以m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56， 故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56. 12．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1， 解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ）的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )故a 的值为0.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >0，e x ，x ≤0，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为________．解析：当x >0时，F (x )＝1x＋x ≥2； 当x ≤0时，F (x )＝e x＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)2．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．解析：方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不同实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)，所以0<2a <1，即0<a <12. ②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，123．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f （x ）g （x ）＝a x ，所以f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.解析：画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图)，由图象可知，a <0，b 的符号不确定，c >0.故①②错；因为f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|，所以|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1，故2a ＋2c <2，④成立；又2a ＋2c >22a ＋c ，所以2a ＋c <1，所以a ＋c <0，所以－a >c ，所以2－a >2c，③不成立．答案：④5．(2018·苏锡常镇四市调研)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1， 令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1， 故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解，记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a<0， 过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以a >0. 6．设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． 解：因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1.(1)因为f (1)>0，所以a －1a>0， 又a >0且a ≠1，所以a >1，f (x )＝a x －a －x ，因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，所以f (x )在R 上为增函数．原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )，所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0，所以x >1或x <－4，所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}．(2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0， 所以a ＝2或a ＝－12(舍去)， 所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x－2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝3，2所以原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，所以当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋2)．即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－2.。
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件理
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(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
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2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
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故②正确；③
＝ ＝ 2；④ 4 －24＝2；⑤当 a≠0 时，由(1＋a2)m＜(1
＋a2)n 可知 m＜n，当 a＝0 时不成立．
答案：②
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考点疑难突破
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指数(zhǐshù)幂的化简与求值
计算：
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【解】 (1)原式＝
－ 51－0 2＋1＝
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[自 主 演 练]
1．化简 4 16x8y4(x＜0，y＜0)得( A．2x2y C．4x2y
) B．2xy D．－2x2y
解析： 4 16x8y4＝(16x8y4) ＝[24(－x)8·(－y)4] ＝
＝
2(－x)2(－y)＝－2x2y.
答案：D
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2．(2017 届四川绵阳一诊)计算：2 3×3 1.5×6 12＝________. 解析：原式＝
【答案】 C
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角度三 探究指数型函数的性质
(1)函数 y＝14x－12x＋1 在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)函数 f(x)＝
的单调减区间为________．
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【解析】 (1)因为 x∈[－3,2]， 所以令 t＝12x，则 t∈14，8， 故 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 故所求函数的值域为34，57.
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六讲指数与指数函数学案含解析新人教版
第六讲 指数与指数函数知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念根式的概念符号表示备注 如果__x n ＝a __，那么x 叫做a 的n 次方根 n >1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个__正数__，负数的n 次方根是一个__负数__ n a零的n 次方根是零当n 为偶数时，正数的n 次方根有__两个__，它们互为__相反数__ ±na负数没有偶次方根①n a n＝⎩⎨⎧__a __，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __(a ≥0)，__－a __(a <0)，n 为偶数.②(n a )n ＝__a __(注意a 必须使na 有意义)． 2．分数指数幂(1)正数的正分数指数幂是a mn ＝na m __(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a －mn ＝1n am (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质(1)a r ·a s ＝__a r ＋s __(a ＞0，r 、s ∈Q )； (2)(a r )s ＝__a rs __(a ＞0，r 、s ∈Q )； (3)(ab )r ＝__a r b r __(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 知识点二 指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)叫指数函数底数a >1 0<a <1图象性质函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >1函数在定义域R 上为增函数函数在定义域R 上为减函数归纳拓展1．画指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a )，(0,1)．2．底数a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．3．f (x )＝a x 与g (x )＝(1a)x (a >0且a ≠1)的图象关于y 轴对称．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a (a ∈N *)．( × ) (2)a －m n ＝－a mn (n ，m ∈N *)．( × )(3)函数y ＝3·2x ，与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) (5)函数y ＝2－x 在R 上为单调增函数．( × )[解析] (1)n 为奇数时正确，n 为偶数时不一定正确；(2)不正确，a －mn ＝1a m n；(3)y ＝2x ×2与y ＝3×2x 都不是指数函数；(4)当a >1时m <n ，当0<a <1时m >n ；(5)y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数．题组二 走进教材2．(必修1P 59AT2改编)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( C )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32[解析] 由题意得a 2a ·3a 2＝a 2－12 －13 ＝a 76 ，故选C ．3．(必修1P 60BT2改编)已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( B ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11[解析] f (2a )＝22a ＋2－2a ＝(2a ＋2－a )2－2＝[f (a )]2－2＝7.故选B ．4．(必修1P 82AT10改编)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝[解析] a 2＝12，∴a ＝22，f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2.题组三 走向高考5．(2020·全国Ⅰ，8)设a log 34＝2，则4－a ＝( B ) A ．116B ．19C ．18D ．16[解析] 本题考查对数的运算和指数、对数的互化公式．因为a log 34＝log 34a ＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B ．另：a log 34＝2⇒log 34＝2a ，∴32a ＝4，∴4－a ＝⎝⎛⎭⎫32a －a ＝19. 6．(2017·北京，5分)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( A ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数[解析] 因为f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－⎣⎡⎦⎤3x －⎝⎛⎭⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数，故选A ．7．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243 ，b ＝425 ，c ＝2513 ，则( A ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b[解析] 因为a ＝243 ＝1613 ，b ＝425 ＝1615 ，c ＝2513 ，且幂函数y ＝x 13 在R 上单调递增，指数函数y ＝16x 在R 上单调递增，所以b <a <c .考点突破·互动探究考点一 指数与指数运算——自主练透例1 (1)下列命题中正确的是( B ) A ．na n ＝aB ．a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1C ．3x 4＋y 3＝x43 ·y D ．3－5＝6(－5)2(2)计算23×31.5×612＝__6__.(3)化简：(14)－12 ·(4ab －1)3(110)－1·(a 3·b －3)12 ＝__85__.(4)已知a 12 ＋a －12 ＝3，求下列各式的值． ①a ＋a －1；②a 2＋a －2；③a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1. [解析] (1)若n 是奇数，则na n＝a ；若n 是偶数，则na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，所以A 错误；因为a 2－a ＋1恒不为0，所以(a 2－a ＋1)0有意义且等于1，所以B 正确；3x 4＋y 3不能化简为x 43 ·y ，所以C 错误；因为3－5<0，6(－5)2>0，所以3－5≠6(－5)2，所以D 错误．故选B ．(2)原式＝2×312 ×⎝⎛⎭⎫3213 ×1216 ＝2×312 ×313 ×2－13 ×316 ×213 ＝2×312 ＋13 ＋16 ×2－13 ＋13 ＝6.(3)原式＝2×23·a32 ·b －32 10·a 32 ·b －32＝21＋3×10－1＝85.故填85.(4)①将a 12 ＋a －12 ＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7. ②将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47. ③由①②可得a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.名师点拨指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．考点二 指数函数图象与性质考向1 指数函数的图象及应用——师生共研例2 (1)(2021·秦皇岛模拟)函数f (x )＝21－x 的大致图象为( A )(2)(2021·湖北黄冈质检)函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与y ＝x b 的图象如图，则下列不等式一定成立的是( D )A ．b a >0B ．a ＋b >0C ．ab >1D ．log a 2>b(3)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是__[－1,1]__.[分析] (1)将函数化为f (x )＝2×⎝⎛⎭⎫12x 的形式，根据函数的性质及过定点，并结合选项判断； (2)由图确定a 、b 的范围求解；(3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解．[解析] (1)解法一：函数f (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，单调递减且过点(0,2)，选项A 中的图象符合要求．解法二：(采用平移法)因为函数f (x )＝21－x ＝2－(x －1)，所以先画出函数y ＝2－x 的图象，再将y ＝2－x 图象的所有点的横坐标向右平移1个单位，只有选项A 符合．(2)由图可知，y ＝a x 单调递增，则a >1；y ＝x b 单调递减，则b <0， A ：b a >0不一定成立，如a ＝3，b ＝－1； B ：a ＋b >0不一定成立，如a ＝2，b ＝－3； C ：ab >1不成立，ab <0；故选D ．(3)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[引申](1)f (x )＝a 1－x ＋3的图象过定点__(1,4)__.(2)(理)若将本例(3)中“|y |＝2x ＋1”改为“y ＝|2x －1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，b的取值范围是__(0,1)__.(3)(理)若将本例(3)改为：函数y ＝|2x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围是__(－∞，0]__.[解析] (1)当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝a 1－x ＋3过定点(1,4)．(2)(理)曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．(3)(理)因为函数y ＝|2x －1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k ≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．名师点拨指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，(－1，1a )．由函数解析式判断其图象一般取特殊点验证，从而作出判断．(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． 〔变式训练1〕(1)函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( D )(2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝(13)b，下列关系式中不可能成立的是( D ) A ．0<b <a B ．a <b <0 C ．a ＝bD ．b <0<a(3)若方程3|x |－1＝m 有两个不同实根，求m 的取值范围．[解析] (1)当a >1时，函数单调递增，且函数的图象恒过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a . 因为0<1－1a<1，所以A 、B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数的图象恒过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ， 因为1－1a<0，所以选D ．(2)在同一坐标系内，作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x和y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象(如图)．如图：a >b >0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b可能成立． a <b <0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 可能成立． 当a ＝b ＝0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b . 当a >0>b 时，⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫13b .综上可知：A 、B 、C 可能成立，D 不可能成立．故选D ．(3)作出函数y ＝3|x |－1与y ＝m 的图象如图所示，数形结合可得m >0.考向2 指数函数的性质及其应用——多维探究 角度1 比较指数幂的大小例3 已知a ＝⎝⎛⎭⎫1223 ，b ＝2－43 ，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ，则下列关系式中正确的是( B ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <bD ．a <b <c[解析] 把b 化简为b ＝⎝⎛⎭⎫1243 ，而函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝⎛⎭⎫1243 <⎝⎛⎭⎫1223 <⎝⎛⎭⎫1213 ，即b <a <c .角度2 利用指数函数的性质求解简单指数方程、不等式例4 (1)已知实数m ≠2，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≥0，9m －x ，x <0，若f (2－m )＝f (m －2)，则m 的值为__－3__.(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为__{x |x >4或x <0}__. [解析] (1)当m <2时，32－m －1＝9m －m ＋2，即3－m ＋1＝34，解得m ＝－3； 当m >2时，9m －(2－m )＝3m －2－1，即34m －4＝3m －3，解得m ＝13(舍)，故m ＝－3.(2)∵f (x )为偶函数，f (x )在[0，＋∞)上递增， 且f (2)＝0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0. 角度3 与指数函数有关的复合函数问题例 5 若函数f (x )＝a |2x－4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( B )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][解析] 由f (1)＝19得a 2＝19，又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. ∵y ＝⎝⎛⎭⎫13t 为减函数，∴f (x )的减区间为t ＝|2x －4|的递增区间[2，＋∞)， 所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．名师点拨(1)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性．要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．(3)解指数方程的方法①同底法：把方程化为a f (x )＝a g (x )的情形，然后得出f (x )＝g (x )． ②化为a x ＝b ，利用对数定义求解x ＝log a b .③把方程化为f (a x )＝0的情形，然后换元，即设a x ＝t ，然后解方程f (t )＝0，注意只要t >0的解．(4)解指数不等式的方法同底法：把方程化为a f (x )>a g (x )的情形，根据函数单调性建立f (x )和g (x )的不等式． 〔变式训练2〕(1)(角度1)下列各式比较大小不正确的是( D ) A ．1.72.5<1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1<1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)(角度2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为__12__(3)(角度3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是__(－3,1)__.(4)(角度3)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__(－∞，4]__.[解析] (1)对于A 、B 显然正确；对于C,0.8－0.1＝1.250.1，显然正确；对于D,1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴D 不正确，故选D ．(2)当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(3)若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综合可得－3<a <1.(4)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．名师讲坛·素养提升指数函数中的分类与整合思想例6 已知函数f (x )＝a x2＋2x ＋b(a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间⎣⎡⎦⎤－32，0上有最大值3和最小值52，试求a ，b 的值．[分析] 本题易出现的错误有两个，一个是二次函数t ＝x 2＋2x 在区间⎣⎡⎦⎤－32，0上的范围求错，直接将端点值代入，二是不分类讨论，直接认为f (x )是单调递增函数．[解析] 设t ＝x 2＋2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，0， 由图象得t ∈[－1,0]．①当a >1时，f (t )＝a t ＋b 在[－1,0]上为增函数，值域为⎣⎡⎦⎤1a ＋b ，1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＋b ＝52，1＋b ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2. ②当0<a <1时，f (t )＝a t ＋b 在[－1,0]上为减函数，值域为⎣⎡⎦⎤1＋b ，1a ＋b ， ∴⎩⎨⎧ 1＋b ＝52，1a ＋b ＝3解得⎩⎨⎧ a ＝23b ＝32.综上所述，a ＝2，b ＝2或a ＝23，b ＝32.名师点拨分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时，要分类研究，再整合得到的结论．指数函数的单调性与底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论．解指数函数综合问题的两个注意点：(1)指数函数的底数不确定时，应分a >1和0<a <1两种情况讨论．(2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围．〔变式训练3〕设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．[解析] 设a x ＝t ，则a 2x ＝t 2，①当a >1时，t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，y ＝t 2＋2t －1，在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上为增函数， 当t ＝a 时，取得最大值，a 2＋2a －1，所以a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍)；②当0<a <1时，t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，y ＝t 2＋2t －1，在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数， 当t ＝1a时，取得最大值，⎝⎛⎭⎫1a 2＋2a －1， 所以⎝⎛⎭⎫1a 2＋2a －1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍)． 综上所述，a ＝3或13.。
2020届高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第五节指数与指数函数课件理新人教A版
第五节 指数与指数函数
最新考纲
1.了解指数函数模型的实际背 景． 2.理解有理数指数幂的含义， 了解实数指数幂的含义，掌握 幂的运算． 3.理解指数函数的概念，理解 指数函数的单调性，掌握指数 函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的 函数模型.
考情索引
2018·上海卷， T11 2017·北京卷， T8 2017·全国卷Ⅰ， T11 2016·全国卷Ⅲ， T6
即ax－1 1＋12＞0，即2（aaxx＋－11）＞0，则 ax＞1. 又因为 x＞0，所以 a＞1. 因此当 a 的取值范围为(1，＋∞)时，f(x)＞0.
1．比较指数式的大小的方法是(1)能化成同底数的先 化成同底数幂，再利用单调性比较大小．(2)不能化成同 底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
解析：令 g(x)＝ax2＋2x＋3， 由于 f(x)的值域是0，19，所以 g(x)的值域是[2，＋∞)，
a＞0， 因此有12a4－a 4＝2，解得 a＝1， 这时 g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝13x2＋2x＋3.
由于 g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]
3．指数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)叫做指数函数，其
中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数．
(2)指数函数的图象与性质．
图象
a＞1
0＜a＜1
定义域 值域
R _(_0_，__＋__∞__)__
过定点_(_0_，__1_)_，即 x＝0 时，y＝1 性 当 x＞0 时，__y_＞__1_； 当 x＜0 时，__y_＞__1_； 质 当 x＜0 时，_0_＜__y_＜__1_ 当 x＞0 时，_0_＜__y_＜__1_
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数课件 理 高三全册数学课件
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1.比较指数式大小的问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单 调性，图象或 1，0 等中间量进行比较.
2.解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转 化为一般方程或不等式求解.要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要 时进行分类讨论.
3.对于指数函数性质的综合应用，应首先判断指数型函数的性质， 再利用其性质求解，关键是指数型函数的单调性要抓住“同增异减”.
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解法 2：当 x<0 时，因为 ex－e－x<0， 所以此时 f(x)＝ex－x2e－x<0， 故排除 A、D；又 f(1)＝e－1e>2， 故排除 C，选 B. (2)作出函数 f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
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点 A2，13，则 f(－1)＝ 3 .
解析：依题意可知 a2＝13，解得 a＝ 33， 所以 f(x)＝ 33x，所以 f(－1)＝ 33－1＝ 3.
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6．(必修 1P58 第 2 题改编)函数
(0，＋∞)．
解析：要使该函数有意义，
的定义域是
解得 x>0，所以定义域为(0，＋∞)．
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知识点二 指数函数的图象与性质
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4．函数 y＝ 1－12x的定义域为 [0，＋∞)．
解析：要使函数有意义，需 1－12x≥0，即12x≤1， ∴x≥0，即定义域为[0，＋∞)．
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高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第五节 指数与指数函数教师用书 理
第五节指数与指数函数☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．根式 (1)根式的概念①na n＝⎩⎨⎧a n 为奇数|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a －a a ＜n 为偶数②(na )n＝a (注意a 必须使na 有意义)。
2．有理数的指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a m n＝na m (a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)。
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。
(2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )。
3．指数函数的图象与性质微点提醒1．指数幂运算化简的依据是幂的运算性质，应防止错用、混用公式。
对根式的化简，要先化成分数指数幂，再由指数幂的运算性质进行化简。
2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此，应用单调性解题时，应对底数a 分为a >1和0<a <1两种情况进行。
3．与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成；而与其有关的最值问题，往往转化为二次函数的最值问题。
小|题|快|练一 、走进教材1．(必修1P 56例6改编)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝( )A ．1B ．2 C. 3D ．3【解析】 由a 2＝13，a ＝33，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x ，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝3。
故选C 。
【答案】 C2．(必修1P 60B 组T 1改编)不等式a2x －7>a4x －1(0<a <1)的解集为________。
【解析】 y ＝a x(0<a <1)为减函数，所以2x －7<4x －1，x >－3。
高考数学一轮复习 第2单元 函数、导数及其应用 第8讲 指数与指数函数课件 理
称变换得到其图像.
(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求
解.
课堂考点探究
变式题 (1)在同一平面直角坐标系中,函数
y=a (a>0 且 a≠1)与 y=(1-a)x 的图像可能是
[答案]
(1)C (2)C
x
(
)
[解析] (1)若 a>1,则 1-a<0,函数 y=a 单调递
a
c
a
c
a
c
a
c
a<0,0<c<1,且|2 -1|>|2 -1|,所以 1-2 >2 -1,则 2 +2 <2,且 2 +2 >1.故选 D.
课堂考点探究
x
1
[总结反思] (1)研究指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1), -1, .
(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对
.(填序号)
x
①y=-5 ,②y=
1 1-
3
,③y=
1
2
[答案]
②
[解析] 对于②,∵1-x∈R,∴
-1,④y= 1-2 .
y=
1 1-
3
的值域是(0,+∞);①的值
域为(-∞,0);③的值域为[0,+∞);④
的值域为[0,1).
课前双基巩固
题组二 常错题
12/11/2021
◆索引:忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;
A.2018 年
(新课标)高考数学一轮复习-第二章 函数、导数及其应用 第4讲 指数与指数函数课件
指数函数的性质及应用
(1)(2015·山东)设 a＝0. 60. 6，b＝0. 61. 5，c＝1. 50.
m
an
＝___n _a____(a＞0，m，n∈N＋，n＞1).
②正数的负分数指数幂的意义是
1
m
a－ n
m
＝___a_n____＝ n
1 (a＞0，m，n∈N＋，n＞1). am
③0 的正分数指数幂是___0_____,0 的负分数指数幂无意义.
(2)有理指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋__s ________(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)sa＝rs__________(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)ra＝rb_r _________(a＞0，b＞0，r∈Q). (3)无理指数幂 一般地，无理指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个___确__定_的 实数，有理指数幂的运算法则____同__样__适__用于无理指数幂.
(1)(2015·安庆模拟)已知函数 f(x)＝ (x－a)·(x－b)(其中 a＞b)，若 f(x)的图象 如图所示，则函数 g(x)＝ax＋b 的图象是 导学号 25400269 ( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值 范围是________. 导学号 25400270
值域
_(_0_，__＋__∞_)__
性 单调性 在R上_____递__减___
在R上____递__增____
高三数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件.ppt
3．指数函数的图象与性质 y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域 值域 性质
R (0，＋∞)
(1)过定点□18 ____(0_,_1_)___
8
y＝ax 性质
a＞1
0＜a＜1
(2)当 x＞0 时，□19 _y_＞__1_；x＜0 (2)当 x＞0 时，□21 _0_＜__y＜__1___；
时，□200_＜__y_＜__1
C．{x|x＜0，或 x＞6}
D．{x|x＜－2，或 x＞2}
解析：(1)∵a＝21.2，b＝12－0.8＝20.8， ∴a＞b＞1。 又∵c＝2log52＝log54＜1，∴a＞b＞c。
28
(2)f(x)为偶函数，
当 x＜0 时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4。
2x－4，x≥0， ∴f(x)＝2－x－4，x＜0。
10
3 个关键点——指数函数图象的画法 画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， －1，1a。
11
1
1．化简[(－2)6] 2 －(－1)0 的结果为( )
A．－9
B．7
C．－10
D．9
1
解析：原式＝(26) 2 －1＝7。
答案：B
12
2．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( )
27
考点三
指数函数的性质及其应用
【例 3】 (1)已知 a＝21.2，b＝12－0.8，c＝2log52，则 a，b，c 的大小关系为(
)
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
(2)设偶函数 f(x)满足 f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝( )
高考数学(新课标人教)一轮总复习课件：第2章函数.导数及其应用第4节指数函数
第二章函数、导数及其应用第4节指数因教I -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - I 1. 了解指数函数模型的实际背景. I : !I2.理解有理数指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌II «I握幕的运算. I I 1: ;I3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通|: : : : |过的特殊点，会画底数为2,3,10,+的指数函数的图像. |• 1 •根式_ D基础冋扣•学情口测•［要点梳理］• 2.分数指数幕3.无理数指数幕无理数指数幕«V>o, u是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕.• 4.指数函数的概念、图像与性质质疑探究：如图是指数函数(1)y=d“，(2)y=b x,⑶y=c",(4)y = /的图像，底数a何？你能得到什么规律?“ b, c,〃与1之间的大小关系如提示：图中直线X=1与它们图像交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c l>d l>l>a l>b1,•: c>d> 1 >a>b ・一般规律：在y轴右（左）侧图像越高（低力其底数越大.A B C D［基础自测］1・函数y=a —^（a>0,且。
工1）的图像可能是（）［解析］当«>1时，y=a-^-为增函数，且在y轴上的截距为Ovl—】vl，排除A, B.d当Ovavl时，y=a x—\为减函数，且在y轴上的截距为1 —~<0,故选D.［答案］D2. (2015-郑州模拟)已知函数斤兀)=4+°厂1的图像恒过定点P,则点P的坐标是()A. (1,5)B. (1,4)C. (0,4)D. (4,0)［解析］由°°=1知,当%—1=0,即兀=1时，几1)=5,即图像必过定点(1,5).故选A.［答案］A3.设函数/(x)=6z~lvl(«>0,且oHl),几2)=4,贝lj(A.fmB. A-D>X-2)c・fm>f&D・f(-2)>f(2)［解析］由ci ~=4,。
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1 第二章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数练习 理 [A组·基础达标练]
1．化简[(－2)6] 12 －(－1)0的结果为( ) A．－9 B．7 C．－10 D．9 答案 B
解析 原式＝(26) 12 －1＝7. 2．[2015·吉林期中]函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为( ) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案 B 解析 令2x＝t， 则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)． ∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y>1. ∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 3．[2016·西安八校联考]已知0A．bm>an B．bmC．mb>na D．mb答案 D 解析 ∵f(x)＝xa(a>1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且0＝mx(0
4．[2015·哈尔滨模拟]函数f(x)＝e2x＋1ex的图象( ) A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 答案 D
解析 f(x)＝e2x＋1ex＝ex＋1ex，∵f(－x)＝e－x＋1e－x＝ex＋1ex＝f(x)，∴f(x)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于y轴对称． 5．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．(－2,1) B．(－4,3) C．(－1,2) D．(－3,4) 答案 C
解析 原不等式变形为m2－m<12x，
∵函数y＝12x在(－∞，－1]上是减函数， 2
∴当x∈(－∞，－1]时，12x≥12－1＝2， ∴当x∈(－∞，－1]时，m2－m<12x恒成立等价于m2－m<2，解得－16．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( ) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 答案 D
解析 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图， ∵af(c)>f(b)，∴结合图象知a<0，c>0，∴0<2a<1. ∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f(c)<1，∴0∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1， 又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2，故选D.
7．已知函数f(x)＝x－4＋9x＋1，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则在直角
坐标系中函数g(x)＝1a|x＋b|的图象为( )
答案 B 解析 f(x)＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5≥29－5＝1，取等号时x＋1＝9x＋1，此时x
＝2.所以a＝2，b＝1，则g(x)＝12|x＋1|.g(x)的图象可以看作是y＝12|x|的图象向左平移一个单位得到的，选项B符合要求． 8．[2015·南昌二模]已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x) 3
＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( ) A．9 B．10 C．11 D．18 答案 B 解析 依题意，在坐标平面内画出函数y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.
9．[2015·唐山一模]函数f(x)＝2－x－2的定义域是________． 答案 (－∞ ，－1] 解析 由题意可得：2－x－2≥0，∴2－x≥2，∴－x≥1，∴x≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]． 10．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
答案 [－1,1] 解析 (数形结合法)曲线|y|＝2x＋1即为y＝2x＋1或y＝－(2x＋1)，作出曲线的图象(如右图)，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，则要求－1≤b≤1. 11．[2016·皖南八校联考]对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出所有真命题的编号) ①函数f(x)的图象关于原点对称； ②函数f(x)在R上不具有单调性； ③函数f(|x|)的图象关于y轴对称； ④当0⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0. 答案 ①③④ 解析 ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①真；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当04
其图象关于y轴对称，③真；当0上为减函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最大值为0，④真；当a>1时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(x)的最小值为0，⑤假，综上，真命题是①③④.
12．已知函数y＝b＋ax2＋2x(a，b是常数且a>0，a≠1)在区间－32，0上有ymax＝3，ymin
＝52，试求a，b的值．
解 ∵x∈－32，0，∴t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，值域为[－1,0]，即t∈[－1,0]． (1)若a>1，函数y＝at在[－1,0]上为增函数， ∴at∈1a，1，则b＋ax2＋2x∈b＋1a，b＋1，
依题意得 b＋1a＝52，b＋1＝3，解得 a＝2，b＝2. (2)若0∴at∈1，1a，则b＋ax2＋2x∈b＋1，b＋1a，
依题意得 b＋1a＝3，b＋1＝52，解得 a＝23，b＝32.
综上，所求a，b的值为 a＝2，b＝2或 a＝23，b＝32. [B组·能力提升练]
1. [2016·湖南月考]如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点E，B，则a＝( ) A.2 B.3 5
C．2 D．3 答案 A 解析 设点E(t，at)，则点B的坐标为(2t,2at)． ∵B点在函数y＝ax的图象上，∴2at＝a2t， ∴at＝2. ∴平行四边形OABC的面积＝OC·AC＝at·2t＝4t. 又平行四边形OABC的面积为8， ∴t＝2，∴a＝2.故选A. 2．[2015·济南模拟]已知g(x)＝ax＋1，f(x)＝
2x－1， 0≤x≤2，－x2， －2≤x<0，对任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g(x1)＝f(x2)成立，
则a的取值范围是( ) A．[－1，＋∞) B．[－1,1] C．(0,1] D．(－∞，1] 答案 B 解析 由题意可得g(x)，x∈[－2,2]的值域⊆f(x)，x∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f(x)，x∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a＝0时，g(x)＝1，符合题意；当a>0时，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[－2a＋1,2a＋1]，所以[－2a＋1，2a＋1]⊆[－4,3]，所以
－2a＋1≥－42a＋1≤3，则0
以[2a＋1，－2a＋1]⊆[－4,3]，所以 2a＋1≥－4，－2a＋1≤3，则－1≤a<0，综上可得－1≤a≤1，故选B. 3．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝
fx，fx≥K，
K，fx，
取函数f(x)＝2－x＋ex，若对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有fK(x)
＝f(x)，则K的最大值为________． 答案 3 解析 由题意，得f(x)≥K对任意的x∈R恒成立， 所以f(x)min≥K， 所以令f′(x)＝－1＋ex＝0，得到x＝0. 且x<0时，f′(x)<0；x>0时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数， 所以f(x)min＝f(0)＝3， 所以K≤3，K的最大值为3. 4．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)． (1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性； (2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出