立体几何-8.6 空间向量及其运算(教案)

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专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系(讲)(解析版)

专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系【考纲解读与核心素养】1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3．掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算.4．掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量夹角，并会解决简单的立体几何问题. 5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 6. 高考预测：（1）空间向量的线性运算及其坐标表示. （2）运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. （3）应用空间向量解决立体几何问题.（4）一般不独立命题．预测2020年高考会以简单几何体为载体，利用空间向量解决与平行、垂直有关的证明及空间角的计算问题．解题时要求有较强的运算能力. 7.备考重点：（1）掌握空间向量的线性运算、坐标运算；（2）掌握空间向量的数量积计算方法. （3）利用向量判断垂直关系、平行关系.【知识清单】知识点1．空间向量的线性运算 1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度． (2)几种常用特殊向量①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量．③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量．⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 2.空间向量的线性运算(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．设a ，b 是空间任意两向量，若,OA AC a AB b ===，P ∈OC ，则OB OA AB a b =+=+，BC AC AB a b =-=-，()OP a R λλ=∈.（2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ①加法交换律：a ＋b ＝b + a .②加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a +（b ＋c ）． ③数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa+λb.④数乘结合律：λ(μa )＝(λμ) a .(λ∈R ，μ∈R )．知识点2．共线向量定理、共面向量定理的应用(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a=λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在唯一实数对x 、y ，使p xa yb =+.(3)空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使p xa yb zc =++.把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP xOA yOB zOC =++.其中x ＋y ＋z ＝1. 知识点3．空间向量的数量积及其应用 1．两个向量的数量积(1)a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉； (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； (3)|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. 2．向量的坐标运算a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) 数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线a ∥b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23知识点4．空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：x 轴，y 轴，z 轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x 轴的正方向，食指指出y 轴的正方向时，中指指向z 轴的正方向．(3)空间一点M 的坐标用有序实数组(x ，y ，z )来表示，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标． 2．空间两点间的距离公式设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则||AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.【典例剖析】高频考点一：空间向量的线性运算【典例1】如图，空间四边形OABC 中，,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN 等于（）A.121232a b c -+ B.211322a b c -++ C.111222a b c +- D.221332a b c +-【答案】B【解析】由题意，212()()323MN ON OM OC CN OA OC CB OA =-=+-=+-12211211()23322322OC OB OC OA OA OB OC a b c =+--=-++=-++，故选B.【典例2】如图，在空间四边形OABC 中， OA a =， OB b =， OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则MN =( )A. 121232a b c -+B. 211322a b c -++C. 112223a b c +-D. 221332a b c +-【答案】B【解析】由题，在空间四边形OAB ， OA a =， OB b =， OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则1122ON c b =+ ．所以211322MN ON MO a b c =+=-++故选B ．【规律方法】用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．【变式探究】1．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC BD 与的交点．若11=A B a 11AD b =， 1A A c =，则下列向量中与M B 1相等的向量是（）A ．1122a b c ++-B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c -+-【答案】A【解析】由题意知，111111112B M B A A A AM B A A A AC =++=++111()222a c ab a bc →→=-+++=-++，故应选A ．2．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1,,AB a AD b AA c ===，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c 表示1,D B EF ，；（2）若1D F xa yb zc =++，求实数x ，y ，z 的值．【答案】（1）1D B a b c =--，EF =1()2a c -；（2）11,,122x y z ==-=-. 【解析】（1）111D B D D DB AA AB AD a b c =+=-+-=--，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1111()()()222AA AD AB AD a c =-+++=-.（2）11111111()()22222D F D D D B c a b c a b c =+=-+--=--，所以11,,122x y z ==-=-.【总结提升】1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量.2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决. 高频考点二：共线向量定理、共面向量定理的应用【典例3】若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311488OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点（）A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线【答案】B【解析】由已知可得111488OP OA OA OB OC -=-++，即11118888OP OA OA OB OC OA -=-++-，可得11111()()()88888AP OA OB OC OA BA AC AC AB =--+-=-+=+,所以AP ，AC ，AB 共面但不共线，故P ，A ，B ，C 四点共面．【典例4】（浙江省杭州市萧山区第一中学）已知，，若，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】A 【解析】，，若，则有，即.解得，. 故选A. 【规律方法】1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．2.中点向量公式1()2OM OA OB =+，在解题时可以直接使用．3．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线. (1)PA PB λ=；(2)对空间任一点O ，OP OA t AB =+；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOA yOB x y =++=．4．证明空间四点共面的方法对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面 (1)MP xMA yMB =+；(2)对空间任一点O ，OP OM xMA yMB =++；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOM yOA zOB x y z =++++=； (4)PM ∥AB (或PA ∥MB 或PB ∥AM )．【变式探究】1．已知(2,1,3)a →=-，(1,4,2)b →=--，(7,5,)c λ→=，若,,三向量共面，则实数λ等于（） A【答案】D【解析】由题三个向量共面可设：c ma nb =+，则：(7,5,)(2,,3)(,4,2)m m m n n n λ=-+--得：725432m n m n m nλ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，解得：337177m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，993465777λ=-=. 2．已知(0,0,0)O ，(2,2,2)A --，(1,4,6)B -，(,8,8)C x -，若OC AB ⊥，则x =________；若O ，A ，B ，C 四点共面，则x =__________．【答案】16，8．【解析】由题意得，(,8,8)OC x =-，(3,2,4)AB =-，∴316320OC AB OC AB x ⊥⇒⋅=--=， ∴16x =；若O ，A ，B ，C 四点共面，∴存在唯一的实数λ，μ使得，OC OA OB λμ=+，∴(,8,8)(2,2,2)(1,4,6)x λμ-=--+-，∴28248826x x λμλμλμ=-+⎧⎪-=+⇒=⎨⎪=--⎩．高频考点三：空间向量的数量积及其应用【典例5】已知空间四边形ABCD ，满足3AB =， 7BC =， 11CD =， 9DA =，则AC BD ⋅的值（）A. 1-B. 0C. 212D. 332【答案】B【解析】如图，构造符合题设的空间四边形ABCD ，不妨设AB BD ⊥，则容易算得81972BD =-=222BC BD CD +=，则CB BD ⊥，故由线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以AC BD ⊥，即0AC BD ⋅=，应选答案B.【典例6】（2018届江西省南昌三中高三上学期第二次考试）已知半径为1的球O 内切于正四面体A BCD -，线段MN 是球O 的一条动直径(,M N 是直径的两端点),点P 是正四面体A BCD -的表面上的一个动点,则PM PN AB BD ⋅+⋅的取值范围是______________________．【答案】[]12,4--【解析】设正四面体的边长为a ， O 为球心，由下图可得在可知，6366,,,AE BE OE AO ====，因为内切球半径为161=，解得6a =以4,? 3AE AO ==而又()(22cos ABD 26cos123AB BD AB BD ππ∠⋅=⋅-==- 由题意M ，N 是直径的两端点，可得0OM ON +=,•1OM ON =-,()()()222••••11PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON PO PO =++=+++=-=-而由此可知，要求出PM PN AB BD ⋅+⋅的取值范围，只需求出2•1PM PN PO =-，的范围即可．当P 位于E （切点）时，OP 取得最小值1；当P 位于A 处时，OP 取得最大值3．综上可得21PO -的最小值为1-1=0，最大值为9-1=8．则•PM PN 的取值范围是[0，8]．再由12PM PN AB BD PM PN ⋅+⋅=⋅-，知PM PN AB BD ⋅+⋅取值范围是[]12,4-- 故答案为： []12,4--．【总结提升】1.空间向量数量积计算的两种方法 (1)基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 2．空间向量数量积的三个应用求夹角设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离) 运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题【变式探究】1．已知向量()1,1,0a =， ()1,2,2b =-，且ka 与a b +互相垂直，则k 的值为（） A. 2 B. 0 C. -1 D. 1 【答案】B【解析】因为向量()()()()1,1,0,1,2,2,,,0,2,1,2a b ka k k a b ==-∴=+=-，ka 与a b +互相垂直，()()20ka a b k k ∴⋅+=-=，解得0k =，故选B.2．已知A （2，3，－1），B （2，6，2），C （1，4，－1），则向量AB 与AC 的夹角为（） A ．45° B ．90° C ．30° D ．60° 【答案】D【解析】因为1(0,3,3),(1,1,0),cos ,2AB AC AB AC ==-<>==，所以,60AB AC <>=︒，故选D. 【总结提升】1. 当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；2. 当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是(0,]2πα∈，[0,]θπ∈，所以||cos |cos |||||a b a b αθ⋅==⋅ 3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a |＝a 2转化为向量求解．高频考点四：空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算【典例7】在空间直角坐标系中的点(,,)P a b c ，有下列叙述： ①点(,,)P a b c 关于横轴(x 轴)的对称点是1(,,)P a b c -； ②点(,,)P a b c 关于yOz 坐标平面的对称点为2(,,)P a b c --； ③点(,,)P a b c 关于纵轴(y 轴)的对称点是3(,,)P a b c -； ④点(,,)P a b c 关于坐标原点的对称点为4(,,)P a b c ---．其中错误的叙述个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】点(,,)P a b c 关于横轴的对称点1(,,)P a b c --，故①错；对于②，点(,,)P a b c 关于yOz 坐标平面的对称点为2(,,)P a b c -，故②错；对于③，点(,,)P a b c 关于纵轴的对称点是3(,,)P a b c --，故③错；④正确．∴BE ⊥PM ，即PM ⊥BE .【典例8】在空间直角坐标系中，点(1,,2)b -关于y 轴的对称点是(,1,2)a c --，则点P (,,)a b c 到坐标原点O 的距离||PO =_____________．【答案】2【解析】两点关于y 轴对称，则两点的横坐标，竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以由点(1,,2)b -关于y轴的对称点是(,1,2)a c --可得1,1,0a b c ==-= ()1,1,0P ∴-，||2PO =.【规律方法】空间向量的坐标运算（1）设i 、j 、k 为两两垂直的单位向量，如果OP xi y j zk =++，则(,,)x y z 叫做向量的坐标．（2）设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，那么①a ±b ＝121212(,,)x x y y z z ±±±． ②a ·b ＝121212x x y y z z ++， ③cos 〈a ，b 〉＝121212222222111222x y z x y z ++⋅++，④|a |＝a ·a ＝222111x y z ++ ， ⑤λa ＝111(,,)x y z λλλ，⑥a ∥b ⇔121212,,x x y y z z λλλ===(λ∈R )， ⑦a ⊥b ⇔1212120x x y y z z ++=.（3）设点M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)，则22212212121||()()()M M x x y y z z =-+-+-【变式探究】1．点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点设点的坐标为，由题意可得由二次函数的性质可得，当时取得最小值为；当或1，且或1时，取得最大值为0，则的取值范围是故选D ．2．已知动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且线段(03)PA r r =<<，记点P 的轨迹长度为()f r .给出以下四个命题：①()312f π=； ②()23fπ=； ③232333f π⎛⎫√=⎪⎝⎭④函数()f r 在()0,1上是增函数， ()f r 在()2,3上是减函数.其中为真命题的是___________（写出所有真命题的序号）【答案】①④【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则()()0,0,0,,,A P x y z ，所以PA r =的轨迹的几何意义是以()0,0,0A 为圆心r 为半径的球面.则()l f r =是r 的函数，当1r =时，以()0,0,0A 为圆心r 为半径的圆与正方体的表面的交线是四分之一圆周长弧长，相邻三个侧面的面积之和是()13132142l f ππ==⨯⨯⨯=，故答案①正确；当2r =()0,0,0A 为圆心r 为半径的圆过点11,,B C D ，则232l f==答案②不正确；当r =时，以()0,0,0A 为圆心r 为半径的圆过点0,1,3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则13212l f π==⨯⨯=⎝⎭，故答案③不正确；由于01r <<时，单调递增且当1r =时，()l f r =最大；当r ∈，单调递减，故答案④正确；应填答案①④.【总结提升】1.求向量的数量积的方法：①设向量a ，b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ；②若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算． 2.求向量模的方法： ①|a |＝a 2；②若a ＝(x ，y ，z )，则|a |＝x 2＋y 2＋z 2.。

空间向量与立体几何教案

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P 27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.巩固练习课本P 92 练习 Ⅳ. 教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法． Ⅴ.课后作业⒈课本P 106 1、2、⒉预习课本P 92～P 96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？ ⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？板书设计：§9.5 空间向量及其运算（一）一、平面向量复习二、空间向量三、例1⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示⒉加减与数乘运算 ⒉加减与数乘向量小结 ⒊运算律 ⒊运算律教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

8.6空间向量及其运算

1.空间向量的有关概念及定理语言描述共线向量 (平行向量)如果空间一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.共线向量定理空间两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数x ，使a ＝x b . 共面向量定理如果两个向量a 、b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b .空间向量分解定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c .2.两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，通常规定0≤〈a ，b 〉≤π. 3.两条异面直线所成的角把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角. 4.数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉；②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a·a ，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 数乘向量λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)共线a ∥b (b ≠0)⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3(b 与三个坐标平面都不平行)垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面.( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × )(5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ )(6)对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面.(×)1.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .2.与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫3210，4210，－22和⎝⎛⎭⎫－3210，－4210，22 B.⎝⎛⎭⎫3210，4210，－22C.⎝⎛⎭⎫－3210，－4210，22 D.⎝⎛⎭⎫3210，4210，22或⎝⎛⎭⎫－3210，－4210，－22 答案 A解析因为与向量a 共线的单位向量是±a|a |，又因为向量(－3，－4,5)的模为(－3)2＋(－4)2＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±152(－3，－4，5)＝±210(－3，－4,5)，故选A.3.如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示). 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 4.(教材改编)已知a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________. 答案 1或－3解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4＋4y ＋2x ＝0，4＋16＋x 2＝36解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1.5.(教材改编)正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________. 答案2解析 |EF →|2＝EF 2→＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC 2→＋CD 2→＋DF 2→＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2， ∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.题型一空间向量的线性运算例1 (1)已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12cB.－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12cD.23a ＋23b －12c (2)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点. ①化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________；②用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________. 答案 (1)B (2)①A 1A →②12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝－23a ＋12b ＋12c .(2)①A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO → ＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.②OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 引申探究1.若本例(1)中将“点M 在OA 上，且OM ＝2MA ”改为“M 为OA 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →”，则OG →＝______________. 答案 16a ＋13b ＋13c解析如图所示， OG →＝OM →＋MG → ＝12OA →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23ON →－23OM →＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → ＝16a ＋13b ＋13c .. 2.若本例(2)中条件不变，问题改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x ，y ，z 的值.解 EO →＝ED →＋DO →＝－23DD 1→＋12(DA →＋DC →)＝12AB →－12AD →－23AA 1→，由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.思维升华用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 题型二共线定理、共面定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， (1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →).证明 (1)如图，连接BG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知： E 、F 、G 、H 四点共面. (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG ，如图所示. 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ，所以四边形EFGH 是平行四边形. 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分. 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →). 思维升华 (1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A ，B ，C 三点共线，即证明AB →，AC →共线，亦即证明AB →＝λAC →(λ≠0). (2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 上的点，F是AC 上的点，且A 1E ＝2EB ，CF ＝2AF ，则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为________.答案平行解析取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 为基底，易得EF →＝－13(a －b ＋c )，而DB 1→＝a －b ＋c ，即EF →∥DB 1→，故EF ∥DB 1，且EF ⊄平面A 1B 1CD ，DB 1⊂平面A 1B 1CD ，所以EF ∥平面A 1B 1CD . 题型三空间向量数量积的应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点.(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值. (1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →.即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . (2)解由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14[a 2＋a 2＋a 2＋2(a 22－a 22－a 22)]＝14×2a 2＝a 22.∴|MN →|＝22a .∴MN 的长为22a .(3)解设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·(q －12p )＝12(q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ) ＝12(a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60°) ＝12(a 2－a 24＋a 22－a 24)＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华数量积的应用(1)求夹角，设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角. (2)求长度(距离)，运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题. (3)解决垂直问题，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值. (1)解记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)证明 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ， BD →＝b －a ，∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b |·|c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0. ∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.12.“两向量同向”意义不清致误典例已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为_______. 易错分析将a ，b 同向和a ∥b 混淆，没有搞清a ∥b 的意义：a 、b 方向相同或相反.解析由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0，解得x ＝－2或x ＝1，当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去.当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 答案 1,3温馨提醒 (1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a ，b 满足a ＝λb (b ≠0)且λ>0，则a ，b 同向；在a ，b 的坐标都是非零的条件下，a ，b 的坐标对应成比例.[方法与技巧]1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题. [失误与防范]1.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b ＝b·a ，a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c 成立，但(a·b )·c ＝a·(b·c )不一定成立.2.求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.A 组专项基础训练 (时间：35分钟)1.在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( ).A.0B.1C.2D.3答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2.已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A.－2B.－143C.145D.2 答案 D解析由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.3.(2014·广东)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A.(－1,1,0)B.(1，－1,0)C.(0，－1,1)D.(－1,0,1)答案 B解析各选项给出的向量的模都是2，|a |＝ 2.对于选项A ，设b ＝(－1,1,0)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1×(－1)2×2＝－12.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°.对于选项B ，设b ＝(1，－1,0)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1×12×2＝12.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝60°，正确.对于选项C ，设b ＝(0，－1,1)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1×12×2＝－12.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°.对于选项D ，设b ＝(－1,0,1)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1－12×2＝－1.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝180°.故选B.4.空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( )A.AE →·BC →<AE →·CD →B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较答案 C解析取BD 的中点F ，连接EF ，则EF 綊12CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉>90°，因为AE →·BC →＝0，AE →·CD →<0，所以AE →·BC →>AE →·CD →.5.已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线a ，b 所成的角等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C解析如图，设AC →＝a ，CD →＝b ，DB →＝c ，则AB →＝a ＋b ＋c ，所以cos 〈AB →，CD →〉＝(a ＋b ＋c )·b |a ＋b ＋c ||b |＝12，所以异面直线a ，b 所成的角等于60°，故选C.6.在空间四边形ABCD 中，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为________.答案 0解析方法一如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →)＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a )＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.方法二如图，在三棱锥A －BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直.∴AB →·CD →＝0，AC →·DB →＝0，AD →·BC →＝0.∴AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝0.7.A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填“锐角”、“直角”、“钝角”).答案锐角解析因为BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →－AB →·AD →＋AB →2＝AB →2>0，所以∠CBD 为锐角.同理∠BCD ，∠BDC 均为锐角.8.设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )＝______________.答案 (14，14，14) 解析如图所示，取BC 的中点E ，连接AE . OG →＝34OG 1→ ＝34(OA →＋AG 1→) ＝34OA →＋12AE → ＝34OA →＋14(AB →＋AC →) ＝34OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴x ＝y ＝z ＝14. 9.已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值.解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2).k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 方法二由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 10.如图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .(1)写出点E 、F 的坐标；(2)求证：A 1F ⊥C 1E ；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →. (1)解 E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0).(2)证明 ∵A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )，∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0，∴A 1F →⊥C 1E →，∴A 1F ⊥C 1E .(3)证明 ∵A 1、E 、F 、C 1四点共面，∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面.选A 1E →与A 1C 1→为在平面A 1C 1E 上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →，即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a )＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1. 于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.B 组专项能力提升(时间：25分钟)11.已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( )A.(4,0,3)B.(3,1,3)C.(1,2,3)D.(2,1,3) 答案 B解析设p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为x ，y ，z .则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，①因为p 在{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)∴p ＝4a ＋2b ＋3c ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2，z ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1，z ＝3，即p 在{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(3,1,3).12.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确命题的序号是________.答案 ①②解析 ①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3(A 1B 1→)2，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，∵AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD 1→|＝0，故④也不正确.13.(2015·浙江)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝__________，y 0＝________，|b |＝________. 答案 1 2 2 2解析方法一对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y 2，所以当x ＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y 2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2. 方法二 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12， ∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，e 2＝(1,0,0)，b ＝(m ，n ，t ).由题意知⎩⎨⎧ b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫52，32，t . ∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝⎛⎭⎫52－12x －y ，32－32x ，t ， ∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝⎛⎭⎫52－x 2－y 2＋⎝⎛⎭⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝ ⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322＋t 2＝2 2.14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →；(3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值.解设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， (1)EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14.(2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c )＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14.(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22.(4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.15.直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点.(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值.(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |. AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

8.6 空间向量及其运算

报
告一
(6)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
课
A→B＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1) ；
时作业
a1b1＋a2b2＋a3b3
报
(7)cos〈a，b〉＝ a21＋a22＋a32· b12＋b22＋b23 .
告
二
第8章第6节
第9页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
课
又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1
时作业
报告
＝12A→D＋A→A1＝12c＋a，
二
∴M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋a＋12c
＝32a＋12b＋32c.
第8章第6节
第29页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
[探究] 在本例的条件下，若M→N＝xa＋yb＋zc，求x，y，z
一
本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．课时
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
作业
报
3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数
告
二量积判断向量的共线与垂直．
第8章第6节
第3页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
一
课
报告一基础知识普查清单
时作
业
报告二
告
二
在△AOB中，HOPB＝HOAA，
所以za1＝a－a x，即有x＝a－z1.
第8章第6节
第16页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
所以点P的坐标为(a－z1，a－z1，z1)，
由已知，可设Q(0，a，z2)，

空间向量及其线性运算教案

3.1.1空间向量及其线性运算一、教学目标：1．运用类比的方法，经历向量及其线性运算由平面向空间推广的过程；2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3．理解空间向量共线（平行）的充要条件及共线向量定理．二、教学重难点：1.空间向量的线性运算及其性质．2.空间向量及其线性运算法则的运算．三、教学方法建议：新授课.启发式——引导发现.合作探究．四、教学流程与教学方法设计(A)类问题（学生自学）1.平面内既有大小又有方向的量叫平面向量．2.空间中既有大小又有方向的量叫空间向量．3.空间向量的加法和数乘运算满足的运算律．加法交换律：→→→→+=+a b b a ；加法结合律：)()(→→→→→→++=++c b a c b a ；数乘分配律：→→→→+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b k a k b a k . 4.共线向量定理：空间任意两个向量a ，b （a ≠0 ），a //b 的充要条件是→→=a b λ．(B)类问题（学生练习，教师点拨）5.如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：()111BA CA →→→=CB ＋； ()1122AC CB AA AM →=＋＋； ()113AA AC CB BA →=－－．(C)类问题（学生思考，教师点拨）6.如图，在长方体'''OADB CA D B -中，3=OA ，4=OB ，2=OC ，1===OK OJ OI ，点F E ,分别是'',B D DB 的中点．设OI i ＝，OJ j ＝，OK k ＝，试用向量i ，j ，k 表示OE 和OF ．→→→→→+=+=i j BE OB OE 234 →→→→→→++=+=k i j EF OE OF 2234 五、问题解决情况检测(A)类问题检测1.正方体1AC 中，点F E ,分别为棱BC 和11D A 的中点，求证：四边形F DEB 1为平行四边形．证明→→=F B DE 1即可(B)类问题检测2.已知空间四边形ABCD ，连结BD AC ,，设G M ,分别是CD BC ,的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD AD →=＋＋；（2）1()2AB BD BC AG →=＋＋.六、教学反思。

空间向量及其运算电子教案共92页

空间向量及其运算电子教案
41、实际上，我们想要的不是针对犯罪的法律，而是针对疯狂的法律。 ——马克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子跟随着身体一样。— —贝卡利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进步。— —杰弗逊 44、人类受制于法律，法律受制于情理。— —托·富勒
45、法律的制定是为了保证每一个人自由发挥自己的才能，而不是为了束缚他的才能。—— 罗伯斯庇尔
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力不思则罔，思而不学则殆。——孔子

2021高考数学课件8.6空间向量及其运算

第6节空间向量及其运算、空间向量基本定理、
空间向量及其运算的坐标表示
【教材回扣】
1．空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：
以空间一点 O 为原点，坐标原点具有相同的单位长度，给坐标轴定定正方向，建立两两垂直
义的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，建立了一个空间直角坐标平面坐标系 O－xyz
二、易错易混 3．在空间直角坐标系中，已知 A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)， D(4,3,0)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是( ) A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直
答案：B
解析：由题意得，A→B＝(－3，－3,3)，C→D＝(1,1，－1)，所以A→B ＝－3C→D，所以A→B与C→D共线，又 AB 与 CD 没有公共点，所以 AB∥CD.
－A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝ c，则下列向量中与B→M相等的向量是( )
A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C．－12a－12b＋c D.12a－12b＋c
答案：A
解析：B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B)
＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.
2．[选修一·P98 复习参考题 T3]正四面体 ABCD 的棱长为 2，E， F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为________．
答案： 2
解析： | E→F |2 ＝ E→F 2 ＝ ( E→C ＋ C→D ＋ D→F )2 ＝E→C 2 ＋ C→D 2 ＋ D→F 2 ＋ 2(E→C·C→D＋E→C·D→F＋C→D·D→F)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋ 2×1×cos 120°)＝2，∴|E→F|＝ 2，∴EF 的长为 2.

空间向量及运算教学设计

3.1空间向量及其运算教学设计教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证）⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.课堂练习课本P92练习Ⅳ.课时小结平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P106 1、2、⒉预习课本P92～P96，预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？。

空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何3、1 空间向量及其运算3、1、1 空间向量及其加减运算教学目标：知识与技能（1）通过本章得学习，使学生理解空间向量得有关概念。

（2）掌握空间向量得加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算得理解。

过程与方法（1）培养学生得类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。

（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律得意义。

（3）培养学生空间向量得应用意识情感态度与价值观通过本节课得学习，让学生在掌握知识得同时，体验发现数学得乐趣，从而激发学生努力学习得动力。

教学重点：（1）空间向量得有关概念；（2）空间向量得加减运算及其运算律、几何意义；（3）空间向量得加减运算在空间几何体中得应用教学难点：（1）空间想象能力得培养，思想方法得理解与应用。

（2）空间向量得加减运算及其几何得应用与理解。

课堂类型：新授课教学方法：研讨、探究、启发引导教学用具：多媒体教学过程：一、创设情境（老师）：以前我们学过平面向量，请问所有得向量都就是平面向量吗？比如：长方体中得过同一点得三条边上得向量（老师）：这三个向量与以前我们学过得向量有什么不同？（学生）：这就是三个向量不共面（老师）：不共面得向量问题能直接用平面向量来解决么？（学生）：不能，得用空间向量（老师）：就是得，解决这类问题需要空间向量得知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师）:实际上空间向量我们随处可见，常见得高压电线及支架所在向量。

二、讲授新课（老师）:接下来我们我们就来研究空间向量得知识、概念与特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比得方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量得知识。

（一）复习回顾平面向量得基本概念1、向量概念：在平面上既有大小又有方向得量叫向量；2、画法：用有向线段AB画出来；3、表示方式：AB或a（用小写得字母表示）；4零向量：在平面中长度为零得向量叫做零向量，零向量得方向就是任意得；5、单位向量：在平面中模为1得向量称为单位向量；6、相反向量：在平面中长度相等，方向相反得两个向量，互称为相反向量；7、相等向量：在平面中方向相同且模相等得向量称为相等向量；（二）空间向量得基本概念（老师）：其实空间向量就就是把向量放到空间中了，请同学们给空间向量下个定义，（学生）在空间中，既有大小又有方向得量（老师）：非常好，请大家类比平面向量得到空间向量得其她相关定义（提问学生）（学生）回答向量概念、画法、、表示方式及零向量（零向量得方向就是任意得）、单位向量、相反向量、相等向量得概念。

空间向量及其运算教案

空间向量及其运算教案
《空间向量及其运算教案》
嘿呀，同学们，今天咱来讲讲这个超有趣的空间向量及其运算呀！
就说有一次我在商场里逛街，看到一个巨大的摩天轮，哇，那可真是壮观呐！我就在想啊，这摩天轮的每个座舱的位置不就可以用空间向量来表示嘛。

你看哈，它有上下的高度，有左右的方向，还有前后的位置，这可不就是一个三维的空间向量嘛！然后呢，我又想到如果这个摩天轮要转动，那它每个座舱的向量不就会发生变化啦，这就是空间向量的运算呀。

比如说，座舱从这个位置转到了另一个位置，它的向量的各个分量都变了，就像我们在学习空间向量的加法、减法、数乘这些运算一样。

咱可以通过这些运算来精确地知道座舱移动后的位置呢。

哎呀，我越想越觉得空间向量真的是太有意思啦！就像这个摩天轮一样，看似很复杂，但其实用空间向量就能很好地理解和描述它。

所以呀，同学们，咱们可得好好学这空间向量及其运算哦，以后说不定还能用来设计更酷的游乐设施呢！哈哈！
好啦，这就是我今天要给大家讲的空间向量及其运算，希望大家能像我看到摩天轮那样，对空间向量充满兴趣，好好去探索和学习哟！。

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247 响水二中高三数学（理）一轮复习教案第八编立体几何主备人张灵芝总第40期 §8.6 空间向量及其运算基础自测

1.有4个命题：①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；

③若MP=xMA+yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是 . 答案 2 2.下列是真命题的命题序号是 . ①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

②若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

③若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD ④若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB∥CD 答案 ④ 3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则x= ,y= .

答案 61 -23 4.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是 . 答案 38,34,34 5.在四面体O-ABC中，OA=a,OB=b, OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点，则OE= (用a,b,c表示). 答案 21a+41b+41c 例题精讲

例1 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设1AA=a，AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，

BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： 248

（1）AP；（2）NA1；（3）MP+1NC. 解（1）∵P是C1D1的中点，∴AP=1AA+11DA+PD1=a+AD+2111CD =a+c+21AB=a+c+21b.

（2）∵N是BC的中点，∴NA1=AA1+AB+BN=-a+b+21BC=-a+b+21AD=-a+b+21c. （3）∵M是AA1的中点，∴MP=MA+AP=21AA1+AP=-21a+(a+c+21b)= 21a+21b+c，又1NC=NC+1CC=21BC+1AA=21AD+1AA=21c+a， ∴MP+1NC=(21a+21b+c)+(a+21c) =23a+21b+23c. 例2 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，（1）求证：E、F、G、H四点共面；（2）求证：BD∥平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有 OM=41（OA+OB+OC+OD）.

证明（1）连接BG，则EG=EB+BG=EB+21（BC+BD）= EB+BF+EH=EF+EH，由共面向量定理的推论知： E、F、G、H四点共面. （2）因为EH=AH-AE=21AD-21AB=21（AD-AB）=21BD，所以EH∥BD. 又EH平面EFGH， BD平面EFGH，所以BD∥平面EFGH. （3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. 由（2）知EH=21BD，同理FG=21BD，所以EH=FG，即EH FG，所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG，FH交于一点M且被M平分. 249

故OM=21（OE+OG）=21OE+21OG=21[21（OA+OB）]+21[21（OC+OD）] =41（OA+OB+OC+OD）. 例3 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点. （1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值. （1）证明设AB=p, AC=q，AD=r. 由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°. MN=AN-AM=21（AC+AD）-21AB=21（q+r-p），

∴MN·AB=21（q+r-p）·p=21（q·p+r·p-p2）=21（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0. ∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD. （2）解由（1）可知MN=21（q+r-p）∴|MN|2=MN2=41（q+r-p）2 =41［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］=41[a2+a2+a2+2（22a-22a-22a）=41×2a2=22a. ∴|MN|=22a,∴MN的长为22a. (3)解设向量AN与MC的夹角为.∵AN=21(AC+AD)=21(q+r), MC=AC-AM=q-21p, ∴AN·MC=21（q+r）·（q-21p）=21（q2-21q·p+r·q-21r·p） =21(a2-21a2·cos60°+a2·cos60°-21a2·cos60°) =21（a2-42a+22a-42a）=22a. 又∵|AN|=|MC|=a23，∴AN·MC=|AN|·|MC|·cos=a23·a23·cos=22a. ∴cos=32，∴向量AN与MC的夹角的余弦值为32，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为32. 250

例4（1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a·x=-18的向量x的坐标；（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得AP=2

（AB-AC）；（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a与b夹角的余弦值；③确定，的值使

得a+b与z轴垂直，且（a+b）·（a+b）=53. 解（1）∵x与a共线，故可设x=ka，由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k（414）2=9k， ∴9k=-18，故k=-2.∴x=-2a=（-4，2，-4）. （2）设P（x，y，z），则AP=（x-2，y+1，z-2），AB=（2，6，-3），AC=（-4，3，1）， ∵AP=21（AB-AC）.∴（x-2，y+1，z-2）=21［（2，6，-3）-（-4，3，1）］

=21（6，3，-4）=(3，23，-2)∴2223132zyx，解得0215zyx∴P点坐标为(5，21，0). （3）①a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a|=222)4(53=52,|b|=222812=69, ∴cos〈a,b〉=baba =692521=-2301387.∴a与b夹角的余弦值为-2301387. ③取z轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）. 依题意530banbaba 即534,6,584,5,2301,0,084,5,23

故534829084 解得211. 巩固练习

1.已知六面体ABCD—A′B′C′D′是平行六面体.

（1）化简21AA+BC+32AB,并在图上标出其结果；（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′ 251

对角线BC′上的43分点，设MN=AB+AD+AA，试求,,的值. 解（1）如图所示，取AA′的中点E，则21AA=AE.在D′C′上取点F，使FD=32CD，因为AB=CD，所以32AB=32CD=FD. 又BC=DA,从而21AA+BC+32AB=AE+DA+FD=EF. (2)MN= MB+BN=21DB+43CB=21(DA+AB)+43 (BC+CC) =21(-AD+AB)+43(AD+AA)=21AB+41AD+43AA, 可见,=21,=41, =43. 2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1. 证明设11BC=a，11DC=b，CC1=c， ∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴CB1=c-a，又O是B1D1的中点，∴OC1=21（a+b），∴1OC=-21（a+b） 1OD=11DC-OC1=b-21（a+b）=21（b-a）. ∵D1D C1C，所以DD1=c， ∴OD=1OD+DD1=21（b-a）+c.若存在实数x、y，使CB1=xOD+y1OC（x，y∈R）成立，则c-a=x[21（b-a）+c]+y[-21（a+b）] =-21（x+y）a+21（x-y）b+xc. ∵a、b、c不共线，

∴.1,0)(21,121xyxyx得.1,1yx∴CB1=OD+1OC，∴CB1、OD、1OC是共面向量， ∵CB1不在OD、1OC所确定的平面ODC1内，∴B1C∥平面ODC1. 252

3.如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. （1）求证：AO、BO、CO两两垂直；（2）求〈DM,AO〉. (1)证明设VA=a,VB=b, VC=c,正四面体的棱长为1,

则VD=31(a+b+c),AO=61(b+c-5a), BO=61(a+c-5b), CO=61(a+b-5c) ∴AO·BO=361（b+c-5a）·（a+c-5b）=361（18a·b-9|a|2） =361（18×1×1·cos60°-9）=0.∴AO⊥BO，∴AO⊥BO，同理AO⊥CO，BO⊥CO， ∴AO、BO、CO两两垂直. （2）解 DM=DV+VM=-31（a+b+c）+21c=61(-2a-2b+c).

∴|DM|=22261cba=21， |AO|=2561acb=22，

DM·AO=61（-2a-2b+c）·61（b+c-5a）=41，∴cos〈DM,AO〉=222141=22，

∵〈DM,AO〉∈(0,),∴〈DM, AO〉=45°. 4.如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,

cos〈DP,AE〉=33. (1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标; (2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB. 解 (1)如图所示,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0），设P（0，0，2m），则E（1，1，m），