福建省福州市五校2015-2016学年高二数学下学期期中联考试题理

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福建省福州第一中学2015-2016学年高二下学期暑假作业(一)数学(理)试题含答案

2016年高二理科数学暑假作业（1）班级座号_____ 姓名_____ 1.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若iiy x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），则12,10,y yy 的均值和方差分别为 ( ）A ．1+,4aB ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4+a2。

如图,某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为（ )A ．3131255y xx =-B ．3241255y xx =- C ．33125y x x =-D ．3311255y x x =-+3. 若()12f x x x a=+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ) A 。

5或8B 。

−1或5 C.−1或4D 。

−4或84. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ,||||1a b ==,0a b ⋅=，点Q 满足2()OQ a b =+。

曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤<，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<，若C Ω是两段分离的曲线，则（)A 。

13r R <<<B 。

13r R <<≤C.13r R ≤<<D 。

13r R <<<地面跑道22-55-Ax yO5。

在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,()0,2,0C,(D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ) （A)123SS S ==（B ）12SS =且 31S S ≠（C ）13SS =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠6.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好。

2015-2016年福建省南平市浦城县高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2015-2016学年福建省南平市浦城县高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分,共12题,共60分）1．（5分）化简的结果为（）A．5B．C．﹣D．﹣52．（5分）i为虚数单位，复数Z＝+i3＝（）A．﹣2i B．2i C．﹣1D．13．（5分）已知a＝log43，b＝ln3，c＝10，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 4．（5分）设f（x）＝2x﹣lnx，x∈（0，e），则f（x）的最小值为（）A．2e﹣1B．1﹣ln2C．2﹣D．1+ln25．（5分）设a＝dx，b＝cos xdx，则（）A．a＞b B．a＜b C．a+b＝1D．a+b＜16．（5分）关于函数f（x）＝log（1﹣2x）的单调性，叙述正确的是（）A．f（x）在（，+∞）内是增函数B．f（x）在（，+∞）内是减函数C．f（x）在（﹣∞，）内是增函数D．f（x）在（﹣∞，）内是减函数7．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝（）A．28B．76C．123D．1998．（5分）若函数f（x）＝2﹣|x|+c有零点，则实数c的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1]C．[﹣1，0）D．（0，+∞）9．（5分）由0，1，2，3可以组成没有重复数字的三位数共有（）个．A．18B．24C．64D．8110．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）＝f（﹣2）＝f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3B．3＜c≤6C．6＜c≤9D．c＞911．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）在满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且区间[0，2]上单调递增，则（）A．f（﹣1）＜f（3）＜f（4）B．f（4）＜f（3）＜f（﹣1）C．f（3）＜f（4）＜f（﹣1）D．f（﹣1）＜f（4）＜f（3）12．（5分）设函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x＝﹣1为函数y＝f（x）e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题。

2015-2016学年福建省泉州市五校联考高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年福建省泉州市五校联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数（a∈R）是纯虚数，i是虚数单位，则a的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2C．D．3．设函数f（x）=，则f（1+log23）的值为（）A．B．C．D．124．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为B．t的取值必定是3.15C．回归直线一定过点（4，5，3，5）D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．6．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误7．设a，b∈（0，+∞），则a+（）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于28．已知曲线C 的参数方程为（t 为参数），C 在点（1，1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为（）A ．ρcos θ+ρsin θ=2B ．ρcos θ﹣ρsin θ=2C ．ρcos θ+ρsin θ=D ．ρcos θ﹣ρsin θ=9．[]表示不超过的最大整数．若S 1=[]+[]+[]=3，S 2=[]+[]+[]+[]+[]=10，S 3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21， …，则S n =（）A ．n （n +2）B ．n （n +3）C ．（n +1）2﹣1D ．n （2n +1） 10．已知函数f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）（其中a ＞b ），若f （x ）的图象如图所示，则函数g （x ）=a x +b 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的偶函数y=f （x ）在[0，+∞）上递减，且=0，则满足的x 的集合为（）A ．B ．C ．D ．12．偶函数f （x ）满足f （x ）=f （2﹣x ），且当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）=cos ﹣1，若函数g （x ）=f （x ）﹣log a x 有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．（2，4）D ．（3，5）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知集合M={0，1，3}，N={x |x=3a ，a ∈M }，则M ∪N= ． 14．函数f （x ）=的定义域为．15．在极坐标系中，点P的距离等于．16．已知函数f （x ）为奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x 2﹣1，若f （a ）=﹣2，则a= ．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？18．已知函数f （x ）=a ﹣是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（1）求a 的值；（2）试判断函数f （x ）在（﹣1，1）上的单调性并证明；（3）若f （x ﹣1）+f （x ）＜0，求x 的取值集合． 19．已知：sin 230°+sin 290°+sin 2150°=；sin25°+sin265°+sin2125°=；sin212°+sin272°+sin2132°=；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予的证明．20．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．21．已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈（1，2]使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2015-2016学年福建省泉州市五校联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数（a ∈R ）是纯虚数，i 是虚数单位，则a 的值是（） A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解： ==，由复数（a ∈R ）是纯虚数，得，解得a=2．故选：A ．2．下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A ．B ．y=x 2C ．D ．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】本题利用函数的单调性和奇偶性定义判断选项中的函数是否符合条件，得到本题结论．【解答】解：选项A ，∵f （x ）=，f （﹣x ）==﹣f （x ），∴y=是奇函数，不合条件；选项B ，y=x 2在（0，+∞）单调递增，不合条件；选项C ，∵，f （﹣x ）=，∴f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）上是减函数，符合条件；选项D，∵，f（﹣x）=（）﹣x=2x，∴不是偶函数，不符合条件．故答案为：C．3．设函数f（x）=，则f（1+log23）的值为（）A．B．C．D．12【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的性质，把x=1+log23分别反复代入f（x﹣1）直到x≤0，再代入相应的函数解析式，从而求解；【解答】解：∵2＜1+log23＜3，∴﹣1＜1+log23﹣3＜0，即f（1+log23）=f[（1+log23）﹣1）]=f（log23）∵log23＞0f（log23）=f（log23﹣1），∵log23﹣1＞0∴f（log23﹣1）=f（log23﹣2），∵log23﹣2=log2≤0，∴f（log23﹣2）=f（log2）=（）=2=，故选：C4．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为B．t的取值必定是3.15C．回归直线一定过点（4，5，3，5）D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【考点】线性回归方程．【分析】先求出这组数据的，把代入线性回归方程，求出，即可得到结果．【解答】解：由题意，==4.5，∵=0.7x+0.35，∴=0.7×4.5+0.35=3.5，∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3，故选：B．5．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论．【解答】解：类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，故选：B．6．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误【考点】进行简单的演绎推理．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些…”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C．7．设a，b∈（0，+∞），则a+（）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2【考点】不等式比较大小．【分析】利用反证法证明，假设a+，b+都小于或等于2，然后找出矛盾，从而得到结论．【解答】解：假设a+，b+都小于或等于2，即a+≤2，b+≤2，将两式相加，得a++b+≤4，又因为a+≥2，b+≥2，两式相加，得a++b+≥4，与a++b+≤4，矛盾所以a+，b+至少有一个不小于2．故选D．8．已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为（）A．ρcosθ+ρsinθ=2 B．ρcosθ﹣ρsinθ=2C．ρcosθ+ρsinθ=D．ρcosθ﹣ρsinθ=【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】化参数方程与普通方程，求出圆的圆心与半径，求出切线的斜率，然后求解切线方程，转化为极坐标方程．【解答】解：因为曲线C的参数方程为（t为参数），所以其普通方程为x2+y2=2，即曲线C为以原点为圆心，为半径的圆．由于点（1，1）在圆上，且该圆过（1，1）点的半径的斜率为1，所以切线l的斜率为﹣1，其普通方程为x+y﹣2=0，化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2．故选：A．9．[]表示不超过的最大整数．若S1=[]+[]+[]=3，S2=[]+[]+[]+[]+[]=10，S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21，…，则S n=（）A．n（n+2） B．n（n+3） C．（n+1）2﹣1 D．n（2n+1）【考点】归纳推理．【分析】先根据条件，观察S1，S2，S3…的起始数、项数的规律，再根据规律归纳推理，得到S n的起始数、项数，从而求出S n．【解答】解：第一个等式，起始数为：1，项数为：3=4﹣1=22﹣12，S1=1×3；第二个等式，起始数为：2，项数为：5=9﹣4=32﹣22，S2=2×5；第三个等式，起始数为：3，项数为：7=16﹣9═42﹣32，S3=3×7；…第n个等式，起始数为：n，项数为：（n+1）2﹣n2=2n+1，S n=n（2n+1），（n∈N*）．故选：D．10．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g （x）=a x+b的图象大致为（）A．B． C．D．【考点】指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．11．定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且=0，则满足的x的集合为（）A．B．C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由于函数y=f（x）为R上的偶函数，所以f（x）=f（|x|），又由于y=f（x）在[0，+∞）上单调递减，所以要求的⇔⇔，然后解出含绝对值的对数不等式即可．【解答】解：因为定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且=0，则满足⇔⇔⇔或⇒0＜x＜或x＞2故选D．12．偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（2，4）D．（3，5）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得，函数f（x）的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，函数f（x）是周期为2，函数y=f（x）的图象和函数y=log a x有的图象有且仅有3个交点，数形结合可得，由此求得a的范围．【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），故函数的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，故函数f（x）是周期为2．由当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，可得函数f（x）的图象，如图所示：由题意可得，函数y=f（x）的图象和函数y=log a x有的图象有且仅有3个交点，故有，求得＜a＜，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N={0，1，3，9} ．【考点】并集及其运算．【分析】由题意求出集合N，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：∵M={0，1，3}，∴N={x|x=3a，a∈M}={0，3，9}，则M∪N={0，1，3，9，}．故答案为：{0，1，3，9}．14．函数f（x）=的定义域为（﹣2，1] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的定义可知1﹣x≥0且根据对数函数定义得x+2＞0，联立求出解集即可．【解答】解：因为f（x）=，根据二次根式定义得1﹣x≥0①，根据对数函数定义得x+2＞0②联立①②解得：﹣2＜x≤1故答案为（﹣2，1]15．在极坐标系中，点P的距离等于．【考点】点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】点的极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中，点P化为直角坐标为，化为，到的距离，即为P的距离，所以距离为．故答案为：．16．已知函数f （x ）为奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x 2﹣1，若f （a ）=﹣2，则a=．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用f （a ）=﹣2，分类讨论，即可求出a 的值．【解答】解：∵f （a ）=﹣2，∴若a ＜0，则a 2﹣1=﹣2，方程无解；若a ＞0，则﹣a ＜0，依题意，f （﹣a ）=（﹣a ）2﹣1=2， ∴a=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…∴P（A）=…．．K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…．所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．18．已知函数f（x）=a﹣是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（1）求a的值；（2）试判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性并证明；（3）若f（x﹣1）+f（x）＜0，求x的取值集合．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）根据题意，f（x）为奇函数且在原点有定义，从而有f（0）=0，这样便可解出a的值；（2）根据反比例函数、指数函数及复合函数的单调性便可判断f（x）在（﹣1，1）上为增函数，根据增函数的定义：设任意的x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，然后作差，通分，根据指数函数的单调性及值域便可得出f（x1）＜f（x2），这样便得出f（x）在（﹣1，1）上为增函数；（3）根f（x）为奇函数便可由f（x﹣1）+f（x）＜0得到f（x﹣1）＜f（﹣x），再由f（x）在定义域（﹣1，1）上为增函数便可得到，从而解该不等式组即可得出x 的取值范围．【解答】解：（1）由题意得；（2）由（1）可知，函数f （x）在区间（﹣1，1）上为增函数；证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜1，则：f （x1）﹣f （x2）===；∵﹣1＜x1＜x2＜1；∴；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣1，1）上为增函数；（3）f（x﹣1）+f（x）＜0⇔f（x﹣1）＜﹣f（x）因为f（x）为奇函数，所以﹣f（x）=f（﹣x）；则不等式可变形为f（x﹣1）＜f（﹣x），因为f（x）在（﹣1，1）上为增函数；所以；解得；∴x的取值集合为．19．已知：sin230°+sin290°+sin2150°=；sin25°+sin265°+sin2125°=；sin212°+sin272°+sin2132°=；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予的证明．【考点】归纳推理．【分析】通过所给的等式归纳出一般形式，利用二倍角的余弦公式将等式的左边降幂求出左边的值，即得到证明．【解答】解：一般形式：sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=…证明左边=…==﹣sin2αsin240°]…=…==右边∴原式得证…（将一般形式写成sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=，sin2（α﹣240°）+sin2（α﹣120°）+sin2α=等均正确，其证明过程可参照给分．）20．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得圆的直角坐标方程；（2）求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由ρ=2cosθ，可得：ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1 …（2）在直角坐标系中A（0，3），B（，）所以|AB|==3，直线AB的方程为：x+y=3所以圆心到直线AB的距离d==，又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为+1故△ABP面积的最大值为S==…21．已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈（1，2]使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．由a∈（1，2]知2a＞a+1＞a﹣1，∴y=f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t•4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴，设，∵存在a∈（1，2]使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴h（a）max=，∴1＜t＜．2016年8月25日。

2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题(答案)

n
2 30
4 40
5 60
6 50
8 70
(1) 求回归直线方程； (2) 试预测广告费支出为 10 百万元时，销售额多大？
ˆ b
(x
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i
x)( yi y ) ,
i
(x
x)
2
ˆx ˆ y b a
18. （ 12 分）如图， ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E （1）证明： ABE
5 D. ( 3 2 , 4 )
9. 极坐标系中，以（9， 3 ）为圆心，9 为半径的圆的极坐标方程为(
A.
)
18cos （ - ）
3
B.
18cos （ - ）
3
3 3 C. D. 10．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD⊥AB，垂足为 D，AC＝12， BC＝5，则 CD 的长为( )
2015-2016 学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文含答案)
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，计 60 分） 5i 1.复数＝( 1－2i A．2－i ) C．－2＋i
2 2
B．1－2i
D．－1＋2i )
2.用反证法证明命题“ 若a b 0, 则a、b全为0(a、b R)”,其反设正确的是( A. a、b至少有一个为0 C. a、b全不为0 B. a、b至少有一个不为0 D. a、b中只有一个为0
16. 如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB//DC, 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E. 若 AB = AD = 5, BE = 4, 则弦 BD 的长为 .
三、解答题（共 6 题，70 分） 17（ 10 分）某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位：百万元)之间有如下对应数据： x y

福建省四地六校2015-2016学年高二下学期第二次联考数

2015-2016学年福建省四地六校高二（下）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.）1．若复数（1+ai）2﹣2i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣12．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调递减区间为（）A．（0，1） B．（﹣1，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）3．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种4．如图，在正方形OABC内．阴影部分是由两曲线y=，y=x2（0≤x≤1），在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．5．已知随机变量X服从二项分布B（4，），则D（3X+1）=（）A．3 B．4 C．9 D．106．已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）•f′（x）＜0的解集为（）A ．（﹣2，0）B ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D ．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）7．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=BC=AA 1，∠ACB=90°，则直线A 1C 与平面A 1BC 1所成的角的大小为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°8．若点P 是曲线y=2x ﹣e x 上任意一点，则点P 到直线y=x 的最小距离为（）A．1 B ． C ． D ．9．（x +2+）5的展开式中，x 2的系数为（） A ．45 B ．60 C ．90 D ．12010．袋子中装有各不相同的5个白球和3个红球，不放回地依次随机取两个，已知第一次取到的是红球，则第二次取到的也是红球的概率是（）A ．B ．C ．D ．11．双曲线的左右焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上一点，满足|PF 2|=|F 1F 2|，直线PF 1与圆x 2+y 2=a 2相切，则双曲线的离心率为（）A． B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=x ﹣存在单调递减区间，且y=f （x ）的图象在x=0处的切线l 与曲线y=e x 相切，符合情况的切线l （） A ．有3条 B ．有2条 C ．有1条 D ．不存在二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（+x ）dx= ．14．在一个由三个元件A ，B ，C 构成的系统中，已知元件A ，B ，C 正常工作的概率分别是，，，且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为：．15．观察下列数表：设1025是该表第m行的第n个数，则m+n=．16．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为．三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；（2）求恰有2条线路没有被选择的概率；（3）求至少有一个旅游团选择甲线路旅游的概率．18．设函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R（1）当a=2时，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是边长为a的正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，E是AD的中点，F是PB的中点．（1）求证：EF∥平面PCD．（2）求二面角B﹣EC﹣F的余弦值．20．每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情．2015年中秋节期间，小鲁在自己的微信校友群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同．（1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，1个红包有10元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为X元，求X的分布列和数学期望．21．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值．22．已知实数a，函数f（x）=e x﹣1﹣ax的图象与x轴相切．（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；（2）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．2015-2016学年福建省四地六校高二（下）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.）1．若复数（1+ai）2﹣2i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值．【解答】解：（1+ai）2﹣2i=1﹣a2+2ai﹣2i，∵（1+ai）2﹣2i是纯虚数，∴，即a=﹣1．故选：D．2．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调递减区间为（）A．（0，1） B．（﹣1，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．【解答】解：由f（x）=x2﹣2lnx，得：f′（x）=（x2﹣2lnx）′=2x．因为函数f（x）=x2﹣2lnx的定义域为（0，+∞），由f′（x）＜0，得：2x＜0，即（x+1）（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1．所以函数f（x）=x2﹣2lnx的单调递减区间是（0，1）．故选：A．3．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种【考点】计数原理的应用．【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，∵恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，根据分步计数原理知共有6×4=24种结果故选B．4．如图，在正方形OABC内．阴影部分是由两曲线y=，y=x2（0≤x≤1），在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由定积分求阴影面积，由几何概型可得．【解答】解：由题意和定积分可得阴影部分面积：S=（﹣x2）dx=（﹣x3）=﹣=，∴由几何概型可得此点取自阴影部分的概率P=故选：B5．已知随机变量X服从二项分布B（4，），则D（3X+1）=（）A．3 B．4 C．9 D．10【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】随机变量X服从二项分布B（4，），可得D（X）=1．则D（3X+1）=9D （X）．【解答】解：∵随机变量X服从二项分布B（4，），∴D（X）=4×=1．则D（3X+1）=9D（X）=9．故选：C．6．已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）•f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）【考点】导数的运算．【分析】函数y=f（x）（x∈R）的图象得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，得不等式f（x）f′（x）＜0的解集【解答】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0，在（﹣1，0）上小于0，∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．故选B．7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，则直线A1C与平面A1BC1所成的角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】直线与平面所成的角．【分析】由已知证得平面A1BC1⊥平面BB1C1C，连接B1C交BC1于O，则CO⊥BC1，可得CO⊥平面A1BC1．即∠CA1O为直线A1C与平面A1BC1所成的角．然后求解直角三角形得答案．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥A1C1，又，∠ACB=90°，∴A1C1⊥B1C1，则A1C1⊥平面BB1C1C，又A1C1⊂平面A1BC1，∴平面A1BC1⊥平面BB1C1C，连接B1C交BC1于O，则CO⊥BC1，∴CO⊥平面A1BC1．∴∠CA1O为直线A1C与平面A1BC1所成的角．设AC=BC=AA1=a，则，CO=，在Rt△A1OC中，sin，∴直线A1C与平面A1BC1所成的角的大小为30°．故选：A．8．若点P是曲线y=2x﹣e x上任意一点，则点P到直线y=x的最小距离为（）A．1 B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】对函数y=f（x）=2x﹣e x求导，直线y=x的斜率k=1，当斜率为1且与曲线相切的直线L与直线y=x的距离最小．【解答】解：对函数y=f（x）=2x﹣e x求导：f'（x）=2﹣e x；直线y=x的斜率k=1，当斜率为1且与曲线相切的直线L与直线y=x的距离最小．当f'（x）=1时，解得x=0；所以知f（0）=﹣1；故直线L方程为：y+1=x；利用两平行之间的距离公式d===故选：C．9．（x+2+）5的展开式中，x2的系数为（）A．45 B．60 C．90 D．120【考点】二项式定理的应用．【分析】利用完全平方公式对原式变形可知，问题即求（+）10的展开式中x2的系数，进而计算可得结论．【解答】解：∵x+2+=（+）2，∴（x+2+）5=（+）10，=•=x5﹣k，∴T k+1令5﹣k=2，则k=3，故x2的系数为=120，故选：D．10．袋子中装有各不相同的5个白球和3个红球，不放回地依次随机取两个，已知第一次取到的是红球，则第二次取到的也是红球的概率是（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】设第一次取出的是红球为事件A，第二次也取到红球为事件B，先求出P（AB）的概率，然后利用条件概率公式进行计算即可．【解答】解：设第一次取出的是红球为事件A，第二次也取到红球为事件B．则由题意知，P（A）=，P（AB）==，所以已知第一次取出的是红球，则第二次也取到红球的概率为P（B|A）==，故选：D．11．双曲线的左右焦点为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设PF1与圆相切于点M，利用|PF2|=|F1F2|，及直线PF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．【解答】解：设PF1与圆相切于点M，因为|PF2|=|F1F2|，所以△PF1F2为等腰三角形，所以|F1M|=|PF1|，又因为在直角△F1MO中，|F1M|2=|F1O|2﹣a2=c2﹣a2，所以|F1M|=b=|PF1|①又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a ②，c2=a2+b2③由①②③解得=．故选D．12．已知函数f（x）=x﹣存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=e x相切，符合情况的切线l（）A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，讨论a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切线l的方程，再假设l与曲线y=e x相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得x0﹣﹣1=0，设h（x）=e x x﹣e x﹣1，求出导数和单调区间，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判断不存在．【解答】解：函数f（x）=x﹣的导数为f′（x）=1﹣e，依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0时，f′（x）＜0 在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；②a＞0时，f′（x）＞0即a＞e，lna＞，x＜alna符合题意，则a＞0．易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1﹣）x﹣1．假设l与曲线y=e x相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得，设h（x）=e x x﹣e x﹣1，则h′（x）=e x x，令h′（x）＞0，则x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则，而a＞0时，，与矛盾，所以不存在．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（+x）dx=．【考点】定积分．【分析】利用定积分的法则分步积分以及几何意义解答．【解答】解：∵dx 表示已原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，∴dx=π，∴（+x ）dx=dx +xdx=+x 2|=，故答案为：．14．在一个由三个元件A ，B ，C 构成的系统中，已知元件A ，B ，C 正常工作的概率分别是，，，且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为：．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【分析】由题意用A ，B ，C 三个不同的元件连接成一个系统N ．当元件C 正常工作且元件A ，B 至少有一个正常工作时，系统正常工作．先算出A ，B 至少有一个通的概率，再利用乘法原理求值．【解答】解：A ，B 都不工作的概率为（1﹣）（1﹣）=，故A ，B 至少有一个正常工作的概率是．又元件C 正常工作的概率依次为，故系统能正常工作的概率等于×=．故答案为．15．观察下列数表：设1025是该表第m行的第n个数，则m+n=12．【考点】归纳推理．【分析】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2个数，第三行4个数，第四行8个数，…第10行有29个数，分别求出左起第1个数的规律，按照此规律，求出答案即可．【解答】解：根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1…第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023，第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m=10，n=2，所以m+n=12；故答案为：12．16．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为{x|x＞1} ．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】令辅助函数F（x）=，求其导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F（x）的单调性，利用单调性判断出由不等式＞的关系，利用不等式的性质得到结论．【解答】解：令F（x）=，则F′（x）=，∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，∴F（x）=为定义域上的减函数，由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，得：＞，∴＜x，∴x＞1，故答案为：{x|x＞1}．三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；（2）求恰有2条线路没有被选择的概率；（3）求至少有一个旅游团选择甲线路旅游的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）基本事件数为n=43，3个旅游团选择3条不同线路包含的基本事件个数m1=A，由此能求出3个旅游团选择3条不同的线路的概率．（2）基本事件数为n=43，恰有两条线路没有被选择包含的基本事件个数m2=，由此能求出恰有2条线路没有被选择的概率．（3）利用对立事件概率计算公式能求出至少有一个旅游团选择甲线路旅游的概率．【解答】解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1==．（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2==．（3）至少有一个旅游团选择甲线路旅游的概率：p3=1﹣=．18．设函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R（1）当a=2时，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，得到关于a 的不等式组，求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=2时，f（x）=x2﹣x﹣lnx，（x＞0），f′（x）=2x﹣1﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，1）=0；∴f（x）极小值=f（（2）f′（x）=ax﹣1﹣，若f（x）在[2，+∞）递增，则g（x）=ax2﹣x﹣1≥0在[2，+∞）恒成立，a=0时，﹣x﹣1≥0在[2，+∞）不成立，a≠0时，显然a＞0，由，解得：a≥．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是边长为a的正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，E是AD的中点，F是PB的中点．（1）求证：EF∥平面PCD．（2）求二面角B﹣EC﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PC的中点M，连结FM，DM，可证明四边形DEFM是平行四边形，于是EF∥DM，故而EF∥平面PCD；（2）以E为原点，以EB，EA，EP为坐标轴建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】证明：（1）取PC的中点M，连结FM，DM，∵F是PB的中点，M是PC的中点，∴FM∥BC，FM=BC，∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴DE∥FM，DE=FM．∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF∥DM，又EF⊄平面PCD，DM⊂平面PCD，∴EF ∥平面PCD ．（2）∵△PAD 是边长为a 的正三角形，E 是AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，E 是AD 的中点， ∴BE ⊥AD ．以E 为原点，以EB ，EA ，EP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则E （0，0，0），B （a ，0，0），P （0，0，a ），C （a ，﹣a ，0），F （a ，0， a ）．∴=（a ，﹣a ，0），=（a ，0，a ）．设平面ECF 的法向量为=（x ，y ，z ），则，∴，令x=1得=（1，，﹣1），又PE ⊥平面ABCD ，∴=（0，0，1）为平面BCE 的一个法向量．∴cos ＜＞===﹣．由图可知二面角B ﹣EC ﹣F 为锐角，∴二面角B ﹣EC ﹣F 的余弦值为．20．每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情．2015年中秋节期间，小鲁在自己的微信校友群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同．（1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，1个红包有10元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为X元，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“甲至少得1红包”为事件A，由已知利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．（2）由题意知X可能取值为0，5，10，15，20，分别求出相应的概率，由此能求出X分布列和E（X）．【解答】解（1）设“甲至少得1红包”为事件A，由题意得：…（2）由题意知X可能取值为0，5，10，15，20．…∴X的分布列为：E（X）=++=．…21．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）运用离心率公式和a，b，c的关系，以及两点的距离公式，解方程可得椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+2代入椭圆，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得三角形的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：（I）由已知得，又由a2=b2+c2，可得a2=3c2，b2=2c2，得椭圆方程为，因为点M在第一象限且MF2⊥x轴，可得M的坐标为，由，解得c=1，所以椭圆方程为；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+2代入椭圆，可得（3k2+2）x2+12kx+6=0，由△＞0，即144k2﹣24（3k2+2）＞0，可得3k2﹣2＞0，则有所以，因为直线y=kx+2与轴交点的坐标为（0，2），所以△OAB的面积，令3k2﹣2=t，由①知t∈（0，+∞），可得，所以t=4时，面积最大为．22．已知实数a，函数f（x）=e x﹣1﹣ax的图象与x轴相切．（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；（2）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数图象与x轴相切，求出a的值，从而求出函数的单调区间；（2）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性以及f（x）＞m（x﹣1）lnx，求出m的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣1﹣a，设切点为（x0，0），依题意，，解得，所以f′（x）=e x﹣1﹣1．当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．（2）令g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）lnx，x＞0．则g′（x）=e x﹣1﹣m（lnx+）﹣1，令h（x）=g′（x），则h′（x）=e x﹣1﹣m（+），（ⅰ）若m≤，因为当x＞1时，e x﹣1＞1，m（+）＜1，所以h′（x）＞0，所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上单调递增．又因为g′（1）=0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx成立；（ⅱ）若m＞，可得h′（x）在（0，+∞）上单调递增．因为h′（1）=1﹣2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，所以存在x1∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x1）=0，且当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x1）上单调递减，又因为g′（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（1，x1）上单调递减，而g（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx不成立．纵上所述，k的取值范围是（﹣∞，]．2017年1月15日。

精品：【全国百强校】福建省福州市第八中学2015-2016学年高二下学期期中考试文数试题(解析版)

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |3x ≥}，则P ∩Q 等于（） A ．{x |3≤x <4} B ．{x |－3<x <4} C ．{x |2≤x <3}D ．{x |2≤x ≤3}【答案】A考点：集合的运算.2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（） A ．(1,1) B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-【答案】D 【解析】试题分析：因i z +-=1,故应选D. 考点：复数的运算.3.设[),0,a b ∈+∞，A B =+=A,B 的大小关系是（）A.A B ≤B.A B ≥C.A B <D.A B >【答案】B 【解析】试题分析：因00≥⇒≥ab ab ,故b a ab b a +≥++2,所以应选B.考点：不等式的性质.4.小明想沏壶茶喝，当时的情况是，开水没有，烧开水需要15分钟，烧开水的壶要洗，需要1分钟，沏茶的壶和茶杯要洗，需2分钟，茶叶已有，取茶叶需1分钟，沏茶也需1分钟，小明要喝到自己所沏的茶至少需要花的时间为（）A.16分钟B. 19分钟C.20分钟D.17分钟【答案】D【解析】试题分析：因洗沏茶的壶和茶杯的2分钟可以在烧水的时候做,取茶也可以与烧水同步,故至少需17分钟就可以了,故应选D.考点：算法及运用.5.《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．合情推理B．归纳推理C．类比推理 D．演绎推理【答案】D考点：推理的形式.6．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根【答案】A【解析】试题分析：因至少有一个实数根的反面是无实数根,故应选A.考点：反证法及运用.7．已知x，y之间的一组数据如下表：对于表中数据则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是（）A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝85x －25D ．y ＝32x【答案】C 【解析】试题分析：因8598643,4565432=++++==++++=y x ,通过计算可知拟合程度最好的是直线5258-=x y ,故应选C. 考点：线性回归方程及运用.8.执行如图所示的程序框图,则输出的k 的值是（） A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】考点：算法流程图的理解和识读.9．函数f (x )）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(2，＋∞)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：因0)(log 1221>-x ,故1log 121<<-x ,由对数函数的性质可得221<<x ,故应选A. 考点：对数不等式的解法.10.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为（） A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 【答案】B考点：归纳推理及运算.【易错点晴】解答本题的关键是探寻出整数解的个数的表达式所存在的规律,这是进行归纳猜想的合情推理的基础,也是进行归纳、猜想的阶梯.本题的解答过程是通过对方程的整数解的个数的数字分析探究,不难发现当n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=时,整数解的个数为n ⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯4,44,34,24,14,这说明个数的都是项数的四倍,即方程的整数解的个数的通项是n a n 4=,再取20=n ,就获得答案80.运用数学的归纳法进行猜想时,一定要列举一些事实之后,当然这一猜想是有基础的,那就是对以上几个特殊值的归纳的结果.二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．）11.已知复数z 满足(1)1z i i -=+，那么z =___. 【答案】i 【解析】试题分析：因i i i i z =+=-+=2)1(112,故应填i .考点：复数及运算．12.函数223y x ax =--在区间[]0,1上具有单调性，则a 的取值范围是．【答案】(][),01,-∞+∞【解析】试题分析：因二次函数的对称轴为a x =,所以当0≤a 或1≥a 时,二次函数在区间[]0,1上单调. 考点：二次函数的图象和性质． 13.已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个 “友好”三角形,若等腰ABC ∆存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___. 【答案】45︒考点：逻辑推理及运用．【易错点晴】本题以三角形的内角之间的正弦余弦的关系为前提定义了一个友好三角形的新概念和新的信息.解答本题时充分依据题设中提供的这一新的信息和概念,进行合理的推理和分析探究,最终使得问题巧妙获解.求解本题的关键是探寻出等腰三角形的顶角和底角与友好三角形的顶角和底角之间的关系1C C =且1sin cos C C =,借助三角形的内角和为0180,求出了即0902=C ,故=C 45︒.14.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”．类比此命题，给出等比数列{}n b 相应的一个正确命题是：“若{}n b是等比数列，11=b ，t s 、是互不相等的正整数，则有 ”．【答案】111=--t ss t b b【解析】试题分析：由类比推理的格式可知,等差数列是差,则等比数列是比,等差数列的差是0,则等比数列的商是1,故应填答案111=--t ss t b b .考点：类比推理及运用．【易错点晴】本题是一道合情推理中的类比推理题,类比的内容是等差数列与等比数列的之间的类比.所谓类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法.本题的解答就是借助等差和等比数列之间的这种相似进行类比推理的.解答时将差与比进行类比,将零与1进行类比,从而使得问题巧妙获解.当然这需要对类比的内涵具有较为深刻的理解和把握.三、解答题（本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题10分）设复数z 满足1z =，且(34)i z +⋅是纯虚数，求z ．【答案】4355z i =-或4355z i =-+.【解析】考点：复数的有关概念和运算．16.已知命题46p x :|-|≤，22:210(0)q x x a a -+-≥,>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】03a <≤. 【解析】试题分析：借助题设条件建立不等式组求解.试题解析:由46102p x x x ⌝:|-|>,><-,解得或记A={x|x>10或x<-2},---------2分 q:22210x x a -+-≥,解得1x a ≥+或x ≤1-a,记B={x|x ≥1+a 或1x a ≤-}. --------4分而⌝p q q ⇒,/⇒ p ⌝,----------------------------------------------------------6分 ∴A ⊂≠B,-----------------------8分即 121100a a a -≥-,⎧⎪+≤,⎨⎪>.⎩--------------11分∴03a <≤.------------------12分考点：充分必要条件及运用．17. 2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1(单位：人)．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表(表2)．表1表2（1）求研究小组的总人数；（2）写出表2中A 、B 、C 、D 、E 的值，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关．【答案】(1)12；(2)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关. 【解析】试题分析：(1)依据题设条件建立方程求解；(2)借助题设条件运用独立性检验的卡方系数进行推断. 试题解析:考点：正弦余弦定理及三角形面积公式的运用．第Ⅱ卷（50分）四、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18．已知命题p ：函数)2log y x =是奇函数；命题212),,0(:00=+∞∈∃x x q ，则下列判断正确的是（） A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．)(q p ⌝∧是真命题D ．q p ∧⌝)(是真命题【答案】C 【解析】试题分析：因01log )1(log )1(log )()(22222==+++-+=-+x x x x x f x f ,故)2log y x =是奇函数,命题p 真；由于2120=x ,则),0(10+∞∈-=x ,所以命题 212),,0(:00=+∞∈∃x x q 是假的,所以应选C. 考点：命题及复合命题的真假的判定.19.对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】试题分析：因2|1||1|,1|||1|≥++-≥+-y y x x (当且仅当11,10≤≤-≤≤y x 时取等号),故3|1||1||||1|≥++-++-y y x x ,应选C.考点：绝对值不等式的几何意义及应用.20．已知抛物线y 2=4x,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是（） A.8 B.32C.16D.4【答案】B 【解析】考点：直线与抛物线的位置关系及基本不等式的灵活运用.21.设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足条件:存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b D ⊆上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数2()log (2)xf x t =+为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（） A.1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.()0,1C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由题设函数的定义域是],[b a ,则其值域是]2,2[b a ,由于函数在R 上是单调递减函数,所以2)2(log 2at a=+,即222a a t =+；同理可得222b b t =+,由此可知方程222xx t =+有两个不等是实数根.令022>=u x ,则t u u =-2,则问题转化为函数)0(2>-=u u u y 和t y =有两个不同的交点问题.而函数)0(2>-=u u u y 的最大值为41,结合图象可知410<<t 时,两函数的图象有两个不同的交点,故应选D.考点：函数与方程思想、转化化归思想和数形结合思想的综合运用.五、填空题（本大题共2小题，每题4分，满分8分．）22．已知21x y +=，则22x y +的最小值为________．【答案】15【解析】试题分析：因21x y +=，故22x y +145)21(222+-=+-=y y y y ,由于该函数是开口向上的抛物线,因此当52=y ，函数取最小值为15.考点：二次函数的图象和性质．【易错点晴】本题表面上是一道求二元函数的最值问题,解答时充分借助题设条件中的21x y +=,运用消元的思想,将两个变量变为一个变量,即利用21x y +=消去未知数x ,将问题转化为求二次函数145)(2+-=y y y h 的最小值的问题,求解时直接将对称轴52=y 代入函数的解析式145)(2+-=y y y h 中可得51158)52(5)(2min =+-=y h ,故所求最小值为15. 23．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝()1,01sin ,12x x x x x π-≤≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则291746f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝______．【答案】516考点：分段函数的图象和性质的综合运用．六、解答题（本大题共2小题，共22分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）24.（10分）已知函数()R a a x x x f ∈++-=,22.(Ⅰ)当2a =时，解不等式()5≥x f ；(Ⅱ)若存在0x 满足()3200<-+x x f ，求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 5{|1}3x x x ≤-≥或；(Ⅱ) 71a -<<-.【解析】试题分析：(Ⅰ)先去掉绝对值化为一次不等式求解；(Ⅱ)借助题设条件运用绝对值的几何意义求解. 试题解析（Ⅰ）当2a =时，()|2||22|f x x x =-++.由5)(≥x f 得. |2||22|5x x -++≥当2≥x 时，不等式等价于52225,3x x x -++≥≥解得，所以2≥x ；…1分当12x -<<时，不等式等价于2225,1,2x x x x -++≥≥≤<即所以1，…2分当1x ≤-时，不等式等价于52225,3x x x ---≥≤-解得，所以53x ≤-.……3分. 所以原不等式的解集为5{|1}3x x x ≤-≥或 …………5分（Ⅱ）4)42(22422222)(+=--+≥++-=++-=-+a x a x a x x a x x x x f …7分因为原命题等价于min (()|2|)3f x x +-<， ............9分所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围. (10)考点：绝对值不等式及综合运用．【易错点晴】绝对值不等式一直是高中数学内容的难点之一.解答本题的关键是如何去掉函数解析式中的绝对值符号将其转化为普通的函数的形式,也是解答好本题的关键.求解过程中充分依据题设条件,运用绝对值的定义和几何意义,从而使得问题的解答简捷明快.求解第一问时,运用绝对值的定义将不等式化为整式形式的一元一次不等式,需要注意的是不要忘记讨论时的前提条件,这是解答这类问题的容易出错的地方.第二问中的不等式恒成立问题是巧妙地借助绝对值的几何意义从而使得问题的解答简捷巧妙独辟歧径.25．（12分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式2mf (x )≤2()1xg x e m ---在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(Ⅰ)1()(e e )2x x f x -=-， 1()(e e )2x x g x -=+，证明见解析；(Ⅱ) 1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即() 1.g x >-------4分考点：函数的奇偶性和基本不等式的运用．【易错点晴】函数的单调性、奇偶性和对称性等基本性质是函数的表达式和图象在平面直角坐标系中的反映和再现.借助这些性质可以推证和研究许多与函数有关的问题.本题在解答时充分依据题设条件,巧妙运用函数的奇偶性这一性质,求出了函数)(),(x g x f 的解析表达式.然后运用指数函数和基本不等式证明了1)(,0)(>>x g x f 的结论；第二问中设置了不等式恒成立的情境下,求参变量的取值范围问题,求解时依据题设将其参变量分离出来,使其等价转化求构造函数的最小值问题.从而使得问题简捷巧妙地获解.。

福建省福州市第八中学2015-2016学年高二下学期期中考

福州八中2015—2016学年第二学期期中考试高二数学（文）考试时间：120分钟试卷满分：150分2016.4.28第一卷参考公式（1）（2）：)()(()(2a d c b a bc ad n K +++-=其中d c b a n +++=为样本容量。

（3）：121()()ˆˆˆ()nii i nii x xy ybay bx x x ==--==--∑∑，（4）2R ∑∑==---=ni ini iy yy y 1212^)()(1一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |3x ≥}，则P ∩Q 等于A ．{x |3≤x <4}B ．{x |－3<x <4}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |2≤x ≤3}2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为 A ．(1,1) B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)- 3.设[),0,a b ∈+∞，A B ==A,B 的大小关系是A.A B ≤B.A B ≥C.A B <D.A B >4.小明想沏壶茶喝，当时的情况是，开水没有，烧开水需要15分钟，烧开水的壶要洗，需要1分钟，沏茶的壶和茶杯要洗，需2分钟，茶叶已有，取茶叶需1分钟，沏茶也需1分钟，小明要喝到自己所沏的茶至少需要花的时间为． A.16分钟B. 19分钟C.20分钟D.17分钟5. 《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是A ．合情推理B ．归纳推理C ．类比推理D ．演绎推理6．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 7．已知x ，yA ．y ＝x ＋1 B．y ＝2x －1C ．y ＝85x －25D ．y ＝32x8. 执行如图所示的程序框图,则输出的k 的值是A.3B.4C.5D.6 9．函数f (x )的定义域为A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(2，＋∞)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分） 11.已知复数z 满足(1)1z i i -=+，那么z =___.12.函数223y x ax =--在区间[]0,1上具有单调性，则a 的取值范围是 13.已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形,若等腰ABC ∆存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___.14.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”。

福建省福州2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题

福州一中2015—2016学年第二学期第二学段模块考试高二数学（选修2-3, 选修4-5）模块试卷（完卷100分钟满分100分）（注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上）附：22()()()()()()a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++ 临界值表: 1122211()()()n niii i^i i nniii i x x y y x y nx yx x xnxb ====---==--∑∑∑∑P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9974．一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题4分，共40分）（1）商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布N (10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg 的概率为( )(A)0.0228 (B)0.4772 (C)0.4987 (D)0.0013 （2）一部记录片在4个单位轮映，每单位放映一场，则不同的轮映次序共有（） (A)24 (B)16 (C)12 (D) 6 （3）某架飞机载有5位空降兵空降到A 、B 、C 三个地点，每位空降兵都要空降到A 、B 、C 中任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是13，用ξ表示地点C 的空降人数，则随机变量ξ的方差是( ) (A)29 (B) 53(C) 109 (D)43（4）若26()bax x+的展开式中3x 项系数为320c，则222a b c ++的最小值为（）(A)2 (B)3 (C)4 (D) 6 （5）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，则 ab cd >是a b c d -<-的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件（6）将4名大学生分配到A,B,C 三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人.若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案共有( ) (A)36种(B)30种(C)24种 (D)20种（7）已知 ()()627012712(1)(1)...(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则2a =( ) (A)9 (B)36 (C)-24 (D)24 （8）甲、乙、丙、丁四个人安排在周一到周四值班，每人一天，若甲不排周一，乙不排周二，丙不排周三，则不同的排法有( )(A)10种 (B)11种 (C)14种 (D)16种（9）有10件产品，其中2件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件,若已知一件为次品，则另一件也是次品的概率（） (A)145(B)117 (C)19 (D)217（10）已知函数()f x 在R 上可导，且(0)1f =，当1x ≠时，其导函数满()f x '满()()01f x f x x '->-，则下列结论错误的是（）(A)()x f x y e =在(1,)+∞上是增函数 (B)1x =是函数()x f x y e =的极小值点 (C)函数()x f x y e=至多有两个零点 (D)0x ≤时()xf x e ≤恒成立二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）（11）在71)x -（2的展开式中，各项的系数和等于_____. （12）用数字0，1，2组成没有重复数字的三位数的个数有____________.（13）命题:,|1||5|p x R x x a ∀∈---<，若p ⌝为假命题，则a 的取值范围是_______________.（14）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ“？”处字迹模糊，但能确定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E ξ=________.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．本大题共5小题，共48分）（15）（本小题满分8分）.某产品近5年的广告费支出x （百万元）与产品销售额y （百万元）的数据如下表：(Ⅰ)求y 关于x 的回归方程^^^=x +y b a ；(Ⅱ)用所求回归方程预测该产品广告费支出6百万元的产品销售额y .（16）（本小题满分8分）已知不等式122x x -+-<的解集与关于x 的不等式20x ax b -+<的解集相等．（Ⅰ）求实数a 、b 的值；（Ⅱ）求证：≤.（17）（本小题满分10分）.甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为t (cm)，相关行业质检部门规定：若(2.9,3.1]t ∈，则该零件为优等品；若(2.8,2.9](3.1,3.2]t ∈，则该零件为中等品；其余零件为次品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件，经质量检测得到下表数据：（Ⅰ）设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本1元. 若将频率视为概率，试估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望；（Ⅱ）根据已知条件完成下面的列联表，并据此数据回答：是否有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”？（18）（本小题满分10分）.“五一”期间，甲乙两个商场分别开展促销活动．（Ⅰ）甲商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖一次．从装有大小、形状相同的4个白球、4个黑球的袋中摸出4个球，中奖情况如下表：摸出的结果获得奖金（单位：元） 4个白球或4个黑球2003个白球1个黑球或3个黑球1个白球202个黑球2个白球10记X 为抽奖一次获得的奖金，求X 的分布列和期望．（Ⅱ）乙商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖10次．其中，第n （n=1，2，3， (10)次抽奖方法是：从编号为n 的袋中（装有大小、形状相同的n 个白球和n 个黑球）摸出n 个球，若该次摸出的n 个球颜色都相同，则可获得奖金5×2n-1元；记第n 次获奖概率为n a ．设各次摸奖的结果互不影响，最终所获得的总奖金为10次奖金之和． ①求证：113n n a a +≤； ②若某顾客购买120元的商品，不考虑其它因素，从获得奖金的期望分析，他应该选择哪一家商场？（19）（本小题满分12分）已知函数()()()21ln 12f x x ax a x a R =+-+∈. （I ）当12a ≥时，若函数()y f x =在区间[]1,e 上的最小值为2-，求a 的值；（II ）当a ≥1时，求证：对于一切的1x >，()112x f x e ax ->--+恒成立.福州一中2015—2016学年第二学期第二学段模块考试高二数学（选修2-3, 选修4-5）答案卷一、选择题：二、填空题：(11) ；（12) ；（13) ；（14) . 三、解答题： (15)（16）（17）（18）（19）解答1---10: AACBC CDBBD11-14: 1； 4； (4,)+∞； 2.15.解： (Ⅰ)1111513603,72.5555n n i i i i x t y y ========∑∑ …………………1分又2211555310,12005372120.nni i ii i x nxx y nx y ==-=-⨯=-=-⨯⨯=∑∑122211200537212012,555310ni i^i ni i x y nx yx nxb ==--⨯⨯=====-⨯-∑∑ …………………5分7231236^a ∴=-⨯=得y 关于x 的回归方程为：ˆ1236yx =+……………………7分 (Ⅱ) 把6x =代入回归方程，得ˆ108y=百万元. 故，预测该产品广告费支出6百万元的产品销售额为108百万元. ……………………8分 16（Ⅰ）解：122x x -+-<当2x >时，原不等式化为55232,,222x x x -<∴<∴<<；当12x ≤≤时，原不等式化为122,x x -+-<成立，12x ∴≤≤；当1x <时，原不等式化为11322,,122x x x -<∴>∴<<；综上原不等式的解集为15(,)22，……………………4分∴不等式20x ax b -+<的解集为15(,)22.从而为15,22方程20x ax b -+=的两根，15155322224a ,b ∴=+==⨯=，………5分（Ⅱ）由柯西不等式可得：===，……………8分17．解：（Ⅰ）设甲机床生产一件零件获得的利润为X元，它的分布列为…………2分则有()E X=3×0.8+1×0.14+（-1）×0.06=2.48（元）.所以，甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元. ………5分（Ⅱ）由表中数据可知：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等品20个.制作2×2列联表如下:2K=2100(40203010)1004.7625050703021⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.…………………………8分4.762 3.84>∴约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．………………………10分18.19（Ⅰ）函数21()ln (1)2f x x ax a x =+-+的定义域是），（∞+0．当0>a 时，21(1)1'()(1)(0)ax a x f x ax a x x x -++=+-+=> 令0)('=x f ，即2(1)1(1)(1)'()0ax a x x ax f x x x-++--===，所以1x =或ax 1=．……………………2分 ①当110≤<a，即1≥a 时，)(x f 在［1，e]上单调递增，所以)(x f 在［1，e ]上的最小值是1(1)122f a =--=-，解得2a =；…………4分②当112a ≤<时，112e a<≤<，)(x f 在[]1,e 上的最小值是11()ln 122f a a a =---=-，即1ln 12a a +=，令1()ln 2h a a a =+，'221121()0,22a h a a a a -=-=≥()h a ∴在在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，1()(1)12h a h <=<，故1ln 12a a +=无解；…………6分综上可得2a =．…………7分（II ）证法一：先证明：12x e x -≥-（略）.()1212111()ln 22211ln (2)22x x a f x e ax x ax x e x x x x --≥1,∴---+=+-+-≥+-+--Q213ln 222x x x =+-+.…………9分设213()ln 222M x x x x =+-+，,1()2220M x x x=+-≥-=.()M x ∴在(0,)+∞上单调递增，131,()(1)02022x M x M >∴>=+-+=Q .即()11()2x f x e ax ----+>0.证毕.…………12分证法二()121111()ln 222x x a f x e ax x ax x e --≥1,∴---+=+-+-Q21111ln ln 122x x x x x e x e --≥+-+-≥+-令1()ln 1xx x e ϕ-=+-，则1'111()xx xe x e x xϕ---=-=令1()1xg x xe-=-，则'1()(1)0xg x x e-=--≥，故1()1(1)0x g x xe g -=-≥=，1'111()0xx xe x e x xϕ---=-=≥，1()ln 1(1)0x x x e ϕϕ-=+-≥=.。

福建省莆田二十五中2015-2016学年高二下学期期中数学

2015-2016学年福建省莆田二十五中高二（下）期中数学试卷（理科）一、单项选择题．（5分*12=60分）1．为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A．50B．45C．40D．202．若复数z满足（1﹣i）z=|3﹣4i|，则z的实部为（）A．﹣B．﹣C．D．3．（﹣x2﹣1）dx=（）A．B．﹣2C．﹣1D．4．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B不排两端，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．60D．725．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2B．0C．1D．26．下列说法中正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数7．执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．若x1，x2，x3，…，x n的平均数为，标准差为s，则x1+a，x2+a，…，x n+a的平均数和标准差分别为（）A．+a，sB．a，s2C．a2，s2+aD．+a2，s+a29．若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤810．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）11．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动选数为（）A．16B．14C．12D．1012．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+4，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣3，+∞）二、填空题．（5分*4=20分）13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是．14．（x﹣y）（x+y）8的展开式中x7y2的系数为（用数字填写答案）15．不重合的两个平面α和β．在α内取5个点，在β内取4个点，利用这9个点最多可以确定三棱锥的个数为个．16．已知函数f（x）=有两个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题．（12分*5+10分=70分）17．已知a，b为实数，i为虚数单位，且满足a+bi=（1+2i）（3﹣i）+．（1）求实数a，b的值；（2）若复数z=（m﹣a）+（m﹣b）i在复平面所对应的点在直线y=2x上，求实数m的值．18．某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求高三（1）班全体女生的人数；（2）求分数在[80，90）之间的女生人数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（3）结合茎叶图和频率分布直方图，估计全班女生的数学平均分．（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）．（1）求导数f′（x）；（2）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．21．已知（﹣）n（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求n的值和展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含的项和展开式中各项系数的和．22．已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（1）若函数f（x）的最小值为0，求a的值．（2）证明：e x+（lnx﹣1）sinx＞0．2015-2016学年福建省莆田二十五中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题．（5分*12=60分）1．为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A．50B．45C．40D．20【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样性质求解．【解答】解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，∴由分层抽样性质，得：，解得n=45．故选：B．2．若复数z满足（1﹣i）z=|3﹣4i|，则z的实部为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：由（1﹣i）z=|3﹣4i|，得．∴z的实部为．故选：D．3．（﹣x2﹣1）dx=（）A．B．﹣2C．﹣1D．【考点】定积分．【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：（﹣x2﹣1）dx=（﹣x3﹣x）|=﹣﹣1=﹣，故选：D4．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B不排两端，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．60D．72【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】利用间接法，求出A，B，C，D，E五人并排站成一排及B排两端的方法数，即可求得结论．【解答】解：A，B，C，D，E五人并排站成一排，共有=120种，其中B排两端，有2=48种∴A，B，C，D，E五人并排站成一排，B不排两端，不同的排法共有120﹣48=72种故选D．5．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2B．0C．1D．2【考点】复数的基本概念．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1﹣i，再进行化简并整理出实部和虚部，再令虚部为零求出a的值．【解答】解：由题意知，==，∵（a∈R）为纯虚数，∴2﹣a=0，解得a=2．故选D．6．下列说法中正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【考点】众数、中位数、平均数．【分析】这种问题考查的内容比较散，需要挨个检验，A中众数有两个4和5，又因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，C可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率．【解答】解：∵A中众数有两个4和5，∴A是错误的，B中说法错误，因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，C可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，正确，D频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率，故选C．7．执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，b，k的值，当M=时满足条件n≤k，退出循环，输出M的值．【解答】解：n=1时，M=1+=，n=2时，M=2+=，n=3时，M=+=，故选：D．8．若x1，x2，x3，…，x n的平均数为，标准差为s，则x1+a，x2+a，…，x n+a的平均数和标准差分别为（）A．+a，sB．a，s2C．a2，s2+aD．+a2，s+a2【考点】极差、方差与标准差．【分析】由已知条件，利用平均数和标准差的计算公式直接求解即可．【解答】解：∵x1，x2，…，x n的平均数为，标准差为s，∴x1+a，x2+a，…，x n+a的平均数为=x i+a=+a，x1+a，x2+a，…，x n+a的标准差为：s′==s，故选：A．9．若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤8【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，结合输出的S是126，即可得到退出循环的条件．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，由于S=2+22+…+26=126，故①中应填n≤6．故选：B．10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．11．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动选数为（）A．16B．14C．12D．10【考点】计数原理的应用．【分析】把4名同学分为（3，1）或（2，2）两组，再分配到周六周日两天，问题得以解决．【解答】解：把4名同学分为（3，1）或（2，2）两组，再分配到周六周日两天，故有（C41+）•A22=14种，故选：B．12．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+4，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣3，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求参数的范围．【分析】求导f′（x）=3x2﹣6ax=3x（x﹣2a），从而分类讨论以确定函数的单调性及极值，再结合函数零点的判定定理求解即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3ax2+4，∴f′（x）=3x2﹣6ax=3x（x﹣2a），①当a＞0时，f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，2a）上是减函数，在（2a，+∞）上是增函数；又f（0）=4＞0，故只需要f（2a）=8a3﹣12a3+4＞0，解得0＜a＜1；②当a=0时，f（x）=x3+4在（﹣∞，+∞）上是增函数，且f（0）=4＞0；故f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0；③当a＜0时，f（x）在（﹣∞，2a）上是增函数，在（2a，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，且f（0）=4＞0，故f（x）满足存在唯一的零点x0，且x0＜0；综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1），故选B．二、填空题．（5分*4=20分）13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是15．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．【解答】解：样本间距为36÷4=9，则另外一个编号为6+9=15，故答案为：15．14．（x﹣y）（x+y）8的展开式中x7y2的系数为20（用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x+y）8按照二项式定理展开，即可得到（x﹣y）（x+y）8的展开式中x7y2的系数．【解答】解：（x﹣y）（x+y）8 =（x﹣y）（•x8+•x7y+•x6•y2+…+•x•y7+•y8），故（x﹣y）（x+y）8的展开式中x7y2的系数为﹣=20，故答案为：20．15．不重合的两个平面α和β．在α内取5个点，在β内取4个点，利用这9个点最多可以确定三棱锥的个数为120个．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，不共面的四点确定一个三棱锥，则可分类讨论：α内分别取3、2、1个点，在β内取1、2、3个点，由此可得结论．【解答】解：由题意，不共面的四点确定一个三棱锥，则最多可以确定三棱锥的个数为=40+60+20=120故答案为：12016．已知函数f（x）=有两个零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】令ln（1﹣x）=0解得x=0，即f（x）在（﹣∞，1）上有1个零点，所以f（x）在[1，+∞）上有1个零点，即﹣a=0在[1，+∞）上有一解，即a的范围为的值域．【解答】解：当x＜1时，令ln（1﹣x）=0解得x=0，故f（x）在（﹣∞，1）上有1个零点，∴f（x）在[1，+∞）上有1个零点．当x≥1时，令=0得a=≥1．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为[1，+∞）．三、解答题．（12分*5+10分=70分）17．已知a，b为实数，i为虚数单位，且满足a+bi=（1+2i）（3﹣i）+．（1）求实数a，b的值；（2）若复数z=（m﹣a）+（m﹣b）i在复平面所对应的点在直线y=2x上，求实数m的值．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数相等的条件得答案；（2）求出z的坐标，代入已知直线求得m值．【解答】解：（1）∵a+bi=（1+2i）（3﹣i）+=3﹣i+6i+2+=5+6i，∴a=5，b=6；（2）∵z=（m﹣a）+（m﹣b）i=（m﹣5）+（m﹣6）i对应的点（m﹣5，m﹣6）在直线y=2x 上，∴m﹣6=2（m﹣5），解得m=4．18．某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求高三（1）班全体女生的人数；（2）求分数在[80，90）之间的女生人数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（3）结合茎叶图和频率分布直方图，估计全班女生的数学平均分．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图；茎叶图．【分析】（1）由[50，60）的直方图和茎叶图能求出高三（1）班全体女生的人数．（2）先求出[80，90）的人数，由此能求出频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高．（3）先求出第一组频率，第二组频率，第三组频率，第四组频率，第五组频率，由此能估计全班女生的数学平均分．【解答】解：（1）由[50，60）的直方图和茎叶图，得：=0.08，解得n=25．∴高三（1）班全体女生的人数为25．（2）[80，90）的人数为25﹣（2+7+10+2）=4，∴频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为：=0.016．（3）第一组频率为：0.08，第二组频率为0.28，第三组频率为0.4，第四组频率为0.16，第五组频率为0.008，∴估计全班女生的数学平均分为：=0.08×55+0.28×65+0.4×75+0.16×85+0.08×95=73.8．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．20．已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）．（1）求导数f′（x）；（2）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）按导数的求导法则求解（2）由f′（﹣1）=0代入可得f（x），先求导数，研究函数的极值点，通过比较极值点与端点的大小从而确定出最值（3）（法一）由题意可得f′（2）≥0，f′（﹣2）≥0联立可得a的范围和[x2，+∞），依题意有（﹣∞，﹣2）（法二）求出f′（x），再求单调区增间（﹣∞，x1）⊆（﹣∞，x1[2，+∞]⊆[x2，+∞））【解答】解：（1）由原式得f（x）=x3﹣ax2﹣4x+4a，∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．（2）由f'（﹣1）=0得，此时有．由f'（x）=0得或x=﹣1，又，所以f（x）在[﹣2，2]上的最大值为，最小值为．（3）解法一：f'（x）=3x2﹣2ax﹣4的图象为开口向上且过点（0，﹣4）的抛物线，由条件得f'（﹣2）≥0，f'（2）≥0，∴﹣2≤a≤2．所以a的取值范围为[﹣2，2]．解法二：令f'（x）=0即3x2﹣2ax﹣4=0，由求根公式得：所以f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．在（﹣∞，x1]和[x2，+∞）上非负．由题意可知，当x≤﹣2或x≥2时，f'（x）≥0，从而x1≥﹣2，x2≤2，即解不等式组得﹣2≤a≤2．∴a的取值范围是[﹣2，2]．21．已知（﹣）n（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求n的值和展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含的项和展开式中各项系数的和．【考点】二项式系数的性质；二项式定理的应用．【分析】（1）写出二项展开式的第五项与第三项的系数，由系数比求得n值，进一步求得展开式中二项式系数最大的项；（2）写出二项展开式的通项，由x得指数等于求得r值，得到展开式中含的项，在二项式中取x=1得到展开式中各项系数的和．【解答】解：依题意，第五项系数为，第三项系数为．（1）由，得n2﹣5n﹣24=0，解得n=8或n=﹣3（舍），∴（﹣）8的展开式中二项式系数的最大项为；（2）∵=．令，得r=1，∴．∵（﹣）8 =，令x=1，则各项系数之和为（1﹣2）8=1．22．已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（1）若函数f（x）的最小值为0，求a的值．（2）证明：e x+（lnx﹣1）sinx＞0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）f（x）的最大值问题，需要借助导数，对比极值与端点值确定，而由最值也可确定出未知量a（2）借助第一问，将问题转化为经常见的形式：【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞）f′（x）=﹣=∵f（x）有最小值，而f（x）无端点值，∴f（x）必定在x=a处取得极小值，也是最小值∴f（a）=lna+1﹣1=0∴a=1（2）定义域为（0，+∞）第一问知：a=1时，f（x）有最小值0∴f（x）=lnx+﹣1≥0即lnx﹣1≥﹣∴e x+（lnx﹣1）sinx≥e x﹣当x＞0时，sinx＜x，即＜1＜e x即e x﹣＞0∴e x+（lnx﹣1）sinx＞02016年7月13日。

精品：福建省四地六校2015-2016学年高二下学期第一次联考理数试题(原卷版)

福建省四地六校2015-2016学年高二下学期第一次联考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足3(12)12i z i +=+（i 为虚数单位），则z 共轭复数z 等于( ) A.3455i + B. 3455i -+ C. 3455i - D. 3455i -- 2．已知22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，，其中m 为实数，i 为虚数单位，若120z z -=，则m 的值为 ( ) A . 4B.1-C. 6D. 03．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，则双曲线12222=-bx a y 的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±4．已知函数()sin 2()3f x x xf π'=+,则()3f π'= ( )A. 12- B. 0 C. 125．=-⎰dx x 423( )A ．321 B ．322 C ．323 D ．3256．在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,A B BB 的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）25 D. 357．已知命题:p []21,2,0x x a ∀∈-≥,命题:q 2,220x R x ax a ∃∈++-=,若命题“p q ∧” 是真命题,则实数a 的取值范围是 ( )A. (,2]{1}-∞-B. (,2][1,2]-∞-C. [1,)+∞D. [2,1]- 8．如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ，曲线x y =经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（） A ．125 B ．21 C ． 43 D ． 329. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k10.点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222b a y x +=+在第一象限的交点，1F 、2F 分别为双曲线左右焦点，且213PF PF =，则双曲线的离心率为（）A ．5B ．25C ．10D ．210 11.已知函数()()1114()ln 1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（）（注：e 为自然对数的底数）A.1(0,)e B ．1(0,)4 C ． )1,41[e D ． ),41[e12.已知函数)(x f y =对任意的),(22ππ-∈x 满足0>+x x f x x f sin )(cos )('（其中)('x f 是函数)(x f 的导函数），则下列不等式成立的是( ) A ．)()(432ππ-<-f f B ．)()(432ππf f <C ．)()(320πf f > D ．)()(420πf f >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.⎰--1121(x －1）dx= .14．已知函数()ax e x f x -=在()+∞,3单调递增，则实数a 的取值范围是_____________. 15.若复数12()z a i a R =+∈，234z i =-，且12z z 16．已知3()3f x x x m =-+，若在区间[]0,2上任取三个数a 、b 、c ,均存在以()f a 、()f b 、()f c 为边长的三角形，则实数m 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题满分10分）已知函数()()32-=x e x f x。

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1 闽侯二中、闽清高级中学、永泰二中、连江侨中、长乐二中2015—2016学年第二学期高二年段数学（理科）期中联考试卷（考试时间：2016年4月14日）完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 21xdx （）

A． 32 B．32 C．1 D．1 2. 复数321ii（i为虚数单位）的共轭复数是（） A．2155i B．2133i C． 2133i D． 2155i 3. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是（） A．5米/秒 B．6米/秒 C．7米/秒 D．米/秒

4. 若曲线4()4fxxx在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为（） A． 1,2 B．1,3 C．1,0 D．1,5 5. 下面几种推理过程是演绎推理的是（） A.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B.所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电 C.高一参加军训有12个班，1班51人，2班53人，三班52人，由此推测各班都超过50人

D.在数列{}na中，12a，121(2)nnaan，由此归纳出{}na的通项公式

6. 电动自行车的耗电量y与速度x的关系为321394032yxxx 0x，为使耗电量最小，则速度应为（） A． 45 B． 40 C．35 D．30

7. 若函数331yxbx在区间1,2内是减函数，bR，则（） A．b≤4 B．4b C．b≥4 D．4b 8.下列求导运算正确的是（）

A． 1lnxx B．1xxxee

C．2(cos)2sinxxxx D．2111xxx

21ttsst

8 2

9. 函数2()2lngxxx的图象大致是（ )

A. B. C. D. 10. 用数学归纳法证明“nnnnn212111211214131211”时，由kn的假设证明

1kn时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（） A．1212111kkk B． 22112121kkk

C．2211212111kkkk D．1212121kkk 11. 如图，已知△ABC周长为2，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为( )

A． B． 12001 C． D．200112 12.已知奇函数()fx是定义在R上的可导函数，其导函数为()fx，当0x时有

22()()fxxfxx

，则不等式2(2014)(2014)4(2)0xfxf的解集为( )

A．,2012 B．2016,2012 C．,2016 D．20160，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.曲线yx和直线yx围成的图形面积是_________________。

14.用反证法证明命题：“设实数,,abc满足3abc则,,abc中至少有一个数不小于1”时，第一步应写：假设。 15. 已知),2(3)(2fxxxf则1(1)f 。 16.下列命题中正确的有。（填上所有正确命题的序号）

①一质点在直线上以速度2321vtt (/ms)运动，从时刻0()ts到3()ts时质点运动的路程为15()m；

②若0,x，则sinxx； ③若00)(,0)('xxxfyxf在则函数取得极值；

④已知函数2()4fxxx，则2()0fxdx。 3

三、解答题（本大题共6小题，共70分。其中第17题10分，第1822题各12分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）

用分析法证明：当x≥4时3241xxxx 18.（本小题满分12分）设2121(32)zxxxi，2222(6)zxxxi ()xR。

（1）若1z是纯虚数，求实数x的取值范围；（2）若12zz，求实数x的取值范围。 19. （本小题满分12分）已知函数31()3fxxaxb，在点(1, (1))Mf处的切线方程为93100xy，求

（1）实数,ab的值；（2）函数()fx的单调区间以及在区间0,3上的最值。 20. （本小题满分12分）

已知111,212nnnaaaanN （1）求,,,432aaa并由此猜想数列{na}的通项公式na的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想。

21. （本小题满分12分）已知aR，函数21()ln32fxxaxx，2()8gxxx，且1x是函数()fx的极大值点。（1）求a的值。（2）如果函数()yfx和函数()ygx在区间,1bb上均为增函数，求实数b的取值范围。

22. （本小题满分12分）已知函数()xaxfxe，其中0a，且函数()fx的最大值是1e （1）求实数a的值；（2）若函数()ln()gxfxb有两个零点，求实数b的取值范围；

（3）若对任意的0,2x，都有21()2fxkxx成立，求实数k的取值范围。 4 5

闽侯二中、闽清高级中学、永泰二中、连江侨中、长乐二中 2015—2016学年第二学期高二年段理科数学期中联考参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B B B C D C B D A

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. 16 14. ,,abc都小于2 15. 3 16.②④ 三、解答题（共6小题，17题10分，18～22每小题12分，在答题卷上解答应写出必要的文字说明和演算步骤，只写最后答案不得分。） 17. 证明：当x≥4时

要证3241xxxx

只需证22(32)(41)xxxx ------------2分只需证32(3)(2)242(4)(1)1xxxxxxxx -----------5分即证(3)(2)(4)(1)xxxx 只需证225654xxxx 即证64 显然上式成立， ------------------------9分

所以原不等式成立，即3142xxxx ------------10分 18. 解：（1）依题意得2210320xxx ---------------------2分

1122(1)(2)012xxxxxx且 ----------------------4分

12x

所以实数x的取值范围是12x ----------------------6分（2）解一、依题意得2232060xxxx -------------------8分 6

(1)(2)012(3)(2)032xxxxxxxx或

或

所以2x ----------------------10分检验：当2x时，2122215,222zz，满足12zz符合题意。所以实数x的取值范围是2x ----------------------------12分

解二、依题意得22260320212xxxxxx -------------------9分

(3)(2)032(1)(2)0122(3)(1)013xxxxxxxxxxxx或或

所以实数x的取值范围是2x -------------------12分 19. 解：（1）因为在点(1, (1))Mf处的切线方程为93100xy，所以切线斜率是3k ----------------------1分且913(1)100f，

求得1(1)3f，即点1(1, )3M ----------------------2分又函数31()3fxxaxb，则2()fxxa ----------------------3分

所以依题意得(1)1311(1)33fafab ----------------------5分解得44ab ----------------------6分（2）由（1）知31()443fxxx 所以2()422fxxxx ----------------------7分令()0fx，解得2x或x=-2 当()022fxxx或；当()022fxx 所以函数()fx的单调递增区间是,2,2, 单调递减区间是2,2 ----------------------9分