习题7-5积分应用题
较难的典型分数应用题(四)(答案加习题)
较难的典型分数应用题混合练习1. 六年级一班有学生55人，二班有学生57人，从一班调多少人到二班，才能使一、二班人数的比是7：9？答：一、二班总人数为55+57=112人，一、二班人数比如果为7:9，可以认为把总人数分为7+9=16份，则每一份人数为112÷16=7人，一班人数为7×7=49人，因此从一班调55-49=6人，可以使一、二班人数的比是7：9。
2. 一个直角梯形，上底与下底的比是3：5，如果把上底增加7厘米，下底增加1厘米，就变成了一个正方形。
求梯形面积是多少平方厘米？ 答：设梯形下底为xcm ，则上底为53xcm ，根据题意可得x+1=53x+7,x=15cm 上底为15×53=9cm根据题意还可以知1，梯形的高h=x+1=15+1=16cm 因此，梯形的面积S=21（9+15）×16=192cm 2。
3. 五个连续自然数中最小的一个等于这五个数的和的61，这五个数分别是多少？ 答：设最小自然数为x ，则其余四个自然数分别为x+1,x+2,x+3,x+4,根据题意可得 x=61（x+ x+1+x+2+x+3+x+4）4. 甲仓库存粮比乙仓库多25吨，从甲仓库调出40吨后，剩下的存粮是乙仓库的87。
乙仓库存粮多少吨？ 答：甲仓库调出25T 存粮后，甲乙仓库存粮数相等，再调出15T ，剩下的存粮是乙仓库的87，相当于乙仓库存粮的81为15T ，因此，可以得到乙仓库存粮数量为15÷81=120T 。
5. 甲乙两车间人数比为3：5，如果从甲车间调150人到乙车间，甲乙车间人数比为3：7，原来甲乙车间各多少人？ 答：设乙车间人数为x 人，则甲车间人数为53x 人，根据题意可得x-150=73（53x+150）6. 美术小组女生占103，后来又有5名女生参加，这时女生占美术小组人数的52。
现在美术小组有多少名学生？答：设美术小组原有学生x 人，则女生原有3x 人，根据题意可得103x+5=52（x+5）7. 甲乙两个车间，如果从甲车间调12人到乙车间，这时乙车间的人数就是甲车间的87。
五年级奥数应用题练习题(附答案)
1.甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以4.5千米／时的速度走了路程的一半，又以5.5千米／时的速度走完了另一半；乙班在比赛过程中，一半时间以 4.5 千米／时的速度行进，另一半时间以 5.5 千米／时的速度行进。
问：甲、乙两班谁将获胜？解：快速行走的路程越长，所用时间越短。
甲班快、慢速行走的路程相同，乙班快速行走的路程比慢速行走的路程长，所以乙班获胜。
2.轮船从 A 城到 B 城需行 3 天，而从 B 城到 A 城需行 4 天。
从 A 城放一个无动力的木筏，它漂到 B 城需多少天？解：轮船顺流用 3 天，逆流用 4 天，说明轮船在静水中行4－ 3＝ 1（天），等于水流3＋ 4＝ 7（天），即船速是流速的7 倍。
所以轮船顺流行 3 天的路程等于水流3＋ 3× 7＝24（天）的路程，即木筏从 A 城漂到 B 城需 24天。
3.小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分走52 米，小强每分走70 米，二人在途中的 A 处相遇。
若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走90 米，则两人仍在 A 处相遇。
小红和小强两人的家相距多少米？解：因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次从出发到相遇的时间相同。
也就是说，小强第二次比第一次少走 4 分。
由（70× 4）÷（ 90－ 70）＝ 14（分）可知，小强第二次走了14 分，推知第一次走了18 分，两人的家相距（52＋ 70）× 18＝ 2196（米）。
4.小明和小军分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。
若两人按原定速度前进，则 4 时相遇；若两人各自都比原定速度多 1 千米／时，则 3 时相遇。
甲、乙两地相距多少千米？解：每时多走 1 千米，两人 3 时共多走 6 千米，这 6 千米相当于两人按原定速度 1 时走的距离。
所以甲、乙两地相距 6× 4＝ 24（千米）5.甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
定积分习题
一、单项选择题 1、定积分⎰badx x f )(是（ ）．(A)f(x)的一个原函数 (B) f(x)的全体原函数 (C)确定常数 (D) 任意常数 2、设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则)(x f '的零点个数是（ ）．[2008年考研数学一] (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 3、设f(x)为[a,b]上连续函数，则变上限函数⎰xadt t f )(（a ≤x ≤b ）是（ ）．(A))(x f '的一个原函数 (B) f(x)的一个原函数 (C) )(x f '的全体原函数 (D) f(x)的全体原函数 4、设f(x)为[a,b]上连续函数，F(x),g(x)为可导函数，下列等式中不正确的是（ ）．(A)).()(x f dtt f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ (B) ).()(x f dt t f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ (C) ).()(x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ (D) ).())(()()(x g x g f dt t f dx d x g a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ 5、=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰x dt t dx d 12)1ln(（ ）． (A))1ln(2t + (B) )1ln(22t t + (C) )1ln(22x x + (D) )1ln(2x + 6、设⎰='=1)()(xt x F dt te x F ，则（ ）．(A)xxe - (B) xxe (C) xxe - (D) xxe--7、设15sin 00sin (),()(1)xx t tx dt x t dt tαβ==+⎰⎰，则当0x →时，()x α是()x β的（ ）．[99年考研数学一](A)高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 同阶但不等价无穷小 (D) 等价无穷小8、=⎰⎰→x xx tdtdtt 0sin lim（ ）．(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D)不存在 9、设函数⎰-=xdt t x f 0)1()(，则f(x)有（ ）．(A)极小值21 (B) 极小值21- (C) 极大值21 (D) 极大值21- 10、由抛物线y 2=x 及直线2,x y x y ==所围平面图形的面积为（ ）．(A)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-402dx x x (B) ()⎰-40dx x x (C) ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-402dx x x (D) dx x x dx x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-41102211、()f x 在闭区间[a,b]上连续是()f x 在[a,b]上可积的（ ）．(A)充分且必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 即非充分又非必要条件 12、设()f x 在[a,c]上连续，a b c <<，则()baf x dx ≠⎰（ ）．(A)()()cc abf x dx f x dx +⎰⎰(B) ()()c cabf x dx f x dx -⎰⎰ (C) ()()cbacf x dx f x dx +⎰⎰ (D) [()()]abccf x dx f x dx --⎰⎰13、设()f x 在[a,b]上连续，则[a,b]上至少有一点ξ，使()f ξ=（ ）．(A)()abf x dx ⎰(B)1()a b f x dx b a -⎰ (C) 1()ba f x dxb a-⎰ (D) ()b a f x dx ⎰ 14、设4742542226222sin cos ,(sin cos ),(sin cos )1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰，则（ ）． (A)N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N << 15、设()f x 连续，则220()x d tf x t dt dx-=⎰（ ）．[1998年考研数学一] (A) 2()xf x (B) 2()xf x - (C) 22()xf x (D) 22()xf x -16、20sin()xd x t dt dx -⎰=（ ）． (A)0 (B) 1 (C) 2 (D) 2sin x 17、设1()2()f x x f x dx =+⎰，则()f x =（ ）．(A) x (B) 1x + (C) 1x - (D) 1x - 18、反常积分11pdx x +∞⎰，（ ）． (A)1p ≥时收敛，1p <时发散 (B) 1p ≤时收敛，1p >时发散 (C) 1p >时收敛，1p ≤时发散 (D) 1p <时收敛，1p ≥时发散 19、下列积分中为广义积分的是（ ）． (A)11(1)dx x x -+⎰ (B) 11sin x dx x -⎰ (C) 111arctan dx x -⎰ (D) 111sin dx x -⎰ 20、下列广义积分收敛的是（ ）． (A)ln exdx x +∞⎰(B) ln e dx x x+∞⎰ (C) 2(ln )e dx x x +∞⎰(D) e +∞⎰ 二、填空题21、函数()[,]f x a b 在上有界是f(x)在[a,b]是可积的_________条件，而f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]是可积的_________条件．22、63sin _____.x xdx ππ-=⎰ 23、83_____.=⎰24、无穷积分30______.xedx +∞-=⎰ 25、瑕积分1ln ______.xdx =⎰26、设连续函数f(x)满足112()3(),()_____.f x x x f x dx f x dx =-=⎰⎰则27、已知f(x)的一个原函数为21()ln ,_____.ef x x x dx x=⎰则28、曲线(1)(2)y x x x x =--与轴所围成的平面图形的面积用定积分可表示为_________________．29、反常积分1+∞=⎰______．[04年考研数学二] 30、1=⎰_________________．31、反常积分2ln edx x x+∞=⎰______．[02年考研数学一] 32、240tan xdx π=⎰_________________． 33、反常积分2+∞=⎰______．[00年考研数学二] 34、10=⎰_________________．35、11ln exdx x +=⎰_________________． 36、2121sinydy y ππ=⎰_________________．37、设2(),()xt F x te dt F x -'=⎰则=________． 38、20cos limxx tdt x→=⎰_________________．39、22sin 2cos xdx x ππ-=+⎰_________________． 40、广义积分211A dx A x +∞-∞=+⎰，则=____． 三、计算题 41、1⎰． 42、1-⎰．43、2cos x xdx π⎰． 44、01(1)(2)dx x x +∞++⎰．45、1e⎰． 46、120ln(1)(2)x dx x +-⎰．47、π⎰． 48、4⎰．49、21dxx +∞-∞+⎰． 50、00)a a >⎰． 四、应用题51、求由抛物线42x y =与直线0423=--y x 所围成的平面图形的面积．52、求由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成的平面图形的面积．53、求抛物线2x y =和x y =所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积．54、求星形线222333x y a +=的全长.55、过曲线2(0)y x x =≥上某点A 作切线，使之与曲线及x 轴围成图形面积为112．求（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述图形绕x 轴旋转成的旋转体体积V ． 五、证明题 56、.)(21)(223⎰⎰=a adx x xf dx x f x57、设(),()f x g x 在区间[a,b]上均连续，证明：()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⋅⎰⎰⎰．58、证明：11221(0)11xx dx dx x x x =>++⎰⎰． 59、设()f x 具有连续导数，证明()()()()xa d x t f t dt f x f a dx'-=-⎰． 60、设()g x 在区间[-a,a]（a>0）上为偶函数，且()f x 满足()()f x f x A +-=（A 为常数）．证明()()()aaaf xg x dx A g x dx -=⎰⎰．（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
微分方程试题及部分应用题答案版
第十章 微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是. 1-2-41、微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是. 1-3-42、微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是.1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是. 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是.1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 .1-14-53、微分方程x ey xsin ''2-=的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是 1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、方程x yxy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比,则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为.1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程y x2dx dy=的通解是 ( )A.2x y =B. 25x y =C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. xx e C e C y 321+= C. x x e C e C y 321-+= D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( )A.x C y sin =B.x C y cos =C.x C x y cos sin +=D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、xe y -=''的通解为=y ( ) A.x e -- B. xe - C. 21C x C e x ++- D.21C x C e x ++-- 2-13-68、微分方程x e 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x e y B. 3221-=-x e y C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y = 2-18-73、设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2'B .x xy y sin '=+C .x yy =' D .xy y -=2' 2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. xx x Ce y -=ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B. 02)3(2=++xydy dx y e xC. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-29-84、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x+=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、y xe y e x dx dy +-=-3-6-57、0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos =, 4|0π==x y3-11-62、0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y3-14-65、x y x y xy tan'=-3-15-66、x y x y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、x x y y sec tan '=-, 0|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x 3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y3-44-95、04'3''=--y y y , 0|0==x y , 5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y , 15|'0==x y 3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y 3-49-100、04'4''=+-y y y , 0|0==x y , 1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+ 3-51-102、x e y y xcos ''+=+ 3-52-103、xe x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --= 3-54-105、123'2''+=--x y y y3-55-106、''sin20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y 3-56-107、52'3''=+-y y y , 1|0==x y , 2|'0==x y 3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、x xe y y y 26'5''=+-四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程.4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势t E E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元),假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势t E E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律t E dt di LRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将0|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kv mg dt dv m-=,从而得线性方程gv m k dt dv =+, 0|0==t v ∴⎰--+=+⎰⎰=t mkdt dt Ce g k mC dt ge e v kmmk][, 将0|0==t v 代入通解得g k m C -= ∴)1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得gk m C 221-=∴)1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489.如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程, 解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y 490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL-=,00|L L x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为t e y 1035=492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(p p =, 其中0p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(p p =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为 c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp , )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
六年级数学上册《分数应用题》重点解析
一、概念甲是乙的几分之几相当于甲是乙的几分之几倍。
乙：单位1（也可以叫总量或标准量）分谁谁是单位1甲：分量几分之几：分率二、目前掌握以下三种题型即可（1）求几分之几：“前÷后”例：男生有12人，女生有18人，全班有30人。
男生是全班的几分之几？12÷30=2/5女生是全班的几分之几？18÷30=3/5女生是男生的几分之几？18÷12=3/2男生是女生的几分之几？12÷18=2/3（2）求分量：单位1×几分之几例1：一本书一共300页，小明看了2/5，求小明看了多少页？题目可以理解为：小明看的页数是整本书的，单位1是整本书。
已知单位1，用乘法：300×2/5=120页例2：一批大米24千克，先吃了全部的1/4，又吃了全部的2/3，求还剩多少千克大米？方法一：先吃的大米：24×1/4=6千克再吃的大米：24×2/3=16千克还剩下的大米：24－6－16=2千克方法二：先求剩下的大米是全部大米的几分之几？1－1/4－2/3=1/12再求分量：24×1/12=2千克（3）求单位1：分量÷分率例：小红有18张积分卡，是小明积分卡的2/3，求小明有多少张积分卡？题目可以理解为：小红的积分卡是小明的，单位1是小明。
求单位1，用除法：18÷2/3=27张。
三、练习题1、一缸水，用去1／2和5桶，还剩30%，这缸水有多少桶？答：这缸水有25桶2、一根钢管长10米，第一次截去它的7／10，第二次又截去余下的1／3，还剩多少米？答：这根钢管还剩2米3、修筑一条公路，完成了全长的2／3后,离中点16.5千米，这条公路全长多少千米？16.5÷1/3=99（千米）答：这条公路全长99千米4、师徒两人合做一批零件，徒弟做了总数的2／7，比师傅少做21个，这批零件有多少个？5/7-2/7=3/721÷3/7=49（个）答：这批零件有49个5、仓库里有一批化肥，第一次取出总数的2／5，第二次取出总数的1／3少12袋，这时仓库里还剩24袋，两次共取出多少袋？答：两次共取出21袋6、甲乙两地相距1152千米,一列客车和一列货车同时从两地对开,货车每小时行72千米,比客车快2/7，两车经过多少小时相遇？答：两车经过9小时相遇7、一件上衣比一条裤子贵160元,其中裤子的价格是上衣的3/5,一条裤子多少元?160÷2/5=400（元）400×3/5=240（元）答：一条裤子240元。
分数应用题知识点系列专题训练
分数应用题知识点系列专题训练分数应用题知识点系列专题训练分清“量”和“率” 1、把6千克白糖平均分成5份，每份是这些白糖的（ ），每份的质量是（ ）。
练习：(1)把57 千克白糖平均分成5份，每份是这些白糖的（ ），每份的质量是（ ）。
(2)把一根3米长的木料锯成相同的小段,共锯5次,每段占全长的( — )，每段长（ ）米。
2、（1）一袋白糖54千克，第一次吃了81，第二次吃了41，还剩下几分之几没吃？ （2）一袋白糖54千克，第一次吃了81千克，第二次吃了41千克，还剩下多少千克没吃？ （3）一袋白糖54千克，第一次吃了81，第二次吃了41千克，还剩下多少千克没吃？分数乘除法应用题解题技巧与方法指导分数乘除法基本应用题解题方法指导一、解分数乘除法应用题的基本步骤是：1、找准单位“1”-----并在题目的文字下面标注。
2、确定乘或除 -------（1）已知单位“1”，用乘法； （2）未知单位“1”，用除法或方程法。
3、对应量和率---- （1（2若用方程法，一般设单位“1”的量为未知数二、解题方法举例例1、乐购商场三月份的营业额是720万元，比四月份增加了14，四月份的营业额是多少万元？错解：720×（1－14）＝……错解分析：该生错误的认为：“三月份营业额比四月份多14”就是：“四月份营业额比三月份少14”，把三月份变成了单位“1”，于是已知单位“1”就用了乘法。
其实，“四月份营业额比三月份少15”。
这样变化解题比较复杂。
因此，解题时一般不要改变单位“1”，应该严格按解分数应用题的步骤解答，第一步，必须找准单位“1”，并且“标出”相关的“量”和“率”……正确解答：（1）720÷（1＋14）＝……（2）不理解此方法的同学，应该选择方程法来解答。
基础练习：1、“八折”的含义是：（）是（）的810。
单位“1”是（）。
2、“一袋大米吃了38”（）×38＝（）（）×（1－38）＝（）3、“小明的邮票比小东多16”，小明的邮票张数=小东的邮票张数×（）（）=小东的邮票张数×16（）÷（1+16）＝（）4、“现价比原价降价了310”，（）×310＝（）（）×（1－310）＝（）（）÷（1－310）＝（）一、复习、1、解分数应用题的步骤怎样？2、填空：（1）火车的速度比汽车快211，则火车的速度是汽车的（）；（2）本月用电比上月节约19，本月用电是上月的（）；（3）圆珠笔比钢笔便宜25，圆珠笔的价钱是钢笔的（）。
微积分(二)综合练习题1答案
故条件收敛。
5．判断级数 的敛散性。
解： 且 ∴交错级数收敛。
6．设D由x = 2, y = x, 及x y = 1围成，求。 解：
7．计算二重积分计算二重积分 ，其中 。
解：
8．求方程满足初始条件的特解。 解：特征方程为 ，所以特征根为，是两个相等实根，所以通解为
，满足初始条件的特解为。
四、应用题（本题8分）： 某公司通过电视和报纸作广告.已知销售收入（万元）与电视广告费
五、证明题：（本题6分） 已知 （,求证： （1） 若收敛，则收敛。 （2） 若发散，则发散。 证明：（1） 若收敛，则也收敛， 由已知，得 即 由比较判别法知： 若收敛， 则也收敛，即收敛。 （大收则小收）
（2）由（1）得 由比较判别法知：若发散，则发散。（小发则大发）
二、单项选择（每小题2分，共10分）：
1．若函数与分别为与的可微函数，且，则（D）.
（A）＋
（B） ＋
（C）＋＋ （D） ＋
2．若为区域，则＝（ C ）.
（A） 4
（B） 15
（C） 60
（D） 84
3．在下列级数中，唯有（ A ）是发散的。
（A）
（B）
（C）
（D）
小学数学二年级上册应用题解答题精选易错提高练习题经典题目附答案
一、二年级数学上册应用题解答题1．①小美有多少张卡片？②乐乐和小美一共有多少张卡片？答案：①37张②89张【详解】①52－15＝37（张）②37＋52＝89（张）解析：①37张②89张【详解】①52－15＝37（张）②37＋52＝89（张）2．购物。
（1）买6根跳绳和一个文具盒，一共需要多少钱？口答：一共需要________元钱。
（2）请你再提出一个数学问题。
答案：（1）3×6＋18＝36（元）；36（2）买4根跳绳多少元？12元【详解】略解析：（1）3×6＋18＝36（元）；36（2）买4根跳绳多少元？12元【详解】3．鲜花店的花有一朵5瓣，一朵7瓣，一朵12瓣的。
（1）买5朵5瓣和一朵12瓣的，有多少瓣花？（2）2朵7瓣的和一朵12瓣的比较，那种花瓣多？答案：（1）37朵（2）2朵7瓣的多【解析】【详解】（1）5×5+12=37（瓣）；答：有37朵花瓣。
（2）7×2=14（瓣）；14＞12；答：2朵7瓣的花比一朵12瓣的花瓣多。
解析：（1）37朵（2）2朵7瓣的多【解析】【详解】（1）5×5+12=37（瓣）；答：有37朵花瓣。
（2）7×2=14（瓣）；14＞12；答：2朵7瓣的花比一朵12瓣的花瓣多。
4．奶奶家养了一些鸡，母鸡有5只，公鸡有7只。
又养了3种不同的牛，每种8头。
（1）奶奶家一共养了多少只鸡？（2）奶奶家养了多少头牛？（3）你还能提出什么数学问题并解答？答案：（1）12只（2）24头（3）公鸡比母鸡多多少只？7－5＝2（只）【详解】略解析：（1）12只（2）24头（3）公鸡比母鸡多多少只？7－5＝2（只）【详解】略5．小明和4个同学一起折红花，每人折了7朵红花，一共折了多少朵红花？答：一共折了（）朵红花。
答案：35朵【详解】略解析：35朵【详解】6．学校礼堂要举行“元旦晚会”，摆了8排椅子，每排摆7把椅子，来60人够坐吗？答案：不够【详解】略解析：不够【详解】略7．冰淇凌4元汉堡包8元牛奶6元（1）买3盒牛奶和1个冰激凌一共要花多少钱？（2）买5个汉堡包和1盒牛奶，50元钱够吗？（3）你还能提出其他数学问题并解答吗？答案：（1）3×6＋4＝22（元）（2）够（3）买3盒牛奶多少元？18元【详解】略解析：（1）3×6＋4＝22（元）（2）够（3）买3盒牛奶多少元？18元【详解】略8．二年级举行摄影展览。
四年级下册数学试题 - 应用题专项练习题 北师大版(秋) (pdf版,无答案)
2018年春季学期北师大版四年级数学下册应用题专项练习题7套应用题专项练习11、列式计算。
(1)已知甲、乙两数的和是54.58，甲数是7.86，乙数是多少?(2)已知等腰三角形的一个底角是45°，那么它的顶角是多少？是什么三角形？2、妈妈去市场买菜花了76.8元，还剩下25.8元，妈妈买东西共带了多少钱?3、某厂有女职工460人，其中女工人数比男工人数的5倍少40人。
这个厂的男职工有多少人？（列方程解）4、小明用两条长度分别是2.27米、1.35米的绳子接起来捆扎报纸。
接口处共用去绳子0.25米，接好后的绳子有多长？5、同学们进行跳远比赛。
红红跳了3.13米，亮亮比红红多跳0.13米，强强比亮亮少跳0.18米，强强跳了多少米？6、下面是航模小组制作的两架飞机在一次飞行中时间和高度记录。
（1）甲飞机飞行了（）秒，乙飞机飞行了（）秒。
（2）从图上看，起飞第10秒乙飞机的高度是（）米，起飞后第（）秒两架飞机处于同一的高度，起飞后大约（）秒两架飞的高度相差最大。
应用题专项练习21、列式计算。
（1）一个数比2.02与3.28的和多1.3，这个数是多少？（3）2460减去52与26的积，差是多少？2、小胖带了50元钱去联华超市，买学习用品用去了19.37元，零食用去了15.63元，还剩下多少元？3、淘气全家五一假期开车去北京游玩，车速90.5千米/小时，行驶了4.5小时到达目的地，算一算他们共走了多少千米？4、水果超市购进10吨水果，已经运回了7车，每车装1.25吨。
还剩多少千克没有运？5、一个滴水的水龙头一天要浪费约43.2千克水，一个漏水的马桶一天要浪费约956.4千克的水。
照这样计算，一个漏水的水龙头和一个漏水的马桶10天一共要浪费多少千克的水?6、某食堂买来一批米，吃去158千克，剩下的比吃去的4倍少32千克，食堂买来多少千克米？7、下面是气象小组测出的某一天气温数据统计表。
（1）请你将这一天的气温制成折线统计图。
分数应用题综合练习题
分数应用题综合练习题分数应用题练习题1、六年级男生有120人,女生是男生的7/8，六年级人数占全校人数的1/4，全校有学生多少人？2、水果店运来一批水果，第一天卖出总数的1/3,第二天卖出360千克，还剩下总数的4/9，这批水果有多少千克？3、一块地4公顷，其中3/8种水稻，3/4公顷种蔬菜,剩下的种油料作物，油料作物有多少公顷？4、一本书共300页，第一天看了它的1/5，第二天看了80页，还剩多少页?5、商店有梨3200千克,苹果是梨的4/5,苹果比梨少多少千克？6、一本书共420页，小红第一天看了全书的1/4，第二天看了全书的3/7,第二天比第一天多看多少页？7、一筐苹果的2/7正好是48千克,一筐梨的重量比一筐苹果重1/8，一筐梨重多少千克？8、一批化肥分给甲乙丙三队，甲分到总数的1/4，乙分到总数的3/8，已知甲乙共分到48吨，这批化肥共有多少吨？9、果园有桃树360棵,正好是梨树的3/5，杏树的棵数比梨树多1/6，果园有杏树多少棵？10、工地有一批砖，用去2/5，还剩24000块,如果用去5/8，还剩多少块？11、工程队三天修一条公路，第一天修了全长的1/3,第二天修了全长的2/5，第三天修了800米.这条公路全长多少米？12、三个修路队合修一条公路,第一队比第二队多修1/10,第三队比第二队少修1/6，第一队修了462千米，第三队修了多少千米？13、修路队修一条路，第一天修了240千米，第二天修了总数的1/4，还剩下360千米没有修。
这条路全长多少千米?14、一台收录机今年的售价比去年降低了1/4，前年售价比去年多1/4，今年售价48元，前年售价多少元?15、一根铁丝长4米，用去1/4后再用去2/5米，共用去多少米？16、修一条长1800米的公路,第一周修了全长的1/3，第二周修了全长的1/5，还剩多少米？17、仓库有一批化肥,第一次卖出总数的3/8，第二次卖出总数的1/4，两次共卖出380袋，这批化肥共有多少袋？18、有一批布，做上衣用去全长的1/3，做裤子用去全长的1/4，这是还剩下1。
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247
习 题 7.5
⒈ 一根10m长的轴，密度分布为()(0.36)xxkg/m（010x），求轴的
质量。
解 100(0.36)75mxdx（kg），即轴的质量为75kg。
⒉ 已知抛物线状电缆yx2（11x）上的任一点处的电荷线密度与该点
到y轴的距离成正比，在(,)11处的密度为q，求此电缆上的总电量。
解 312212011114(14)(551)66Qqxxdxqxq，即此电缆上的总电量为
1
(551)6q
。
⒊ 水库的闸门是一个等腰梯形，上底36m，下底24m，高16m，水平面距上底
4m，求闸门所受到的水压力（水的密度为1000kg/m3）。
解 以梯形的上底为y轴，从上底的中点垂直向下为x轴正向，则水下离水面
距离为x处，高度为dx的一段闸门一侧所受的水压力为
3
1000(4)24(16)4dFgxxdx
，
于是闸门所受的总的水压力为
16
7
0
3
1000(4)24(16)5.4104Fgxxdx
(N)。
⒋ 一个弹簧满足圆柱螺线方程
xatyatzbtcos,
sin,
,
0t
（0,0ba），
其上任一点处的密度与它到Oxy平面的距离成正比，试求其第一圈的质量。
解 质量22222202mkbtabdtkbab。
⒌ 一个圆柱形水池半径10m，高30m，内有一半的水，求将水全部抽干所要做
的功。
解 303291510101.0410Wxgdx(J)。
⒍ 半径为r的球恰好没于水中，球的密度为，现在要将球吊出水面，最少要
做多少功？
解 考虑对水下离水面距离为x处，厚度为dx的圆形薄片的做功情
248
况：半径为r的球恰好离开水面，则圆形薄片的位移恰为r2，其在水
中移动的距离为x，在水上移动的距离为xr2。薄片的面积为
2
(2)rxx
，设0为水的密度，则将球恰好吊出水面至少要做的功为
rrdxxrxxgdxxrxxrgW2020202)2()()2)(2(
)2(3404gr
。
⒎ 半径为r密度为的球壳以角速度绕其直径旋转，求它的动能。
解 221IW222220(2)2212rrxxrxxydx
=222220(2)2222rrrxxrxxdxrxx
2222404(2)3r
rrxxdxr
。
⒏ 使某个自由长度为1m的弹簧伸长2.5cm需费力15N，现将它从1.1m拉至
1.2m，问要做多少功？
解 由kxF，当025.0xm时，15FN，代入得 600k。于是所做的功为
0.2
0.1
9Wkxdx
J。
⒐ 一物体的运动规律为stt33，介质的阻力与速度的平方成正比，求物体
从t1运动至tT时阻力所做的功。
解 设介质的阻力为F，速度192tsv，则 22)19(tkF。于是
352224952437
729
)19(3571321TTTTdttdtsFW
TT
。
⒑ 半径为1m，高为2m的直立的圆柱形容器中充满水，拔去底部的一个半径
为1cm的塞子后水开始流出，试导出水面高度h随时间变化的规律，并求水
完全流空所需的时间。（水面比出水口高h时，出水速度vgh062.。）
解 设t时刻水面的高度为h，过了dt时间后水面的高度降低了dh，则
dtghvdtdh26.0)01.0()01.0(1222
，
即
dtghdh21065
。
对上式两边积分，注意0t时，2h，得到
25)1031(2tgh
，
以0h代入，解得
249
5
4
10
1.06103tg
（s）。
⒒ 上题中的圆柱形容器改为何种旋转体容器，才能使水流出时水面高度下降是
匀速的。
解 根据题意，只要在上题的第一个等式的左边含有因子h即可，也
即在时刻t水面的半径r须满足2rkh，其中k为常数。所以可选用
曲线4cxy绕y轴旋转一周后所得旋转曲面作为容器，从而使得水流
出时水面高度下降是匀速的。
⒓ 镭的衰变速度与它的现存量成正比，设t0时有镭Q0g，经1600年它的量减
少了一半，求镭的衰变规律。
解 设在时刻t镭的现存量为)(tQQ，则
kQdtdQ
，
对等式两边积分，注意在时刻t0有镭Q0g，得到
)(00)(ttkeQtQ
。
由题意，当16000tt时，2)(0QtQ，代入上式，得到16002lnk，所以
1600
0
0
2ttQQ
。
⒔ 将A物质转化为B物质的化学反应速度与B物质的浓度成反比，设反应开
始时有B物质20%，半小时后有B物质25%，求B物质的浓度的变化规律。
解 设在时刻t，B物质的浓度为)(ty, 则
ykdt
dy
，
解得
ckty2
。
因为51)0(y，41)21(y，所以4009,251kc，于是得到
20
1618t
y
。
⒕ 设],[dttt中的人口增长量与pmaxpt()成正比，试导出相应的人口模型，
250
画出人口变化情况的草图并与Malthus和Verhulst人口模型加以比较。
解 由题意可知
max
()(())dpt
kpptdt
，00()ptp，
由此可解得
0
()maxmax0()()kttptpppe
。
⒖ 核反应堆中，t时刻中子的增加速度与当时的数量Nt()成正比。设
NN()00
，证明
102)(tNtN2
0
1
)(tNtN
。
证 由题意可知
kNdtdN
，
对等式两边积分，再注意NN()00，可解得
tk
eNtN0)(
，
由此即可得到
2211
010
2
)()(tttktNtNeNtN
。
⒗ 一个1000m3的大厅中的空气内含有a %的废气，现以1m3／min注入新鲜空
气，混合后的空气又以同样的速率排出，求t时刻空气内含有的废气浓度，
251
并求使废气浓度减少一半所需的时间。
解 设在时刻t空气内含有的废气浓度为)(ty，则
1()1000dyytdt，(0)100a
y
，
解此方程，即得到
1000
100
)(teaty
。
当()200ayt时，有 10002te，从而得到 1000ln2t（min），即废
气浓度减少一半所需的时间为 1000ln2（min）。