2007年全国初中数学联合竞赛试题及答案
2007年第19届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解(圣才出品)
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A．15
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B．18
C． 30
D． 33
【来源】 2007 年第19 届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级
【答案】D
【解析】显然，图中有16 个三角形，只有一个（ ABC ）面积为 S SABC ， 有 6 个（ ABD ， ACD ， BCE ， BAE ， CAF ， CBF ）面积为 S ；
【答案】B
【解析】将195 分解质因数可得195 3 513 ，因此195 的不同的质约数是 3 、 5 、 13 ，共 3 个。
2 ．计算： 3.1431.4 628 0.686 68.6 6.86 （ ）。
A． 3140
B． 628
C．1000
D．1200
【来源】 2007 年第19 届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级
（ ）条边的边长。
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
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A
H
B CF
G
DE
【来源】 2007 年第19 届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级
【答案】A
【解析】显然只知道边 AH 、 AB 、 CD 的长度，或知道 AH 、 HG 、 FE 的长度，
便可算出多边形
ABCDEFGH 的周长 2 AH AB CD 2 AH HG FE ，需要知道边长的边数
最少是 3 。
故正确的答案选 A。
7 ．五羊中学初一（ 20 ）班一次数学竞赛中，平均成绩为 70 分，恰有五分之一的学生 获奖，且获奖学生的平均分比全班平均分高出16 分，那么没有获奖的学生的平均分比全班
历年全国初中数学联赛试题总汇
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35．答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±．答（ ） ４．已知：)19911991(2111n nx --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５．若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７．如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）８．在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21；答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a cb 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q pn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试11=S 3S =132=S120135xx + y，x －y，x y，y四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ; 2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x 其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是 (A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>; (C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于(A)cb a 1:1:1; (B)c b a ::(C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( )二.填空题1.当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D ,E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
2007年初二数学竞赛答案
2007年江干区数学小能手竞赛8年级解答一、选择题（40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DABDCCAB二、填空题（40分）题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1711921237.444110或914.44，提示：如图，连接OC ，就有（x+10）: y =20: 16,(16+y ):x =20:10,可求得x =20, y =24.三、解答题（40分） 17．18．解：由题意知△DEF 为等腰直角三角形，△ABE ≌△BFE ， ∵DE =1，∴DF =1，AE =EF =2,AD=BC =2+1（4分） 设AB=x ，则CF = x －1 ∵222BF CF BC =+∴222(1)(12)x x =-++，解得x =2+2（4分）∴矩形ABCD 的面积=（2+2）（2+1）=4+32（2分）（第17题）（第18题）19.解：设两辆公交车发车的间隔时间x为分。
（1分）由题意得方程11113()105x x-=-，（5分）解得x=8，（2分）经检验，x=8是原方程的解且符合题意。
（1分）答：（略）（1分）（本题解法多样，本解法的关键是把两车的间隔距离看作1，利用速度的3倍关系列方程）20．如图，将相邻的圆圈染成一黑一白，则16个圆圈染成如图的颜色.（4分）由题意，旅游的路线必为：白→黑→白→黑→白→黑…，或黑→白→黑→白→黑→白….（3分）由于有 16个城市，因此，应是黑点、白点各8个.但图中的白点有7个，黑点有9个，所以，不可能找到一条不重复地走遍这16个城市的旅游路线.（3分）（20题）。
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
凤湖中学2007学年度初二上学期数学竞赛学竞赛试卷(含答案)38
凤湖中学2007学年度初二上学期数学竞赛试卷(说明：满分120分 时间：90分钟)一、填空（每题3分共30分） 1．有一列数 1、2、4、7、11、16、22、29、…这列数左起第1994个数除以5的余数是 2____。
2．小明骑自行车从家里到学校，去时每小时行6千米，回来时每小时行4千米，则来回平均速度为每小时 4.8 千米.3．王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍。
桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个。
则共有 13 个小朋友。
4．一次乒乓球比赛，共有512名乒乓球运动员参加比赛。
比赛采用淘汰制赛法，两个人赛一场，失败者被淘汰，将不再参加比赛；获胜者进入下轮比赛，如此进行下去，直到决赛出第一名为止，这次乒乓球比赛一共要比赛 511 场。
5．下图有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则图中左上角的数是 16 。
6．有一种饮料的瓶身如下图所示，容积是3升。
现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米。
那么瓶内现有饮料 2.4 升。
7．如图，不含▲的正方形有 41 个。
8．标有一号、二号、三号的三个盒子里面各有若干个黑色的小球，如果第一次从一号盒子里面拿20个小球放到二号盒子里面，第二次又从二号盒子里拿15个小球放到三号盒子里，最后再从三号盒子里拿出20个小球放到一号盒子里，这时三个盒子里面的小球都是60个。
一号、二号、三号盒子里面原来各有小球 个。
（60、55、65）9．有 A 、B 、C 、D 、E 五个小足球队参加足球比赛，到现在为止，A 队赛了4场，B 队赛了3场，C 队赛了2场，D 队赛了1场．那么E 队赛了 2 场。
10．设多项式M d cx bx ax =+++35，已知当0=x 时，5-=M ，当3-=x 时，7=M ，则当3=x 时，=M _________ 。
二、填空（每题4分共32分）11．若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为 ．第5题图 班级 姓名 考号第6题图 第7题图12．某学习小组5位同学参加初中毕业生实验操作考试（满分20分）的平均成绩是16分．其中三位男生的方差为6（分2），两位女生的成绩分别为17分，15分．则这个学习小组5位同学考试分数的标准差为13．A 、B 两地之间的道路分上坡和下坡两种路段，共70千米，兰兰上坡速度为5千米/时，下坡速度为7千米/时，去时用了10.5小时，则返回时用 13.5 小时。
凤湖中学2007学年度初一下学期数学竞赛试卷(含答案)
(第5题) 2008年慈溪市凤湖中学初一（七年级）数学应用与创新竞赛试题（时间：2008年5月5日下午3：00——4：40，满分：100分）一、填空题（每小题4分，共32分）1．小明骑自行车从家里到学校，去时每小时行6千米，回来时每小时行4千米，则来回平均速度为每小时 千米。
2．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为3．如图，要把角钢(1)弯成120°的钢架(2)，则在角钢(1)上截去的缺口是 度。
4．如下图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G = 度。
5．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是 6．一辆自行车，前胎行驶5000km 就不能继续使用，后胎行驶3000km 就不能继续使用，若在行驶中合理交换前后胎，则最多可以行驶__________km.7．如图，长方形ABCD 被分成8块，图中的数字是其中5块的面积数，则图中阴影部分的面积为 ．8．请把1~9的九个自然数分别填入上图中的九个小圆里，使三个“正方形”及一个“大圆”（图中由虚线围成）上四个数字之和分别都等于19。
（注：一种填法即可，不必考虑所有填法）班级 姓名 考号ABC DE FG （第4题图）（第3题图） （第7题图） （第8题）ABCDEF59（第10题）二、选择题（每小题4分，共32分）9．已知x 为质数，y 为奇数，且满足：22005x y +=，则x y +=（ ）A ．2002B ．2003C ．2004D ．200510．某人从A 点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A 处（如图）。
如果他在B 、C 、D 、E 、F 五个转角处都转了59，那么他在A 处转过多少度角才能仍面向 A B 所指的方向。
2007年号的初二年数学竞赛题(颜墀策编)
含年号2007的初二数学竞赛题（颜墀策编） 1. 1+2+3+……+2007其和是奇数或偶数？ （答： ） 2. 20072007的个位数是＿＿＿＿.3. 质数a 和b 满足等式a 2b=2007,则a+b=＿＿.4. 20073÷7的余数是＿＿＿＿.5. 化简20+21+22+23+……+22007＝＿＿＿＿.6. 计算_____200720061200320021200220011200120001=×++×+×+×L L7. 能被9整除的理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 321L 120071111个8. 多项式x 2+ax －2007能被x+b 整除,那么符合条件的整数对（a,b ）共有＿＿个，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 9. 从1开始的正整数，依次写下去，直写到第2007位为止，那么这个数的末3位数是＿＿＿. 43421L L 位共2007123410. 用连续整数1到2007这2007个数，按顺序连接所成的正整数123…2007.⑴这是一个几位数？（ ）⑵它除以9的余数是＿＿. 11. 从自然数1到2007中，至少选几个数，才能保证其中必有3个数的长度能组成不等边三角形？（答＿＿＿＿）.12aaD 3E 3D 2E 2E 1D 1CBA 12. 已知△ABC 的BC ＝a ，中位线D 1E 1＝,21a 梯形BCE 1D 1的中D 2E 2＝,43a 梯形BCE 2D 2的中位线D 3E 3＝,87a ……以此类推梯形BCE 2006D 2006的中位线D 2007E 2007＝＿＿.13. 三条边都是自然数的Rt △ABC 中，有一条直角边a ＝2007，则另一条直角边b 的所有取值共有＿＿＿个，即b=＿＿＿＿＿＿14.M=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(264+1),则M－2007的个位数是__.15.把正整数按如下顺序填写，那么2007是在第___行第___列.一二三四五1 2 3 48 7 6 59 10 11 1216 15 14 13…………。
全国初中数学联合竞赛分类解析——代数解答题试题
2007-2012年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编5---代数解答题1、 设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.（2007）2、已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根. （2007）3、设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值. （2007）4、设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. （2007）5、设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点. （2007）6已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()a x x a x b x b xb x ------≥ 恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.（2008）7．设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+，求a ，b 的值.（2008）8．已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式220ay xy bx -+≥ 恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.（2008）9．设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.（2008）10．已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值. （2009）11．已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件： 32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ② 证明：以,,a b c 为三边长可构成一个直角三角形. （2009）12．已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ② 是否存在以,,a b c 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角. （2009）13、设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数. （2010）14、已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积. （2010）15、已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．（2011）16．已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++．（1）证明：3+=+p n m ；（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．（2011）17．已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且2OA ＋2OB ＋2OC ＝3(OA ＋OB ＋OC ）．求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．（2011）18、已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. （2012）19．已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式. （2012）。
2007-2012全国初中数学联赛分类汇编1--代数选择题
2007-2012年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编1---代数选择题1.已知zy x ,,满足xz z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为（ ）（2007） （A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B. 解 由xz z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）. 注：本题也可用特殊值法来判断.2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（2007）（A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007. 【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n nn 011112222=+-++-n n n n ，即当x分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2ba cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC是（ ）（2007）（A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）.4．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（2007）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52.【答】B.解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ； 当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）.5．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ ）（2008）)(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B .6．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）（2008）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C .解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个.所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C .7．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）（2008）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98.【答】 B .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤.要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅，2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数.所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n i a a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B .8． 已知实数,x y 满足22(2008)(2008)2008x x y y ----=，则223233x y x y-+-2007-的值为（ ）（2008）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.【答】D . 解 ∵22(2008)(2008)2008x x y y ----=，∴2222008200820082008x x y y y y --==+---，2222008200820082008y y x x x x --==+---，由以上两式可得x y =. 所以22(2008)2008x x --=，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .9. 设71a =-，则32312612a a a +--= （ ） （2009） A.24. B. 25. C. 4710+. D. 4712+. 【答】A.由71a =-，得282762a a =-=-，故226a a +=.所以32223126123(2)6612a a a a a a a a +--=++--=261212661224a a +-=⨯-=.10．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为 （ ）（2009）A.1.B. 2.C. 3.D. 4. 【答】C.由方程得232[]x x -=，而[]x x ≤，所以232x x -≤，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，从而[]x 只可能取值1,0,1,2,3-.当[]1x =-时，21x =，解得1x =-； 当[]0x =时，23x =，没有符合条件的解； 当[]1x =时，25x =，没有符合条件的解； 当[]2x =时，27x =，解得7x =；当[]3x =时，29x =，解得3x =. 因此，原方程共有3个解.11．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）（2009）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为12； （2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的中心O ，这样的三角形也有4个，它们的面积都为14. 所以以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.因此，所求的概率为123287=.12．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（ ）（2009）A.3.B. 4.C. 5.D. 6. 【答】B.设2009n a -=，则190910010012009n a n a a--==--，它为完全平方数，不妨设为21001m a -=（其中m 为正整数），则21001m a=+. 验证易知，只有当1,2,3,7m =时，上式才可能成立.对应的a 值分别为50，20，10，2. 因此，使得19092009n n--为完全平方数的n 共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.13. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ）（2010）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4. 【答】B.因为,,a b c 均为整数，所以a b -和a c -均为整数， 从而由1010()()1a b a c -+-=可得||1,||0a b a c -=⎧⎨-=⎩或||0,|| 1.a b a c -=⎧⎨-=⎩ 若||1,||0,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a c =，从而||||||a b b c c a -+-+-=||||||2||2a b b a a a a b -+-+-=-=.若||0,||1,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a b =，从而||||||a b b c c a -+-+-=||||||2||2a a a c c a a c -+-+-=-=. 因此，||||||a b b c c a -+-+-=2.14．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ）（2010）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3. 【答】C. 由两个已知等式可得32(3),||(2)55a cbc =+=-，而||0b ≥，所以2c ≤. 当2c =时，可得9,0a b ==，满足已知等式. 所以c 可能取的最大值为2.15．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则 （ ）（2010） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤.【答】C.由1110a b b a--++=可得b a b ab a +=++22，则 2()()()(1)ab a b a b a b a b =+-+=++- ①由于b a ,是两个正数，所以,0>ab 0a b +>，所以10a b +->，从而.1>+b a另一方面，由22()()44a b a b ab ab +=-+≥可得4)(2b a ab +≤，结合①式可得14a b a b +≥+-，所以.34≤+b a 因此，413a b <+≤.16．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）（2010）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0. 【答】A.设m 是方程2310x x --=的一个根，则2310m m --=，所以231m m =+. 由题意，m 也是方程420x ax bx c +++=的根，所以420m am bm c +++=， 把231m m =+代入此式，得22(31)0m am bm c ++++=，整理得2(9)(6)10a m b m c +++++=.从而可知：方程2310x x --=的两根也是方程2(9)(6)10a x b x c +++++=的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有22(9)(6)1(31)a x b x c k x x +++++=--（其中k 为常数）， 故961131a b c +++==--，所以333,10b a c a =--=--. 因此，2(333)2(10)13a b c a a a +-=+-----=-.17．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++=（ ）（2010）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.【答】D.把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果n 不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变n a 的值）.1在千位上出现的次数为310，1在百位上出现的次数为2210⨯，1在十位和个位上出现的次数均为22101⨯+，因此，1出现的总次数为3210210321602+⨯⨯+=.2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为2210⨯，2在个位上出现的次数为22101⨯+，因此，2出现的总次数为21121031612+⨯⨯+=.类似的，可求得(3,4,5,6,7,8,9)k k =出现的总次数均为221031601⨯⨯+=. 因此12320092010160216122601(3456789)a a a a a +++++=⨯+⨯+⨯++++++＝28068.18．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为（ ）（2011）A ．1.B ．1-.C ．21-.D ．21. 【答】B.由4)1()1(22-=-+-ab b a 可得ab b b a a 4)1()1(22-=-+-， 即04)(2)(3322=++++-+ab b a b a b a ，即222222()2()40a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1-=ab ．19.方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（ ）（2011）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答】C.当1||≥x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0349)324(2=+---x x ，解得13x =，2433x =-，均满足1||≥x ．当1||<x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0347)324(2=-+-+x x ，解得332x =-，满足1||<x ．综上，原方程有3个解．.20．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）（2011）A ．5组.B ．7组.C ．9组.D ．11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为45921=+++ ，所以正方形的边长不大于45[]114=．由于 4352617+=+=+=；5362718+=+=+=；546372819+=+=+=+=；64738291+=+=+=+； 65748392+=+=+=+．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。
2007-全国初中数学联赛分类汇编1 代数选择题 人教新课标版.doc
2007-2012年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编1---代数选择题1.已知zy x ,,满足xz z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为（ ）（2007） （A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B. 解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）. 注：本题也可用特殊值法来判断.2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（2007）（A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007. 【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n nn 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2ba cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC是（ ）（2007）（A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）.4．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（2007）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52. 【答】B.解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ； 当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）.5．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b +的值为 （ ）（2008）)(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B .6．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）（2008）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C .解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个.所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C .7．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）（2008）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98.【答】 B .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤.要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅，2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数.所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n i a a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B .8． 已知实数,x y 满足(2008x y =，则223233x y x y-+-2007-的值为（ ）（2008）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵(2008x y =，∴x y ==+y x ==+由以上两式可得x y =. 所以2(2008x =，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .9. 设1a =，则32312612a a a +--= （ ） （2009）A.24.B. 25.C. 10.D. 12. 【答】A.由1a =，得2862a a =-=-，故226a a +=.所以32223126123(2)6612a a a a a a a a +--=++--=261212661224a a +-=⨯-=.10．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（ ）（2009）A.1.B. 2.C. 3.D. 4. 【答】C.由方程得232[]x x -=，而[]x x ≤，所以232x x -≤，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，从而[]x 只可能取值1,0,1,2,3-.当[]1x =-时，21x =，解得1x =-； 当[]0x =时，23x =，没有符合条件的解； 当[]1x =时，25x =，没有符合条件的解；当[]2x =时，27x =，解得x =当[]3x =时，29x =，解得3x =. 因此，原方程共有3个解.11．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）（2009）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为12； （2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的中心O ，这样的三角形也有4个，它们的面积都为14. 所以以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.因此，所求的概率为123287=.12．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（ ）（2009）A.3.B. 4.C. 5.D. 6. 【答】B.设2009n a -=，则190910010012009n a n a a--==--，它为完全平方数，不妨设为21001m a -=（其中m 为正整数），则21001m a=+. 验证易知，只有当1,2,3,7m =时，上式才可能成立.对应的a 值分别为50，20，10，2.因此，使得19092009n n--为完全平方数的n 共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.13. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ）（2010）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4. 【答】B.因为,,a b c 均为整数，所以a b -和a c -均为整数， 从而由1010()()1a b a c -+-=可得||1,||0a b a c -=⎧⎨-=⎩或||0,|| 1.a b a c -=⎧⎨-=⎩ 若||1,||0,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a c =，从而||||||a b b c c a -+-+-=||||||2||2a b b a a a a b -+-+-=-=.若||0,||1,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a b =，从而||||||a b b c c a -+-+-=||||||2||2a a a c c a a c -+-+-=-=. 因此，||||||a b b c c a -+-+-=2.14．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ ）（2010）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3. 【答】C.32(3),||(2)55c b c =+=-，而||0b ≥，所以2c ≤. 当2c =时，可得9,0a b ==，满足已知等式. 所以c 可能取的最大值为2.15．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则 （ ）（2010） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤.【答】C.由1110a b b a--++=可得b a b ab a +=++22，则2()()()(1)ab a b a b a b a b =+-+=++- ①由于b a ,是两个正数，所以,0>ab 0a b +>，所以10a b +->，从而.1>+b a另一方面，由22()()44a b a b ab ab +=-+≥可得4)(2b a ab +≤，结合①式可得14a b a b +≥+-，所以.34≤+b a 因此，413a b <+≤.16．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）（2010）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0. 【答】A.设m 是方程2310x x --=的一个根，则2310m m --=，所以231m m =+. 由题意，m 也是方程420x ax bx c +++=的根，所以420m am bm c +++=，把231m m =+代入此式，得22(31)0m am bm c ++++=，整理得2(9)(6)10a m b m c +++++=.从而可知：方程2310x x --=的两根也是方程2(9)(6)10a x b x c +++++=的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有22(9)(6)1(31)a x b x c k x x +++++=--（其中k 为常数）， 故961131a b c +++==--，所以333,10b a c a =--=--. 因此，2(333)2(10)13a b c a a a +-=+-----=-.17．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++=L （ ）（2010）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.【答】D.把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果n 不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变n a 的值）.1在千位上出现的次数为310，1在百位上出现的次数为2210⨯，1在十位和个位上出现的次数均为22101⨯+，因此，1出现的总次数为3210210321602+⨯⨯+=.2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为2210⨯，2在个位上出现的次数为22101⨯+，因此，2出现的总次数为21121031612+⨯⨯+=.类似的，可求得(3,4,5,6,7,8,9)k k =出现的总次数均为221031601⨯⨯+=. 因此12320092010160216122601(3456789)a a a a a +++++=⨯+⨯+⨯++++++L＝28068.18．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为 （ ）（2011）A ．1.B ．1-.C ．21-. D ．21.【答】B.由4)1()1(22-=-+-ab b a 可得ab b b a a 4)1()1(22-=-+-， 即04)(2)(3322=++++-+ab b a b a b a ，即222222()2()40a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1-=ab ． 19.方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（ ）（2011）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答】C.当1||≥x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0349)324(2=+---x x ，解得1x =24x =-，均满足1||≥x ．当1||<x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0347)324(2=-+-+x x ，解得32x =，满足1||<x ．综上，原方程有3个解．.20．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）（2011）A ．5组.B ．7组.C ．9组.D ．11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为45921=+++Λ，所以正方形的边长不大于45[]114=．由于 4352617+=+=+=； 5362718+=+=+=；546372819+=+=+=+=；64738291+=+=+=+； 65748392+=+=+=+．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。