高二A层期中理科数学试题
2023-2024学年安徽省A10联盟(人教A版)高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省A10联盟（人教A 版）高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．直线√3x +y ﹣1＝0的倾斜角是（ ） A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π62．若双曲线y 22−x 2m=1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．73．以A （2，0），B （0，4）为直径端点的圆方程是（ ） A ．（x +1）2+（y +2） 2＝20 B ．（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝20C ．（x +1） 2+（y +2） 2＝5D ．（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝54．堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB =π2，若AA 1＝2AC ＝2BC ＝2，则异面直线B 1C 与A 1B 所成角的余弦值为（ ）A ．√3010B ．−√3010C ．√7010D ．−√70105．已知椭圆C ：x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ） A ．|AB |的最大值为10 B ．|AF 2|+|BF 2|为定值C ．C 的焦距是短轴长的34D ．存在点A ，使得AF 1⊥AF 26．已知在△ABC 中，顶点A （1，1），点B 在直线l ：x ﹣y +2＝0上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值为（ ） A ．√5B ．2√5C ．4√5D ．5√527．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 满足AG →=λAP →（0＜λ＜1），P A ＝4，AB ＝2，若OG ∥平面CEF ，则λ＝（ ）A ．14B ．13C ．12D ．238．已知底边BC 长为2的等腰直角三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB ：DC =√3：1，则△ABD 面积的最大值是（ ） A ．3+√62B ．3−√62C ．3√2+2√32D ．3√2−2√32二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．直线l 的方向向量为a →，平面α，β的法向量分别为n →，m →，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若m →⊥n →，则α⊥β B ．若l ∥α，则a →⊥n →C ．若cos〈a →，n →〉=√32，则直线l 与平面α所成角的大小为π6D ．若cos〈m →，n →〉=12，则平面α，β的夹角大小为π310．若方程x 25−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则（ ）A ．曲线C 可能是圆B ．若1＜t ＜5，则C 为椭圆C ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则1＜t ＜3D ．若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则t ＜1 11．下列有关直线与圆的结论正确的是（ ）A ．过点（3，4）且在x ，y 轴上的截距相等的直线方程为x ﹣y ﹣7＝0B ．若直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （2，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为[32，2]C ．若点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）外一点，直线l 的方程是ax +by ＝r 2，则直线l 与圆相离D ．若圆（x ﹣1）2+y 2＝4上恰有3个点到直线y ＝x +b 的距离等于1，则实数b =−1±√2 12．已知O 为坐标原点，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，P 为C 在第一象限上的一点，点Q 的坐标为（2，0），PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的方程为x 29−y 227=1 B ．双曲线C 的离心率为2 C ．|PF 1|＝3|PF 2|D ．点P 到x 轴的距离为3√152三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知圆C ：x 2+y 2＝4，过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 ． 14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，AA 1＝2，E 为A 1D 的中点，F 为CC 1上靠近点C 的三等分点，则点E 到平面BDF 的距离为 ． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，则tan ∠MF 1F 2的值为 ．16．过直线l ：x ﹣y +4＝0上任意点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 过定点 ；记线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的最小值为 ． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边BC 的高所在的直线方程；（2）求平分△ABC 的面积且过点B 的直线的方程． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且右顶点A 到该条渐近线的距离为2√55． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （3，2），求直线l 的斜率． 19．（12分）已知点P （4，0），圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为2√2，求直线l 的方程．20．（12分）一动圆与圆C 1：x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求|PO |2+|PF |2的最小值．21．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，△SAB 是边长为2的等边三角形，AC ⊥平面SAB ，M ，N ，P ，Q 分别是SB ，BC ，SA ，CN 的中点． （1）求证：PQ ∥平面AMN ；（2）若AC ＝2，求平面AMN 与平面SAC 夹角的余弦值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴、椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （点P 在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π，求△RQF 1面积的最大值．2023-2024学年安徽省A10联盟（人教A 版）高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．直线√3x +y ﹣1＝0的倾斜角是（ ） A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π6解：由直线√3x +y ﹣1＝0，得y =−√3x +1，可得直线的斜率为−√3，设倾斜角为α（0≤α＜π），则tan α=−√3，α=2π3． 故选：C ． 2．若双曲线y 22−x 2m=1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．7解：因为椭圆x 24+y 29=1的焦点为(0，√5)，(0，−√5)，所以双曲线y 22−x 2m=1的焦点为(0，√5)，(0，−√5)，故2+m ＝5，解得m ＝3．故选：B ．3．以A （2，0），B （0，4）为直径端点的圆方程是（ ） A ．（x +1）2+（y +2） 2＝20 B ．（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝20C ．（x +1） 2+（y +2） 2＝5D ．（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝5解：∵A （2，0），B （0，4），∴AB 的中点坐标为（1，2），由|AB |=√22+42=2√5， ∴以A （2，0），B （0，4）为直径端点的圆方程是（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝5． 故选：D ．4．堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB =π2，若AA 1＝2AC ＝2BC ＝2，则异面直线B 1C 与A 1B 所成角的余弦值为（ ）A ．√3010B ．−√3010C ．√7010D ．−√7010解：以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1（0，1，2），C （0，0，0），A 1（1，0，2），B （0，1，0）， 所以CB 1→=（0，1，2），BA 1→=（1，﹣1，2）， 所以cos ＜CB 1→，BA 1→＞=CB 1→⋅BA 1→|CB 1→|⋅|BA 1→|=−1×1+2×2√5×√6=√3010， 因为异面直线夹角的取值范围为（0，π2]， 所以异面直线B 1C 与A 1B 所成角的余弦值为√3010． 故选：A ．5．已知椭圆C ：x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ） A ．|AB |的最大值为10 B ．|AF 2|+|BF 2|为定值C ．C 的焦距是短轴长的34D ．存在点A ，使得AF 1⊥AF 2解：由题意得，a 2＝25，b 2＝16，c 2＝a 2﹣b 2＝9，所以a ＝5，b ＝4，c ＝3，而|AB |≤2a ＝10，2c 2b=34，故选项A ，C 正确；由椭圆的对称性知，|AF 2|+|BF 2|＝|BF 1|+|BF 2|＝2a ＝10，故选项B 正确；当A 在y 轴上时，cos ∠F 1AF 2=52+52−622×5×5＞0，则最大角∠F 1AF 2为锐角，所以不存在点A ，使得AF 1⊥AF 2，故选项D 错误． 故选：D ．6．已知在△ABC 中，顶点A （1，1），点B 在直线l ：x ﹣y +2＝0上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值为（ ） A ．√5 B ．2√5C ．4√5D ．5√52解：如图示：，设A （1，1）点关于直线x ﹣y +2＝0的对称点为A ′（a ，b ），则{b−1a−1=−1a+12−b+12+2=0，解得：{a =−1b =3，故A ′（﹣1，3），点A 关于x 轴的对称点A ″（1，﹣1）， 则|A ′A ″|=√4+16=2√5，故A ′A ″的长即△ABC 周长的最小值． 故选：B ．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 满足AG →=λAP →（0＜λ＜1），P A ＝4，AB ＝2，若OG ∥平面CEF ，则λ＝（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23解：因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以AB ，AD ，AP 两两互相垂直， 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ．，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 满足AG →=λAP →（0＜λ＜1），P A ＝4，AB ＝2，所以B （2，0，0），D （0，2，0），C （2，2，0），P （0，0，4），E （0，1，2），F （1，0，2），O （1，1，0），G （0，0，4λ），所以OG →=(−1，−1，4λ)，CE →=(−2，−1，2)，CF →=(−1，−2，2)， 设平面CEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅CE →=−2x −y +2z =0n →⋅CF →=−x −2y +2z =0，解得{y =xz =32x， 令x ＝2，得y ＝2，z ＝3，所以n →=(2，2，3)，因为OG ∥平面CEF ，所以OG →⊥n →，即OG →⋅n →=−2−2+12λ=0， 解得λ=13． 故选：B ．8．已知底边BC 长为2的等腰直角三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB ：DC =√3：1，则△ABD 面积的最大值是（ ） A ．3+√62B ．3−√62C ．3√2+2√32D ．3√2−2√32解：以BC 的中点O 为原点，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图，则A （0，1），B （﹣1，0），C （1，0），设D （x ，y ）， 因为DB ：DC =√3：1，所以√(x+1)2+y 2√(x−1)2+y 2=√3，化简整理得：（x +1）2+y 2＝3（x ﹣1）2+3y 2，即（x ﹣2）2+y 2＝3， 所以点D 的轨迹为以（2，0）为圆心，以√3为半径的圆， 当点D 与直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大， 直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0，且|AB|=√2，设圆心到直线的距离为d ，则点D 到直线AB 的最大距离为d +r =|2−0+1|2+√3=3√2+2√32，所以△ABD 面积的最大值为12×√2×3√2+2√32=3+√62．故选：A ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．直线l 的方向向量为a →，平面α，β的法向量分别为n →，m →，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若m →⊥n →，则α⊥β B ．若l ∥α，则a →⊥n →C ．若cos〈a →，n →〉=√32，则直线l 与平面α所成角的大小为π6D ．若cos〈m →，n →〉=12，则平面α，β的夹角大小为π3解：对于选项A ，若m →⊥n →，则α⊥β，即A 正确； 对于选项B ，若l ∥α，则a →⊥n →，即B 正确；对于选项C ，若cos〈a →，n →〉=√32，则a →与n →的夹角为π6，因为直线与平面所成角的取值范围为[0，π2]，所以直线l 与平面α所成角的大小为π3，即C 错误；对于选项D ，若cos〈m →，n →〉=12，则n →与m →的夹角为π3，因为两平面夹角的取值范围为[0，π2]，所以平面α与β的夹角大小为π3，即D 正确．故选：ABD ． 10．若方程x 25−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则（ ）A ．曲线C 可能是圆B ．若1＜t ＜5，则C 为椭圆C ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则1＜t ＜3D ．若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则t ＜1 解：A 选项，当5﹣t ＝t ﹣1＞0，即t ＝3时，方程x 25−t+y 2t−1=1为x 2+y 2＝2，表示圆心为原点，半径为√2的圆，故选项A正确，选项B错误；C选项，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则5﹣t＞t﹣1＞0，解得1＜t＜3，故选项C正确；D选项，若C为双曲线，且焦点在y轴上，方程x25−t +y2t−1=1即y2t−1−x2t−5=1，则{t−1＞0t−5＞0，解得t＞5，故选项D错误．故选：AC．11．下列有关直线与圆的结论正确的是（）A．过点（3，4）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x﹣y﹣7＝0B．若直线kx﹣y﹣k﹣1＝0和以M（2，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为[32，2]C．若点P（a，b）是圆x2+y2＝r2（r＞0）外一点，直线l的方程是ax+by＝r2，则直线l与圆相离D．若圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，则实数b=−1±√2解：当截距不为0时，设直线xa+ya=1，将点（3，4）代入得，3a+4a=1，∴a＝7，则直线方程为x+y ﹣7＝0，当截距为0时，设直线y＝kx，将点（3，4）代入得，4＝3k，∴k=43，则直线方程为4x﹣3y＝0，则直线方程为x+y﹣7＝0和4x﹣3y＝0，∴A错误．对于B，已知直线kx﹣y﹣k﹣1＝0过定点A（1，﹣1），又直线AM，AN的斜率为k AM=1+12−1=2，k AN=2+13−1=32，所以直线kx﹣y﹣k﹣1＝0和以M（2，1），N（3，2）为端点的线段相交，实数k的取值范围为[32，2]，故B正确；对于C，点P（a，b）是圆x2+y2＝r2外一点，所以a2+b2＞r2，所以圆心（0，0）到直线的距离d=r2√a2+br，所以直线与圆相交，故C不正确；因为圆C：（x﹣1）2+y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x+b的距离等于1，所以圆心（1，0）到直线的距离等于半径的一半，所以√2=1，解得b＝﹣1±√2，故D正确．故选：BD．12．已知O 为坐标原点，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，P 为C 在第一象限上的一点，点Q 的坐标为（2，0），PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的方程为x 29−y 227=1 B ．双曲线C 的离心率为2 C ．|PF 1|＝3|PF 2|D ．点P 到x 轴的距离为3√152解：对于A ，由F 1（﹣c ，0）到渐近线y =√3x 的距离为3√3，得√3c2=3√3，解得c ＝6， 由渐近线方程为y =√3x ，得ba =√3，结合a 2+b 2＝c 2可得a ＝3，b =3√3，则双曲线C 的方程为x 29−y 227=1，故A 正确．对于B ，e =ca =2，故B 正确． 对于C ，PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则|PF 1||PF 2|=|QF 1||QF 2|=84=2，故C 错误．对于D ，由双曲线定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝6，则可得|PF 1|＝12，|PF 2|＝6，在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=122+62−1222×12×6=14，sin ∠F 1PF 2=√1−cos 2∠F 1PF 2=√154，设点P 到x 轴的距离为d ，则|PF 2|•sin ∠F 1PF 2 即12×12×d =12×12×6×√154，解得d =3√152，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知圆C ：x 2+y 2＝4，过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 x +y ﹣2＝0 ． 解：显然点P 在圆C 内，过点P 且弦长最短的弦应是垂直于直线CP 的弦， 又直线CP 的斜率为1，所以所求直线的斜率为﹣1， 故所求直线的方程为y ﹣1＝﹣（x ﹣1），即x +y ﹣2＝0． 故答案为：x +y ﹣2＝0．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，AA 1＝2，E 为A 1D 的中点，F 为CC 1上靠近点C 的三等分点，则点E 到平面BDF 的距离为4√1717． 解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，可得D （0，0，0），B （1，1，0），F （0，1，23），E （12，0，1），则DE →=（12，0，1），DB →=（1，1，0），DF →=（0，1，23），设平面BDF 的法向量为n →=（x ，y ，z ），由n →•DB →=n →•DF →=0，即x +y ＝y +23z ＝0，可取z ＝﹣3，则y ＝2，x ＝﹣2， 即n →=（﹣2，2，﹣3），则点E 到平面BDF 的距离为|n →⋅DE →|n →|||√4+4+9|4√1717． 故答案为：4√1717． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，则tan ∠MF 1F 2的值为 2√55 ．解：将x ＝c 代入双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1中，可得|MF 2|=b2a ，又|F 1F 2|＝2c ，∴tan ∠MF 1F 2=|MF 2||F 1F 2|=b 22ac =c 2−a 22ac =12(e −1e )=12(√515)=2√55．故答案为：2√55． 16．过直线l ：x ﹣y +4＝0上任意点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 过定点 （﹣1，1） ；记线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的最小值为 √2 ． 解：设P （x 0，y 0），因为P 是直线l ：x ﹣y +4＝0上一点，所以y 0＝x 0+4，以OP 为直径的圆的方程为x （x ﹣x 0）+y （y ﹣y 0）＝0， 即x 2+y 2﹣x 0x ﹣y 0y ＝0，所以x 0x +y 0y ＝4，即直线AB 的方程为x 0x +y 0y ＝4，又y 0＝x 0+4，∴直线AB 的方程为x 0（x +y ）+4y ﹣4＝0，故直线AB 过定点（﹣1，1）． 设Q （x ，y ），直线AB 过定点为M ，则M （﹣1，1）， 由MQ →⋅OQ →=0，得（x +1）x +（y ﹣1）y ＝0， 整理得点Q 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12，因为点(−12，12)到直线l ：x ﹣y +4＝0的距离d =|−12−12+4|√2=3√22＞√22，所以直线l ：x ﹣y +4＝0与圆(x +12)2+(y −12)2=12相离， 所以点Q 到直线l 的距离的最小值为|−12−12+4|√2−√22=√2．故答案为：（﹣1，1），√2．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边BC 的高所在的直线方程；（2）求平分△ABC 的面积且过点B 的直线的方程． 解：（1）由题意可得：直线BC 的斜率k BC =3−70−6=23， 则边BC 的高所在的直线的斜率k =−32，所求直线方程为y −0=−32(x −4)，即3x +2y ﹣12＝0． （2）由题意可知：所求直线即为边AC 的中线所在的直线，则线段AC 的中点为D(2，32)，可得直线BD 的斜率k BD =7−326−2=118，所以直线BD 的方程为y −32=118(x −2)，即11x ﹣8y ﹣10＝0． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且右顶点A 到该条渐近线的距离为2√55． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （3，2），求直线l 的斜率． 解：（1）因为双曲线C 的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且直线x +2y ＝0的斜率为−12，因为双曲线C 的渐近线为y =±b a x ，所以−12⋅ba =−1，解得ba=2，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，即2x ±y ＝0， 因为右顶点（a ，0）到该条渐近线的距离为2√55，所以√5=2√55，解得a ＝1，可得b ＝2， 所以双曲线C 的方程为x 2−y 24=1； （2）若直线l ⊥x 轴， 此时A ，B 两点关于x 轴对称，可得线段AB 的中点在x 轴上，不符合题意； 若直线l 与x 轴不垂直，不妨设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线l 的斜率为k ，此时{x 12−y 124=1x 22−y 224=1，即(x 12−x 22)−y 12−y 224=0， 此时(x 1+x 2)(x 1−x 2)−(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，整理得y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1−y 2x 1−x 2=4．因为线段AB 的中点为M （3，2），所以x 1+x 2＝6，y 1+y 2＝4，则46⋅k =4，解得k ＝6，故直线l 的斜率为6．19．（12分）已知点P （4，0），圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为2√2，求直线l 的方程． 解：（1）设圆心坐标为C （a ，b ），因为圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）， 所以{a −b −4=0b =−2，解得{a =2b =−2，所以C （2，﹣2），半径r ＝|MC |＝2， 所以圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +2）2＝4；（2）由题意得，圆心C （2，﹣2）到直线l 的距离为√4−2=√2， 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），则√k 2+1=√2，解得k =2+√3或k =2−√3，当直线l 的斜率不存在，l 的方程为x ＝4，此时圆心C （2，﹣2）到直线l 的距离为2，不满足题意，舍去， 综上，直线l 的方程为y =(2+√3)(x −4)或y =(2−√3)(x −4)．20．（12分）一动圆与圆C 1：x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求|PO |2+|PF |2的最小值． 解：（1）不妨设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，易知圆C 1：(x +3)2+y 2=4，圆C 2：(x −3)2+y 2=100， 当动圆M 与圆C 1外切时，|C 1M |＝R +2； 当动圆M 与圆C 2内切时，|C 2M |＝10﹣R ， 所以|C 1M |+|C 2M |＝12＞|C 1C 2|，则点M 的轨迹是焦点为C 1（﹣3，0），C 2（3，0），长轴长为12的椭圆， 不妨设该椭圆的长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ， 此时2c ＝6，2a ＝12，解得c ＝3，a ＝6，则b 2＝36﹣9＝27， 故动圆圆心轨迹方程为x 236+y 227=1；（2）由（1）知F （3，0），不妨设P （x ，y ）， 此时|PO |2+|PF |2＝x 2+y 2+（x ﹣3）2+y 2＝2x 2﹣6x +9+2y 2， 因为点P 在椭圆上，所以x ∈[﹣6，6]，y 2=27−34x 2， 此时|PO|2+|PF|2=12x 2−6x +63=12(x −6)2+45， 易知当x ＝6时，|PO |2+|PF |2取得最小值，最小值为45．21．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，△SAB 是边长为2的等边三角形，AC ⊥平面SAB ，M ，N ，P ，Q 分别是SB ，BC ，SA ，CN 的中点． （1）求证：PQ ∥平面AMN ；（2）若AC ＝2，求平面AMN 与平面SAC 夹角的余弦值．（1）证明：连接BP 交AM 于点I ，连接NI ， 因为M ，P 分别为SB ，SA 的中点， 所以I 为△SBA 的重心，所BI BP=23，因为N 为BC 的中点，Q 为CN 的中点， 所以BN BQ=23，所以BIBP=BN BQ，所以NI ∥PQ ，又因为PQ ⊄平面AMN ，NI ⊂平面AMN ， 所以PQ ∥|平面AMN ；（2）解：由AC ⊥平面SAB ，可得AC ⊥AB ，平面SAB ⊥平面ABC ， 故可建立以A 为坐标原点，以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴， 过A 作垂直于AC 的直线Az 为z 轴的空间直角坐标系，如图所示， 则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），S (1，0，√3)， M (32，0，√32)，N （1，1，0），Q (12，32，0)，所以AM →=(32，0，√32)，AN →=（1，1，0），AS →=(1，0，√3)，AC →=(0，2，0)， 设平面AMN 的法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅AM →=32a +√32c =0m →⋅AN →=a +b =0，取a ＝1，可得m →=(1，−1，−√3)，设平面SAC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AS →=x +√3z =0n →⋅AC →=2y =0，取x =√3，可得n →=(√3，0，−1)， 设平面AMN 与平面SAC 夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜m →⋅n →＞|=|m⋅n →||m →||n →|=2√3√5×2=√155，所以平面AMN 与平面SAC 夹角的余弦值为√155．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴、椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （点P 在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π，求△RQF 1面积的最大值．解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以e =c a =12， 即a ＝2c ，①因为椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3， 所以a +c ＝3，② 又b =√a 2−c 2，③联立①②③，解得a ＝2，c ＝1，b =√3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2）， 由（1）知F 1（﹣1，0）， 因为∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π， 所以k QF 1+k RF 1=0，即y 1x 1+1+y 2x 2+1=0，整理得x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝0，不妨设直线PQ 的方程为x ＝my +n （m ≠0），联立{x =my +n x 24+y 23=1，消去x 并整理得（3m 2+4）y 2+6mny +3n 2﹣12＝0，此时Δ＝36m 2n 2﹣4（3m 2+4）（3n 2﹣12）＞0， 解得n 2＜3m 2+4， 由韦达定理得y 1+y 2=−6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2−123m 2+4， 又x 1＝my 1+n ，x 2＝my 2+n ，所以x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝2my 1y 2+（n +1）（y 1+y 2）＝0， 即2m ⋅3n 2−123m 2+4+(n +1)(−6mn3m 2+4)=0，因为m ≠0， 所以n ＝﹣4，则直线PQ 的方程为x ＝my ﹣4（m ≠0）， 此时点F 1（﹣1，0）到直线PQ 的距离d =|−1+4|√1+m 2=3√1+m 2，所以S △F 1QR=12|QR|d =12√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2⋅3√1+m 2=18√m 2−43m 2+4，因为n 2＜3m 2+4，n ＝﹣4， 所以3m 2+4＞16， 即m 2＞4，不妨令√m 2−4=t ，t ＞0， 此时m 2＝t 2+4， 所以√m 2−43m 2+4=t 3(t 2+4)+4=t 3t 2+16=13t+16t≤2√3t⋅t=8√3，当且仅当3t =16t 时，等号成立， 此时m 2=t 2+4=283，直线l 存在， 综上，△RQF 1面积的最大值为18×18√3=3√34．。
2014-2015年北京市丰台区高二下学期期中数学试卷及参考答案(理科)(a卷)
A．12，5
B．12，21 C．21，5
D．21，12
3． （4 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机 取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4． （4 分）为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独 立地做 100 次和 150 次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为 t1 和 t2，已知两人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均值都是 s，对变量 y 的 观测数据的平均值都是 t，那么下列说法正确的是（ A．t1 和 t2 有交点（s，t） B．t1 与 t2 相交，但交点不一定是（s，t） C．t1 与 t2 必定平行 D．t1 与 t2 必定重合 ）
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270． 则上述样本中既有可能为系统抽样又有可能为分层抽样的是 ．
16． （4 分）若对于任意的实数 x，有 x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3， 则 a2 的值为 ．
三、解答题共 4 个小题，共 36 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17． （9 分）某种产品的加工需要经过 A，B，C，D，E 共 5 道工序． （Ⅰ）如果 A 工序不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？ （Ⅱ）如果 A，C 两道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加 工顺序的方法？ 18． （9 分）假设有 6 个大学生，把他们分别记为 Z，Q，S，L，W，X．他们应聘 某单位的工作，但只有 3 个岗位，因此 6 人中仅有三人被录用．如果 6 个人被录 用的机会相等，分别计算下列事件的概率： （1）S 和 X 各自得到一个岗位； （2）S 或 X 得到一个岗位． 19． （9 分）已知（x﹣2）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求下列各式的值． （1）a1+a2+…+a7； （2）a1+a4； （3）|a0|+|a1|+…+|a7|． 20． （9 分）为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同 位置捕共捞出 100 条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克） ，并将所得数据分组， 画出频率分布直方图（如图所示） ．
自贡蜀光中学高中二年级下理科数学期中考试理科数学_人教新课标
x 1 ，令
f ( x ) 2ln x x ， f (x) 2 1 ， 当 x (0,2) 时 ， f (x) 0 ， f (x) 为增函数 ， 当 x (2, ) 时 ，
x
f (x) 0， f (x) 为减函数 ，所以 f (x) 的极大值为 f (2) 2ln 2 2 .
15 ． 过抛物线 y 2=6 x 的焦点作直线 ， 交抛物线于 A( x1 , y1), B(x2, y2) 两点 ， 如果 x1+ x2=8 ，那么
C
y 2 4 x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5⋯分
所求的抛物线 的方程为
（2 ） 假设存在符合题意的直线 l ， 其方程为 y
由
y2 4x ， 消 x 得 y2 2 y 2t 0
y 2x t
2x t
，
l
C
因为直线 与抛物线 有公共点 ， 所以得
4 8t 0 ，解得 t
1 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9⋯分
OA l
d
， 再利用积分知识可得正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的
区域的面积 ， 从而可求概率 ． 解： 构成试验的全部区域为圆内的区域 ， 面积为 π3， 正弦曲线 y=-sinx 与 x
π
轴围成的区域记为 M ， 根据图形的对称性得 ：面积为 S=2 0 sin xdx =-2cosx| 0 =4 ， 由几何概率的计算公
在点（ ， 处的切线方程是
A. a 1,b 2 B.a 1,b 2 C.a 1,b -2 D.a 1,b 2
9． 设 f (x)
1 x3 1 x2 2ax， 若 f (x) 在 ( 2,
32
3
) 上存在单调递增区间
， 则实数 a 的取值范围为
化州市2011-2012学年度第二学期高二(理科)数学试卷(A卷)
c0弱 ⑴
.
。
≤ 艿≤ 誓 )与 坐标轴围成的面积为 :
高二 (理 科 )数 学期中考试
(A)卷
第 2页
共
10页
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在 △JBC中 ,角 Ⅱ,B,C所 对的边分别为 G,0,c,已 知 c〓 2,c〓 3,cosB〓 ÷ 。 ∷ (I)求 b的值 ;
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江苏省常州市2020年高二下学期期中数学试卷(理科)A卷
江苏省常州市2020年高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）以知集合，则=（）A .B .C .D .2. （2分）下列幂函数在定义域内是单调递增的奇函数的是（）A . y=B . y=C . y=D . y=3. （2分）设,则a,b,c的大小关系是（）A .B .C .D .4. （2分）棱长为2的正四面体（各面均为正三角形）俯视图如图所示，则它正视图的面积为（）A . 2B .C .D .5. （2分）(2017·白山模拟) 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A . 17B . 16C . 15D . 136. （2分）直线x+2y+3=0的斜率是（）A . -B .C . -2D . 27. （2分） (2019高一上·宁乡期中) 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高三上·秦安期末) 若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A . [2，6]B . [﹣6，﹣2]C . （2，6）D . （﹣6，﹣2）9. （2分）为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）A . 向左平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向右平移个长度单位10. （2分）(2018·安徽模拟) 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二下·广东期中) 设实数，满足，则的最大值为（）A . 14B .C .D .12. （2分） (2016高一下·肇庆期末) 化简，得到的结果是（）A . ﹣sinαB . cosαC . ﹣tanαD . ﹣二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·山东模拟) 已知a，b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则 + 的最小值为________．14. （1分） (2019高一下·上海期中) 已知，， ________15. （1分） (2016高二上·邹平期中) 已知奇函数f（x）的定义域是R，且当x∈[1，5]时，f（x）=x3+1，则f（﹣2）=________16. （1分）(2017·崇明模拟) 抛物线y=x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (共6题；共60分)17. （15分）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）将函数y= sin2x﹣cos2x的图象做怎样的平移变换可以得到函数f（x）的图象；（3）若方程上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．18. （5分）(2017·厦门模拟) 设公比不为1的等比数列{an}的前n项和Sn ，已知a1a2a3=8，S2n=3（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（﹣1）nlog2an ，求数列{bn}的前2017项和T2017 ．19. （10分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面,点是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角.20. （15分） (2016高一下·威海期末) 已知圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°（C为圆心），过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆C相交于M，N两点．（1）求实数m的值；（2）若|MN|≥4，求k的取值范围；（3）若向量与向量共线（O为坐标原点），求k的值．21. （5分） (2019高二下·杭州期末) 已知直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点.（I）当直线经过抛物线的焦点，时，求点的横坐标；（Ⅱ）若，求点横坐标的最小值，井求此时直线的方程.22. （10分） (2019高一上·杭州期末) 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，向量（1）若C是AB所在直线上一点，且，求C的坐标．（2）若，当，求的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (共6题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
高二下学期第二次月考(期中考试)数学理科试题A卷
≥2)，由此推(，根)有这些方[1,2]] D.，3(),(n a x na x +23(),a x aB.解析：dx，∵π故选5．解析：选B.∵＋(x2＋∴示抛物线，分C.由－(－t 2＋t )＝t 2－t ，∴Δy Δx ＝t 2－t 1－t ＝－t .又∵ΔyΔx＝2，∴t ＝－2.答案：－213．解析:A 中的任一元素去选择B 的某一元素都有3种方法，且要完成一个映射应该使A 中的每一个元素在B 中都能找到唯一的元素与之对应，由分步乘法计数原理知共有3×3×3×3×3＝35＝243(个)；答案:243；14.解析：∵x ＝1＞0，∴f (1)＝lg 1＝0. 又∵f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋a 3(x ≤0)，∴f (0)＝a 3，∴a 3＝1，∴a ＝1.答案：1；[15．解析：f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2. f ′(1)＝3－a 4＝0⇒a ＝3.答案：3 三．解答题(本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)； 16．（本小题满分12分）解：（1）捆绑法，2626A A =1440.点评：捆绑法应用于相邻问题.（2）插空法，4345A A =1440.点评：插空法应用于不相邻问题. （3）捆绑插空相结合，242245960A A A =.点评：两种方法相结合的问题，综合考察知识方法的应用能力. 17．（本小题满分12分）解：∵f ′(x )＝(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx＝ (Δx ＋2x )＝2x ，g ′(x )＝ (x ＋Δx )3＋1－(x 3＋1)Δx＝ (Δx 2＋3x Δx ＋3x 2)＝3x 2，∴k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，∴k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 18．（本小题满分12分）解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入条件中得4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，即6a ＋2b i ＝33＋i ，根据复数相等的充要条件有⎩⎨⎧6a ＝332b ＝1⇒⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12，∴z ＝32＋12i ，|z －ω|＝|⎝⎛⎭⎫32＋12i －(sin θ－icos θ)| ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫32－sin θ＋⎝⎛⎭⎫12＋cos θi ＝⎝⎛⎭⎫32－sin θ2＋(12＋cos θ)2＝2－3sin θ＋cos θ＝2－2sin (θ－π6).∵－1≤sin(θ－π6)≤1，∴0≤|z －ω|≤2.[来源学科网Z.X.X.K]故所求的z ＝32＋12i ，|z －ω|的取值范围是[0,2]． 19．（本小题满分12分）解：法一：画出图形，如图．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，及⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x ，及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点(1,1)，(0,0)，(3，－1)，∴S ＝⎠⎛01[x －⎝⎛⎭⎫－13x ]d x ＋⎠⎛13[(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x ]d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x＝23＋16＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2＝56＋6－13×9－2＋13＝2 16＝136. 法二：若选积分变量为y ，则三个函数分别为x ＝y 2，x ＝2－y ，x ＝－3y ，三个上、下限值为－1,0,1. ∴S ＝⎠⎛-10 [(2－y )－(－3y )]d y ＋⎠⎛01[(2－y )－y 2]d y ＝⎠⎛-10(2＋2y )d y ＋⎠⎛01(2－y －y 2)d y ＝(2y ＋y 2) ＋⎝⎛⎭⎫2y －12y 2－13y 3次为0n C =()2n nC x 23nC +1n n nC -++13n n nC C -+，将以上两式相加得：当[0,2x ∈．x )。
陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二下学期期中模拟理科数学试题及参考答案
2022-2023学年度第二学期期中质量检测高二数学（理科）模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．z 为复数，若216i z z -=+成立，则z 的虚部为（ ） A ．6- B ．6i - C ．2D ．2i2．反证法证明命题“若a R ∈，则函数3y x ax b =++至少有一个零点”时，正确的反设为（ ）A ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++恰好有一个零点 B ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++至多有一个零点 C ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++至多有两个零点 D ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++没有零点3．已知函数()i f x 的导函数为()(1,2,3)i f x i '=，若123()()()f x f x f x 、、的图象如图所示，则（ ）A ．123()()()f a f a f a '''>>B ．132()()()f a f a f a '''>>C ．213()()()f a f a f a '''>>D ．312()()()f a f a f a '''>>4．若()y f x =是奇函数，则11()f x dx -=⎰（ ）A ．1B ．0C ．012()f x dx -⎰D ．102()f x dx ⎰5．下列计算不正确．．．的是（ ）A ．()xxee--'= B ．2(ln(21))21x x +=+' C ．(cos )sin x x '=- D ．1()2x x'=6．用数学归纳法证明“()22,4n nn N n *≥∈≥”时，第二步应假设（ ）A ．当(),2n k k N k *=∈≥时，22kk ≥成立 B ．当(),3n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 C ．当(),4n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 D ．当(),5n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 7．若函数()y f x =的导函数()()y x f x ϕ=='图象如图所示，则（ ）A ．3-是函数()f x 的极小值点B ．1-是函数()y f x =的极小值点C ．函数()f x 的单调递减区间为(2,1)-D ．()0x ϕ'<的解集为(,3)-∞- 8．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2)D ．(,0)-∞和(0,2)9．函数()2()2xf x x x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数()cos (1)sin 1,[0,2]f x x x x x π=+++∈在点x =（ ）处取得最小值． A ．32π B ．22π+ C ．2 D ．32π-11．已知函数()ln ()f x a x x a R =-∈在区间(,)e +∞内有最值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,]e -∞D ．(,)e -∞- 12．设2ln 21ln6,,412a b c e ===，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．已知0x >，观察下列不等式：①12x x +≥，②243x x +≥，③3274,x x+≥⋅⋅⋅，则第n 个不等式为_________．14．一个小球作简谐振动，其运动方程为()2sin 3x t t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()x t （单位：cm ）是小球相对于平衡点的位移，t （单位：s ）为运动时间，则小球在2t =时的瞬时速度为_________cm/s ．15．设i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列关于复数的命题正确的有_________ ①z z =②若z 是非零复数，0z z +=，则||zi z = ③若12z z =，则2212z z =④若复数z 为纯虚数，则z i ⋅为实数16．如图：在平面直角坐标系xOy 中，将直线2xy =与直线1x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积21130021212x V dx x πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰圆锥． 据此类比：将曲线2y x =与直线2y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V =_________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知复数i z b =（b R ∈，i 是虚数单位），31iz +-是实数． （1）求b 的值；（2）若复数2()8m z m --在复平面内对应点在第二象限，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖，再添加m 克糖(0)m >（假设全部溶解），则糖水变甜了．将这一事实表示为不等式：当0,0b a m >>>时，有a a mb b m+<+，请证明这个不等式． （2）设ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，请利用第（1）问已证不等式，证明：2c a b a b b c c a++<+++． 19．（本小题满分12分）已知函数432()8181f x x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值． 20．（本小题满分12分）已知函数()sin x f x e a x =-（其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数），0为()f x 的一个极值点． （1）求a 的值；（2）证明：()f x x >恒成立． 21．（本小题满分12分）如图，在区间[0,1]上给定曲线2y x =，左边阴影部分的面积为1S ，右边阴影部分的面积记为2S ．（1）当12t =时，求1S 的值； （2）当01t ≤≤时，求12S S +的最小值． 22．（本小题满分12分） 已知函数21()ln ()2f x x x mx x m R =--∈． （1）若0m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，求实数m 的取值范围．2022-2023学年度第二学期期中质量检测 高二数学（理科）模拟试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．当0x >时，()1n n n x n n N x*+≥+∈成立 14．π 15．①④ 16．2π三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其余满分均为12分．）17．（本小题满分10分） 解：（1） 解法1：∵i z b = ∴33i (3i)(1i)(3)(3)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+ 因为31iz +-是实数，所以解集为30b +=，解得3b =- 解法2：因为31iz +-是实数，则令3()1i z k k R +=∈- 则有3i i b k k +=-由复数相等的概念得3k b k=⎧⎨=-⎩，解得3b =-（2）由（1）可知3i z =-∴()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+ ∵复数2()8m z m --在复平面内对应点在第二象限∴289060m m m ⎧--<⎨>⎩，解得09m << 所以实数m 的取值范围为(0,9) 18．（本小题满分12分） 解：（1）()()()()()a a m ab m b a m m a b b b m b b m b b m ++-+--==+++ 由00b a a b >>⇒-< 又∵0,0m b >>∴()0()m a b b b m -<+，即a a m b b m+<+得证．（2）ABC △的三边长分别为a ，b ，c根据三边关系有a b c +>由（1）已证不等式可得：c c ca b a b c+<+++ 同理可得,a a a b b b b c b c a c a c a b++<<++++++也成立 将以上不等式左右两边分别相加可得：2()2c a b a b c a b b c c a a b c++++<=+++++成立． 即命题得证．19．（本小题满分12分）解：（1）()3222()424364694(3)f x x x x x x x x x =-+=-+=-' 切点为(0,1)-，切线的斜率为(0)0k f ='=切所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10y += （2）令()0f x '=，解得0x =，或3x =当0x =时，函数()f x 取得极小值()01f =- 20．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的导函数为()cos xf x e a x '=-0为()f x 的一个极值点，则有0(0)cos00f e a =-=' 解得1a =（2）要证()f x x >，即证sin xe x x >+ 因为sin 1x ≤ 下面先证1xe x ≥+ 构造函数()1xg x e x =--()10x g x e -'==解得0x =当(,0)x ∈-∞时，有()0g x '<，则()g x 在(,0)-∞上单调递减 当(0,)x ∈+∞时，有()0g x '>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增 所以当0x =时，()g x 取得最小值(0)0g = 即1xe x ≥+成立（当且仅当0x =时等号成立） 又因为1sin x ≥（当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时等号成立）由于等号不具有传递性，所以有sin xe x x >+成立． 21．（本小题满分12分）解：（1）当12t =时，1221014S x dx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰12301143x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭111183812=-⨯= （2）1S 面积等于边长分别为t 与2t 的矩形面积减去曲线2y x =与x 轴、直线x t =所围成的面积，即2231023tS t t x dx t =⨯-=⎰ 2S 面积等于曲线2y x =与x 轴、直线1x t x ==、所围成的面积减去矩形边长分别为1t -与2t 的矩形面积，即12232221(1)33t S x dx t t t t =--=-+⎰所以阴影部分的面积321241()(01)33S t S S t t t =+=-+≤≤令2()422(21)0S t t t t t =-'=-= 解得0t =，或12t =解不等式()0S t '>得112t <<即()S t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 解不等式()0S t '<得102t <<即()S t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减所以当12t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为1422．（本小题满分12分）解：（1）当0m =时，()ln ,(0,)f x x x x x =-∈+∞()ln 0f x x =='解得1x =解()0f x '>得1x >，即函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞ 解()0f x '<得01x <<，即函数()f x 的单调递减区间为(0,1) （2）由函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，可知()ln 0f x x mx =-≤'对任意(0,)x ∈+∞恒成立 即对任意0x >，都有ln xm x≥恒成立 构造函数ln (),0xg x x x => 由21ln ()0xg x x-'==解得x e = 解()0g x '>得0x e <<，即函数()f x 的单调递增区间为(0,)e 解()0g x '<得x e >，即函数()f x 的单调递减区间为(,)e +∞ 所以max ln 1()e g x e e== 所以1m e≥．。
高二数学下学期期中试题910班新人教A版
浙江省北仑中学 高二数学下学期期中试题（9、10班）一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共计50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U I 则3,2,2,1,0,4,3,2,1,0( ▲ ) A. {}2 B. {}3 C. {}432，， D. {}4321,0，，，2.下列四组函数，表示同一函数的是（ ▲ ） A.2(),()f x x g x x == B. 2()4,()22f x x g x x x =-=-⋅+2(),()x f x x g x x == D.11()1,()11x x f x x g x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩3．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+=( ▲ )A ．12B ．1C ．2D ．04．已知a 为实数，则“210<<a ”是“函数|1|()x f x a -=在（0，1）上单调递增”的 （ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件5.函数22()x xf x x--=的图象（ ▲ ）A.关于原点对称B.关于y 轴对称C.关于x 轴对称D.关于直线y x =对称6．当[]2,0∈x 时，函数3)1(4)(2--+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是（ ▲ ） A.1[,)2-+∞ B. [)+∞,0 C. [)+∞,1 D.2[,)3+∞7．设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0f x g x f x g x ''+>，且(3)0g =，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是（ ▲ ）A ．(－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)8.函数)(x f 在定义域R 内可导，若()(2),f x f x =-且(1)'()0x f x -<，若),3(),21(),0(f c f b f a ===则c b a ,,的大小关系是( ▲ )A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>9．若函数()323f x ax x x =+-恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为 ( ▲ ) A ．(3,)-+∞ B ．[3,)-+∞ C ．(3,0)(0,)-+∞U D ．(,0)(0,3)-∞U10. 对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,*,a ab a b a b b ab a b⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ,设()(21)*(1)f x x x =--，且关于x 的方程()()f x a a R =∈恰有三个互不相等的实数根，则实数a 的取值范围 是( ▲ )A. 1(0,)4 B. 1[0,]4 C. 1[0,]16 D. 1(0,](1,)4+∞U二、填空题：（本题共7小题，每小题4分，共28分，请把答案填写在横线上）11．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则1[()]4f f = ▲ .12．奇函数32()1f x ax bx cx x =++=在处有极值，则3a b c ++的值为 ▲ ． 13.设3.0log ,3.0,2223.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系为 ▲ .14.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-I ,求实数a 的值为▲ ．15.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间（-2，1）内()f x 是增函数； ②在区间（1，3）内()f x 是减函数；③在2x =时，()f x 取得极大值； ④在3x =时，()f x 取得极小值。
安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卡上作答。
第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ）A.点A 和点B 关于x 轴对称 B.点A 和点B 关于平面对称C.点A 和点B 关于y 轴对称D.点A 和点B 关于平面对称2.已知空间向量，，，若，，共面，则实数m 的值为（ ）A.1B.0C.-1D.-23.已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y 轴交于点（0，2），则经y 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ）4.若点（-2，1）在圆的外部，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）A.B. C. D.6.已知椭圆C：（且），直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若（1，1）是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ）A.2B.4C.7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上，且满足，当且时，点P 的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，Oxyz ()2,1,4A --()2,1,4B ---Oyz Oxz ()2,1,3a =- ()1,2,2b =- ()1,,2c m =- a b cπ320y +-=20y ++=20y --=20y -+=220x y x y a ++-+=()2,-+∞(),2-∞-12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭()2a = 12b ⎛= ⎝a b )()(14⎛ ⎝2216x y m+=0m >6m ≠340x y +-=AB PA PB λ=0λ>1λ≠ABC △，且，当面积取得最大值时，（ ）C.D.8.已知点P 在椭圆C ：上（点P 不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C 的左、右焦点，交y 轴于点G ，且，则线段的长为（ ）A.B.C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ）A.若，则或B.若，则C.若直线不经过第四象限，则D.若直线与x 轴负半轴和y 轴正半轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点，则面积的最小值是2010.已知椭圆C ：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A ，B ，M 是椭圆C 上的一个动点（不与A ，B 重合），则（ ）A.离心率 B.的周长与点M 的位置无关C. D.直线与直线的斜率之积为定值11.如图，正方体的棱长为2，P 为上底面内部一点（包括边界），M ，N 分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）2AB =2CA CB =ABC △cos C =354522143x y +=1F 2F 2PF 112PF G GF F ∠=∠1PF 3253851l ()1230m x y m +++-=2l 220x my m ++-=12l l ∥1m =2m =-12l l ⊥23m =-1l 1m <-1l AOB △2214x y +=1F 2F 1e 2=12MF F △122MF -<<+MA MB 1111ABCD A B C D -1111A B C D AB BCA.当直线和直线所成的角是30°时，点PB.若平面，则C.若，则直线和底面所成的最大角是45°D.平面被正方体所截的截面形状是六边形第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知圆C 过，两点，且圆心C 在直线上，则该圆的半径为_________.13.已知实数x ，y 满足，则的取值范围为_________.14.已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程.（1）与直线：垂直；（2）两坐标轴上截距相反.16.（15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，M ，N 分别为，的中点，，.（1）求证：异面直线和垂直；（2）求点A 到平面的距离17.（15分）1AA AP AP ∥1B MN 1B P ()111111A P mA D m A B =+-AP ABCD 1D MN ()1,3A ()4,2B 30x y +-=1y =+14y x ++C ()222210x y a b a b+=>>1F 2F C 122F F c =P 12111PF PF c+=C l ()2,1A -l m 50x y +-=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PB BC 2AF AE PGFD EB GC===3AB PA ==EF MN MFG已知过点的直线与圆O ：相交于A ，B 两点.（1）若弦的方程；（2）在x 轴正半轴上是否存在定点Q ，无论直线如何运动，x 轴都平分?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（17分）如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，.（1）求证：平面平面；（2）若点M 是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值.19.（17分）已知椭圆E ：的左、右焦点分别为，，离心率4.（1）求E 的标准方程；（2）过点的直线交E 于P ，Q 两点，若以为直径的圆过E 的右焦点，求直线的方程；（3）两条不同的直线，的交点为E 的左焦点，直线，分别交E 于点A ，B 和点C ，D ，点G ，H 分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O 为坐标原点）()1,0P l 224x y +=AB l l AQB ∠ABCD 2AB =BC =AC DAC △AC PAC △PB =PAC ⊥ABC PA MBC PAB ()222210x y a b a b+=>>1F 2F e =()2,0T PQ 2F PQ 1l 2l 1F 1l 2l AB CD 1l 2l 1k 2k 1240k k +=OGH △2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.题号12345678答案BDACABDC1.B 已知点A 和点B 的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点A 和点B 关于平面对称.故选B.2.D 由题意得，，即，所以，解得.故选D.3.A 由题意得，所求直线的斜率为y 轴交于点（0，2），则所求直线的方程为.故选A.4.C 由点（-2，1）在圆的外部，得，解得，故选C.5.A 向量在向量上的投影向量为.故选A.6.B 设，，则，将A ，B 的坐标代入椭圆方程得：，，两式相减，得：，变形为，又直线的斜率为，所以，即，因此椭圆的焦距为，故选B.Oyz c xa yb =+ ()()()1,,22,1,31,2,2m x y -=-+-122232x ym x y x y =-⎧⎪=+⎨⎪-=-+⎩012x y m =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩πtan 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭2y =+20y +-=220x y x y a ++-+=()()2222114021210a a ⎧+-->⎪⎨-+--+>⎪⎩122a -<<ab )212a bb a b b bb b⎛⋅⋅⋅=⋅== ⎝()11,A x y ()22,B x y 12122x x y y +=+=221116x y m +=222216x y m +=2222121206x x y y m--+=()()121212126m x x y y x x y y +-=--+AB 121213y y x x -=--12362m ⨯-=-⨯2m =4=7.D 由题意设，，，由化简得.∵，∴当时，面积最大，此时不妨设，则，.∴.故选D.8.C 根据对称，不妨设，.由题意得，，，则离心率，左准线方程为，所以，因为，所以由角平分线定理得，即，解得，所以.故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
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2014-----2015学年下学期夏津一中高一年级A层期中考试
数学试题（理科)
第I卷
一．选择题：（共10题，每题5分）
1.已知z是z的共轭复数，且21zii，则复数z=（ ）
A．13i B．13i C．3i D．3i
2．函数344xxy在区间2,3上的最小值为（ ）
A．72 B．36
C．12 D．0
3．310(1)(1)xx的展开式中，5x的系数是（ ）
A．297 B．252 C．297 D．207
4．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边，（A，B可以不相邻）那么不
同的排法有（ ）
A．24种 B．60种 C．90种 D．120种
5．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是
( ) 6．函数xxyln的最大值为（ ） A．1e B．e C．2e D．310 ( ) f(n A．1 B．2k＋1 A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) 12．曲线xyln在点(,1)Me处的切线的方程为_______________； 15．从222576543,3432,11中得出的一般性结论是_____________。 三．解答题.(16-19每题12分，20题13分，21题14分) z 17. (本小题满分12分) 100件产品中96件合格品，4件次品，从中任意抽取5件进行检验： 18．(本小题满分12分)已知()(1)(1)()mnfxxxmnN，的展开式中x的系数为19，求 19．(本小题满分12分)已知函数32()fxxaxbxc在23x与1x时都取得极值 20．(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4； 21. (本小题满分14分) 已知函数2(1)()axfxx，其中0a.
A．－1≤m≤1 B．－1
7．给出下列命题①badx＝abdt＝b－a(a，b为常数且a
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
8．甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
2
A．6种 B．12种 C．30种 D．36种
9．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，
)＝1＋12＋13＋…＋12n－1增加的项数是( )
C．2k－1 D．2k
10．设f(x)，g(x)分别是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数和偶函数，当x<0时，
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.且g(－3)＝0.则不等式f(x)g(x
)<0的解集是( )
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
第II卷
二．填空题(共5题，每题5分)
11. 复数2－2i1＋i＝________.
13．设随机变量ξ的概率分布列为()1cPkk，0123k，，，，则(2)P ．
14．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现从中选出2名会
唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法 种．
16．(本小题满分12分)已知复数z＝a2－7a＋6a2－1＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a取什么值时，
分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
(1)都是合格品的抽法有多少种
（2）恰有2件次品的抽法有多少种
（3）至少有2件是次品的抽法有多少种
3
()fx
的展开式中2x的系数的最小值．
(1)求,ab的值与函数()fx的单调区间
(2)若对[1,2]x，不等式2()fxc恒成立，求c的取值范围。
白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能
性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期
望．
（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；
（Ⅱ）若直线10xy是曲线()yfx的切线，求实数a的值；
（Ⅲ）设2()ln()gxxxxfx，求()gx在区间[1,e]上的最大值.（其中e为自然对数
的底数）