复变函数期末练习题

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复变函数期末试题

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）判断题（20分）1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）.( )5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z0是)(z f 的m 阶零点，则z0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f(z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0nn nz∞=∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9.z zsin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证:()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二）判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在.( )6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )9. 若f(z)在区域D 内解析，则|f(z)|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n n n f .( )二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z0是f(z)的m 阶零点且m>0，则z0是)('z f 的_____零点.6. 函数ez 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-z z .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz =处的值.3. 计算积分：⎰-=iizz I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域D 内解析，试证：f(z)在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( )2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( )3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛.( )5. 若函数f(z)是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D 内为常数. ( ) 6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数f(z)在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )9. 若z0是)(z f 的m 阶零点, 则z0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f .( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f(z)的定义域为___________.2. 函数ez 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f(z)的孤立奇点有__________. 8. 设1-=ze ，则___=z . 9. 若0z 是)(zf 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zz e .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数n n nz n n ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变期末考试试卷

复变期末考试试卷复变函数是数学中的一个重要分支，它在工程学、物理学以及许多其他科学领域中有着广泛的应用。

本期末考试试卷旨在测试学生对复变函数理论的理解和应用能力。

以下是复变期末考试的题目：一、选择题（每题2分，共20分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是：A. 5B. 7C. 8D. 102. 如果 \( f(z) = z^2 + 2z + 1 \)，那么 \( f(2 - i) \) 的值是：A. 3B. 4C. 5D. 63. 以下哪个是解析函数的必要条件？A. 可微B. 可积C. 连续D. 有界...二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果 \( z = x + yi \)，那么 \( \overline{z} \) 是 ______ 。

2. 复数的乘法满足 \( (z_1 z_2) \overline{z_1} = \) ______ 。

3. Cauchy-Riemann 方程是 ______ 的必要条件。

...三、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是解析函数，并给出一个解析函数的例子。

2. 描述复平面上的共轭曲线，并给出一个具体的例子。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 计算下列积分：\[\int_{|z|=2} \frac{1}{z-1} dz\]2. 给定 \( f(z) = \frac{z^2 - 1}{z^2 + 4z + 3} \)，求 \( f(z) \) 在 \( z = -1 \) 处的留数。

五、证明题（每题10分，共10分）证明：如果 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 的某个邻域内解析，并且\( |f(z)| \leq M \) 对所有 \( z \) 都成立，那么 \( f(z) \) 在\( z_0 \) 处的留数存在。

六、应用题（每题10分，共10分）考虑一个简单的 RLC 电路，其阻抗 \( Z(z) \) 可以表示为复数函数。

【复变函数期末考卷】复变函数考试试题

【复变函数期末考卷】复变函数考试试题《复变函数》练习题⼀.单项选择题.1. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 2.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 3.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既⾮充分条件也⾮必要条件 4.下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满⾜柯西-黎曼⽅程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5. 使得22z z =成⽴的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯⼀的（C ）纯虚数（D ）实数 6. z e 在复平⾯上( )（A ）⽆可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 7. 设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平⾯上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是⽆界的8. 设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π（B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能9. 设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=?+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π410. 10. 复数ii+=1z 位于复平⾯第( ) 象限. A ．⼀ B ．⼆ C ．三 D ．四11. 下列等式成⽴的是( ).A ．Lnz Lnz 77=； B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i； D ．)z z Re(z z =。

完整版《复变函数》期末试卷及答案A卷

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系别专业班级姓名XXXX学院 2016— 2017 学年度第一学期期末考试复变函数试卷学号（最后两位）总分题号一二三四统分人题分30 20 30 30复查人得分答一、单项选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30得分评卷人复查人题分，请从每题备选项中选出唯一吻合题干要求的选项，请并将其前面的字母填在题中括号内。

）勿1. Re(i z) ( )超过 A. Re(i z) B. Im(i z)此 C. Im z D. Im z密2. 函数f ( z)2( )封z 在复平面上线 A. 各处不连续 B.各处连续，各处不可以导， C. 各处连续，仅在点z 0 处可导 D. 各处连续，仅在点z 0 处剖析否1，则a b的值则 3. 设复数a与b有且仅有一个模为( )视1 abA. 大于 1B. 等于 1C. 小于 1D.为无量大无4. 设z x iy， f ( z) y i x ，则 f ( z) ( )效 A. 1 i B. i C. 1 D. 0。

C z 1sin z2 i ，则整数n 等于设是正向圆周，5. C z n dz ( )A. 1B. 0C. 1D. 26. z 0 是f (z)e z 1的( )z2A. 1 阶极点B. 2 阶极点C. 可去奇点D. 本性奇点7. 幂级数( 1)n z n 的和函数是( )n 02n n!z zA. e zB. e2C. e 2D. sin z8. 设C是正向圆周z 2 ，则dz( )C z2A. 0B. 2 iC. iD. 2 i9. 设函数f ( z)在0 z z0 R (0 R ) 内剖析，那么z0是 f (z) 的极点的充要条件是( )A. lim f (z) a （a为复常数）B. lim f ( z)z z0 z z0C. lim f (z) 不存在D. 以上都对z z010. ln z 在 z 1处的泰勒级数张开式为( )A. ( 1) n ( z 1)n 1, z 11B. ( 1)n ( z 1)n , z 1 1n 1 n 1 n 1 nC. ( 1) n ( z 1)n 1, z 11D. ( 1)n ( z 1)n , z 1 1n 0 n 1 n 0 n得分评卷人复查人二、填空题 ( 本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分 )11. z 1 2i 的共轭复数 z ________ .12. 设 z (2 3i )( 2 i ) ，则arg z ________ .13. 在复平面上，函数 f (z) x2 y 2 x i (2xy y2 ) 在直线________ 上可导 .14. 设 C 是正向圆周z 1 ，则cos5z________ .dzC z15. 若级数z n收敛，而级数z n发散，则称复级数z n为________ .n 1 n 1 n 1《复变函数》试卷第 1页（共 4 页）《复变函数》试卷第2页（共4页）1 / 3得分评卷人复查人5 小题，每题8 分，共 40 分 ) 1 i 2dz .三、计算题 ( 本大题共20. 计算积分z16.利用柯西 - 黎曼条件谈论函数 f (z) z的剖析性 .17. 判断数列2017 ni 的收敛性 . 若收敛，求出其极限 . 得分评卷人复查人z n三、证明题 ( 本大题共 1 小题，每题 15 分，共 15 分 )n 121. 试证明柯西不等式定理: 设函数f ( z)在圆C : z z0 R 所围的地域内剖析，且在 C上连续，则f ( n) ( z0 ) Mn! ( n 1,2,...)R n其中 M 是 f (z) 在 C 上的最大值.18. 求在照射w z2下， z 平面上的直线z ( 2 i )t 被照射成 w 平面上的曲线的方程.19. 求e z在z0 处的泰勒张开式.《复变函数》试卷第 3页（共 4 页）《复变函数》试卷第4页（共4页）2 / 33 / 3XXXX 学院 2016-2017 学年度第一学期期末考试复变函数答案（ A 卷）一、单项选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1 －5 C C B B D 6-10 A C A B C二、单项选择题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）11. 1 2i 12. arctan813. 1y 14. 2 i 15.2条件收敛三、计算题（本大题共 5 小题，每题 8 分，共 40 分） 16. 解：因 f ( z)z x iy ，故 u( x, y)x, v(x, y)y ，从而u 1,u 0,u 0,u 1,x yxy因此在任何点 ( x, y) 处，uv，因此 f (z) 在复平面内各处不剖析。

（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档

（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。

复变函数期末考试试卷及答案详解

复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):dz1,1、 __________.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z)，求在1. 设22sinz，cosz,2. _________. 内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,，,，3712,f(z)fzd,()z，1C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C4.设，则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设，其中，试求,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z，14. 求复数的实部与虚部. n0,6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 四. 证明题.(20分)zzz，，...，1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数，f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，则______________.D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________，其中n为自然数.z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9. 的孤立奇点为________ .《复变函数》考试试题(二) z二. 填空题. (20分)limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点，则.13sin(2z)1. 设，则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数2222.设，则f(z),(x，2xy)，i(1,sin(x，y),,z,x，iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1，i处的值. z,idz,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:，积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z，3z，8,0f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设，则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1，z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设，则f(z)的定义域为___________. 42z，1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.2n，21n，,z,，i(1，)3. 若，则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz，cosz,n,dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:，其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z，z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1f(z),7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z，1z数，那么它在D内为常数. 8. 设，则. z,___e,,12. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数f(z)z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___0z,z0R及M，使得当时 |z|,Rzen10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|， z三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数期末考试复习题及答案详解

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复变函数测试题一一.选择题(每题4分，共计24分)1.f (z) =sin z 的导数是( )A.coszB. sin zC.0D.12.e2㈣=()A.0B.1C. e2(cos5+isin5)D. e23.若曲线C为|z|=1的正向圆周，d dz 3 =( )c(z-2)3A.0B.1C.-1D.24.z=0为函数f(z)=sin3，q( )zA. 一级极点B.二级极点C.本性奇点D.可去奇点5.f (z 产z z ,贝U f (z )()A.在全平面解析B. 仅在原点解析C.在原点可导但不解析D. 处处不可导二.填空题：(每题4分，共计20分)1.若函数为 "2)=1则£巨)= z2i2. I zdz= o3.若曲线C为z =3的正向圆周，则勺——dz= 。

C Z-2f i T4. lim 1 +- = o2)三.计算题(共计56分)n1.求幕函数Z z■的收敛半径。

(6分) n”3试求 |argzdz, c为 z=(1+i)t, t从1 到2. (7 分)3 . 把函数f（z）(z-2)(z-3)在2 <z <3内展成洛朗展开式。

（7分）4 . 求：Cz曲线C为正向圆周1z=3。

（7分）2., 1 . ....... ..... …5.求一1一2在2-1 >1上的洛朗展开式。

（7分）z z-16.比较（e i j与e i i两个数。

（8分）―，1 ）_ ________________________ ........ ，八、7.已知f 下.z ,则求极限lim f （z）。

（7分）复变函数测试题二一.选择题(每题4分，共计24分)1. f (z) =cosz 的导数是( )A.coszB.- sin zC.0D.1 2. e 3q5i=() A.0 B.1 C. e 3(cos5+isin5) D.e 33.若曲线C 为|z|=1的正向圆周，寸一dzi = () Cz -2A.0B.1C.-1D.2 二 i4. z=0为函数 f(z)=co 芋的( )z A. 一级极点 B.三级极点C. 本性奇点D.可去奇点Q Q5.若幕级数Z c n z n在z=1+2i 处收敛，则该级数在z = 2处的敛散n =0性为( )。

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定A. -1 2iB. 1 2iC. 2 iD.二.填空题：(每题4分，共计20分),,一一,11 .若函数为 "2)=1则£ (2 + ]"o z2 .复数（1 +i j =o3 .不等式z-2 + z + 2 <5表示的区域为 ______________ o4 .复数1i 的模为 F5 . c Imz dz =6. lim 2n ni三.计算题（共计56分）1.求极限lim（1+e z+2z ）。

（6 分）2.设c为从原点沿丫2=乂至1+1的弧段，则［（x+iy2dz。

（7分） cz3.求寸「e~dz曲线C为正向圆周z=3 c z2（7分）-1.、 1 .4.求f （z ）=-2■在z = T处的泰勒展开式。

（7分） zQ Q5.求£（1十i）n z n的收敛半径。

（7分）n z06.已知f '(z)=4z—3,且f (1+i )=—3i ,则求f (z)。

(7 分)z —2―—z-^-dz o (7 分)8.计算限z 2复变函数测试题三一.选择题（每题4分，共计24分）1. c （n =㈠）+ni ,贝U lim *是（）n 4n—>二A.0B. iC.不存在D.12. f ' —Lz ，贝U f （1+i ）=（） z -i-1 . i — 9A.0B.1C.」D. e 223 .若曲线C 为|z|=2的正向圆周，<f £o szdz =（） c （1-Z ）2A. sin1B. 2二isin1C.- sin 1D. -2二isin114 . z=1为函数 f （z ）=e z」的（）A. 一级极点B.二级极点C.本性奇点D.可去奇点5 .若 e z 1=e z 2，则（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D. 二.填空题：（每题4分，共计20分） 1.复数（-1 "勺主值为-1^^^….3 .若曲线C 为|z =1的正向圆周，则［ze z2dz=< C4 .复数 ln e i =A. z 1 =z 2B. z 1 = z 2 2k 二C. z 1 =z 2-k ：iD. 4 =z 2-2i k 二 006.， n =0 0I 的敛散性为（） 2无法确定5. e z在z =1处的泰勒级数为。

三.计算题（共计56分）,21.求复数些史上n5。

的指数表达式及三角表达式。

（6分）cos31 - i sin 312.计算积分（Re（z dz，C为：z = eie,日从一冗至1J n。

（7分）3.试求在8=z3的映射下，直线z=（1+it的象。

（7分）n：i n4.求£J （ p为正整数）的收敛半径。

（7分）nd n pQ Q5.求£nz n的和函数。

(7分)n 1、- 2… 一一6.讨论f(z)=|z的可导性。

—— 4 18.求 Res iz sin —,0 z复变函数测试题四一.选择题（每题4分，共计24分）1.f（z）=x2+iy2,则f'（1+i 混（）A.2B. 2iC. 1 iD.2+2 i2.i i的主值（）A.0B.1C. e，D. e-23.若曲线C为|z|=4的正向圆周，H—1r=（）Y"i）5A. —iB.1C.0D. 二121 ,,4.z=0为函数 f（z）=zcos—的（）zA. 一级极点B.二级极点C.本性奇点D.可去奇点5.函数f （z ）在z点可导是口2）在2点解析的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.非充分非必要16.[z[J cos|d z=（）A. 2二 iB.二 iC. -2二 iD. 0二.填空题：（每题4分，共计20分）1.函数 f （z） =sin z的零点2i z22.[ ze dz= _3.e 2 =o4.3i = ________5.sin z2的麦克劳林级数为 <三.计算题（共计56分）1.讨论函数f （z ）= sinxcoshy+i cosxsinh y 的可导性。

（6 分）2.计算|zdz,曲线C为自-i至Ui的直线段。

（7分）一 1 仔........ .................3.设」= £C n Z n,z>1,则求C o的值。

（7分）1Z n=l二二4n 14.试求幕级数Z -- 的收敛半径及和函数。

（7分）n 曾4n 15.计算吊--- dz^——，c是圆周x2+y2 =2(x + y )。

(7分)c z-1 z216.求正弓J函数f （t） =coskt（k为实数）的Laplace变换。

（7分）复变函数测试题五一.选择题（每题4分，共计24分）1.sin i =（）A.0B.1C. ishlD. e二e2ni2.级数工■为（）n4 AA.条件收敛B. 绝对收敛C.通项不趋于0D.发散3.z=0为函数 f（z）=sinz3 —z的（）zA. 一级极点B.二级极点C.本性奇点D.可去奇点4.e i/z =（）A. e?xB. e"C.0D.15.f （z ）= T z的解析区域（）A.全复平面B. 除原点外的复平面C.除实轴外的全平面D. 除原点与负实轴外处处解析二.填空题：（每题4分，共计20分）1.1 再= ___________ _2.Ln（1 - i 户______________Lsin（e z3.若曲线C为z =1的正向圆周，则2——dz=。

c z4.Fds=£5）! F2（s）=£ 42（包则£ /。

另f2（t 必 ____ 55.z2e z的麦克劳林级数为。

三.计算题（共计56分）1.讨论f （z）=z -z在z=0点的极限。

（6分） z z2.解方程ez +1 =0 。

(7分)3.讨论 f (z)=x3 -3xy2+i(3x2y - y3)的可导性。

(7 分)4.计算q枭z,曲线C为正向圆周z=1。

（7分） c z5.试证』（x2+iy2）dz三几，c： z = e i。

,日是从0至n的半圆弧。

（7分）'c "6.已知调和函数u=2(x-ly,求解析函数f(z)=u+iv。

(7分) 7.求f(t)=cost 2(t)—sint u(t )的拉氏变换。

(8 分)18.将f (z )='在z = i展成泰勒级数。

(7分)1 一 z复变函数测试题六一.选择题（每题4分，共计24分）1.当z=9 时，z100 +z75+z50的值等于（）1-iA. iB. -iC. 1D. -12.使得z2 =z2成立的复数z是（）A.不存在B.唯一的C.纯虚数D.实数。

3.设z为复数，则方程z+| z |=2 + i的解（）A. -3+ i 。

B. 3十i。

C. --i0D. -- -i4 4 4 44.方程z +2-3i =应所表示的曲线是（）A.中心为2 -3i ,半径为V2的圆B.中心为-2 +3i ,半径为2的圆C.中心为-2 +3i ,半径为J2的圆D.中心为2 -3i ,半径为2的圆5.若曲线C为|z|=4的正向圆周，［1—竺元=（）Y（z-二i）5A. —iB.1C.0D. 二 121 一6.z=0为函数 f（z）=zcos—的（）zA. 一级极点B.二级极点C.本性奇点D.可去奇点二.计算题（共76分）1.求下列复数的模与辐角。

（8分）①—1—i ②—1+3i2.求下列复数的指数与三角表示式。

（20分）iz = --1 -iD z=1+sin+ico 里(0 < ^ < —)2④ z = ( co s isi n )3 (c o3s - isi r3 )23.解方程：(1 ・ z)5 =(1 -z)5 (8分)4.求下列极限。

（15分）_ 1re⑵② lim 2z 二二1 z2xy5.讨论函数f（z）=«x2+y2,z=0的连续性。

（10分）0,z =0复变函数测试题七一.选择题（每题4分，共计24分）一、一一 2 •・…一1..函数f（z） = 3z在点z=0处是（）A.解析的B.可导的C.不可导的D.既不解析的又不可导的2.设f (z) =x2+iy2,则f'(1 +i)=()A.2B.2iC.1+iD.2+2i3.i i的主值为()JIA. 0B. 1C. e；4.下列数中，为实数的是( )A. (1 -i)3B. cosiC. Lni2n ni5.lim ——n= 1一niA. -1 2iB. 1 2iC. 2 iD.A.0B. iC.不存在D.1 .计算题（共计76分）1.讨论下列函数的可导性。