高考文科数学圆锥曲线专题复习试题

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高三数学文科圆锥曲线大题训练(含答案)

高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．已知椭圆22:416C xy.（1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线10y kx k 交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212xy的位置关系.1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164xy,所以2222216,4,12从而a b ca b ,因此4,23ac,故椭圆C 的离心率32c ea............4分(II)由221,416y kx xy得22148120kxkx ,由题意可知0. ..............5分设点,E F 的坐标分别为1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为,M M x y ,则1224214Mx x k x k,1221214My y y k......................7分因为BEF 是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,所以BM EF , 因此BM 的斜率1BMk k. ............... ...........................................8分又点B 的坐标为0,2,所以222122381440414M BMMy kkk kx kk,..........10分即238104k kkk ,亦即218k,所以24k,....................12分故EF 的方程为2440x y................ ...........................................13分又圆2212xy的圆心0,0O 到直线EF 的距离为42223218d, 所以直线EF 与圆相离.....................14分2．已知椭圆的中心在坐标原点O ，长轴长为22,离心率22e，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ 的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为222210x y a b ab．--------1分∵长轴长为22,离心率22e，∴1,2b c a ．所求椭圆方程为2212xy．----------- 4分（2）因为直线l 过椭圆右焦点1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1yx ．设1122,,,P x y Q x y ，由2222,1,x yyx 得23210yy，解得1211,3y y ．∴1212112223POQ S OFy y y y ．--------------9分（3）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x ，此时POQ 小于90，,OP OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1yk x ．由2222,1,x y yk x 可得2222124220k x k x k．∴22121222422,1212kkx x x x k k．11(1)y k x ，22(1)y k x 212212ky y k因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQuu u r uuu r.由221212222201212kkOP OQx x y y k kuu u r uuu r 得22k，2k .所求直线的方程为2(1)yx ．----------------14分3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)xy ab ab的一个顶点为(2,0)A ，离心率为63．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上，因为2a，63c a，所以263c，22243b ac．所以椭圆的方程为223144xy ．…………４分（2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，则可设直线l 的方程为(2)y k x ，则原点O 到直线l 的距离为2|2|1k dk．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2234y kx xy消y得22(31)4kx．可得2222(,)3131k P kk，2222(,)3131k Q kk．因为以PQ 为直径的圆与直线l 相切，所以1||2PQ d ，即||OP d ．所以22222222|2|()()()31311k k kk k，解得1k ．所以直线l 的方程为20xy或20x y ．………14分4．已知离心率为32的椭圆2222:1(0)xy C a bab与直线2x 相交于,P Q 两点（点P在x 轴上方），且2PQ ．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．4．解：（1）由已知得32e，则12b a，设椭圆方程为22221(0)4xy b bb由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114bb．解得22b．故椭圆C 的标准方程为22182xy．………４分（2）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．因为APQ BPQ ，所以PAPB k k ．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x （0k）．由2248(12),xyy kx k 得222(14)8(12)161640k xk k x k k ……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0成立.即222264(12)4(14)161640k k k kk ,化简得216(21)0k ，解得12k.因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214Akkx k．所以2288214Akkx k．当方程（1）根的判别式0时，12k，此时直线PA 与椭圆相切.由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x ．同理，易得22228()8()288214()14Bk k kkx k k．由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ，且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k.设四边形APBQ 面积为S ，则112222APQBPQABS SSPQ x PQx 2222188288221414B A k k k k PQ x x kk21614k k由于12k，故216161144k Skkk.当12k时，144k k，即110144kk ，即04S .(此处另解：设t k ，讨论函数1()4f t t t 在1,2t时的取值范围.222141()4t f t tt，则当12t时，()0f t ，()f t 单调递增.则当12t 时，()(4,)f t ，即S 0,4.)所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是0,4.………14分5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022y x的距离为 3.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线0ykxm k与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当A MA N 时，求m 的取值范围.5．解: （1）依题意可设椭圆方程为2221x ya，………….2分则右焦点F 的坐标为21,0a，由题意得212232a，解得23a，故所求椭圆的标准方程为2213xy.………………………….5分6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12xC y的顶点，直线20x y与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(2,1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP，0BQ BP ，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程；（2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ 面积的最大值及此时点Q 的坐标.6．（1）解法1：∵双曲线222:12xC y的顶点为1(2,0)F ,2(2,0)F , ……１分∴椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F ,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222by ax 0a b ，∵椭圆1C 过点A (2,1)，∴1224a AF AF ，得2a.……２分∴22222ba.………………………３分∴椭圆1C 的方程为22142xy.………………………４分解法2:∵双曲线222:12xC y的顶点为1(2,0)F ,2(2,0)F , …………………１分∴椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F ,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222by ax 0ab ，∵椭圆1C 过点A (2,1)，∴22211ab . ①………………………２分. ∵222ab,②………………………３分由①②解得24a, 22b .∴椭圆1C 的方程为22142x y.………………………４分（2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)，∴(2,1)AQxy ，11(2,1)AP x y ，(2,1)BQxy ，11(2,1)BP x y . 由0AQ AP , 得11(2)(2)(1)(1)0xx y y ，……………………５分即11(2)(2)(1)(1)xx y y .①同理, 由0BQ BP , 得11(2)(2)(1)(1)x x y y . ②……………６分①②得222211(2)(2)(1)(1)xxy y.③………………………７分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142xy，得221142xy , 代入③式得2222112(1)(2)(1)(1)yxy y.当2110y时，有2225x y，当2110y ，则点(2,1)P 或(2,1)P ,此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)，其坐标也满足方程2225xy.………………………８分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)，由②得23yx ，解方程组2225,23,x yyx得点Q 的坐标为2,1或2,22.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为2,1或2,22.∴点Q 的轨迹方程为2225xy, 除去四个点2,1,2,22, 2,1,2,22.………………………９分解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A(2,1)及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)，∵0AQ AP，0BQ BP，∴AQ AP，BQ BP.∴1111122y y x x12x ，①……………………５分1111122y y x x 12x . ②……………………６分①②得12222111122y y xx. (*)………………………７分∵点P 在椭圆1C 上,∴2211142x y ，得221122x y,代入(*)式得2212211112122xy xx，即2211122y x,化简得2225xy .若点(2,1)P 或(2,1)P , 此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)，其坐标也满足方程2225xy.………………………８分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)，由②得23yx ，解方程组2225,23,x yyx得点Q 的坐标为2,1或2,22.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为2,1或2,22.∴点Q 的轨迹方程为2225xy, 除去四个点2,1,2,22, 2,1,2,22.………………………９分(3) 解法1：点Q,x y 到直线:AB 20xy 的距离为23x y .△ABQ 的面积为2221(22)(11)23xy S………………………10分2xy22222xyxy .………………………11分而22222(2)()422y yxy x x（当且仅当22y x时等号成立）∴22222222522224522yS xyxyxyxxy522. ……12分当且仅当22y x时, 等号成立.由222,225,y x xy解得2,22,x y或2,22.xy………………………13分∴△ABQ 的面积最大值为522, 此时,点Q 的坐标为2,22或2,22.…14分解法2：由于22221123AB ，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大．………………………10分设与直线AB 平行的直线为20x y m ，由2220,25,x y m xy消去x ，得22542250y my c ，由223220250mm，解得522m．………………………11分若522m，则2y ，22x ；若522m，则2y ，22x．…12分故当点Q 的坐标为2,22或2,22时，△ABQ 的面积最大，其值为2222221522212SAB．………………………14分7．如图，B A,分别是椭圆C ：)0(12222ba by ax 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．7．【解析】：（1）解：F （1，0），|AF|=a+c ，|BF|=a ﹣c ．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项．∴，解得a=2，c=1，∴b 2=a 2﹣c 2=3．∴椭圆C 的方程为=1．（2）证明：直线l 的方程为：x=﹣2，直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k ≠０），联立，化为（3+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2﹣12=0，∴，∴x P =，∴y P =k （x P +2）=，∵QF ⊥AP ，∴k PF =﹣．直线QF 的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得y Q =，∴Q．∴k PQ ==，k BQ =．∴k PQ =k BQ ，∴B ，P ，Q 三点共线．8．已知椭圆2222:10x y C a b ab的离心率为32，且经过点0,1．圆22221:C xyab. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l:0y kx m k 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM 0是否成立？请说明理由．8．解析：（1）解：∵椭圆2222:1x y C ab过点0,1，∴21b.∵2223,2c ab c a，∴24a．∴椭圆C 的方程为2214xy.……………４分（2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225xy，其圆心为原点O . ……………５分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14ykx m x y（*）有且只有一组解．由（*）得222148440kxkmxm ．…………６分从而2228414440km k m,化简得2214mk ．①………７分228414214Mkm kmx kk，22241414M Mk m m y kx mmkk. ……９分∴点M 的坐标为224,1414km m kk. ……………10分由于0k ，结合①式知0m ，∴OMk k2211414414mk kkmk.…………11分∴OM 与AB 不垂直. ……12分∴点M 不是线段AB 的中点. ………13分∴AMBM0不成立.………14分解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225xy，其圆心为原点O .………５分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14ykx m x y（*）有且只有一组解．由（*）得222148440kxkmxm ．………６分从而2228414440km k m,化简得2214mk ．①………７分228414214Mkm km x kk，………………８分由于0k ，结合①式知0m ，设1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为,N N N x y , 由22,5,y kx m xy消去y ,得2221250kxkmx m.…………９分∴12221N x x km x k . …………10分若N M x x ,得224114km km kk,化简得30,矛盾. ………11分∴点N 与点M 不重合. ………12分∴点M 不是线段AB 的中点. …………13分∴AMBM 0不成立.………14分9．已知抛物线C ：22(0)ypx p 的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN 的最小值．9．【解析】（1）由题可知(,0)2p F ，则该直线方程为：2p yx，………１分代入22(0)ypx p得：22304pxpx，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p …３分∵8MN，∴128x x p ，即38p p ，解得p 2∴抛物线的方程为：24yx ．………５分（2）设l 方程为yxb ，代入24yx ，得22(24)0xb x b ，因为l 为抛物线C 的切线，∴0，解得1b ，∴:l 1yx ………７分由（1）可知：126x x ，121x x 设(,1)P m m ，则1122(,(1)),(,(1))PMx m y m PN x m y m 所以1212()()[(1)][(1)]PM PNx m x m y m y m 2212121212()(1)()(1)x x m x x my y m y y m 126x x ，121x x ，21212()1616y y x x ，124y y ，2212124()yy x x ，∴12121244x x y y y y 221644(1)(1)PM PN m m m m ………10分222[43]2[(2)7]14mm m 当且仅当2m 时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN 的最小值为14．………12分10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20xy 上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、Q ，APQ 面积的最小值及此时点A 的坐标.10．解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得222(2)4x y y +-=+，（2分）化简得24x y =.（2分）（2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，由24x y y kx bì?=?í?=+?消去y 得2440x kx b --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=??í?=-?，且21616k b D =+（2分）以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ￠=，其切线方程为1111()2y y x x x -=-即2111124y x x x=-同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =-设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x 1Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+??==???í??==-???，即(2,)A k b -则：220k b +-=，即22b k=-（2分）代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>22212||1||41PQ k x x kk b=+-=++(2,)A k b -到直线PQ 的距离为22|22|1k b d k +=+（2分）3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y=上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ￠=，其切线方程为1111()2y y x x x -=-即1112y x x y =-同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =-（2分）设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010101011212y x x y y x x y ì??=-??í??=-???，点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =-（2分）代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=00(,)A x y 到直线PQ 的距离为200201|2|2114x y d x -=+（2分）33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+所以当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0).（4分）11．已知点)1,2(A 在抛物线:2x ay 上，直线1:l 1y kx （R k ，且0k ）与抛物线E 相交于C B,两点，直线AC AB,分别交直线2:l 1y 于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若25S，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．11．（1）解：∵点2,1A 在抛物线2:E x ay 上，∴4a . ……１分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24xy.设点,B C 的坐标分别为1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4xy xy ，由21,4,y kx xy 消去y 得2440xkx ，解得221,24412212kk x k k.∴12124,4x x k x x .……………２分直线AB 的斜率2111111124224ABxy x k x x ，故直线AB 的方程为12124x y x.……………３分令1y，得1822xx ，∴点S 的坐标为182,12x . ……………４分同理可得点T 的坐标为282,12x .……………５分∴121212888222222x x STx x x x 121212121288248x x xxx x x x x x kk . ……………６分∵25ST ，∴1225x x k .由221212124x x x x x x ，得22201616kk，解得2k , 或2k ,……………　7分∴直线1l 的方程为21yx ，或21yx .……………９分（3）设线段ST 的中点坐标为0,1x ，则1212124418822222222x x x x x x x 1212444444222248k k x x x x k k . ……………10分而2ST2221212122221614kx x x x x x k kk，……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为2222114xy ST k 2241kk.展开得22222414414kx x y kkk.……………12分令0x，得214y ，解得1y 或3y.……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点0,1,0,3.……………14分解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24xy.设直线AB 的方程为112y k x ，点B 的坐标为11,x y ，由112,1,y k x y解得122,1.x k y∴点S 的坐标为122,1k . ………２分由1212,4,y k x xy 消去y ，得2114840x k x k ，即12420x x k ，解得2x或142x k .∴1142x k ，22111114414y x k k .∴点B 的坐标为211142,441k k k . ………３分同理，设直线AC 的方程为212y k x ，则点T 的坐标为222,1k ，点C 的坐标为222242,441k kk . …………４分∵点,B C 在直线1:1l y kx 上，∴22222211212121214414414242kk kk kkk k k k k k k 121k k .∴121k k k . ………５分又211144142k k k k 1，得21111214442412k k kk kk k k k ，化简得122k k k .……………６分12121222222k k STk k k k ，…………７分∵25ST ，∴1212225k k k k .∴2212125k k k k .由2221212121212454k k k k k k k k k k ，得225124k kk ，解得2k.……８分∴直线1l 的方程为21yx ，或21yx .…… 9分（3）设点,P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ，………10分得122222110x x y y k k ，…11分整理得，224410x xy k . …12分令0x，得214y ，解得1y 或3y.……13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点0,1,0,3.…14分12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22（1）求椭圆C 的方程；（2）B A,为椭圆C 上满足AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OPtOE ，求实数t 的值.12．【解】(I)设椭圆C 的方程为)0(12222baby ax 由题意可得：2222222b a cecba，解得：1,2c b a 因此：椭圆C 的方程为1222yx(II)（1）当B A,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x，由题意可得：)2,0()0,2(m 将x m 代入椭圆方程1222yx ，得22||2m y 所以：4622||2m m S AOB ，解得：232m 或212m①又)0,()0,2(21)(21mt m t OB OA t OEt OP因为P 为椭圆C 上一点，所以12)(2mt ②由①②得：42t或342t，又知0t，于是2t或332t（2）当B A,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kxy，由hkx y y x 1222得：0124)21(222hkhx xk 设),(),,(2211y x B y x A ，由判别式0可得：2221hk 此时：2212122212212122)(,2122,214kh hx x k y y kh x x kkh x x ，所以222221221221211224)(1||khk kx x x x kAB 因为点O 到直线AB 的距离21||kh d所以：222221||212112221||21kh khkkd AB SAOB46||21212222h khk③令221k n，代入③整理得：016163422h n h n 解得：24h n 或234h n ，即：22421h k 或223421h k ④又)21,212(),(21)(21222121khtk kht y y x x t OB OA t OE t OP 因为P 为椭圆C 上一点，所以1])21()212(21[22222kh kkh t ，即121222tkh⑤将④代入⑤得：42t 或342t，又知0t ，于是2t 或332t，经检验，符合题意综上所述：2t或332t13．已知点2,1P 在抛物线21:20C xpy p上，直线l 过点0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。

文科数学圆锥曲线练习题

文科数学圆锥曲线练习题一、选择题1. 若椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a > b > 0\)，且该椭圆的离心率为\(\frac{1}{2}\)，则椭圆的焦点到中心的距离为：A. \(\frac{a}{2}\)B. \(\frac{b}{2}\)C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\)D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}b\)2. 对于双曲线\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)，若其渐近线方程为\(y = \pm \frac{b}{a}x\)，则下列关于双曲线的陈述中，正确的是：A. 双曲线的离心率大于1B. 双曲线的离心率小于1C. 双曲线的离心率等于1D. 双曲线没有离心率3. 已知抛物线\(y^2 = 4ax\)的准线方程为\(x = -a\)，若抛物线上一点\(P(x_0, y_0)\)到准线的距离为\(a\)，则该点\(P\)的横坐标\(x_0\)为：A. \(a\)B. \(2a\)C. \(3a\)D. \(4a\)二、填空题4. 椭圆\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)的短轴长度为______。

5. 若双曲线\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)的一条渐近线与x轴的交点坐标为\((5, 0)\)，则另一条渐近线的方程为\(y = \pm \frac{4}{3}(x - 5)\)。

6. 抛物线\(y^2 = 12x\)的焦点坐标为\((3, 0)\)，准线方程为\(x = -3\)，若抛物线上一点\(Q\)到焦点的距离等于到准线的距离，则点\(Q\)的坐标为\((3, \pm 6)\)。

三、解答题7. 已知椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)，求该椭圆的离心率以及焦点坐标。

高中数学文科圆锥曲线试题及解答

高中数学文科圆锥曲线试题及解答一．基础题组1. 【2013课标全国，文5】设椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )．A．13 C ．12 D【答案】：D2. 【2012全国新课标，文4】设F 1，F 2是椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【答案】C 【解析】设直线32a x =与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，232aF M c =-，故22312cos6022a cF M PF c -︒===，解得34c a =，故离心率34e =． 3. 【2010全国新课标，文5】中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(【答案】：D4. 【2006全国，文5】已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是( )（A ）23 （B ）6 （C ）43 （D ）12答案】C5. 【2005全国，文5】抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（）(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5【答案】D6. 【2005全国，文6】双曲线22149x y -=的渐近线方程是（）(A) 23y x =±(B) 49y x =±(C) 32y x =±(D) 94y x =±【答案】C【解析】由题意知：2,3a b ==，∴双曲线22149x y -=的渐近线方程是32y x =±.7. 【2014全国，文20】（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .8. 【2013课标全国，文20】(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线段长为(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为2，求圆P 的方程．【解析】：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.9. 【2010全国新课标，文20】设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋22y b＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB|；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．即43x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝224222224(1)4(12)8(1)1(1)b b b b b b =+++－－－，解得b ＝2 10. 【2005全国，文22】 (本小题满分14分)设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线，（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；（Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程.即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ……………………………………8分所以当且仅当12x x +=0时，直线l 经过抛物线的焦点F …………………………9分（Ⅱ）当121,3x x ==-时，二．能力题组1. 【2014全国，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（）（A （B ）6 （C ）12 （D ）C2. 【2013课标全国，文10】设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )．A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y 1)x -或y ＝1)x -C ．y 1)x -或y ＝1)x -D ．y 1)x -或y ＝1)x -【答案】：C3. 【2012全国新课标，文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为( )A B ． C ．4 D ．8【答案】 C【解析】设双曲线的方程为22221x y a a-=，抛物线的准线为x ＝－4，且||AB =A (－4，，B (－4，-)，将点A 坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2，故实轴长为4．4. 【2006全国，文9】已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )（A ）53 （B ）43 （C ）54 （D ）32【答案】A5. 【2005全国，文9】已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（）A ．43B ．53C ．23D ．3【答案】C6. 【2012全国新课标，文20】设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py ，得x 2－33px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点，故∆＝43p 2＋8pb ＝0，解得6p b =-. 因为m 的截距12p b =，1||3||b b =，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m的斜率为3-时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 三．拔高题组1. 【2010全国，文12】已知椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)，过右焦点F 且斜率为k (k＞0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF ＝3FB ，则k 等于( ) A ．．2【答案】：B2. 【2007全国，文11】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为( )(A) 13(B)33 (C)21 (D)23【答案】：D 【解析】∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍,∴2a b =，∴224a b =，又∵222b ac =-，∴222244()a b a c ==-，∴2234a c =，∴2234c a =，∴c e a ==3. 【2007全国，文12】设F 1,F 2分别是双曲线1922=-y x 的左右焦点，若点P 在双曲线上,且120PF PF ∙=，则12||PF PF +=( )(A)10(B)102(C)5 (D) 52【答案】：B4. 【2006全国，文11】过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为( ) （A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+=【答案】D 【解析】5. 【2005全国，文10】设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A ．2D 1【答案】D【解析】22221x y a b +=，2(,0)F c ，则垂线x c =，22221c y a b +=，∴2224222222(1)()c a c b y b b a a a-=-==， ∴2||b y a =，22b PF a =，122F F c =，所以22b c a=，即a²-c²=2ac，即c²+2ac -a²=0，∴c a ==-，∴1c a =-±0<e<1，所以1c e a ==-6. 【2010全国，文15】已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM ＝MB ，则p ＝________.【答案】：27. ）【2010全国，文22】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22x a－22y b ＝1(a ＞0，b ＞0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．【解析】：(1)由题设知，l 的方程为y ＝x ＋2.代入C 的方程，并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0，设B (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2224a b a -，x 1x 2＝－222224a a b b a +-， ①由M (1,3)为BD 的中点知122x x +＝1，故 12×2224a b a-＝1，即b 2＝3a 2， ②故c 2a ，所以C 的离心率e ＝ca＝2.故|BD |x 1－x 2|＝6.连结MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3，从而MA ＝MB ＝MD ，且MA ⊥x 轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切．所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．8. 【2006全国，文22】（本小题满分１２分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

《圆锥曲线》精选历届高考试题(文科)

1.
、选择题:
2 2
椭圆x 4y=1的离心率为(
(A)仝
2
2.
设p是椭圆
(B)3
4
2 2-y1上的点.
25
B.
)
(C)二
2
3.
若焦点在x轴上的椭圆
4.
A.
+
B.
2
已知△ABC的顶点B
.10
1
=1的离心率为一，则m=(
2
c
3
C.8
X2
C在椭圆㊁
〔 )
(O 4 .3
卜y2=
1上,
边上，则△ABC勺周长是(
(A)2 3(B)6
5.如图，直线I:x -2y20过椭圆的左焦点
F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为(
5
PR+PF2等于()
顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC
(D)12
1
A .-
5
B.
6.已知椭圆的焦点是的轨迹是()
(A)圆(B)椭圆
7.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过三角形，则这个椭圆的离心率是(
11.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A(-4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆1上,
259
sin A sin C
则
sin B
12.椭圆x24y^4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该
三角形的面积是.
(A)空3
3
&已知以
长为(
Fi、
y
\g
JrF!O
f2X
F2、
(B)3
F1(-2,0),F2(2,0)
(A)

高考文科数学圆锥曲线专题训练

高考文科数学圆锥曲线专题训练用时：60分钟一、选择题1. θ是任意实数，则方程4sin 22=+θy x 所表示的曲线不可能是 A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆2. 已知椭121)(1222=-+t y x 的一条准线方程是8=y ，则实数t 的值是 A. 7或－7B. 4或12C. 1或15D. 03. 双曲线1422=+ky x 的离心率)2,1(∈e ，则k 的取值范围为 A. )0,(-∞ B. （－12，0） C. （－3，0） D. （－60，－12）4. 以112422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 A.1121622=+y xB.1161222=+y x C.141622=+y xD.116422=+y x 5. 抛物线28mx y =的焦点坐标为 A. )0,81(mB. )321,0(mC. )321,0(m±D. )0,321(m±6. 已知点A （－2，1），x y 42-=的焦点为F ，P 是x y 42-=的点，为使PF PA +取得最小值，P 点的坐标是 A. )1,41(-B. )22,2(-C. )1,41(-- D. )22,2(-- 7. 已知双曲线的渐近线方程为043=±y x ，一条准线方程为095=-y ，则双曲线方程为A.116922=-x yB.116922=-y x C.125922=-x yD.125922=-y x8. 抛物线2x y =到直线42=-y x 距离最近的点的坐标为 A. )45,23(B. )1,1(C. )49,23(D. )4,2(9. 动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆与直线02=+x 相切，则动圆必过定点 A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，－2）10．中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 12575D. 17525C.1252752B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x二、填空题11. 到定点（2，0）的距离与到定直线8=x 的距离之比为22的动点的轨迹方程为_______. 12.双曲线2222=-my mx 的一条准线是1=y ，则=m ___________.13. 已知点（－2，3）与抛物线)0(22>=p px y 的焦点距离是5，=p ____________. 14．直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_______________. 三、解答题15. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F （2，0）作斜率为53的直线，交双曲线于M 、N 两点，且MN ＝4，求双曲线方程。

圆锥曲线文科练习题

圆锥曲线文科练习题圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，也是文科生常常需要练习的题型之一。

它包括了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线形式。

在解题过程中，我们需要掌握它们的定义、性质以及相关的计算方法。

下面，我们将通过几个具体的练习题来深入了解圆锥曲线。

练习题一：已知椭圆的焦点为F1（2，0），F2（-2，0），离心率为e=2/3，求椭圆的方程。

解析：椭圆的定义是离心率小于1的曲线，其焦点到任意点的距离之和等于常数2a。

根据已知条件，我们可以得到2a=6。

而椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中（h，k）为椭圆的中心坐标。

由于椭圆的中心坐标为（0，0），所以方程简化为x²/9+y²/b²=1。

由于离心率为e=2/3，所以b²=a²(1-e²)。

代入已知条件，可以求得b²=8。

因此，椭圆的方程为x²/9+y²/8=1。

练习题二：已知双曲线的中心为（0，0），焦点为F1（3，0），F2（-3，0），离心率为e=2，求双曲线的方程。

解析：双曲线的定义是离心率大于1的曲线，其焦点到任意点的距离之差等于常数2a。

根据已知条件，我们可以得到2a=6。

而双曲线的标准方程为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1，其中（h，k）为双曲线的中心坐标。

由于双曲线的中心坐标为（0，0），所以方程简化为x²/9-y²/b²=1。

由于离心率为e=2，所以b²=a²(e²-1)。

代入已知条件，可以求得b²=18。

因此，双曲线的方程为x²/9-y²/18=1。

练习题三：已知抛物线的焦点为F（0，1/4），直线y=1/2x-1与抛物线交于两个点A和B，求点A和B的坐标。

2024届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线的综合运用大题)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选好题专项（圆锥曲线的综合运用大题）练习1．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎝⎛⎭⎫0，12 的距离，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于33 .2．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(－25 ，0)，离心率为5 .(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过点(－4，0)的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于点P .证明：点P 在定直线上．3.[2023ꞏ全国乙卷(理)]已知椭圆C ：y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为5 ，点A (－2，0)在C 上．(1)求C 的方程；(2)过点()－2，3 的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点．4．[2022ꞏ全国甲卷(理)，20]设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点D (p ，0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |＝3.(1)求C 的方程；(2)设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB 的方程．5.[2023ꞏ全国甲卷(理)]已知直线x －2y ＋1＝0与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，|AB |＝415 .(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，且FM → ꞏFN →＝0，求△MFN 面积的最小值．6．[2022ꞏ新高考Ⅱ卷，21]已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3 x .(1)求C 的方程．(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为－3 的直线与过Q 且斜率为3 的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |＝|MB |.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．7.[2022ꞏ全国乙卷(理)，20]已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32 ，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT → ＝TH →.证明：直线HN 过定点．8．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷，21]已知点A(2，1)在双曲线C：x2a2－y2a2－1＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；(2)若tan ∠P AQ＝22，求△P AQ的面积．参考答案1．答案解析：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，依题意得|y |＝x 2＋（y －12）2 ，化简得x 2＝y －14 ，所以W 的方程为x 2＝y －14 .(2)设矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 在W 上，则AB ⊥BC ，矩形ABCD 的周长为2(|AB |＋|BC |).设B (t ，t 2＋14 )，依题意知直线AB 不与两坐标轴平行，故可设直线AB 的方程为y －(t 2＋14 )＝k (x －t )，不妨设k >0，与x 2＝y －14 联立，得x 2－kx ＋kt －t 2＝0，则Δ＝k 2－4(kt －t 2)＝(k －2t )2>0，所以k ≠2t . 设A (x 1，y 1)，所以t ＋x 1＝k ，所以x 1＝k －t ，所以|AB |＝1＋k 2 |x 1－t |＝1＋k 2 |k －2t |＝1＋k 2 |2t －k |，|BC |＝1＋（1－1k ）2 |－1k －2t |＝1＋k 2k |1k ＋2t |＝1＋k 2k 2 |2kt ＋1|，且2kt ＋1≠0，所以2(|AB |＋|BC |)＝21＋k 2k 2 (|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|). 因为|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2k 2－2k ）t ＋k 3－1，t ≤－12k（2k －2k 2）t ＋k 3＋1，－12k ＜t ≤k 2（2k 2＋2k ）t －k 3＋1，t >k 2，当2k －2k 2≤0，即k ≥1时，函数y ＝(－2k 2－2k )t ＋k 3－1在(－∞，－12k ]上单调递减，函数y ＝(2k －2k 2)t ＋k 3＋1在(－12k ，k2 ]上单调递减或是常函数(当k ＝1时是常函数)，函数y ＝(2k 2＋2k )t －k 3＋1在(k2 ，＋∞)上单调递增，所以当t ＝k2 时，|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|取得最小值，且最小值为k 2＋1，又k ≠2t ，所以2(|AB |＋|BC |)＞21＋k 2k 2 (k 2＋1)＝2（1＋k 2）32k2. 令f (k )＝2（1＋k 2）32k2，k ≥1，则f ′(k )＝2（1＋k 2）12（k ＋2）（k －2）k 3，当1≤k ＜2 时，f ′(k )＜0，当k ＞2 时，f ′(k )＞0，所以函数f (k )在[1，2 )上单调递减，在(2 ，＋∞)上单调递增，所以f (k )≥f (2 )＝33 ，所以2(|AB |＋|BC |)＞2（1＋k 2）32k2≥33 .当2k －2k 2＞0，即0＜k ＜1时，函数y ＝(－2k 2－2k )t ＋k 3－1在(－∞，－12k ]上单调递减，函数y ＝(2k －2k 2)t ＋k 3＋1在(－12k ，k 2 ]上单调递增，函数y ＝(2k 2＋2k )t －k 3＋1在(k 2 ，＋∞)上单调递增，所以当t ＝－12k 时，|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|取得最小值，且最小值为k 3＋k ＝k (1＋k 2)，又2kt ＋1≠0，所以2(|AB |＋|BC |)＞21＋k 2k 2 k (k 2＋1)＝2（1＋k 2）32k. 令g (k )＝2（1＋k 2）32k，0<k <1，则g ′(k )＝2（1＋k 2）12（2k 2－1）k 2，当0<k <22 时，g ′(k )<0，当22 <k <1时，g ′(k )>0，所以函数g (k )在(0，22 )上单调递减，在(22 ，1)上单调递增，所以g (k )≥g (2)＝33 ，所以2(|AB |＋|BC |)>2（1＋k 2）32k ≥33 . 综上，矩形ABCD 的周长大于33 .2．答案解析：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，c 为双曲线C 的半焦距，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝25ca＝5c 2＝a 2＋b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝25a ＝2b ＝4 . 所以双曲线C 的方程为x 24 －y 216 ＝1.(2)方法一设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，则x 1＝my 1－4，x 2＝my 2－4.联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －4x 24－y216＝1，得(4m 2－1)y 2－32my ＋48＝0. 因为直线MN 与双曲线C 的左支交于M ，N 两点，所以4m 2－1≠0，且Δ>0.由根与系数的关系得⎩⎨⎧y 1＋y 2＝32m4m 2－1y 1y 2＝484m 2－1，所以y 1＋y 2＝2m3 y 1y 2. 因为A 1，A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，所以A 1(－2，0)，A 2(2，0).直线MA 1的方程为y 1x 1＋2 ＝y x ＋2 ，直线NA 2的方程为y 2x 2－2 ＝yx －2，所以y 1x 1＋2y 2x 2－2 ＝yx ＋2y x －2，得（x 2－2）y 1（x 1＋2）y 2 ＝x －2x ＋2 ，（my 2－6）y 1（my 1－2）y 2 ＝my 1y 2－6y 1my 1y 2－2y 2 ＝x －2x ＋2 .因为my 1y 2－6y 1my 1y 2－2y 2 ＝my 1y 2－6（y 1＋y 2）＋6y 2my 1y 2－2y 2＝my 1y 2－6ꞏ2m3y 1y 2＋6y 2my 1y 2－2y 2＝－3my 1y 2＋6y 2my 1y 2－2y 2＝－3，所以x －2x ＋2＝－3，解得x ＝－1，所以点P 在定直线x ＝－1上．方法二由题意得A 1(－2，0)，A 2(2，0).设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，则x 21 4 －y 21 16 ＝1，即4x 21 －y 21 ＝16.如图，连接MA 2，kMA 1ꞏkMA 2＝y 1x 1＋2 ꞏy 1x 1－2 ＝y 21 x 21 －4 ＝4x 21 －16x 21 －4 ＝4 ①. 由x 24 －y 216 ＝1，得4x 2－y 2＝16，4[(x －2)＋2]2－y 2＝16， 4(x －2)2＋16(x －2)＋16－y 2＝16，4(x －2)2＋16(x －2)－y 2＝0.由x ＝my －4，得x －2＝my －6，my －(x －2)＝6，16 [my －(x －2)]＝1.4(x －2)2＋16(x －2)ꞏ16 [my －(x －2)]－y 2＝0，4(x －2)2＋83 (x －2)my －83 (x －2)2－y 2＝0，两边同时除以(x －2)2，得43 ＋8m 3 ꞏy x －2 －⎝⎛⎭⎫y x －2 2 ＝0，即⎝⎛⎭⎫y x －2 2 －8m 3 ꞏy x －2 －43 ＝0. kMA 2＝y 1x 1－2 ，kNA 2＝y 2x 2－2，由根与系数的关系得kMA 2ꞏkNA 2＝－43 ②. 由①②可得kMA 1＝－3kNA 2.lMA 1：y ＝kMA 1(x ＋2)＝－3kNA 2(x ＋2)，lNA 2：y ＝kNA 2(x －2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3kNA 2（x ＋2）y ＝kNA 2（x －2），解得x ＝－1. 所以点P 在定直线x ＝－1上．3．答案解析：(1)因为点A (－2，0)在C 上，所以4b 2 ＝1，得b 2＝4.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝53 ，所以c 2＝59 a 2，又a 2＝b 2＋c 2＝4＋59 a 2，所以a 2＝9，c 2＝5，故椭圆C 的方程为y 29 ＋x 24 ＝1.(2)由题意知，直线PQ 的斜率存在且不为0，设l PQ ：y －3＝k (x ＋2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k （x ＋2），y 29＋x24＝1，得(4k 2＋9)x 2＋(16k 2＋24k )x ＋16k 2＋48k ＝0，则Δ＝(16k 2＋24k )2－4(4k 2＋9)(16k 2＋48k )＝－36×48k >0，故x 1＋x 2＝－16k 2＋24k 4k 2＋9 ，x 1x 2＝16k 2＋48k4k 2＋9 . 直线AP ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝0，解得y M ＝2y 1x 1＋2 ，同理得y N ＝2y 2x 2＋2 ，则y M ＋y N ＝2y 1（x 2＋2）＋y 2（x 1＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝2（kx 1＋2k ＋3）（x 2＋2）＋（kx 2＋2k ＋3）（x 1＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝22kx 1x 2＋（4k ＋3）（x 1＋x 2）＋8k ＋12x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝22k （16k 2＋48k ）＋（4k ＋3）（－16k 2－24k ）＋（8k ＋12）（4k 2＋9）16k 2＋48k ＋2（－16k 2－24k ）＋4（4k 2＋9）＝2×10836 ＝6.所以MN 的中点的纵坐标为y M ＋y N2 ＝3，所以MN 的中点为定点(0，3).4．答案解析：(1)方法一由题意可知，当x ＝p 时，y 2＝2p 2.设M 点位于第一象限，则点M 的纵坐标为2 p ，|MD |＝2 p ，|FD |＝p2 .在Rt △MFD 中，|FD |2＋|MD |2＝|FM |2，即⎝⎛⎭⎫p 2 2 ＋(2 p )2＝9，解得p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .方法二抛物线的准线方程为x ＝－p2 . 当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p .此时|MF |＝p ＋p2 ＝3，所以p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，则k 1＝tan α，k 2＝tan β. 由题意可得k 1≠0，k 2≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＜0，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，y 3＜0，y 4＞0.设直线AB 的方程为y ＝k 2(x －m )，m 为直线AB 与x 轴交点的横坐标，直线MN 的方程为y ＝k 1(x －1)，直线MD 的方程为y ＝k 3(x －2)，直线ND 的方程为y ＝k 4(x －2).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －1），y 2＝4x ，所以k 21 x 2－(2k 21 ＋4)x ＋k 21 ＝0，则x 1x 2＝1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2（x －m ），y 2＝4x ，所以k 22 x 2－(2mk 22 ＋4)x ＋k 22 m 2＝0，则x 3x 4＝m 2.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 3（x －2），y 2＝4x ，所以k 23 x 2－(4k 23 ＋4)x ＋4k 23 ＝0，则x 1x 3＝4.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 4（x －2），y 2＝4x ，所以k 24 x 2－(4k 24 ＋4)x ＋4k 24 ＝0，则x 2x 4＝4.所以M (x 1，2x 1 )，N (1x 1 ，－2x 1 )，A (4x 1 ，－4x 1)，B (4x 1，4x 1 ).所以k 1＝2x 1x 1－1 ，k 2＝x 1x 1－1，k 1＝2k 2，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β ＝k 1－k 21＋k 1k 2 ＝k 21＋2k 22＝11k 2＋2k 2. 因为k 1＝2k 2，所以k 1与k 2同号，所以α与β同为锐角或钝角．当α－β取最大值时，tan (α－β)取得最大值．所以k 2＞0，且当1k 2＝2k 2，即k 2＝22 时，α－β取得最大值．易得x 3x 4＝16x 1x 2＝m 2，又易知m ＞0，所以m ＝4.所以直线AB 的方程为x －2 y －4＝0. 5．答案解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把 x ＝2y －1代入y 2＝2px ，得y 2－4py ＋2p ＝0，由Δ1＝16p 2－8p >0，得p >12 .由根与系数的关系，可得y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝2p ，所以|AB |＝1＋1⎝⎛⎭⎫122 ꞏ（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝5 ꞏ16p 2－8p ＝415 ，解得p ＝2或p ＝－32 (舍去)，故p ＝2.(2)设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，由(1)知抛物线C ：y 2＝4x ，则点F (1，0).因为FM → ꞏFN →＝0，所以∠MFN ＝90°，则S △MFN ＝12 |MF ||NF |＝12 (x 3＋1)(x 4＋1)＝12 (x 3x 4＋x 3＋x 4＋1) (*).当直线MN 的斜率不存在时，点M 与点N 关于x 轴对称，因为∠MFN ＝90°，所以直线MF 与直线NF 的斜率一个是1，另一个是－1. 不妨设直线MF 的斜率为1，则MF ：y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，得⎩⎨⎧x 3＝3－22，x 4＝3－22 或⎩⎨⎧x 3＝3＋22，x 4＝3＋22．代入(*)式计算易得，当x 3＝x 4＝3－22 时，△MFN 的面积取得最小值，为4(3－22 ). 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2－(4－2km )x ＋m 2＝0，Δ2＝(4－2km )2－4m 2k 2>0，则⎩⎨⎧x 3＋x 4＝4－2kmk 2，x 3x 4＝m 2k 2，y 3y 4＝(kx 3＋m )(kx 4＋m )＝k 2x 3x 4＋mk (x 3＋x 4)＋m 2＝4mk . 又FM → ꞏ FN →＝(x 3－1，y 3)ꞏ(x 4－1，y 4)＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋y 3y 4＝0，所以m 2k 2 －4－2kmk 2 ＋1＋4m k ＝0，化简得m 2＋k 2＋6km ＝4.所以S △MFN ＝12 (x 3x 4＋x 3＋x 4＋1)＝m 2＋k 2－2km ＋42k 2 ＝m 2＋k 2＋2km k 2＝⎝⎛⎭⎫m k 2 ＋2⎝⎛⎭⎫m k ＋1.令t ＝mk ，则S △MFN ＝t 2＋2t ＋1，因为m 2＋k 2＋6km ＝4，所以⎝⎛⎭⎫m k 2 ＋6⎝⎛⎭⎫m k ＋1＝4k 2 >0，即t 2＋6t ＋1>0，得t >－3＋22 或t <－3－22 ，从而得S △MFN ＝t 2＋2t ＋1>12－82 ＝4(3－22 . 故△MFN 面积的最小值为4(3－22 ).6．答案解析：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3， a 2＋b 2＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3．所以C 的方程为x 2－y 23 ＝1.(2)当直线PQ 斜率不存在时，x 1＝x 2，但x 1>x 2>0，所以直线PQ 斜率存在，所以设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋h (k ≠0).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋h ，x 2－y 23＝1. 消去y 并整理，得(3－k 2)x 2－2khx －h 2－3＝0.则x 1＋x 2＝2kh3－k 2 ，x 1x 2＝h 2＋3k 2－3， x 1－x 2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝23（h 2＋3－k 2）|3－k 2|. 因为x 1>x 2>0，所以x 1x 2＝h 2＋3k 2－3>0，即k 2>3. 所以x 1－x 2＝23（h 2＋3－k 2）k 2－3. 设点M 的坐标为(x M ，y M )，则y M －y 2＝3 (x M －x 2)，y M －y 1＝－3 (x M －x 1)，两式相减，得y 1－y 2＝23 x M －3 (x 1＋x 2). 因为y 1－y 2＝(kx 1＋h )－(kx 2＋h )＝k (x 1－x 2)，所以23 x M ＝k (x 1－x 2)＋3 (x 1＋x 2)，解得x M ＝k h 2＋3－k 2－khk 2－3.两式相加，得2y M －(y 1＋y 2)＝3 (x 1－x 2).因为y 1＋y 2＝(kx 1＋h )＋(kx 2＋h )＝k (x 1＋x 2)＋2h ，所以2y M ＝k (x 1＋x 2)＋3 (x 1－x 2)＋2h ，解得y M ＝3h 2＋3－k 2－3h k 2－3＝3k x M .所以点M 的轨迹为直线y ＝3k x ，其中k 为直线PQ 的斜率．选择①②.因为PQ ∥AB ，所以k AB ＝k .设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，并设点A 的坐标为(x A ，y A )，点B 的坐标为(x B ，y B )，则⎩⎨⎧y A ＝k （x A －2），y A ＝3x A ，解得x A ＝2k k －3 ，y A ＝23k k －3 . 同理可得x B ＝2k k ＋3 ，y B ＝－23kk ＋3 . 此时x A ＋x B ＝4k 2k 2－3，y A ＋y B ＝12kk 2－3 .因为点M 在AB 上，且其轨迹为直线y ＝3k x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y M＝k （x M －2），y M ＝3k x M . 解得x M ＝2k 2k 2－3＝x A ＋x B 2 ，y M ＝6kk 2－3 ＝y A ＋y B 2 ，所以点M 为AB 的中点，即|MA |＝|MB |. 选择①③.当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F (2，0)，此时点M 不在直线y ＝3k x 上，与题设矛盾，故直线AB 的斜率存在．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝m (x －2)(m ≠0)，并设点A 的坐标为(x A ，y A )，点B 的坐标为(x B ，y B )，则⎩⎨⎧y A ＝m （x A －2），y A ＝3x A，解得x A ＝2m m －3 ，y A ＝23mm －3. 同理可得x B ＝2m m ＋3 ，y B ＝－23mm ＋3 . 此时x M ＝x A ＋x B 2 ＝2m 2m 2－3，y M ＝y A ＋y B 2 ＝6m m 2－3 .由于点M 同时在直线y ＝3k x 上，故6m ＝3k ꞏ2m 2，解得k ＝m ，因此PQ ∥AB .选择②③.因为PQ ∥AB ，所以k AB ＝k .设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，并设点A 的坐标为(x A ，y A )，点B 的坐标为(x B ，y B )，则⎩⎨⎧y A ＝k （x A －2），y A ＝3x A ，解得x A ＝2k k －3 ，y A ＝23k k －3 . 同理可得x B ＝2k k ＋3 ，y B ＝－23kk ＋3. 设AB 的中点为C (x C ，y C )，则x C ＝x A ＋x B 2 ＝2k 2k 2－3，y C ＝y A ＋y B 2 ＝6kk 2－3 .因为|MA |＝|MB |，所以点M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y －y C ＝－1k (x －x C )上．将该直线方程与y ＝3k x 联立，解得x M ＝2k 2k 2－3＝x C ，y M ＝6k k 2－3 ＝y C ，即点M 恰为AB 的中点，所以点M 在直线AB 上．7．答案解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n ).将点A (0，－2)，B (32 ，－1)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，94m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝13，n ＝14．所以椭圆E 的方程为x 23 ＋y 24 ＝1.(2)证明：(方法一)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t （y ＋2），x 23＋y 24＝1. 消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0，所以y 1＋y 2＝－16t 2＋8t 4t 2＋3 ，y 1y 2＝16t 2＋16t －84t 2＋3. 设T (x 0，y 1).由A ，B ，T 三点共线，得y 1＋2x 0 ＝y 1＋1x 0－32，得x 0＝32 y 1＋3. 设H (x ′，y ′).由MT → ＝TH → ，得(32 y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32 y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1，所以直线HN 的斜率k ＝y 2－y ′x 2－x ′ ＝y 2－y 1x 2＋x 1－（3y 1＋6）＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4 ，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4ꞏ(x －x 2). 令x ＝0，得y ＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4ꞏ(－x 2)＋y 2 ＝（y 1－y 2）（ty 2＋2t ＋1）t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4＋y 2 ＝（2t －3）y 1y 2＋（2t －5）（y 1＋y 2）＋6y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4＝（2t －3）ꞏ16t 2＋16t －84t 2＋3＋（5－2t ）ꞏ16t 2＋8t 4t 2＋3＋6y 1－t （16t 2＋8t ）4t 2＋3－3y 1＋4t －4 ＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2).(方法二)由A (0，－2)，B (32 ，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23 x －2.a ．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1.将直线方程x ＝1代入x 23 ＋y 24 ＝1，可得N (1，263 )，M (1，－263 ).将y ＝－263 代入y ＝23 x －2，可得T (3－6 ，－263 ).由MT → ＝TH → ，得H (5－26 ，－263 ).此时直线HN 的方程为y ＝(2＋263 )(x －1)＋263 ，则直线HN 过定点(0，－2).b ．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y －（k ＋2）＝0，x 23＋y 24＝1. 消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6k （2＋k ）3k 2＋4，x 1x 2＝3k （4＋k ）3k 2＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－8（2＋k ）3k 2＋4，y 1y 2＝4（4＋4k －2k 2）3k 2＋4，且x 1y 2＋x 2y 1＝－24k 3k 2＋4.① 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1，y ＝23x －2，可得T (3y 12 ＋3，y 1). 由MT → ＝TH → ，得H (3y 1＋6－x 1，y 1).则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1－y 23y 1＋6－x 1－x 2(x －x 2). 将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.② 将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立．综上可得，直线HN 过定点(0，－2).8．答案解析：(1)∵点A (2，1)在双曲线C ：x 2a 2 －y 2a 2－1＝1(a >1)上，∴4a 2 －1a 2－1 ＝1，解得a 2＝2.∴双曲线C 的方程为x 22 －y 2＝1.显然直线l 的斜率存在，可设其方程为y ＝kx ＋m . 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22－y 2＝1. 消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2－4kmx －2m 2－2＝0.Δ＝16k 2m 2＋4(1－2k 2)(2m 2＋2)＝8m 2＋8－16k 2>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4km 1－2k 2 ，x 1x 2＝－2m 2－21－2k 2. 由k AP ＋k AQ ＝0，得y 1－1x 1－2 ＋y 2－1x 2－2＝0，即(x 2－2)(kx 1＋m －1)＋(x 1－2)(kx 2＋m －1)＝0.整理，得2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4(m －1)＝0，即2k ꞏ－2m 2－21－2k2 ＋(m －1－2k )ꞏ4km 1－2k 2 －4(m －1)＝0，即(k ＋1)(m ＋2k －1)＝0.∵直线l 不过点A ，∴k ＝－1.(2)设∠P AQ ＝2α，0<α<π2 ，则tan 2α＝22 ，∴2tan α1－tan 2α＝22 ，解得tan α＝22 (负值已舍去). 由(1)得k ＝－1，则x 1x 2＝2m 2＋2>0，∴P ，Q 只能同在双曲线左支或同在右支．当P ，Q 同在左支时，tan α即为直线AP 或AQ 的斜率．设k AP ＝22 . ∵2 为双曲线一条渐近线的斜率，∴直线AP 与双曲线只有一个交点，不成立．当P ，Q 同在右支时，tan (π2 －α)＝1tan α 即为直线AP 或AQ 的斜率．设k AP ＝122＝2 ，则k AQ ＝－2 ， ∴直线AP 的方程为y －1＝2 (x －2)，即y ＝2 x －22 ＋1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －22＋1，x 22－y 2＝1. 消去y 并整理，得3x 2－(16－42 )x ＋20－82 ＝0，则x P ꞏ2＝20－823 ，解得x P ＝10－423. ∴|x A －x P |＝|2－10－423 |＝4（2－1）3. 同理可得|x A －x Q |＝4（2＋1）3. ∵tan 2α＝22 ，0<2α<π，∴sin 2α＝223 ，∴S △P AQ ＝12 |AP |ꞏ|AQ |ꞏsin 2α＝12 ×3 ×|x A －x P |×3 ×|x A －x Q |×sin 2α＝12 ×3×169×223 ＝1629 .。

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2圆锥曲线（文科）1已知F i 、F 2是两个定点，点P 是以F i 和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 并且PF i 丄PF 2, e i 和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率,则有A . ee ? 22 ei2 2.已知方程— I m| 1 2 y=1 2 m表示焦点在y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是A . m<2 3 1<m<—22 4.已知椭圆二3m C . m< — 1 或 1<m<2D . m<— 1 或B . 1<m<2 3.在同一坐标系中, ) 5n 3n A . x —+ 上 y 2 5.过抛物线y=ax 2 （a > 0）的焦点 2m _ , <15 , £3 y 一 ± xC . x 一 ± y - 4 P 、 A . 2a B .丄 2a 2 F 用一直线交抛物线于 Q 两点, v —+ 3 y —± x 4 若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ,则丄 pC . 4a 2 y_ (a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F i 、F 2,线段 F i F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5:3两段, 则此椭圆的离心率为 7. 8. 椭圆 16 172 x 12 2 »=13 ± _34 B 4 1717 的一个焦点为F i ,点 P 在椭圆上 •如果线段 PF i 的中点M 在y 轴上，那么点 M 的纵坐标是（2设F i 和F 2为双曲线— 4 y 2 1的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足/ F i PF 2= 90°,则 △ F 1PF 2的面积是（2x 已知双曲线—a2 計利椭圆2x 2 m 2+每=1（a>0,m>b>0）的离心率互为倒数，那么以 b 2 a 、 b 、 m 为边长的三角形是A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角或钝角三角形 10.中心在原点，焦点坐标为（0, ± 5=2）的椭圆被直线3x — y — 2=0截得的弦的中点的横坐标为丄，则椭圆方程为22 2 A.红+也=1 25 752 2 B .红+也=1 75 25 2 2C . —1 25 75 11.已知点（一2, 3）与抛物线y 2=2px （ p >0）的焦点的距离是2 2 D .・+・=1 75 255,贝y p= ____2 212•设圆过双曲线 ] 1=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是___________9162 213.双曲线x y = 1的两个焦点为F i 、F 2，点P 在双曲线上，若 PF i 丄PF 2，则点P 到x 轴的距离为 _________________________百 14.若A 点坐标为(1, 1) , F 1是5X 2 + 9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|+ |P F 1|的最小值是 _______________________2 216•双曲线笃与1 ( a>1,b>0)的焦距为2c,直线I 过点(a,0)和(0, b),且点(1,0)到直线I 的距离与点(- a b 1,0)到直线l 的距离之和s > 4 c.求双曲线的离心率e 的取值范围52 2 ,—17.已知圆C 1的方程为(x - 2)2+(y — 1)2=竺，椭圆C 2的方程为 —+ -^=1 (a>b>0), C 2的离心率为空，如果 G 与C 2相交 3 a 2 b 2 2 于A 、B 两点，且线段 AB 恰为圆C 1的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C 2的方程。

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精心整理高三文科数学专题复习之圆锥曲线知识归纳：名称椭圆双曲线

图象 xO

y xO

定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆即aMFMF221 当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，当2a＝2c时，轨迹是一条线段21FF 当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线即122MFMFa 当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a＝2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在

标准方程

焦点在x轴上时：1

222

2bya

焦点在y轴上时：1

222

2bxa

注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上

焦点在x轴上时：1

222

2bya

焦点在y轴上时：1

222

2bxa

常数cba,,的关系

222bca，0ba， a最大，bcbcbc,, 222bac

，0ac

c最大，可以bababa,, 精心整理

渐近线焦点在x轴上时：0

ab

焦点在y轴上时：0

ab

抛物线：图形 x

OFl x

yOFl 方

程 )0(22ppxy )0(22ppxy )0(22ppyx )0(22ppyx

焦点 )0,2(p )0,2(p )2,0(p )2,0(p

准线 2px 2px 2py

py

（一）椭圆 1.椭圆的性质：由椭圆方程)0(12222babyax （1）范围：axb-a，xa，椭圆落在bya，x组成的矩形中。精心整理

（2）对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(

2aAaA，),0(),,0(2bBbB

。加两焦点)0,(),0,(21cFcF共有六

个特殊点。21AA叫椭圆的长轴，21BB

叫椭圆的短轴。长分别为ba2,2。ba,分别为椭圆

的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。a

e2)(1abe

。10e。

椭圆形状与e的关系：0,0ce，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0e时的特例。,,1ace椭圆变扁，直至成为极限位置线段21FF

，此时

也可认为是椭圆在1e时的特例。 2.椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3.椭圆的准线方程

对于12222byax，左准线caxl21:；右准线c

axl22:

对于12222bxay，下准线c

ayl21:；上准线cayl22:

焦点到准线的距离cbccacc

ap2222（焦参数）

（二）双曲线的几何性质：精心整理

1.（1）范围、对称性由标准方程12222byax，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。（2）顶点顶点：0,),0,(

21aAaA，特殊点：bBbB,0),,0(21

实轴：21AA长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：21BB

长为2b，b叫做虚半轴长。

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。（3）渐近线

过双曲线12222byax的渐近线xaby（0byax）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率范围：e>1

双曲线形状与e的关系：112

222eacaacabk，e越大，即渐近线的斜率

的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。 2.等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2e。 3.共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为xaby)0(kxkakb，那么此双曲线方程就一定精心整理

是：)0(1)()(2222kkbykax或写成2222byax。 4.共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。 5.双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数)0(acace的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。 6.双曲线的准线方程：

对于12222byax来说，相对于左焦点)0,(

1cF

对应着左准线caxl21:，相对于右焦点

)0,(2cF对应着右准线caxl22:；焦点到准线的距离c

bp2（也叫焦参数）。

对于12222bxay来说，相对于下焦点),0(

1cF

对应着下准线cayl21:；相对于上焦点

),0(2cF对应着上准线cayl22:。

（三）抛物线的几何性质（1）范围因为p＞0，由方程022ppxy

可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不

等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。精心整理

（2）对称性以－y代y，方程022

ppxy

不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的

对称轴叫做抛物线的轴。（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程022

ppxy

中，当y＝0时，x＝0，

因此抛物线022

ppxy

的顶点就是坐标原点。

（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。

【典型例题】例1.根据下列条件，写出椭圆方程（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；（2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；（3）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是510－。分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。解：（1）焦点位置可在x轴上，也可在y轴上

因此有两解：1

12x16y112y16

x2222或

（2）焦点位置确定，且为（0，5），设原方程为22221yxab,（a>b>0），由已知条精心整理

件有





14952222baba

10,1522ba，故方程为110x15y22。

（3）设椭圆方程为1

222

2bya

x,（a>b>0）

由题设条件有510cacb及a2＝b2＋c2，解得b＝10,5a 故所求椭圆的方程是1

5y10

x22。

例2.直线1kxy与双曲线1322

yx

相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲

线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？解：把1kxy代入1322

yx

整理得：022)3(22

axxa

……（1）

当3a时，2

424a

由>0得6a6且3a时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点若A、B在双曲线的同一支，须32221axx

>0，所以3a或3a。

故当36a或63a时，A、B两点在同一支上；当33a时，A、B两点在双曲线的两支上。

例3.已知抛物线方程为)1x(p2y2



（p>0），直线myxl:过抛物线的焦点F且被抛

物线截得的弦长为3，求p的值。解：设l与抛物线交于1122(,),(,),||3.AxyBxyAB则

由距离公式|AB|＝|yy|2|yy|

11)yy()x-(x21212221221

则有2

9().2yy