K阶循环数列(周期数列)的通项公式求法研究

K 阶循环数列（周期数列）的通项公式求法研究湖南省沅江市第一中学 王习波一、想法的来由先前研究过三阶、四阶的循环数列，但到五阶了就无能为力，总是有点不甘心，时常惦记着这一难题。

偶然的机会，我遇到了这样一个题：已知135a =，111n n a a-=-求n a我们将已知的递推公式转换成特征方程：11x x=-，解得一根为122α=-，另一根为122β=+，并且有：11,11αβαβ==--，1αβ=，1αβ+=由此有：11111111111111(1)1(1)11(1)1111(1))(1))11(1))(1))1(1)((((n n n n n nn n n n n n n n a a a a a aaaa aa a aaααααβββααααβββββ-------------------==∙=-----------==------所以{}n na aαβ--是一个等比数列，其公比11q αββα-==-，首项为11313753103853522i a aαβ-+-====-，由此得：11111111()1n n n n naa a aaaαααβββαββα------=∙=∙-----所以：1111()()()n n n n a a a a βααββα--∙-∙-=∙-∙-由于：11,11αβαβ==--，1αβ=，1αβ+=，所以：1121111()()2()()n nnn nn n n n a a a ββααββαα------∙-=--∙---将122α=-，122i β=+转换成幅角形式，得：cos()sin()33i ππα=-+-，cossin33i ππβ=+代入，得：111111{[cos()sin()][cos()sin()]}{[cos()sin()][cos()sin()]}333333331111222{[cos()sin()][cos()sin()]}{[cos()sin()][cos(3333333nn n n n n n n n i i i i n n n n n n n i i i a aa πππππππππππππππ-----+--+∙--+--+=--------+--+∙--+--2)sin()]}3n i π-+所以：111112sin ()2sin ()33122sin ()2sin ()331sin ()sin ()3312sin ()sin ()33nn n i i n n i i n n n n aaaaaππππππππ--∙+=---∙+-∙-=--∙-检验：当n=1时，111111sin ()sin ()33311125sin ()sin ()33a aaa ππππ-∙-===--∙-当n=２时1211111221s in ()s in ()332122s in ()s in ()3321s in ()s in ()331s in ()321521133aaaaaaaπππππππ-∙-=--∙-∙-=∙-∙+==-=-=-当n=３时131111331s i n ()s i n ()333132s i n ()s i n ()332s i n ()321s i n ()s i n ()331115311215aaaaaaπππππππ-∙-=--∙--=∙--====---当n=４时1141111441s in ()s in ()s in ()s in ()33341422s in ()s in ()s in ()s in ()333s in ()3325s in ()3aaaaaaaππππππππππ-∙--∙-==--∙-∙-∙===意外地发现，这是一个三阶循环数列：325325;;;;;;;532532-∙∙∙-由此，我就产生一个想法：是否可以从这个例子出发，找到一个K 阶循环数列呢？其中，K 为任意大于１的自然数。

再进一步，是否可以由此找到任意一个循环数列的通项公式呢？二、初次的尝试：由特例到一般先实现第一个想法：构造一个K 阶循环数列。

如何实现一个转换：由一个具体的例子找到一个一般的方法？很自然地，我们要先研究这个例子，找到隐藏在其中的规律性的东西；也很自然地，我们可以先将数字改换成字母：1111nnn n BA aaaa--=-→=+再假定它是二阶循环，这是最简单的循环，那么应该有31aa=，于是我们可以得到一个表达式：2101B A aa--=，由此得：211B A aa =-,将211B A aa =-代入1nn BA aa-=+，得到：2121111BA A Aaa aaaa-=+=+=是一个常数列，而不是二阶循环数列。

这说明这种思考方法不对。

另换一条思路：仿照前面的“将122α=-，122β=+转换成幅角形式”，我们由α与β来确定n a仿照前面的“c o s ()s i n ()33iππα=-+-，cos sin 33i ππβ=+”，我们设定：cos()sin()i KKππα=-+-，cossini KKππβ=+, 依样画葫芦，我们有：1αβ=，2cos r k παβ+==，由此得到它的特征方程：210r x x -∙+= 也由此得到：1111,nn r r r aaαβαβ--=-==-和递推公式于是有：1111111111111()1()11()111())())1())())()((((n n n n n nn n n n n n n n r r r r r r r r r r r aa aaa r aaaaaa a aaααααβββααααβββββ-------------------==∙=-----------==------所以{}n na aαβ--是一个等比数列，其公比r q r αββα-==-，首项为11a aαβ--仿照前面的，有：1111n n n naa aaααβββα----=∙--所以：1111()()()n n n n a a a a βααββα--∙-∙-=∙-∙-由于：11,r r αβαβ==--，1αβ=，r αβ+=，所以：1121111()()2()()n nnn nn n n n aaa ββααββαα------∙-=--∙---将cos()sin()i kkππα=-+-，cossini kkππβ=+代入，得：111111{[cos()sin()][cos()sin()]}{[cos()sin()][cos()sin()]}1111222{[cos()sin()][cos()sin()]}{[cos()sin()][cos(nn n n n n n n n i i i i kkk kkkkkn n n n n n n i i i kkkkkkka aa πππππππππππππππ-----+--+∙--+--+=--------+--+∙--+--2)sin()]}n i kπ-+所以：1112sin ()2sin ()122sin ()2sin ()nn n i i k kn n i i kka aa ππππ--∙+=---∙+所以：111sin()sin()12sin()sin()nn n k k n n kka aa ππππ-∙-=--∙-检验：当n=1时，1111111s in ()s in ()s in ()111212s in ()s in ()s in ()k k k kk kaa aaaππππππ-∙-∙===---∙--当n=２时，112112212sin()sin()sin()sin()2122sin()sin()sin()kkkkkkkaaaa aπππππππ-∙-∙-==--∙-∙当n=３时，13132sin ()sin ()2sin ()sin ()k kkkaaaππππ∙-=∙-当n=４时，14143sin ()sin ()32sin ()sin ()k k kka aaππππ∙-=∙-当n=５时，15154sin()sin()43sin()sin()k k kka aaππππ∙-=∙-当n=６时，16165sin()sin()54sin()sin()k k kka a a ππππ∙-=∙- ……111sin()sin()12sin()sin()nn n k kn n kkaaa ππππ-∙-=--∙-三、更上一层楼：由抽象到具体当k ＝１时，11111sin()sin()sin()sin((1))0,12sin((1))sin((2))sin()sin()nn n n n k kn n n n kka aaaa ππππππππ-∙-∙--===---∙--∙-是一阶循环数列，即常数列０当k ＝２时，111111sin ()sin ()sin ()sin ()1212sin ()sin ()sin ()sin ()nn n n n k kn n n n kkaaaaa ππππππππ--∙-∙-==----∙-∙-２２２２1i 111111i 1)22sin()sin()2122i 3sin()sin()sin()sin()sin()33sin()sin()sin()n i n i i i i i i i i a a a a aaaaππππππππππππππππ---∙-=-=--∙--∙---∙===-∙----２(２２２当时,＝２２２２２２２1i11111i 21sin()sin()221i 2sin()sin()sin()sin()sin()-2sin()sin()sin()2n i n i i i i i i i i a a a a a aa a πππππππππππππππ-∙-==--∙-∙----===-∙---∙２２２２当时,＝２２２１２２其中，3111-a a a-==１，-1,,n a a a=１１……这是一个二阶循环数列。

当k ＝３时，111111sin()sin()sin()sin()1212sin()sin()sin()sin()nn n n n k k n n n n kka a aa a ππππππππ--∙-∙-==----∙-∙-３３３３111,1,,1naa aa=--１１其中，4111111(1)11a a aa =-=--=-112co snn r r aaπ-=-=可以快速得到，其中=1）３(参照递推公式这是一个三阶循环数列。

当k ＝４时，111111sin()sin()sin()sin()1212sin()sin()sin()sin()n n n n n k k n n n n kka a a a a ππππππππ--∙-∙-==----∙-∙-４４４４令2cosr παβ+==４，则：1111111,,,,21-n r r ra ra a a a ra a a r -=-----１１r ……即：111,,n a aaaa=----１１……其中411aaa=-=--511,aa=-=这是一个四阶循环数列。