一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结一、 一元二次方程的定义1. 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 二、 一元二次方程的解1. 方程解的含义解题方法：将方程的根带入方程求出参数.三、 解一元二次方程（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）1. 直接开平方法：适用于)0()()0(22≥=+≥=b b a x a a x 或形式的方程. 2. 配方法：2222244)2(0)0(0a ac b a b x b c x a b x a c bx ax -=+⇒=++⇒≠=++. 注意：用配方法解方程时必须注意在方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.3. 公式法：a ac b b x ac b c bx ax 24040222-±-=≥-=++时当. 4. 因式分解法：将一元二次方程化简成一般式后，把等号左边的多项式进行因式分解，再根据“如果，0=ab ，那么00==b a 或”进行求解.注意：利用因式分解法解方程时,将方程的一边分解因式而方程的另一边必须化为零;四、 判别式与一元二次方程解的个数的关系1. 一元二次方程解与判别式的关系：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的情况可由根的判别式△=ac b 42-的值来决定,它的值与一元二次方程的根的关系是:①042>-ac b ⇔方程有两个不等的实数根.②042=-ac b ⇔方程有两个相等的实数根.③042<-ac b ⇔方程没有实数根.五、 一元二次方程的应用题（增长率、面积、握手、传染）1. 增长率问题：设a 为原量，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则nx a b )1(+=.2. 面积问题：先通过平移变换，再根据面积公式列出方程.3. 握手问题：n 个人见面，任意两人都要握手一次，一共握手2)1(-n n 次. 4. 传染问题：一人感染，一人传染x 人，第一轮：1＋x ；第二轮：1＋x ＋x （1＋x ）.六、 根与系数的关系1. 根与系数的关系：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根分别是21,x x 则a cx x a b x x ==+2121-，.注意：使用根与系数的关系时需要先检验△。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。
一元二次方程知识点总结及例题
知识点总结：一元二次方程知识框架1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程与不等式的知识点总结
一元二次方程与不等式的知识点总结一、一元二次方程（Quadratic Equation）一元二次方程是指一个未知量的最高次是二次的方程。
其一般形式可表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知实数，a≠0。
1. 解的个数与判别式：设一元二次方程为ax²+bx+c=0，其判别式Δ=b²-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等实数根，也称为重根；- 当Δ<0时，方程无实根，但有两个共轭复数根。
2. 求解一元二次方程的方法：- 因式分解法：将方程进行因式分解，使左侧变为两个一次因式的乘积，再利用“零乘积法则”求解。
- 公式法：利用一元二次方程的求根公式x=（-b±√Δ）/2a求解。
3. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线，对称轴为直线x=-b/2a，开口方向由a的正负决定。
二、不等式（Inequality）不等式是指含有不等于号的数学式子。
一般形式可表示为ax+b>0，ax+b≥0，ax+b<0，ax+b≤0等。
1. 不等式的解集表示：解集表示是指将不等式的解表示为一段数轴上的区间。
- 对于大于号，解集表示为某个数轴上的一个开区间；- 对于小于号，解集表示为某个数轴上的一个开区间；- 对于大于等于号，解集表示为某个数轴上的一个闭区间；- 对于小于等于号，解集表示为某个数轴上的一个闭区间。
2. 解不等式的方法：- 规则法：对于形如ax+c>0，ax+c≥0，ax+c<0，ax+c≤0的一元一次不等式，可以直接通过规则法求解。
- 加减法原则：当两个不等式同时成立时，可以将它们相加或相减得到一个新的不等式。
- 乘除法原则：当两个不等式同时成立时，可以将它们相乘或相除（除数不为零）得到一个新的不等式。
3. 不等式的图像表示：对于一元一次不等式，可以通过画数轴上的区间表示。
对于一元二次不等式，则可以通过画抛物线上的一部分表示。
数学一元二次方程知识点总结
数学一元二次方程知识点总结嘿，同学们！今天咱来聊聊数学里的一元二次方程，这可是个挺有意思的知识点哦。
先给你们讲个事儿吧。
前段时间我家装修房子，我爸让我帮忙算一算房间地面的面积，好去买合适面积的地板。
我拿着卷尺就去量房间的长和宽啦，量完后我就开始算。
这一算，嘿，就用到了一元二次方程。
房间的长我设为x 米，宽比长少2 米，面积是24 平方米。
那根据面积公式就是x (x - 2) = 24 呀。
我就开始解这个方程，先把式子展开得到x²- 2x - 24 = 0。
然后我就想办法把它因式分解，找两个数相乘等于-24，相加等于-2，我就想到了-6 和4。
所以方程就变成了(x - 6)(x + 4) = 0。
这样一来，x = 6 或者x = -4。
那长度肯定不能是负数呀，所以房间的长就是6 米，宽就是4 米。
我可高兴了，感觉自己像个小数学家一样，帮爸爸解决了一个小问题呢。
好啦，言归正传，咱们来说说一元二次方程的知识点哈。
一元二次方程的一般形式是ax²+ bx + c = 0（a≠0），这里的a、b、c 可都有讲究哦。
a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
就像刚才我算房间面积那个方程，x²- 2x - 24 = 0，这里a = 1，b = -2，c = -24。
解一元二次方程的方法有好几种呢。
比如说配方法，就是把方程变成完全平方式的形式来解。
像x²+ 6x + 5 = 0，我们可以把它变成(x + 3)²- 4 = 0，然后再解就容易多啦。
还有公式法，这个公式可得记住咯，x = [-b ±√(b²- 4ac)] / (2a)。
不管啥样的一元二次方程，用这个公式都能解出来，不过就是计算的时候要小心点，别算错数啦。
另外还有因式分解法，就像我算房间面积那个方程用的就是这种方法。
把方程左边因式分解成两个一次因式的乘积，然后让每个因式等于0，就可以求出方程的解啦。
人教版九年级数学上册《一元二次方程》知识点总结
人教版九年级数学上册《一元二次方程》知识点
总结
合理的总结，合理的归纳，对于考试成绩会有很大的帮助，下文为大家推荐了一元二次方程知识点总结，祝大家期末考试顺利。
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，
Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ>0有两个不等的实根; Δ=0有两个相等的实根;
Δ无实根; Δ≥0有两个实根(等或不等).
4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：
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一元二次方程的像与性质知识点总结
一元二次方程的像与性质知识点总结一元二次方程是数学中一种重要的二次函数形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的过程中，我们可以通过图像来研究方程的性质和特点。
本文将对一元二次方程的图像、根的性质、函数性质等知识点进行总结。
1. 一元二次函数的图像一元二次函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线，常被称为抛物线。
方程的图像的开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标一元二次函数的图像是对称的，其顶点是抛物线的最高（或最低）点，也是方程的图像横坐标轴的轴线。
顶点坐标可以通过利用平移法得到，顶点的横坐标为-x轴系数的倒数，纵坐标为代入横坐标得到的y 值。
即顶点坐标为（-b/(2a), f(-b/(2a))）。
3. 根的性质一元二次方程的根是方程的解，也即满足方程等式的x值。
通过求解可以得到方程的根。
- 当一元二次方程有两个不相等实数根时，方程的图像与x轴有两个交点。
- 当一元二次方程有两个相等实数根时，方程的图像与x轴有一个交点（切线）。
- 当一元二次方程无实数根时，方程的图像与x轴无交点，即抛物线不与x轴相交。
4. 函数性质一元二次函数是定义域为实数集的函数，具有以下性质：- 当a>0时，函数是上凸函数，即图像开口向上。
- 当a<0时，函数是下凸函数，即图像开口向下。
- 当a=0时，方程退化为一元一次方程 y = bx + c，其图像为一条直线。
- 函数的最值与顶点有关，当函数开口向上时，顶点是函数的最小值点；当函数开口向下时，顶点是函数的最大值点。
总之，一元二次方程的像与性质的了解对于解题和图像分析都具有重要意义。
通过对方程图像的观察和利用相应的性质，我们可以更好地理解和应用一元二次方程，提高解题的准确性和效率。
通过深入研究和练习，我们能够更加熟练地掌握一元二次方程相关知识，为数学学习打下坚实的基础。
一元二次方程知识点总结(全章齐全)
一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。
②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。
(2)确定a,b,c的值。
(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。
(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。
·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。
(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。
(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。
根的判别情况判别式：b2-4ac的值x1、x2的关系根的具体值一元二次方程两根与系数的关系：。
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一元二次方程
一、一元二次方程
1、一元二次方程：含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ，其中二次项系数 ；一次项系数 ；常数项 。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，
二、一元二次方程的解法 （10分）
1、直接开平方法:解形如2()x a b +=的一元二次方程。
当0b ≥时，x a += ，1x = ，2x = 当b<0时，
2、配方法:
配方法的步骤：① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ②移项，将 移到方程的右边；
③配方，即方程两边都加上 ；化原方程为2()x a b +=的形式 ④如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解
3、公式法
一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式： 当△>0时，一元二次方程有 ；当△=0时，一元二次方程有 ；III 当△<0时，一元二次方程
步骤：①把方程转化为 ；②确定 的值；③求出 的值，
④当240b ac -≥时代入求根公式写出两根。
4、因式分解法：理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
分解因式法的步骤：①将方程右边化为 ；②将方程左边分解为 的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5、韦达定理
对于方程20(0)ax bx c a ++=≠来说，12x x += ，12x x =
公式变形：如2212x x += ()212x x -= 12
11x x += 解题小诀窍：韦达定理是240b ac ∆=-≥的情况下才成立，在当一元二次方程的
题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。
三、一元二次方程的实际应用
步骤:1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 一．选择题
1方程：①2x2﹣9=0，②，③xy+x2=9，④7x+6=x2中，一元二次方
C D
2
13．若关于x、y的方程组有实数解，则实数k的取值范围是（）
该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长（x ＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）
15．已知a、b、c是△ABC三边的长，则方程ax2+（b+c）x+=0的根的情况为
1、把方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式是_________．
2、方程2x2﹣1=的二次项系数是_________，一次项系数是
_________，常数项是_________．
3、（m+1）+4x+2=0是关于x的一元二次方程，则m=_____，方程的解
为_____
4 写一个关于x的一元二次方程，使它有一个根为﹣1，你所写的方程是
_________（只需填满足条件的一个方程即可）．
5．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=ab+2a﹣2b．根据这个规则，方程（x﹣1）*x=0的解为_________．
6．如果关于x的方程的一个根为3，那么a=_________．
7.若x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x1+x2=____ _，x1x2= _______。
8、已知方程x2+mx﹣6=0的一个根为﹣2，则另一个根是_________．m=
____ _
9、已知（x2+y2 +1）（x2+y2﹣3）=5，则x2+y2的值等于_________．
10、已知方程mx2﹣mx+2=0有两个相等的实数根，则m的值为_________．11．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣7x+12=0，则此三角形的周长为
_________．
12、在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队进行一次单循环比赛，然后决定小组出线的球队．若某小组共x个队，共赛了15场，则列出的方程是_________．
13某班同学毕业时将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2450张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为_________
14．已知分式，当x=2时，分式无意义，则a= _________ ；当a 为a ＜6的一个整数时，使分式无意义的x 的值共有 _________ 个．
15、已知m ，n 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个根，则代数式2m 2﹣3m ﹣n+1的值是 _________ ．
三、解方程
一、利用开平方法解下列方程
（1） 4（x-3）2=25 （2） 24)23(2
=+x
二：用配方法解方程：
（1）x 2－ 2x － 2 ＝ 0． （2） 24810x x -+=
三 利用公式法解下列方程
（1）22x +=； （2）231y +=
四：用因式分解法解方程
（1） 220x x -= （2）(3)3x x x +=+ （3）10)4)(5(=+-x x
（4）9(x-1)2-4=0． （5）(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0。