代数综合题(题型概述)

代数综合题

【题型特征】综合题是指涉及的知识面较宽、解题过程较复杂、解题方法较灵活的有一定难度的题目.数学综合题大致可分为以代数知识为主体的综合题;以几何知识为主体的综合题;代数、几何知识相结合的综合题.

以代数知识为主体的综合题,简称代数综合题,是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题.“分析探求思路,优化实施解答,反思验证结论”是解代数综合题的基本过程,在这个过程中要善于运用转化思想、数形结合思想、分类讨论思想和方程思想.

代数综合题涉及的知识类别常是“你中有我,我中有你”,因此不易将它们作十分明显的分类.为了复习方便,我们将其分为:方程不等式型、函数型.

【解题策略】代数综合题主要以方程或函数为基础进行综合.解题时一般用分析综合法解,认真读题找准突破口,仔细分析各个已知条件,进行转化,发挥条件整体作用进行解题.解题时,计算不能出差错,思维要宽,考虑问题要全面.

类型一方程不等式型

∵x2-x-1=0,

∴x2=x+1.

则原式=1.

【提醒】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,由已知一元二次方程解出x的值,再把x的值代入进行计算即可.

举一反三

类型一

1. (2013·新疆乌鲁木齐)已知m,n,k为非负实数,且m-k+1=2k+n=1,则代数式2k2-8k+6的最小

值为().

A. -2

B. 0

C. 2

D. 2.5

2. (2014·湖北荆门)若-2x m-n y2与3x4y2m+n是同类项,则m-3n的立方根是.

类型二函数型

典例2(2014·广东珠海)如图,矩形OABC的顶点A(2,0),C(0,2).将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°,得矩形OEFG,线段GE,FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF,GH,GO和x轴于点M,P,N,D,连接MH.

(1)若抛物线l:y=ax2+bx+c经过G,O,E三点,则它的表达式为:;

(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标;

(3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R,E两点之间(不含点R,E)运动,设△PQH的面积为S,当时,确定点Q的横坐标的取值范围.

【全解】(1)如图(1),过点G作GI⊥CO于点I,过点E作EJ⊥CO于点J,

(1)

∵A(2,0),C(0,2),

∴OE=OA=2,OG=OC=2.

∵∠GOI=30°,∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°,

∴G(-,3),E(,1).

设抛物线表达式为y=ax2+bx+c, ∵经过G,O,E三点,

(2)

(3)

【技法梳理】(1)求表达式一般采用待定系数法,通过函数上的点满足方程求出.

(2)平行四边形对边平行且相等,恰得MN为OF,即为中位线,进而横坐标易得,D为x轴上的点,所以纵坐标为0.

(3)已知S范围求横坐标的范围,那么表示S是关键.由PH不为平行于x轴或y轴的线段,所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题,此法底为两点纵坐标得差,高为横坐标的差,进而可表示出S,但要注意,当Q在O点右边时,所求三角形为

两三角形的差.得表达式再代入,求解不等式即可.另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R,E之间的限制.

举一反三

类型二

3. (2014·福建福州)现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.

(1)求A,B两种商品每件各是多少元?

(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过350元,但不低于300元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低?

4.(2014·福建福州)如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.

(1)求点A,B,D的坐标;

(2)连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为点H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD,求证:∠AEO=∠ADC;

(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作☉E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.

(1)

(2)

(第4题)

【小结】本类题考查了一次函数、二次函数性质与图象,直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点.注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点,需要加强理解运用.

类型一

1. (2014·湖南张家界)若,则(x+y)2014等于().

A. -1

B. 1

C. 32014

D. -32014

2. (2014·贵州遵义)若a+b=2,ab=2,则的值为().

A. 6

B. 1

C. 3

D. 2

3. (2014·贵州毕节)若-2a m b4与5a n+2可以合并成一项,则m n的值是().

A. 2

B. 0

C. -1

D. 1

4.(2014·湖南娄底)先化简,再从不等式2x-3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.

5. (2014·四川巴中)先化简,再求值:

,其中x满足x2-4x+3=0.

类型二

6. (2014·江苏连云港)如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是().

(第6题)

③当∠AOC=90°时,|k1|=|k2|;

④若OABC是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.

其中正确的结论是(把所有正确的结论的序号都填上).

(第8题)

(第9题)

10.(2014·甘肃白银)如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.

(1)求点M,A,B坐标;

(2)联结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;

(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P点坐标.

(第10题)

参考答案【真题精讲】

1. D解析:∵m,n,k为非负实数,

且m-k+1=2k+n=1,

∴m,n,k最小为0,当n=0时,k最大为

(第4题(1))

(第4题(2))

由☉E的半径为1,根据切线性质及勾股定理,得PQ2=EP2-1, 要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小.

设点P坐标为(x,y),

由勾股定理得EP2=(x-3)2+(y-2)2.

又点P在对称轴右侧的抛物线上,

∴x1=1舍去.

∴P(5,1).

【课后精练】

1. B

2. B

3. D

4.原式=÷

=·

=,

不等式2x-3<7,

解得x<5,

其正整数解为1,2,3,4,

当x=1时,原式=.

5.原式=÷=·=-,

解方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3.

当x=1时,原式无意义;当x=3时,原式=-.

6. B

7.a<-5

8.①④解析:作AE⊥y轴于E,CF⊥y轴于F,

(第8题)

∵四边形OABC是平行四边形,

∴S△AOB=S△COB.

∴AE=CF.

∴OM=ON.

当∠AOC=90°,

∴四边形OABC是矩形.

∴不能确定OA与OC相等.

而OM=ON,

∴不能判断△AOM≌△CNO.

∴不能判断AM=CN.

∴不能确定|k1|=|k2|,所以③错误.

若OABC是菱形,则OA=OC,

而OM=ON,

∴Rt△AOM≌Rt△CNO.

∴AM=CN.

∴|k1|=|k2|.

∴k1=-k2.

∴两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称,所以④正确.

故答案为①④.

,

∴k=3×3=9.

(2)如图,过点D作DM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N.

(第9题)

则∠DMA=∠ANB=90°.

∵B(3,3),

∴BN=ON=3.

设MD=a,OM=b.

∴△ADM≌△BAN(AAS).

∴BN=AM=3,MD=AN=a.

∴OA=3-a,

即AM=b+3-a=3,得a=b,

∵ab=4,

∴a=b=2.

∴OA=3-2=1.

即点A的坐标是(1,0).

10. (1)抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数表达式为y=(x-1)2-3, 顶点M(1,-3),

令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,

点A(0,-2),

x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,

点B(3,1).

(2)如图,过点B作BE⊥AO于点E,过点M作MF⊥AO于点M,

(第10题)

∵EB=EA=3,

∴∠EAB=∠EBA=45°.

同理可求∠F AM=∠FMA=45°,

∴△ABE∽△AMF.

.