高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题

常微分方程

一、一阶微分方程的可解类型

（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程

1.（05,4分）微分方程_________.1

2ln (1)9

xy y x x y '+==-满足的解为

2222223332.+ln ,=ln .

111

ln ln ln .

339

111

(1)0ln .

939

dx x

dy y x e x dx x

d

x x x dx x x xdx C xdx C x x x y C y x x x ⎰==+=+-=-=⇒=-⎰⎰分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为两边乘得

(y)= 积分得 y=C+由得

2.（06,4分） (1)

y x x

-'————.微分方程y =

的通解为 111

(1).ln ln .,C x x dy dx y x x C y e x e y x

y Cxe C --=-=-+==分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得

积分得，即因此，原微分方程的通解为 其中为任意常数.

（二）奇次方程与伯努利方程

1.（97,2,5分）2

2

2

(32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=求微分方程的通解.

22223122+1-23

,

1ln 13ln ,1=..y xu dy xdu udx u u dx x u du u du dx u u x

u u x C u u Cx y C u x xy y x x

-=-+-+-=-++-=

+-=解：所给方程是奇次方程.令 =,则=+.代入原方程得 3（1-）+(1-2)=0.

分离变量得 积分得 即以代入得通解

2.(99,2,7分)

1(0(0),0

x y dx xdy x y =⎧+-=>⎪⎨=⎪⎩求初值问题的解.

1,2y ,(()0,0.ln(.u dx dy x dy xdu udx x u x xdu udx xdu dx x x u C u Cx y

Cx x

=+-+=-=-===

=解：所给方程是齐次方程(因,的系数(与(-)都是一次齐次函数）. 令带入得

化简得分离变量得

积分得 ln 即 以

代入原方程通解为2

2

1.10,=1.(1).2

x y

C x y x ====

-再代入初始条件得故所求解为 ，或写成

（三）全微分方程 练习题

2()(0)0,(0)1,()()()f x f f xy x f x f x x f x '=='(94,1,9分）设具有二阶连续导数，且

[(+y)-y]dx+[+y]dy=0为一全微分方程，求以及全微分方程的通解

2222

00

222[()()][()],2()()2,()().

()0,1()2cos sin 2.

[2(2cos sin )](22sin co x x xy x y f x y f x x y y x

x xy f x f x xy f x f x x y y x

f x y y f x x x x xy y x x y dx x y x x ==∂∂'+-=+∂∂''''+-=++=''⎧+=⎪⎨

'

==⎪⎩=++-+-+++-+解：由全微分方程的条件，有

即亦即因而是初值问题的解，从而解得原方程化为22222222s )0.11

()2()(2sin cos )(2sin cos )0,221

[2(cos 2sin )]0.2

1

2(cos 2sin ).

2

x dy y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy d x y xy y x x x y xy y x x C =+++----=++-=++-=先用凑微分法求左端微分式的原函数：

其通解为

（四）由自变量改变量与因变量改变量之间的关系给出的一阶微分方程

2

44y

4.98,3()=

,01(0)=(1)()2.().().().

y y x x y x x x

x y y A B C e D e π

π

ααππππ=∆∆+∆→+∆（分） 已知函数在任意点处的增量当时,是的高阶无穷小，，则等于 （ ）

2

arctan 2

arctan 41,ln arctan ,.1(0)(),

(1).()

x

x y

y x

dy dx y x C y Ce y x

y y x e y e D π

ππππ'=

+'==+=+===分析：由可微定义，得微分方程.分离变量得两边同时积分得即代入初始条件，得C=，于是由此，应选

二、二阶微分方程的可降阶类型

5.00,330xy y '''+=（分） 微分方程的通解为_____

33032

12=P()y =P 3

30,.

y x C xP P x x y P x x C y C x

''''''''+====+分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令，则，方程可化为一阶线性方程

标准形式为P +P=0，两边乘得(P )=0.通解为.

再积分得所求通解为 200

1

6.02,312

x x yy y y y

==''''+==（分）微分方程=0满足初始条件，的特解是_____ 20

111()(.12

0,

ln ln 11

01,22

1

,22x dy dP dP y P y y y P dx dx dy

dP dP

yP

y P P y dy dy dP dy

P y

C

P y C C y

x y P y C y P ydy y =''''===='=+=''===='==分析：这是二阶的可降阶微分方程. 令以为自变量)，则代入方程得+P =0，即+=0(或=0,，但其不满足初始条件）.分离变量得 积分得+=，即P=(P=0对应=0)；

由时，=得

，于是

2 2.

2.,11x dx y x C y

C y ===+===积分得又由得，所求特解为

三、二阶线性微分方程

（一）二阶线性微分方程解的性质与通解结构

12127.01,3(sin cos )(,)x y e C x C x C C =+（分） 设为任意常数为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____.