费马定理的全解析

对费马方程x^n+y^n=z^n整数解关系的证明，多年来在数学界一直颇多争议。本文利用平面几何方法，全面分析了直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的存在条件，提出对多元代数式应用增元求值。本文给出的直角三角型边长a^2+b^2=c^2整数解的“定a计算法则”；“增比计算法则”；“定差公式法则”；“a值奇偶数列法则”；是平方整数解的代数条件和实践方法；本文提出建立了一元代数式的绝对方幂式与绝对非方幂式概念；本文利用同方幂数增比性质，利用整数方幂数增项差公式性质，把费马方程x^n+y^n=z^n原本三元高次不定方程的整数解判定问题，巧妙地化为了一元定解方程问题。

关键词：增元求解法绝对方幂式绝对非方幂式相邻整数方幂数增项差公式

引言：1621年，法国数学家费马（Fermat）在读看古希腊数学家丢番图（Diophantna）著写的算术学一书时，针对书中提到的直角三角形三边整数关系，提出了方程x^n+y^n=z^n 在n=2时有无穷多组整数解，在n＞2时永远没有整数解的观点。并声称自己当时进行了绝妙的证明。这就是被后世人称为费马大定理的旷世难题。时至今日，此问题的解答仍繁难冗长，纷争不断，令人莫衷一是。

本文利用直角三角形、正方形的边长与面积的相互关系，建立了费马方程平方整数解新的直观简洁的理论与实践方法，本文利用同方幂数增比定理，对费马方程x^n+y^n=z^n在指数n ＞2时的整数解关系进行了分析论证，用代数方法再现了费马当年的绝妙证明。

定义1．费马方程

人们习惯上称x^n+y^n=z^n关系为费马方程，它的深层意义是指：在指数n值取定后，其x、y、z均为整数。

在直角三角形边长中，经常得到a、b、c均为整数关系，例如直角三角形3 、4、5 ，这时由勾股弦定理可以得到3^2+4^2=5^2，所以在方次数为2时，费马方程与勾股弦定理同阶。当指数大于2时，费马方程整数解之研究，从欧拉到狄里克莱，已经成为很大的一门数学分支.

定义2．增元求解法

在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以外的未知数项元加入，使其构成等式关系并参与求值运算。我们把利用增加未知数项元来实现对多元代数式求值的方法，叫增元求解法。

利用增元求解法进行多元代数式求值，有时能把非常复杂的问题变得极其简单。

下面，我们将利用增元求解法来实现对直角三角形三边a^2+b^2=c^2整数解关系的求值。

一，直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的“定a计算法则”

定理1．如a、b、c分别是直角三角形的三边，Q是增元项，且Q≥1，满足条件：

a≥3

{ b=（a^2-Q^2）÷2Q

c= Q+b

则此时，a^2+b^2=c^2是整数解；

证：在正方形面积关系中，由边长为a得到面积为a^2，若（a^2-Q^2）÷2Q=b（其中Q为增元项，且b、Q是整数）,则可把面积a^2分解为a^2=Q^2+Qb+Qb，把分解关系按下列关系重新组合后可得到图形：

Q2 Qb

其缺口刚好是一个边长为b的正方形。补足缺口面积b^2后可得到一个边长

Qb

为Q+b的正方形，现取Q+b=c，根据直角三角形边长关系的勾股弦定理a^2+b^2=c^2条件可知，此时的a、b、c是直角三角形的三个整数边长。

故定理1得证

应用例子：

例1．利用定a计算法则求直角三角形a边为15时的边长平方整数解?

解：取应用例子：a为15，选增元项Q为1，根据定a计算法则得到：

a= 15

{ b=（a^- Q^2）÷2Q=（15^2-1^2）÷2 =112

c=Q+b=1+112=113

所以得到平方整数解15^2+112^2=113^2

再取a为15，选增元项Q为3，根据定a计算法则得到：

a= 15

{ b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-3^2）÷6=36

c=Q+b=3+36=39

所以得到平方整数解15^2+36^2=39^2

定a计算法则，当取a=3、4、5、6、7 …时，通过Q的不同取值，将函盖全部平方整数解。

二，直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解“增比计算法则”

定理2．如a^2+b^2=c^2 是直角三角形边长的一组整数解，则有（an）^2+（bn）^2 =（cn）^2（其中n=1、2、3…）都是整数解。

证：由勾股弦定理，凡a^2+b^2=c^2是整数解必得到一个边长都为整数的直角三角形a c ，根据平面线段等比放大的原理，三角形等比放大得到2a 2c；

b 2b

3a 3c；4a 4c；…由a、b、c为整数条件可知，2a、2b、2c；

3b 4b

3a、3b、3c；4a、4b、4c… na、nb、nc都是整数。

故定理2得证

应用例子：

例2．证明303^2+404^2=505^2是整数解？

解；由直角三角形3 5 得到3^2+4^2=5^2是整数解，根据增比计

4

算法则，以直角三角形3×101 5×101 关系为边长时，必有

4×101

303^2+404^2=505^2是整数解。

三，直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解“定差公式法则”

3a + 2c + n = a1

（这里n=b-a之差，n=1、2、3…）

定理3．若直角三角形a^2+^b2=c^2是满足b-a=n关系的整数解，那么，利用以上3a+2c+ n = a1公式连求得到的a1、a2、a3…ai 所组成的平方数组ai^2+bi^2=ci^2都是具有b-a=n之定差关系的整数解。

证：取n为1，由直角三角形三边3、4、5得到3^2+4^2=5^2，这里n=b-a=4-3=1，根据3a + 2c + 1= a1定差公式法则有：

a1=3×3+2×5+1=20 这时得到

20^2+21^2=29^2 继续利用公式计算得到：

a2=3×20+2×29+1=119 这时得到

119^2+120^2=169^2 继续利用公式计算得到

a3=3×119+2×169+1=696 这时得到

696^2+697^2=985^2

…

故定差为1关系成立

现取n为7，我们有直角三角形21^2+28^2=35^2，这里n=28-21=7，根据3a + 2c + 7 = a1