初二数学动点问题练习(含答案)

动态问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想数形结合思想转化思想

1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始

沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，

Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。

当t=时，四边形是平行四边形；6

当t=时，四边形是等腰梯形. 8

2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一

点，则DN+MN的最小值为5

3、如图，在Rt ABC

△中，9060

ACB B

∠=∠=

°，°，2

BC=．点O是AC的中点，过

点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作

CE AB

∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．

（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；

②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；

（2）当90

α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

解：（1）①30，1；②60，1.5；

（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形

在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.

∴AB=4,AC=23. ∴AO=

1

2

AC

=3.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.

∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱形

4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

O

E C

D

A

α

l

O

C

A

（备用图）C

B

A

E

D

图1

N

M

A B

C

D

E

M

A

C

B

E

D

N

M

(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；

(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB

②∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE

(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ，

∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.

5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

解：（1）正确． 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．

CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）

． AE EF ∴=． （2）正确．

证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．

BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．

ANE ECF ∴△≌△（ASA ）

． AE EF ∴=．

6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；

（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值

A

D F C

G

E B

图1

A D F

G B 图3

A

D

F

C G

E B 图2

A

D F

C G

B M

A D F

C G B N

7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD BC

∥，E是AB的中点，过点E作EF BC

∥交CD于点F．46

AB BC

==

，，60

B=?

∠.求：（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF

⊥交BC于点M，过M作MN AB

∥交折线ADC 于点N，连结PN，设EP x

=.

①当点N在线段AD上时（如图2），PMN

△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN

△的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN

△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由

解（1）如图1，过点E作EG BC

⊥于点G．∵E为AB的中点，∴

1

2

2

BE AB

==．

在Rt EBG

△中，60

B=?

∠，∴30

BEG=?

∠．∴

22

1

1213

2

BG BE EG

===-=

，．

A D

E

B

F

C

图4（备用）

A D

E

B

F

C

图5（备用）

A D

E

B

F

C

图1 图2

A D

E

B

F

C

P

N

M

图3

A D

E

B

F

C

P

N

M

（第25题）

即点E 到BC

（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =

，PM EG ==同理4MN AB ==． 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，

∴6030NMC B PMH ==?=?∠∠，∠．

∴12PH PM ==

∴3cos302MH PM =?=．则35

422

NH MN MH =-=-=．

在Rt PNH △

中，PN === ∴PMN △的周长

=4PM PN MN ++=．

②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．

类似①，3

2

MR =．∴23MN MR ==．∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==． 此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．

当MP MN =时，如图4

，这时MC MN MP ===

此时，615x EP GM ===-=- 当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==?∠∠．则120PMN =?∠，又60MNC =?∠， ∴180PNM MNC +=?∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =?=．此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4

或(5-时，PMN △为等腰三角形．

8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．

(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动

图3

A D E B

F

C

P

N M 图4

A D E

B

F C

P M

N 图5

A D

E

B

F （P ） C

M

N

G

G

R

G

图1

A D E

B

F C

G 图2

A D E

B

F

C

P

N

M

G H

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．

又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵

P Q

v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，

∴点P ，点Q 运动的时间

4

33BP t =

=秒， ∴

515

443Q CQ v t

=

==厘米/秒。

（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得153210

4x x =+?，解得80

3x =秒． ∴点P 共运动了80

380

3?=厘米． ∵8022824=?+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过80

3秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．

9、如图所示，在菱形ABCD 中，AB =4，∠BAD =120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．

（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE =CF ；

（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

【答案】解：（1）证明：如图，连接AC

∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°， ∠BAE +∠EAC =60°，∠FAC +∠EAC =60°， ∴∠BAE =∠FAC 。

∵∠BAD =120°，∴∠ABF =60°。 ∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。 ∴∠ACF =60°，AC =AB 。∴∠ABE =∠AFC 。

∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE =∠FAC ，AB =AC ，∠ABE =∠AFC ， ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）。∴BE =CF 。

（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。理由如下：

由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE =S △ACF 。

∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值。 作AH ⊥BC 于H 点，则BH =2，

22AECF ABC 11

S S BC AH BC AB BH 4322

?==??=?-=四形边。

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，

边AE 最短．

故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，

又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大．

∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF (

)()

2

2

1

432323

3

32

=-??

-=。

∴△CEF 的面积的最大值是3。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。

【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF=60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。

（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AEC F=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△AB E=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。

10、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA 于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设运动时间为t（单位：秒）．

（1）求t=1时FC的长度．

（2）求MN=PF时t的值．

（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式．

（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．

考点：相似形综合题．

分析：（1）根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t，再将t=1代入求出FC的长度；

（2）根据MN=PF，可得关于t的方程6﹣t=2t，解方程即可求解；

（3）分三种情况：求出当1≤t≤2时；当2＜t≤时；当＜t≤3时；求出重叠（阴影）部分图形面

积S与t的函数关系式；

（4）分M在OE上；N在PF上两种情况讨论求得△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．

解答：解：（1）根据题意，△AOB、△AEP都是等腰直角三角形．

∵，OF=EP=t，

∴当t=1时，FC=1；

（2）∵AP=t，AE=t，PF=OE=6﹣t

MN=QC=2t

∴6﹣t=2t

解得t=2．

故当t=2时，MN=PF；