2021届四川省成都市石室中学高三一诊模拟测试数学理试题

1

石室中学高2021届一诊模拟考试

理科数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数z 满足()12i z i +=，则=z

（A ）

12

（B ）

22

（C ）2

（D ）2

2．设函数24y x =

-的定义域为A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B =

（A ）(1,2)

（B ）(1,2]

（C ）(2,1)-

（D ）[2,1)-

3．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →

，则λ＋μ＝ （A ）43 （B ）53 （C ）15

8 （D ）2

4．某商家统计了去年,P Q 两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A 点表示P 产品2月份销售额约为20万元，B 点表示Q 产品9月份销售额约为25万元.根据图中信息，下面统计结论错误．．

的是 （A ）P 产品的销售额极差较大

（B ）P 产品销售额的中位数较大

（C ）Q 产品的销售额平均值较大

（D ）Q 产品的销售额波动较小

5．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2

28580a a a +-+=，则9S =

（A ）35 （B ）36 （C ）45 （D ）54

6．将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为

（A ） （B ） （C ） （D ）

2

7．已知函数()()sin 202f x x π????=+<< ??

?的图象向左平移6π

个单位长度后，图象关于y 轴对称，设函数()f x 的最小正周期为m ，极大值点为n ，则m n -的最小值是

（A ）

6

π （B ）

3

π （C ）

23

π （D ）

53

π 8．已知二进制数(2)1010化为十进制数为n ，若()n x a +展开式中，7x 的系数为15，则实数a 的值为

（A ）

1

2 （B ）15

（C ）1 （D ）2 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和与前n 项积分别为n S ，n T ，公比为正数，且316a =，3112S =，则使1

n T >成立的n 的最大值为

（A ）8

（B ）9 （C ）12 （D ）13

10．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一个球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为1，且

2AB =，1AC =，3

BAC π

∠=

，则此球的表面积等于

（A

）

（B ）

32

3

π （C ）12π

（D ）16π

11．已知抛物线21:8C y x =，圆22

2:(2)1C x y -+=，若点,P Q 分别在12,C C 上运动，点(4,0)M ，则

||

||

PM PQ 的最小值为

（A ）

35

（B ）

45

（C ）4

（D ）4-

12．已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则,,a b c 的大小关系是

（A ）c b a <<

（B ）b c a <<

（C ）b a c <<

（D ）a b c <<

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥??

≥??+≤?

，则2z x y =-的取值范围是 .

14．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学员准备学习这2篇文章和其中2个视频，要求这2篇文

3

章学习顺序不相邻的学法有 种.

15．点P 是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>右支上的一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是

12PF F ?的内切圆圆心，记1212,,IPF IPF IF F ???的面积分别为12,,S S S ，若121

2

S S S -≥恒成立，则双曲

线的离心率的取值范围是 .

16．已知()()()2

ln ln f x ax x x x x =+--恰有三个不同零点，则a 的取值范围为______ .

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）

在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=

． （Ⅰ）求C 的大小； （Ⅱ）若c =ABC ?周长的最大值．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,2

AB CD AB DC =

AC BD F ==，且与均为正三角形，G 为的重心.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.

19．

（本小题满分12分）

随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公

司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x （亿元与科技升级直接收益y （亿元）的数据统计如下：

PAD ?ABD ?PAD ?//GF PDC

14.4；当17

x>时，确定y与x满足的线性回归方程为?0.7

y x a

=-+．

（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当017

x

<≤时模型①、②的相关指数2R的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．

（附：刻画回归效果的相关指数

()

()

2

21

2

1

?

1

i i

i

n

i

i

y y

R

y y

=

=

-

=-

-

∑

∑

4.1

≈）

（Ⅱ）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．

（附：用最小二乘法求线性回归方程?

??

y bx a

=+的系数：

()()

()

11

2

22

11

?

n n

i i i i

i i

n n

i i

i i

x y nx y x x y y

b

x nx x x

==

==

-?--

==

--

∑∑

∑∑

，?

?a y bx

=-）

（Ⅲ）科技升级后，“麒麟”芯片效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布()2

0.52,0.01

N．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元，记Y为每部芯片获得的奖励，求()

E Y（精确到0.01）．

（附：若随机变量()2

~,(0)

X Nμσσ>，则()0.6827

P X

μσμσ

-<≤+=，

(22)0.9545

P X

μσμσ

-<≤+=）

4

5

20．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的上顶点为(0,1)A ，离心率为

2

2

. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若过点A 作圆222:(1)M x y r ++=（圆M 在椭圆C 内）的两条切线分别与椭圆C 相交于B ，D

两点(B ，D 不同于点A )，当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

已知函数()e cos 2x

f x x =+-，()f x '为()f x 的导数.

（Ⅰ）当0x ≥时，求()f x '的最小值； （Ⅱ）当π

2

x ≥-时，2cos 20x xe x x ax x +--≥恒成立，求a 的取值范围.

6

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4－4：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y α

α

=??=+?（α为参数），以x 轴的非负半轴

为极轴，原点O 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线3

πθ=和56π

θ=

()R ρ∈分别与曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 两点异于坐标原点）.

（Ⅰ）求曲线C 的普通方程与A ，B 两点的极坐标； （Ⅱ）求直线AB 的极坐标方程及ABO ?的面积.

23．选修4—5：不等式选讲

已知函数()225f x x =+-. （Ⅰ）解不等式：()|1|f x x ≥-；

（Ⅱ）当1m ≥-时，函数()()||g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.

7

石室中学高2021届一诊模拟考试

数学试卷简答（理科）

一、选择题：

CDBBB BAACD BB

二、填空题：

13. []8,0z ∈- 14. 72 15. 12e <≤ 16. 2211,e e e e ??

-+ ?-??

.

三、解答题：

17.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）ABC ?中，角,A B C ，，的对边分别是,,,a b c (2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=.

∴由已知，得(2)(2)2222a b c

a b b a c R R R

+?

++?=?，即222a b c ab +-=-， 2221

cos 22

a b c C ab +-∴==-，由0C π<<，23C π∴=…………………………………6分 （Ⅱ）

3c =

，

sin sin a b

A B

∴

== 2sin a A ∴=，2sin b B =.设ABC ?的周长为l ，则

l a b c =+

+2sin 2sin A B =+

+2sin 2sin 3

A A π

??

=+- ??

?

2sin 2sin

cos 2cos

sin 3

3

A A A π

π

=+-+

sin A A =+

+

2sin 3A π??

=+

+ ??

?

03

A π

<<

，2sin 3A π??

∴<+

+ ??

?

2≤+ABC ?

周长的最大值为2……12分

18.（本小题满分12分）

8

【解析】（Ⅰ）设PD 的中点为E ，连接,,AE CE GF .

//,2AB CD AB DC =23,AC BD F ==

2AF AB

FC CD

∴

== 又G 为的重心G 2AG

GE

∴

= GF CE ∴ 又,GF PDC CE PDC ??面面

∴平面………………………………….5分

（Ⅱ）设O 为AD 的中点，PAD ?为正三角形，则PO AD ⊥ 平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =

PO ABCD ∴⊥平面，过O 分别作,BC AB 的平行线，建系如图：……………….7分

()3333330,0,3,,,0,,,022P B C ????

- ? ? ? ?

????

, 易知平面PAD 的法向量()

1=1,3,0n ，设平面PBC 的法向量分别为()2222,,n x y z =

()333,,3,30022PB BC ??∴=--=- ? ???，， 222222

333

302230

PB n x y z BC n x ??=-+-=?∴???=-=?得23=032n ?

? ???，， ..10分 121212

21

cos ,=721

n n n n n n ?=

=

……………………………………………………………………11分 从而，平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为

21

7

…………………………………….12分 19.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）由表格中的数据，182.479.2>，所以

()

()

7

7

2

2

1

1

182.4

79.2

i i i i y y y y ==>

--∑∑，

PAD ?//GF

PDC

9

所以

()

()

7

7

2

2

1

1

182.4

79.2

11i

i

t t y y y y ==-

<-

--∑∑．可见模型①的相关指数21R 小于模型②的相关指数2

2R ．

所以回归模型②的拟合效果更好．………………………………………………………………2分 所以当17x =亿元时，科技升级直接收益的预测值为

?21.314.421.3 4.114.472.93y

=≈?-=（亿元）．…………………………………………..3分 （Ⅱ）当17x >时，由已知可得2122232425235x ++++=

=，68.56867.56666

67.25

y ++++==．

所以0.767.20.72383.3a y x =+=+?=．…………………………………………………5分 所以当17x >时，y 与x 满足的线性回归方程为?0.783.3y

x =-+． 当20x 时，科技升级直接收益的预测值为?0.72083.369.3y

=-?+=亿元． 当20x

亿元时，实际收益的预测值为69.3574.3+=亿元72.93>亿元，

所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．……………………………………..8分 （Ⅲ）因为20.50μσ-=，0.53μσ+=，所以

(0.500.53)(2)P X P X μσμσ<≤=-<≤+

(2)()P X P X μσμσμσμσ=-<≤-+-<≤+

0.95450.6827

0.68270.81862-=

+=；

10.6827

(0.53)()2

P X P X μσ->=>+=

． 所以10.6827

()020.818642

E Y -=+?+? 2.2718 2.27=≈（元）

．……………………….12分 20.（本小题满分12分）

【解析】

（Ⅰ）依题意可得：22222

111122b c x a b c C y a a b c =??

?=?===?+=?

?=+??

，椭圆：………..3分 （Ⅱ）圆M 过A 的切线方程可设为l ：1y kx =+，代入椭圆C

的方程得：

()2

22

421212k

x kx x k -++=?=

+，

10

可得2

1122

114121212k k B k k ??-- ?++?

?，；同理可得2

22

22

224121212k k D k k ??

-- ?++??

， ……………………………..5分 由圆M 与l

()

2221210r r k k r =?--+-=

由韦达定理得：12122

2

11k k k k r +=

=-，………………………..……………………………6分 所以直线BD 的斜率()()()2

2

212222

21211212221

21211222

21

12121212442

4442111212k k y y k k k k k k k k k x x k k k k r k k ----++-=

===-+=-----+++ …………………………………………………………………………………………………………9分

直线BD 的方程为：2112

2221124212112k k y x k r k ?

?

--=+ ?+-+??

化简为：221112222

1111412223112121

k k k y x x r k k k r +-=-?+=--++-，即2231y x r =--………..11分

所以，当(01)r r <<变化时，直线BD 总过定点()03R -，

……………………………………12分 21．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）()e sin x f x x '=-，令()e sin x g x x =-，0x ≥，则()e cos x g x x '=-.

①当[)0,πx ∈

时，()g x '为增函数，()()00g x g ''≥=；

②当[),x π∈

+∞时，()πe 10g x '≥->.

故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，故()()min 01g x g ==，即()f x '的最小值为1……5分

（Ⅱ）令()e cos 2x h x x ax =+--，()e sin x h x x a '=--，则本题即证当π

2

x ≥-时，()0x h x ?≥恒

成立.

①当1a >时，由（1）可知()e sin x

h x x a '=--在

[)0,+∞上为增函数，且()010h a '=-<，

()1110a h a e a +'+≥-->，故存在唯一()20,x ∈+∞，使得()2

0h x '=.

则当()20,x x ∈

时，()0h x '<，()h x 为减函数，所以()()00h x h <=，此时()0x h x ?<，与

()0x h x ?≥恒成立矛盾…………………………………………………………………………….7分

②当1a ≤时，

11

（i ）若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，所以()h x 为增函数，故()()00h x h ≥=恒成立，

即()0x h

x ?≥恒成立；………………………………………………………………………8分

（ii ）若π,02x ??∈-????

，则()e cos x

h x x ''=-，()e sin x h x x '''=+在π,02??-????上为增函数，又()01h '''=，

π2πe 102h -?

?'''-=-< ???

，故存在唯一0π,02x ??∈- ???，使得()00h x '''=.

当0π,2x x ??

∈- ???

时，()0h x '''<，()h x ''为减函数；()0,0x x ∈时，()0h x '''≥，()h x ''为增函数. 又π2πe 02h -?

?''-=> ???

，()00h ''=，故存在唯一1π,02x ??∈- ???使得()10h x ''=.

故1π

,2

x x ??∈- ???

时，()10h x ''

>，()h x '为增函数；()1,0x x ∈时，()10h x ''<，()h x '为减函数.

又π2πe 102h a ?

?'-=+-> ???

，()010h a '=-≥，

所以π,02

x ??∈-????

时，()0h x '

>，()h x 为增函数，故()()00h x h ≤=，即()0x h x ?≥恒成立…11分

综上所述，1a ≤………………………………………………………………………………………….12分 22．（本小题满分10分）

【解析】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为1x cos y sin α

α

=??=+?（α为参数），

所以消去参数α得曲线C 的普通方程为2

220x y y +-=，

因为cos x ρθ=

，sin y ρθ=，

代入曲线C 可得C 的极坐标方程：2sin ρθ=. 将直线3

π

θ=

，56πθ=代入圆的极坐标方程可知

:1ρ=21ρ=，

故A ，B

两点的极坐标为3A π???，51,

6

B π

??

???

…………………………………..5分 （Ⅱ）由cos x ρθ=，sin y ρθ=

得：32A ?????

，12B ?? ? ?

??

，所以的极坐标方程为：13y x =+.

12

所以AB

的极坐标方程为sin 62πρθ?

?-=

??

?可知直线AB 恰好经过圆的圆心，故ABO ?

为直角三角形，且OA 1OB =，

故122

ABO S ?=

=

………………………………………………………………………10分 23．（本小题满分10分）

【解析】（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-??---≥-?或112251x x x -<≤??+-≥-?或12251x x x >?

?+-≥-?

，

解得8x ≤-或?或2x ≥，

综上所述，不等式

()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-+∞.………………………………..5分

（Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++ 315x =+-，

此时()g

x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：

当1m >-时，()225g x x x m =+-+- 37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-??

=+--<≤??-->?

，

则函数()g

x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增. 要使函数()g

x 的图象与x 轴围成一个三角形，

则()()140230

g m g m m ?-=-

综上所述，实数m 的取值范围为{}3

,412??-????

.…………………………………………..10分