新三第11讲-有趣的数阵图
有趣的数阵图
传说大禹治水的时候，一只灵龟从水中翩然浮出。令
人称奇的是，这只乌龟的背上竟刻有一幅图（如图①所示）。
如果将图上的点转化成数字，一个点记为一个“1”，
那么图①就转变成了数字图（图②）。研究这幅数字图你会
发现：每一行、每一列，甚至每一条对角线上的三个数的和都相等。
像上面的图②这样，把一些数按照定要求排列成各种图形，使图形中的每一条直线段或若干条线段的数字和相等，这样呈现的图形，就叫作数阵图。
数阵图可以是正方形，还可以是长方形、三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形……但不管是哪一种形状的数阵图，填写时都应注意两点：
1．抓住数阵中的“特殊数”，比如两线交点上的数、长方形和正方形的顶点上的数……这些数与其他数相比，往往重复计算了多次，因而不妨作为解决数阵问题的一个突破口。
2．确定突破口后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法求解其他数。但有时因为数字存在不同的组合方法，因此答案往往不是唯一的。
【例1】将1、2、3、4、5这五个数分别填入右图中，组成一个“十字
数阵图”，使图中横行三个数的和与竖列三个数的和相等。
分析图中最中间的那个数最特殊，因为横行三个数相加和竖行三个数相
加都算了它，即它被算了2次。因此不妨把它当作解决问题的突破口。
假设它填1，剩下的四个数刚好可以分成2 + 5 = 3 + 4，因而得到本题
的一个解；假设它填2，由于剩下的四个数不能分组成两组，使两组的和相等。所以2不能填在中间；同样的方法，尝试中间填3、4、5。
〖即学即练1〗将10、13、16、19、22分别填入图中，使图中横行的三个数与竖行中三个数的和相等。
【例2】将1、2、3、4、5、6、7这七个数字分别填入图中，使得
每条直线上的数字和为11。右下角“NT”处填的数字是几?
分析除“NT”处的数外，其他六个数刚好分在两条直线上，即其他
六个数的和为11 × 2 = 22。
〖即学即练2〗（1）把1～7这七个数填入图中的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于14；如果每条边上三个数的和等于10，那么中间数应该填几?
（备用）（2）把16、17、18、19、20、21、22、23、24分别填入下图中的九个圆圈内，使每条直线上的和都等63。
（备用）（备用）
【例3】将1、2、3、4、5、7、8、9分别填入下图的八个圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等。最上面和最下面的两个圆圈内的数之和是多少。
分析在○中标上字母a ～ h，根据题意，a + e + h = e + f + g + h，得a = f + g，同理，c = e + h；则a + c = e + h + f + g。因为a + b + c + d + e + f + g + h = 3 ×（e + f + g + h），则a + c = （1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9）÷ 3 = 13。
〖即学即练3〗将1～8这八个数分别填入图中的圆圈内，使每个五边形上五个数的和分别为20、21、22。
【例4】把1、2、3、4、5、6分别填入下图的圆圈中，使每条边上的三个数之和相等，并且和最大。
（备用图）（备用图）
分析由于三个顶点所在位置的数重复计算了，所以三个顶点所在位置的数最大，即填4、5、6时，每边上三个数的和最大。
〖即学即练4〗（1）把3、4、5、6、7、8、9、10、11这九个数分别填在下图的圆圈中，使每条边上四个数的和相等且最大。
（备用图）（备用图）
（2）把1～10这十个数分别填在下图的五边形边上的十个圆圈内，使每条边上的三个圆圈内的数的和相等，并且使和尽可能小。
（备用图）
【例5】在下图的空白区域内分别填上1、2．4、6四个数，使
每个圈中的四个数的和都是15。
分析题目要求每个圈中的四个数的和都是15，而左上角的圈已
知的两个数的和已经是12．则剩下的两个数的和只能是3，而这
只有一种可能，即剩下的两个数只能填1和2；同样的道理，右
上角那个圈剩下的两个空只能填1和4。这里，三个圈交叉的那
个数重复了一次，而“1”也同样重复了一次．所以，可以断定三个圆交叉的那个数填“1”。
〖即学即练5〗（1）在图中空白部分分别填上3、5、7、8这四个数，使每个圆中的四个数的和都是21。
（备用图）
（2）下图有五个圆。它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上10与6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9这七个数，使每圆内的和都等于15。
（备用图）
【例6】下图是四个互相联系的三角形。把1～9这九个数字分别填入圆圈中，使每个三角形中数字的和都是15。
（备用图）
分析因要求每个三角形中数字的和都是15，则中间的那个三角形数字和必然也是15，而这有8种可能：（1、9、5）；（2、8、5）；（2、7、6）；（4、6、5）；（2、9、4）；（3、8、4）；（3、7、5）；（8、6、1）任意选一组，都可得到本题的一个解。
〖即学即练6〗（1）把11、12、13、14、15、16分别填入下图的圆圈中，使每条边上的三个数之和都等于39。
（备用图）
（2）把1～9这九个数分别填入下图的圆圈中，使每条边上的四个数之和都等于21。
（备用图）
【例7】将2～10这九个数分别填入下图中，使它每一横行、每一竖行、每一斜行的三个数的和都相等。
（备用图）
分析从图①看得很明显，每一横行、每一竖行、每一斜行三个数相加，最中间的那个方框的数计算了4次，四个角上的数计算了3次。又由于题目说每一横行的和都相等，而2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54，54 ÷ 3 = 18。2～10中，三个数相加和等于18的有：
7 + 6 + 5 8 + 7 + 3 10 + 5 + 3 9 + 5 + 4
10 + 6 + 2 8 + 6 + 4 9 + 6 + 3 9 + 7 + 2
在这八道算式中，只有6出现了四次，所以中间数填6；9、7、5、3出现了三次，因此9、7、5、3填在四个角上；最后根据每一横行、竖行、斜行三个数的和都是18，就可算出剩余四个空所应填的数。
〖即学即练7〗（1）将1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数填入图中的九个方框内，使每一横行、每一竖行、每一斜行的三个数的和都相等。
（备用图）（备用图）
（2）图中有九个圆，你能将0、1、2、3、4、5、6、7、8这九个数字分别填入九个圆圈内，使得每一横行、每一竖行、每一斜行的三个数的和都相等吗?
（备用图）（备用图）
能力检测
1．将l991、1992、1993、1994、1995分别填入下图的五个方格中，使得横排的三个方格中的数之和等于竖列的三个方格中的数之和。则中间方格中能填的数分别是多少?
（备用图）（备用图）
2．将1、2、3、4、5、6这六个数字填入下图的6个圆圈内，使每条线上三个数字之和都等于10。
（备用图）
3．将1～7这七个数分别填入下图的七个圆圈内，使得每条边的三个数的和都等于14。
（备用图）
4．把1、4、7、10、13、16、19这七个数分别填入下图的七朵花里，使每条线上三个数的和相等。
（备用图）
5．把数字1～6分别填入下图中的圆圈内，使得每个大圆上的数字和都是15。
（备用图）6．在下图的九个小方格中各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数字之和相等，则其中带“?”方格中所填入的数字是多少?
（备用图）
7．把2、5、8、11、14、17分别填入下图的圆圈中，使每条边上的三个数之和最小，最小是多少?
（备用图）
8．将2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数分别填入下图的九个方框内，使每一横行、每一竖行、每一斜行的三个数的和都相等。
（备用图）
9．把4～9这六个数分别填入下图中的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点上的数的和都为28。
（备用图）
10．把2～12这十一个数分别填入下图的圆圈内，使每条边上三个圆圈内数的和都相等。你能写出哪些不同的填法?
（备用图）11．2010年是虎年，请把1～11这十一个数不重复地填入虎额上的“王”字中，使三行、一列的和都等于18。
（备用图）（备用图）
12．把1～8这八个数分别填入下图中的方格内（每个数必须用一次），使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等。
（备用图）13．将1、3、5、7、9、11、13这七个数填入下图中的圆圈内，使得每行上三个数之和相等，则这个相等的和是多少?
（备用图）
14．把数字1～8分别填入下图中的圆圈内，使每个大圆上五个数的和都等于20。
（备用图）15．把数字1～8分别填入下图的圆圈内，使每个五边形上五个数的和都等于20。
（备用图）
16．在下图中分别填入1～9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢?
（备用图）17．把1～8填入下图的圆圈内，使每边上三个数的和最大。最大的和是多少?
（备用图）
人教版小学三年级数学第16讲 数阵图(一)
第16讲数阵图(一) 在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。 那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图： 左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。 上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。
例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。 分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。 例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
(完整版)4年级有趣的数阵图
4年级有趣的数阵图 相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”,背上有美妙的图案，史称“洛书”。 这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将 1～9这九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3个 数的和都相等。 幻方经过演变就得到我们即将要学习的数阵图，他们的解题 思路基本一样，接下来我们就一起看看数阵图吧！ 例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。 我发现一条直线上三个数相加时，端 点四个数只加一次，中间的数加了两 次。 不论那5个数填在哪里，从整体来看，5个数都加了1 次，其中有1个数还多加了一次，得到了2个和，也 就是6个数相加等于2×9=18。 说得对，我们把多加一次的那个数用括号或 者字母表示，就可以得到一个等式。 解答数阵图的关键是重叠数，所以填数阵时，一般优先考虑重叠数。可以把这个数位用括号或字母表示，列出等式，再根据条件解 答出来。
把1～7这七个数分别填入图中七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都是12。 例2：将从1～10填入各○中，使每条线上的数字和相等，你有几种填法？ 我发现一条直线上四个数相加时，中间的数 加了三次，其他的三个数只加一次。而且， 和前面不一样的地方是：没有告诉我们直线 上的和是多少。 和上题一样，不论这10个数怎么填，所有的数都加了 一次，其中还有1个数多加了2次，它们的总和等 于3条直线上数字的和，我们同样可以列出一个等式。
例3：把1～9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？ 将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法 ) 例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和都是24。 中间的三个数只加一次，三个角上的数都加了二次，有三个数要设字母吗？ 按照前面学习的方法，先列出一个等式，再考虑三个未知的数吧。
小学数学 数阵图(一).教师版
1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 模块一、封闭型数阵图 【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。 【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-3-1.数阵图
【答案】 【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且 数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？ （） 【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式： （2）h g f e d c b a a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3） a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28， d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8. 又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8 若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，
四年级数学数阵图(二)例题讲解
第17讲数阵图（二） 例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。 解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。 因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4 或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。
例2将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有
证明：设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。 根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到 3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）， 3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c， d——c＋b＝d——a＋c， 2c＝a＋b， a＋b
c＝2。 值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。 例3在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。 解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。 例4在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。
有趣的数阵图(一)
教学内容：有趣的数阵图（一） 教学时间：第一、二课时 教学目的： 1、掌握数阵图的基本特征。 2、按要求填出数阵。 教学重难点：寻找解题突破口。 教学过程： 一、宣布本课学习内容： 二、通过例题学习数阵的知识。 1、例1：将1—6填入右图的6个圆圈内， 使三角形每条边上的三个数的和都等 于S，请你指出S的取值范围。 ①试着独立填一填。 ②如果让你把所有的答案都填出，你能做到吗？ ③讲解：三个角上的三个数最小是1、2、3；最大是4、5、 6，所以，S的取值范围是9、10、11、12。 ④从9、10、11、12四个和中选一个，填出数阵。 2、例2：将1—6填入下图的6个圆圈内，要求四条线上 的数字之和都相等。 ⑴当每条线上的和是10时，A是多少？ ⑵当每条线上的和是9时，B是多少？ ①观察：这6个数哪一个数最特殊？为什么？
②求A：1~6的和是21，用21×2-40=2 ③求B：如右图，用21-18=3 ④独立填出两个答案。 ⑤小结：观察、找特征。 3、例3：将1—9这9个数字填入下图的9个圆圈内，使 每个三角形和直线上的3个 数字的和都相等。 ①计算出1~9的和，用45除以3 得15，所以每个和是15。（为 什么？ ②找规律：在1—9中，三个数的和为15的，只有两种情 况：1+9+5和1+8+6。 ③填数，调整。 4、例4：将1—9这9个数字填入下图的9个小三角形中， 使大三角形每条边上的5个小三角形之 和相等，那么这个和的最大值是多少？ 最小值是多少？ ①观察：找出每个数用几次。 ②如右图，三个阴影三角形上的数字各用了 一次，其它的都用了两次。这三个数最大是7、8、9；最小是1、2、3。所以，和最小是45×2-24=66；最大是45×2-6=84。
小学数学《数阵图》练习题(含答案)
小学数学《数阵图》练习题（含答案） 课前复习 1.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是16. 【答案】 【答案】 2.在空格内填入适当的数，使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18. 【答案】 3. 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是6 4. 【答案】 在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷.它就是数阵.到底什么是数阵呢?我们先观察下面2个图： 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两条对角线上三个数的和都是15.
认真观察，你发现每个图中的数字有什么特点？ 左上图有两条直线，每条直线上都有 3个数字，它们的和都分别等于15；而右上图，将l～9九个数字排成三行、三列，每一行、每一列、每一斜行上的3个数字的和都等于15. 数阵就是用数(一般指自然数)按一定的要求和规律，组成特定的形状或布成特定的阵势.它一般分为辐射型(左上图)和封闭型(右上图).要把一些数字按一定的规则填入图形中，有没有巧妙的方法来填呢?今天这节课我们就一起来学习. 辐射型数阵图 【例1】把1，2，3，4，5这5个数分别填入图中的圆圈内，使得横行3个数的和与竖列3个数的和都等于10. 【分析】横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数a被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于10，所以(1+2+3+4+5)+a= 10×2，a=5.剩下4个数中每两个数之和应该等于5，，1+4=2+3。 【例2】把4～8这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相等. 【分析】方法一：把6除外，还剩4，5，7，8，这四个数，在这四个数中4+8=5+7，这样可以填出答案。方法二：与例1不同之处是已知“重叠数”为6，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数.可以先求出这个“和k”.(4+5+6+7+8)+6=k×2.K=18。
7、有趣的数阵图(一)
7、有趣的数阵图（一） 学习目标: 1、学会探究辐射型数阵和封闭型数阵。 2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。 教学重点: 1、学分辨别辐射型数阵和封闭型数阵的特征。 2、学会探究辐射型数阵和封闭型数阵的规律。 教学难点：辐射型数阵和封闭型数阵的分情况讨论。 教学过程： 一、情景体验 相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”，背上有美妙的图案，史称“洛书”。 这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将1-9这九个数字填在方格中，使每横行、每竖列、对角线的3个数的和都相等。 幻方经过演变就得到我们即将要学习的数阵图，他们的解题思路基本一样，接下来我们就一起看看数阵图吧！ 二、思维探索（建立知识模型） 展示例1 例1：将1-5这五个数分别填入图中五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。
师：两条直线上各有三个数，一共六个数相加，它们的和是多少？生：9+9=18。 师：图中总共只有五个圆圈，为什么会有六个数呢？ 生：中间那个数既在横线上，也在竖线上，算了两次。 师：我们填进去的1-5相加得到的和是多少？ 生：1+2+3+4+5=15。 师：是哪一个数被算了两次呢？ 生：18-15=3，3被算了两次，它就是中间数。 师：那横线和竖线上剩下的两个数应该填几呢？ 生：根据横线和竖线上的三个数之和都等于9，9-3=6，可以有1、5在一条直线上，2、4在一条直线上。 小结：辐射型数阵中被重复计算的是中间数，先求中间数，再求其他数。 展示例2 例2：把1-10这10个自然数，填入图中，使每条线上的数字和相等。问如何填法？
四年级数学数阵图讲解(一)
四年级数学数阵图讲解（一） 我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵.其解题的关键在于“重叠数”。本讲和下一讲.我们学习三阶方阵.就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图.解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从一道典型的例题开始。 例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中.使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。 分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45.正好是三个横行数字之和.所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说.每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。 在1～9这九个数字中.三个不同的数相加等于15的有： 9＋5＋1.9＋4＋2.8＋6＋1.8＋5＋2. 8＋4＋3.7＋6＋2.7＋5＋3.6＋5＋4。 因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。 因为中心方格中的数既在一个横行中.又在一个竖列中.还在两对角线上.所以它应同时出现在上述的四个算式中.只有5符合条件.因此应将5填在中心方格中。同理.四个角上的数既在一个横行中.又在一个竖列中.还在一条对角线上.所以它应同时出现在上述的三个算式中.符合条件的有2.4.6.8.因此应将2.4.6.8填在四个角的方格中.同时应保证对角线两数的和相等。经试验.有下面八种不同填法：
上面的八个图.都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如.第一行的后三个图.依次由第一个图顺时针旋转90°.180°.270°得到。又如.第二行的各图.都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以.这八个图本质上是相同的.可以看作是一种填法。 例1中的数阵图.我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地.将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中.如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.那么这样的图称为三阶幻方。 在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等.而不要求两条对角线上的三数之和也相等.则解不唯一.这是因为在例1的解中.任意交换两行或两列的位置.不影响每行或每列的三数之和.故仍然是解。 例2用11.13.15.17.19.21.23.25.27编制成一个三阶幻方。 分析与解：给出的九个数形成一个等差数列.对照例1.1～9也是一个等差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数.即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数.即13.17.21.25.而且对角 两数的和相等.即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）。 与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中.使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同.这样填好后的图称为三阶反幻方。 例3将前9个自然数填入右图的9个方格中.使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同.并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。 分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况：
四年级下册数学讲义-奥数专题讲练：第十讲 有趣的数阵图(二)(例题解析版)全国通用
第十讲有趣的数阵图（二） 下面我们继续研究有关数阵图的问题. 例1 将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少， 最大是多少？并对S最小值填出数阵. 分析为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G，而A、B、…、F、G这7个数的全体恰好是1、2、…、6、7. ∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D. 3S=28+2B+A+C+D. 如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数 即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4 W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4， 综上所述，得出： 13≤S≤19即定数可以取13～19中间的整数. 本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、F=6、G=7. 注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数”S.（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和等等）. 二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S 的值.从“中心数”B处考虑.（B是三个大圆的公共部分，常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心，主要因为B参与相加的次数最多）此处因为定数是13，中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B，其他问题就容易解决了. 解： 例2 把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.
(完整版)第三讲、有趣的数阵图
第3讲.有趣的数阵图 数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。 解答这类问题时，常用以下知识： 1.等差数列的求和公式： 总和=（首项+末项）x项数/2 2.计算中的奇偶问题： 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 3.10以内数字有如下关系： （1）1+9=2+8=3+7=4+6 （2）1+8=2+7=3+6=4+5 （3）2+9=3+8=4+7=5+6 在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。 例1．把1,2,3,4,5,6这六个数填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和都等于9. 例2．把1,2,3,4,5,6填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和相等，有几个基本解？ 随堂练习1 （1）将1~4这四个数分别填入图中内数的和相等。 (1) (2) （2）把数字1,3,4,5,6分别填在上图三角形3条边上的5个圆圈内，使每条边上3个圆圈内数的和等于9。 例3.把1~12这十二个数，分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内，使每条边上四个圆圈内数的和都等于22，试求出一个基本解。
随堂练习2 将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16. 例4.把1~7这七个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。 例5 .将1~9这九个数，分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。 例6.把1~11这十一个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于22. 随堂练习3. （1）将1~5这五个数分别填入如果中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。 (1) (2) （2）将6~10这五个数分别填入如图中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。
四年级数学巧填数阵图
巧填数阵图 课前练习： 1、用0、 2、5、8、9可以组成多少个不同数字的三位数 2、大小两个正方形对应边的距离为4厘米，两个正方形之间的部分面积为160平方 厘米，求小正方形的面积 3、在420为的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行1分钟10秒相遇，如果背向而行30秒相遇，已知甲比乙快，求甲乙的速度 4、哥哥和弟弟在同一所学校读书,哥哥每分钟走80米,弟弟每分钟走50米,有一天,弟弟先走12分钟,哥哥才出发,当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校,问他们家离学校有多远 学习新知 例1、把1—7这七个数分别填入下图的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于12。
例2、把数字1——8分别地填入下图中的小圆圈内，使每个圆上的五个数的和都等于20。 例3、将1—6这六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少 例4、下图中有5个圆，它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上了11与7，请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、9、10这七个数，使每个圈内的和都等于17。 课堂练习
1、把1—7这七个数分别填入下图的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于14。 2、把数字1—8分别填入下图中的小圆圈内，使得每个圆上五个数的和都等于22。 3、把5—14这十个自然数分别填入下图中的圆圈中，使每个大圆上的六个数的和等 于55，求a+b等于多少 例1、4、下图中有5个圆，它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上了10与6，请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、 7、9这七个数，使每个圈内的和都等于15。
趣味数学—数阵图与幻方
. Word文档三年级奥数 --数阵图与幻 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或格)和关键点(或格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学法的综合运用． 三、幻起源： 幻也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正形，因此纵横图又叫幻．幻起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不
再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻．如下图： 9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻在我国历史悠久．三阶幻又叫做九宫图，九宫图的幻民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，围十五月团圆．”幻的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻定义： 幻是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻，44 ?的数阵称作四阶幻，55 ?的称作五阶幻……如图为三阶幻、四阶幻的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻常用的法： ⑴适用于所有奇数阶幻的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下 填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数 --数阵图与幻方 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 三、幻方起源： 幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：
9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻方定义： 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻方，44 ?的数阵称作四阶幻方，55 ?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻方常用的方法： ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往 下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。 中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。 1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square）的游戏，这个
有趣的数阵图
有趣的数阵图 教学要求： 1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。 2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能 力。 教学过程： 一、导入新课语： 如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。 二、探索新知： 解答这类问题时，常用以下知识： 1.等差数列的求和公式： 总和=（首项+末项）x项数/2 2.计算中的奇偶问题： 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数
奇数+偶数=奇数 3.10以内数字有如下关系： （1）1+9=2+8=3+7=4+6 （2）1+8=2+7=3+6=4+5 （3）2+9=3+8=4+7=5+6 在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。 第一关：把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(中间填入5)，使两条直线上的三个数之和为10。 思路导航： 1,2，3，4，5还剩1，2，3，4这四个数， 那这四个数中两两相加的和为（10-5）=5的只有： 1+4=2+3 第二关：将1-9这九个数填入下图圆圈内，使横行、竖行五个数相加和为24。 思路导航： 横行、竖行五数和：24+24=48 1-9数之和：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
A：48-45=3 12456789八个数分为两组，使每组中四个数字之和： 24-3=21 则1+5+6+9=2+4+7+8 试一试： 将1-9这九个数填入下图圆圈内，使横行、竖行五个数相加和为25。 第三关： 将1、2、3、4、5、6填在下图中，使每条边上三个数之和等于9。 思路导航： 三条边数字总和： 3×9=27 1-6六数之和：1+2+3+4+5+6=21 A+B+C=27-21=6 故只能选1，2，3 试一试：将1-9这九个数填入下图圆圈内，使每条线上三个数字相加之和相
a小学数学奥赛5-1-3-3数阵图(三).教师版
1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨 、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐 射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）； 第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 例题精讲 数阵图与数论 例1】把0—9 这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8 题 数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值． 考点】数阵图与数论难度】 3 星题型】填空 解析】设顶点分别为A、B、C、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、 E 分别只能是0-4 中的一个数字.则除之外的另外 5 个数（即边上的）为45-10=35. 设所形成的等差数 列的首项为a1，公差为 d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于 0+1+5=6 ，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0. 答案】 2 种可能 例2】将1~ 9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．
四年级奥数 第8讲 有趣的数阵图
第8讲.有趣的数阵图 数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。 解答这类问题时，常用以下知识： 1.等差数列的求和公式： 总和=（首项+末项）x项数/2 2.计算中的奇偶问题： 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 3.10以内数字有如下关系： （1）1+9=2+8=3+7=4+6 （2）1+8=2+7=3+6=4+5 （3）2+9=3+8=4+7=5+6 在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。 例1．把1,2,3,4,5,6这六个数填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和都等于9. 例2．把1,2,3,4,5,6填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和相等，有几个基本解？ 随堂练习1 （1）将1~4这四个数分别填入图中内数的和相等。 (1) (2) （2）把数字1,3,4,5,6分别填在上图三角形3条边上的5个圆圈内，使每条边上3个圆圈内数的和等于9。 例3.把1~12这十二个数，分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内，使每条边上四个圆圈内数的和都等于22，试求出一个基本解。
随堂练习2 将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16. 例4.把1~7这七个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。 例5 .将1~9这九个数，分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。 例6.把1~11这十一个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于22. 随堂练习3. （1）将1~5这五个数分别填入如果中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。 (1) (2) （2）将6~10这五个数分别填入如图中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。
小学数学 数阵图(三).教师版
5-1-3-3.数阵图 教学目标 1.了解数阵图的种类 2.学会一些解决数阵图的解题方法 3.能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨 . 一、数阵图定义及分类： 1.定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 例题精讲 数阵图与数论 【例1】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值． 【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】设顶点分别为A、B、C、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、【解析】 E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1，公差为d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0. 【答案】2种可能 【例2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．
四年级数学上册数阵图(三)讲解
四年级数学上册数阵图（三）讲解 数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目条件灵活解题. 例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等. 分析与解：由上图看出，三组数都包括左.右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等.20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有 5＋19＝7＋17＝11＋13， 于是得到下图的填法.
例2在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行.每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4. 分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b 处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图.
例3将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内. 分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8.2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内.其余数的填法见右上图. 例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等.
分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法. 例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除.
有趣的数阵图(一)
教学内容：有趣的数阵图(一） 教学时间：第一、二课时 教学目的： 1、掌握数阵图的基本特征。 2、按要求填出数阵。 教学重难点：寻找解题突破口。 教学过程： 一、宣布本课学习内容: 二、通过例题学习数阵的知识。 1、例1:将1—6填入右图的６个圆圈内, 使三角形每条边上的三个数的和都等 于S,请你指出S的取值范围。 ①试着独立填一填。 ②如果让你把所有的答案都填出，你能做到吗？ ③讲解:三个角上的三个数最小是1、2、3；最大是４、5、 ６，所以,Ｓ的取值范围是９、10、1１、１2。 ④从９、10、１1、12四个和中选一个,填出数阵。 2、例2：将1—6填入下图的6个圆圈内，要求四条线上 的数字之和都相等。 ⑴当每条线上的和是10时,A是多少？ ⑵当每条线上的和是9时，B是多少? ①观察:这６个数哪一个数最特殊？为什么?
②求Ａ:1～6的和是21,用２1×2-４０＝ ２ ③求B:如右图，用２１-18=３ ④独立填出两个答案。 ⑤小结：观察、找特征。 3、例３：将1—9这9个数字填入下图的9个圆圈内，使 每个三角形和直线上的３ 个数字的和都相等。 ①计算出１～9的和,用45除以3 得15，所以每个和是15。(为 什么? ②找规律：在１—9中，三个数的和为１5的,只有两种情 况:1+９+５和１+8+6。 ③填数，调整。 4、例４:将1—9这9个数字填入下图的９个小三角形中， 使大三角形每条边上的５个小三角形之 和相等,那么这个和的最大值是多少?最 小值是多少? ①观察：找出每个数用几次。 ②如右图，三个阴影三角形上的数字各用了 一次，其它的都用了两次。这三个数最大是7、8、9；最小是1、2、3。所以，和最小是45×2-24=6６;最大是45
第九讲有趣的数阵图(一)
第九讲有趣的数阵图（一） 大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益. 先看例题. 例1 下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？ 分析为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右图）. 经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4. 那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，最好，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3. 这样一来，C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突. 在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，最好设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.
小学数学解题方法之数阵图
小学数学解题方法解题技巧之数阵图 【方阵】 例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。 （长沙地区小学数学竞赛试题） 讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。 （l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。显然，中间一数填“5”。 再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。
例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。 （“新苗杯”小学数学竞赛试题） 讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。所以，能被12整除。十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。每列为（91—7）÷4=21
而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。 三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。 例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。那么，这个和数的最小值是______。 （1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它们的和是65。在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。 设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数。所以，（a＋b）之和至少是7。 故，和数的最小值是24。 【其他数阵】 例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。 已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。