《概率论与数理统计》习题详解 第一章 随机事件和概率

第一章 随机事件和概率

一. 填空题

1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=??=?)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.

)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=- =)(C B A P ??－)(B A P ?= 0.97－0.9 = 0.07

2. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.

解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B

511)()()()()|(210

2621024

=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品

所以B AB B A =?,; }{二件都是合格品=A

3. 随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于

4π的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则

121)),((2==∈a k D Y X P π, k 为比例系数. 所以22a

k π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于

4

π的区域} πππ121)2141(2)),((22211+=+=?=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ?B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.

解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.1

3.01.0

4.0)()()(=-=-=AB P A P B A P .

5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________.

解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B.

由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.

所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.

6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________.

解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3).

则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,

)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++ =1－0.9×0.8×0.7=0.496.

7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________.

解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.

P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.

P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686.

所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.

8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.

P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0)

+ P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0)

= P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0)

+ P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)

=+???21336.04.07.0c +???6.04.07.02233c 3

34.07.0?

++?????2132134.06.07.03.0c c +???32134.07.03.0c 32134.03.07.0???c = 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096

= 0.43624.

9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为

41,31,51, 则此密码被译出的概率_____.

解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P . P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)

= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =5

3413151413141513151413151=??+?-?-?-++.

二．单项选择题.

1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为

(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”

(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销”

解. (D)是答案.

2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是 (A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案.

3. 设A, B 是任意二个事件, 则

(A) P(A ?B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ?B)P(AB)≤P(A)P(B)

(C) P(A －B)P(B －A)≤P(A)P(B)－P(AB) (D)4

1)()(≥--A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B)

=－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB)

=－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB))

=－P(B －A)P(A －B) ≤ 0

所以(B)是答案 .

4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为

(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.

5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则

(A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案.

6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ?B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是

(A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B)

解. )()

()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥== (当B = Ω时等式成立). (B)是答案. 7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+

(B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)

(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)

(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)

解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到

)

()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.

三. 计算题

1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.

解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)

=2794.050100

154995*********=+c c c c c 2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率.

解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}

P(A ) =91

24315310=c c , P(A) = 1－P(A ) = 9167 3. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率:

i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;

ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率;

iii. 碰到北京男生的概率;

iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率;

v. 碰到免修英语的男生的概率.

解. 学生情况: 男生 女生

北京 12 8

免修英语 32 8

总数 80 20

i. P(不是北京|男生) =

20

178068= ii. P(男生|北京学生) =5

32012= iii. P(北京男生) =100

12 iv. P(女生|非北京学生) =80

12 v. P(免修英语男生) =10032 4． 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求:

i. 第二次取出的球都是新球的概率;

ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.

解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是

312339)(c c c B P i i i -=, 312

39)|(c c B A P i i -= )()(1)()|()()(36033937132938231939330923123

023123933

930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=--=

146.048400

7056)201843533656398411()220(12==??+??+??+??= ii. 21

548400

7056)220(20

184)()()|()|(2

333=??==A P B P B A P A B P 5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率.

解. 球的情况: 白球 红球

甲袋 n m

乙袋 N M

假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球}

C = {再从乙袋中任取一球为白球}

P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)n m m M N N m n n M N N +?++++?+++=

111 )

)(1()1(n m M N Nm N n +++++=