高中数学人教版必修4知识点
1.1 ．1 任意角
1．角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：
始边
B
终边
③角的分类：O
顶点
A
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成
“α” ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α=0 °；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边( 端点除外) 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
1.1.2 弧度制（一）
1．定义
我们规定, 长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1 弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad 单位省略．弧度制的性质：
r
①半圆所对的圆心角为;
r
2 r
②整圆所对的圆心角为 2 .
r
③正角的弧度数是一个正数．④负角的弧度数是一个负数．
l ⑤零角的弧度数是零．⑥角α的弧度数的绝对值| α|= .
r 4．角度与弧度之间的转换：
①将角度化为弧度：
n
360 2 ；180 ；0.01745 rad n
1 ；rad
180 180
．
②将弧度化为角度：
180 180n
2 360 ；180 ；1rad ( ) 57.30 57 18 ；n ( ) ．
5．常规写法：
①用弧度数表示角时, 常常把弧度数写成多少π的形式, 不必写成小数．
②弧度与角度不能混
用．6．特殊角的弧度
角
0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
度°°°°°°°°°°°
1
弧 度 0
2
6 4 3
2
3
3 4
5 6
3 2
2
7．弧长公式
l r
l r
弧长等于弧所对应的圆心角 ( 的弧度数) 的绝对值与半径的积．
4-1.2.1 任意角的三角函数（三）
1. 三角函数的定义
2. 诱导公式
sin( 2 k ) sin (k Z) cos(2 k ) cos (k Z) tan(2k
) tan (k Z)
当角的终边上一点 P(x, y) 的坐标满足 表示——三角函数线。 1．有向线段：
2
2
1
x
y
时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义：
设任意角 的顶点在原点 O ，始边与 x 轴非负半轴重合， 终边与单位圆相交与点 P (x, y)， 过P 作x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1,0) 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延
y
y
T
长线交与点 T .
P
P
M
A
o
x
o M
A
x
T
y （Ⅱ）
（Ⅰ）
y
T
M
o
A
x
M A
o
x
P T
P
（Ⅲ）
（Ⅳ）
由四个图看出：
当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段 OM x, M P y ，于是有
sin y y y MP ， cos x x x OM ，tan y MP AT
AT
r 1 r
1
x
OM
OA
我们就分别称有向线段MP ,OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。
2
说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在 x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向
的为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4-1.2.1 任意角的三角函数（1）
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(x, y)，
它与原点的距离为 2 2 2 2
r(r| x | | y|x y 0) ，那么
（1）比值y
r
叫做α的正弦，记作sin ，即sin
y
r
；
（2）比值x
r
叫做α的余弦，记作cos ，即cos
x
r
；
（3）比值y
x
叫做α的正切，记作tan ，即tan y
x
；
（4）比值x
y
叫做α的余切，记作cot ，即cot
x
y
；
说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点P( x, y) 在α的终边上的
位置的改变而改变大小；
③当k (k Z)时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0 ，
2
所以tan y
x
无意义；同理当
k (k Z)时，
x
cot 无意
义；
y
④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y
r
、
x
r
、
y
x
、
x
y
分别是一个确定的实数，
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
2．三角函数的定义域、值域
函数定义域值域
y R [ 1,1]
sin
y cos R [ 1,1]
注意：y tan { | , }
k k Z R
2
(1) 在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.
3
(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几
圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.
(3)sin 是个整体符号，不能认为是“sin ”与“α”的积. 其余五个符号也是这样.
(4) 任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形
的性质，“r ”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函
数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的, 它也适合锐角三角函数的定义. 实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过
程.
(5) 为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐
标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.
3．例题分析
例1．求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函数值）
（1）0 ；（2）；（3）解：（1）因为当0时，x r ，y 0，所以3
2
．
sin 0 0 ，cos0 1，tan 0 0，cot 0 不存在。（2）因为当时，x r ，y 0，所以
sin 0 ，cos 1，tan 0，cot 不存在，
（3）因为当3
2
时，x 0 ，y r ，所以
3
sin 1，
2
3
cos 0
2
，tan
3
2
不存在，
3
cot 0
2
，
例2．已知角α的终边经过点P(2, 3) ，求α的四个函数值。
解：因为x 2, y 3，所以 2 2
r 2 ( 3) 13 ，于是
sin y
r
3 3 13
13 13
；cos
x
r
2 2 13
13 13
；
tan y
x
3
2
；cot
x
y
2
3
．
例3．已知角α的终边过点( a,2 a)( a0) ，求α的四个三角函数值。
解：因为过点(a,2 a)( a 0) ，所以r 5 | a |，x a, y 2a
当a 0 sin
时，y2a 2a 2 5
r 5|a|5a 5
cos
x a
5a
r a
5
5
；tan 2;cot 1 ;sec
5;csc
；
2
当a
y 2a 2a 2 5
0 sin
时，；
r a a 5
5 | | 5
cos x a 5a
r a 5
5
； 1 5
tan 2;cot ;s．ec
5;csc
2
2
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值y
r
对于第一、二象限为正（y 0,r 0），对于第三、四象限为负（y 0,r 0 ）；
4
②余弦值x
r
对于第一、四象限为正（x 0,r 0），对于第二、三象限为负（x 0,r 0）；
③正切值y
x
对于第一、三象限为正（x, y同号），对于第二、四象限为负（x, y异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：
sin( 2k ) sin ，
cos( 2k ) cos ，其中k Z ．
tan( 2k ) tan ，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
4-1.2.2 同角三角函数的基本关系
（一）同角三角函数的基本关系式：
1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）商数关系：
sin
2 con2
tan （2）平方关系：sin 1 con
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如 2 2
sin 4 cos 4 1等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
k
tan cot 1( ,k Z)；
2
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
2 cos 1 sin ，
2 2
sin 1 cos ，cos
s in
tan
等。
总结：
1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，
确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况
不止一种。
2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关
系开平方时，漏掉了负的平方根。
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：
（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；
（2）尽量使分母不含三角函数式；
（3）根式内的三角函数式尽量开出来；
（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，
1．3 诱导公式
1、诱导公式（五）) sin
sin( ) cos cos(
2 2
2、诱导公式（六）) sin
sin( ) cos cos(
2 2
总结为一句话：函数正变余，符号看象限
5
小结：
①三角函数的简化过程图：
任意负角的任意正角的
公式一或三公式一或二或四00~3600 间角
0~3600 间角
00~900 间角
0~900 间角
查表
三角函数三角函数的三角函数的三角函数求值
②三角函数的简化过程口诀：
负化正，正化小，化到锐角就行了.
1.4.1 正弦、余弦函数的图象
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数
（1）函数y=sinx 的图象
第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点O，以O
1 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的
1
交点A起把圆分成n( 这里n=12)等份. 把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预
备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角0, ，
，
6 3 2
, , ，2π的正弦线正弦线（等价于“列
表”）. 把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正
弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.
第三步：连线. 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x∈[0 ，2π] 的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，
每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x∈R的图象.
把角x (x R) 的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦
线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.
（2）余弦函数y=cosx 的图象
根据诱导公式cos x sin( x) , 可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移
2 2
单位即得余弦
6
函数y=cosx 的图象.
y
y=sinx
1
-6 -5 -4 -3 -2 - 2 3 4 5 6
o
-1
x
y
1
y=cosx
-5 -3 -
2 3 4 5 6
-4
-6 x
-2
-1
正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx ，x∈[0 ，2π] 的图象中，五个关键点是：(0,0) ( ,1) ( ,0) (
2 3 ,-1) (2 ,0) 2
余弦函数y=cosx x [0,2 ] 的五个点关键是哪几个？(0,1) ( ,0) ( ,-1) (
2 3 ,0) (2 ,1) 2
1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
1．周期函数定义：对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x) 那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
问题：（1）对于函数y sin x ，x R有sin( 2 ) sin
6 3 6 ，能否说
2
3
是它的周期？
（2）正弦函数y sin x ，x R是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k ，k Z 且k 0）（3）若函数 f (x) 的周期为T ，则kT ，*
k Z 也是f ( x) 的周期吗？为什么？
（是，其原因为： f (x) f (x T) f (x2T) f (x kT ) ）
2、说明：
1 周期函数x 定义域M，则必有x+T M, 且若T>0 则定义域无上界；T<0 则定义域无下界；
2 “每一个值”只要有一个反例，则 f (x) 就不为周期函数（如 f (x 0+t) f (x 0) ）
3 T 往往是多值的（如y=sinx 2 ,
4 , , ,-2 ,-4 , , 都是周期）周期T 中最小的正数叫做
f (x) 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2 （一般称为周期）从图象上可以看出y sin x ，x R；y cos x，x R的最小正周期为 2 ；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（f (x) c 没有最小正周期）
说明：（1）一般结论：函数y A s in( x ) 及函数y A cos( x ) ，x R（其中A,, 为
常数，且 A 0 ，0 ）的周期
2
T ；
（2）若0，如：①y 3cos( x) ；②y sin( 2x) ；③则这三个函数的周期又是什么？
1
y 2sin( x ) ，x R．
2 6
一般结论：函数y Asin( x ) 及函数y Acos( x ) ，x R的周期T 2 | |
7
1.4.2(2) 正弦、余弦函数的性质( 二) 1. 奇偶性
(1) 余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
(2) 正弦函数的图形
2. 单调性
从y＝sinx ，x∈［－
2 ,
3
2
］的图象上可看出：
当x∈［－］时，曲线逐渐上升，sinx 的值由－1 增大到1.
，
2 2
当x∈［
，
2 3
2
］时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1 减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－ 1 增大
2 2
到1；在每一个闭区间［＋2kπ，
2 3
2
＋2kπ］(k ∈Z)上都是减函数，其值从 1 减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2kπ］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－ 1 增加到1；
在每一个闭区间［2kπ，(2k ＋1) π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从 1 减小到－1.
3. 有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx 的对称轴为x= k k ∈Z y=cosx 的对称轴为x=k k ∈Z
2
1.4.3 正切函数的性质与图象
1．正切函数y tan x 的定义域x x k ,k z
|
2
2．正切函数是周期函数
tan tan , ,
x x x R 且x k k z ，
2
∴是y tan x x R,且x k ,k z 的一个周期。
2
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作y tan x ，x
, 的图象
2 2
8
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y tan x x R，且x k k z
2
的图象，称“正切曲线”。
y
3 2 2
O
3
2 2
x
x
（3）正切曲线是由被相互平行的直线x k k Z 所隔开的无穷多支曲线组成的。
2
4．正切函数的性质（1）定义域：x x k , k z
| ；
2
（2）值域：R 观察：当x从小于k k z
2 ，x时，tan x
k
2
当x从大于k k z
2 ，x k
2
时，tan x 。
（3）周期性：T ；
（4）奇偶性：由tan x tanx知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间k k k z
内，函数单调递
增。,
2 2
1.5 函数y=Asin( ωx+φ) 的图象（二）
二、函数y A sin(x)x[0,)(A0,0)
，其中的物理意义：函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
2
T .：T往复振动一次所需的时间，称为“周期”
1
f ：.
单位时间内往返振动的
f 次数，称为“频率”y 2
T 2
37
88
x : 称为“相位”.
1
o x
: x=0 .时的相位，称为“初相”
8
2
9
2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
1、数量与向量的区别：
a
B 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
（终点）向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
A(起点)
2. 向量的表示方法：
①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小―长度称为向量的模，记作| AB |.
3. 有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0 的向量叫零向量，记作0. 0 的方向是任意的. 注意0 与0 的含义与书写区别.
②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
2.1.2 相等向量与共线向量
1、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向．线．段．的．起．点．无．关．．．.
2、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向．线．段．的．起．点．．．无．关．）．.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
10