人教2012版数学第二十三章旋转第8讲旋转和旋转变换(二)

第8讲 旋转和旋转变换（二） 考点·方法·破译 1．能利用旋转性质进行开放探究； 2．能运用类比推理思想进行开放探究； 3．学会在旋转变换中寻找不变几何关系。

经典·考题·赏板 【例１】如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC. （1） 试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论； （2） 将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG,你认为（1）的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。

【解法指导】解：（1）答：AE⊥GC.证明：延长GC交AE于点H.在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC,∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG,∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2. ∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90° ∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90° ∴AE⊥GC

（2）证明：延长AE和GC相交于点H. 在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC,DE=DG. ∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDC=90° ∴∠1=∠2=90°-∠3 ∴△ADE≌△CDG ∴∠5=∠4. 又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90° ∴∠6=∠7. 又∵∠AEB+∠6=90°, ∠AEB=∠CEH ∴∠CEH+∠7=90°,∴∠EHC=90°， ∴AE⊥GC 【变式题组】 1．如图，直角梯形ABC中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，∠BCD的平分线于点E,连接BE. （1）求证：BC=CD （2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG。求证：CD垂直平分EG。 （3）延长BE交CD于点P.求证：P是CD的中点。

【例２】如图1，Rt△ABC≌△Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°。△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE、DF分别交线段AC于点M、K

（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)． ②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)． （2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．

（3）如果MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF的度数和AMMK的值． 【解法指导】（1）① = ② ＞ （2）＞ 证明：作点C关于FD的对称点G， 连接GK，GM，GD， 则CD=GD ，GK = CK，∠GDK=∠CDK， ∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD． ∵ 30°，∴∠CDA=120°， ∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°， ∠ADM+∠CDK =60°． ∴∠ADM=∠GDM，∵DM=DM， ∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM． ∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK． （3）∠CDF=15°，AMMK=23 【变式题组】 2．填空或解答：点B 、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于点F. （1）如图①，若∠BAC=60°，则∠AFB=_____；如图②，若∠BAC=90°，则∠AFB=_____； （2）如图③，若∠BAC=，则∠AFB=_____（用含的式子表示）； （3）将图③中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图④或图⑤，在图④中，∠AFB=与∠的数量关系是______；在图⑤中，∠AFB=与∠的数量关系是______，请你任选其中一个结论证明。

【例３】已知将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图1摆放，点E、A、D、B在一直线上，且D是AB的中点，将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转（0°＜＜90°），在旋转的过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N,分别过M、N作直线AB的垂线垂足为G、H。 （1） 当=30°时，（如图2），求证：AG=DH； （2） 当=60°时，（如图3），（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的结论，并说明理由； （3） 当0°＜＜90°时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论并根据图4说明理由。 【解法指导】本题属于旋转类动态问题，是开放探究题，在旋转变化中，始终有两组三角形全等（或相似）。 （1）证明：∵∠A=∠ADM=30°， ∴MA=MD.又MG⊥AD于点G， ∴AG=AD. ∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B， ∴CB=CD. ∴C与N重叠.又NH⊥DB于点H， ∴DH=DB. ∵AD=DB， ∴AG=DH. (2)解：结论成立. ∵∠ADM=60°， ∴∠NDB=90°-60°=30°. ∴∠MAD=∠NDB. 又AD=DB，∠ADM=∠B=60°， ∴△MAD≌△NDB. ∴MA=ND. ∵MG，NH分别是△MAD，△NDB的对应高， ∴Rt△MAG≌Rt△NDH. ∴AG=DH. (3)解 ：结论成立. 在Rt△AMG中，∠A=30°， ∴∠AMG＝60°＝∠B. 又∠AGM=∠NHB=90°， ∴△AGM∽△NHB.

∴.BHMGNHAG ∵∠MDG=α， ∴∠DMG=90°-α=∠NDH. 又∠MGD=∠DHN=90°， ∴Rt△MGD∽Rt△DHN.

∴NHDGDHMG

∴BHDHDGAG ∴DBDHADAG ∴AG=DH. 【变式题组】 3．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）求证：AF+EF=DE； （2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

【例４】如图①，两个图形（与比2：1），∠BAD=120°，对角线均在轴上，抛物线y= 31x2经过AD中点M．

（1）填空：A点坐标为_____，D点坐标为______； （2）操作：如图②，固定，将绕点顺时针方向旋转α度角（0°＜α＜90°），并延长E交AD于P，延长H交CD于Q． 探究1：在旋转过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出α值；若不存在，说明理由； 探究2：设AP=x，四边形OPDQ面积s，求s与x之间函数关系式，并指出x取值范围．

【解法指导】 （1）A（0，2），D（，0）． （2）探究1：当α=60°时，四边形AFEP是平行四边形． 理由如下： ∵两菱形的位似比为2﹕1，OA=2，OD=，菱形ABCD边长为4，∠BAO=60°

∴菱形EFGH的边长EF=AD=2，∠FEO=60° ∵在旋转过程中EF的长和∠FEO的大小始终不变 ∴当射线OE旋转到经过M点时，P与M重合，AM=AP=2 △AOP为等边三角形，∠APO=∠AOP=60° 那么，∠APO=∠FEO=60°，则EF∥AP 又∵EF=AM=2 ∴当旋转角度α=∠AOP=60°时，EF平行且等于AP ∴α=60°时，四边形AFEP为平行四边形．

探究2：过P点作PR⊥y轴于R，过Q作QT⊥x轴于T， 设TQ=y，

则：PR=AP•sin60°=，

OR=OA﹣AR=2﹣AP•cos60°=2﹣x， OT=OD﹣DT=﹣TQ•tan60°=2﹣y ∵它绕对称中心O旋转时∠POR=∠QOT ∴Rt△POR∽Rt△QOT

∴

∴， 化简得：y= ∴S=S△OPD+S△ODQ=×2（2﹣x）+×2× =2﹣x+． 即S与x的函数关系式为：S=2﹣x+．（0＜x＜4） 【变式题组】 4．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，

6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时OA′、B′C′分别与直线BC相交于P、Q．

（1）四边形OA′B′C′的形状是________矩形，当α=90°时， PQBP的值是________； （2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求PQBP的值； ②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积； （3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使

BP=21BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E，S，四边形8ABCD

则BE的长为（ ）

A．2 B．3 C．3 D．22