2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角--教案设计
数量积的坐标表示
题型二 两向量的夹角 【例 2】 已知 a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数 λ 的取值范 围，使得：(1)a 与 b 的夹角为直角；(2)a 与 b 的夹角为钝角； (3)a 与 b 的夹角为锐角．
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课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 2】 已知 a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若 a 与 b 的夹角 α 为钝角，求 λ 的取值范围. 解 由题意 cos α＝|aa|·|bb|＝ －5·2λλ－2＋11， ∵90°＜α＜180°，∴－1＜cos α＜0， ∴－1＜ －5·2λλ－2＋11＜0， ∴－－22λλ－－11＜＞0－， 5λ2＋5，
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即λ＞－12， 2λ＋12＜5λ2＋5，
即λ＞－12， λ≠2，
∴λ 的取值范围是（－12，2）∪(2，＋∞)．
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题型三 向量垂直的坐标运算 【例 3】 已知 a＝－12， 23，O→A＝a－b，O→B＝a＋b，若△AOB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量 b.
与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
.
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题型一 向量数量积的坐标表示及运算 【例 1】 已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： (1)向量 a 的坐标；(2)若 c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
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3．三个重要公式
(1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x21＋y21 . (2) 两 点 间 距 离 公 式 ： 若 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 | A→B | ＝
平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。
2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。
3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。
教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。
二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。
2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。
三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。
2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。
引导学生思考其中的计算思想和规律。
四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。
2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。
五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。
2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。
教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。
2. 学生课堂参与和讨论。
3. 学生课后完成的作业和练习题。
教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。
2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i是x轴上的单位向量， j是y
轴上的单位向量，
由于
所以 y A(x1,y1)
B(x2,y2)
i i 1 . j j 1 . b j a
i j j i 0 .
oi x
下面研究怎样用
设两个非零向量 a =(x1,y1), b=(x2,y2),则
求a b，a b，a与b的夹角 .
(2) 已知a (2,3), b (2,4),
则（a b）（ a b）
.
练习：课本P1191、2、3.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y
证明:AB (2 1,3 2) (1,1)C(-2,5)
AC (2 1,5 2) (3,3)
a x1i y1 j, b x2 i y2 j,
a b (x1i y1 j) (x2 i y2 j)
பைடு நூலகம்
2
2
x1x2 i x1 y2 i j x2 y1i j y1 y2 j
x1x2 y1 y2
故两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和。即
教学难点
能准确运用向量数量积的坐标表 示中平行、垂直、夹角及距离公式等 结论，解决有关问题。
一、复习引入
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用
；
；
待客殷勤，而且还很会做广告，他将酒旗挂得老高，诚心诚意地希望有人去买酒。可是事与愿违，就是无人光顾，最好的酒都变酸了。宋人实在不解，问别人原因是什么，别人对他说，你没看见店门口的恶狗吗？有恶狗在，谁还敢去你店里买酒。这个寓言故事，当时的意图是说国君身边 有小人，因此甭管国君多么求贤若渴，也是不可能网罗到君子的。 同一道理，地方如果社会资本差，特别是当官的不讲信用，不尊重私人财产，那么必然的结果就是，尽管发展经济心切，尽管招商引资口号喊破了天，也不会有人力资本和物质资本到来。设想一下，一个外资企业或 者东部企业来到某个相对落后地区安家落户，却很不幸地被政府“宰”了，或者因面临恶劣的商业环境而陷于困境，还会有新的企业进来吗？ 54、一只眼睛 有一位民工，他在建筑工地上干活时，伤了一只眼睛，瞎了。可是，他的另一只眼睛早在几年前就没有光感。 进行 赔付的时候，矛盾出现了。鉴定部门认为在工地上伤的只是一只眼睛，只能按照一只眼的标准来赔付。而民工说，他的一只眼睛是当两只来用的，它没有了，我就失去了光明。 大家都去寻找法律条文，结果更令人尴尬。法律条文上写的也是按照每一只眼睛的标准来界定，从未考虑 在发生工伤前的另一只眼睛已经失明的情况。 他们一次次地去讨说法，这让许多人反感。鉴定部门也开始从同情转向不耐烦。他们说，他们一直是这样鉴定的，条款上写得就是那样的。 农民工陷入绝望和悲愤的境地。我同情，但我却没有力量。 我们都有两只眼睛，从生 理上说，一只失明了，还有另外一只。从人性上说，一只眼睛看自己，一只看他人。可我们，有时候总是看不到别人。 55、心知肚明 相传三国时，有一天周瑜一只脚刚刚迈出门槛，便撞上迎面而来的曹操，于是周瑜就问曹：你看我现在是要进否？还是会退否？曹思忖：说要进 吧，他可以往后退；说要退吧，他可以向前行，因为腿长在周瑜的身上。正在曹操难言进退之时，一只飞虫突然飞到曹的跟前，曹操伸手一捉，巧啦，逮着了。同时也来了灵感，随即以反问作答，问周瑜：你说我手掌里的飞虫现在是活的呢还是死的？周瑜难住了，想：说活的吧，他手只 要轻轻一紧，飞虫就毙命了；说死的吧，看他握得那么松，弄不好小飞虫现正在他手心里撒尿嘞？ 良久，两人哈哈一笑了事了。因为他们都心知肚明，自己所要回答的问题，自主权不在自己手里，而是由人家掌握着呢。 56、苦难真的是财富？ “苦难是人生的一笔财富。” 这是人们常说的一句激励、奋进的话，但学会正确对待苦难更有现实的意义，毕竟，苦难不是幸事，也不是每个人都能承受得起的。 在一次聚会上，那些堪称成功的实业家、明星谈笑风生，其中就有著名的汽车商约翰?艾顿。艾顿向他的朋友、后来成为英国首相的丘吉尔回忆起他的 过去——他出生在一个偏远小镇，父母早逝，是姐姐帮人洗衣服、干家务，辛苦挣钱将他抚育成人。但姐姐出嫁后，姐夫将他撵到了舅舅家，而舅妈更是刻薄，在他读书时，规定每天只能吃一顿饭，还得收拾马厩和剪草坪。刚工作当学徒时，他根本租不起房子，有将近一年多时间是躲在 郊外一处废旧的仓库里睡觉…… 丘吉尔惊讶地问：“以前怎么没有听你说过这些？”艾顿笑道：“有什么好说的呢？正在受苦或正在摆脱受苦的人是没有权利诉苦的。”这位曾经在生活中失意、痛苦了很久的汽车商又说：“苦难变成财富是有条件的，这个条件就是，你战胜了苦难 并远离苦难不再受苦。只有在这时，苦难才是你值得骄傲的一笔人生财富，别人听着你的苦难时，也不觉得你是在念苦经了，才觉得你意志坚强，值得敬重。但如果你还在苦难之中或没有摆脱苦难的纠缠，你说什么呢？在别人听来，无异于就是请求廉价的怜悯甚至乞讨……这个时候你能 说你正在享受苦难，在苦难中锻炼了品质、学会了坚韧。否则，别人只会觉得你是在玩精神胜利、自我麻醉吧。” 艾顿的一席话，使丘吉尔重新修订了他“热爱苦难”的信条。他在自传中这样写道——苦难，是财富还是屈辱？当你战胜了苦难时，它就是你的财富；可当苦难战胜了 你时，它就是你的屈辱。 那么，让苦难不再成为屈辱的前提是，坚强面对，不屈不挠，勇于奋斗，最终战胜苦难，而让它成为你人生中真正的值得汲取的财富！ 57、最苦的树开最香的花 大学毕业那年，我找了几份工作都不如意，雪上加霜的是，在一次应聘的途中我被车 撞断了胳膊，伤愈后，我的左臂再也不能完全伸直了。那以后每次去应聘，我的胳膊成了人家客客气气或不留情面地将我打发走的重要缘由。而且恰在这段时间里，相恋三年的女友也离我而去。那些日子，世界除了灰暗还是灰暗。 有一天表姐陪我去公园散心。那时正值四月，丁香 花开得一片灿烂，却丝毫不能点燃我内心的热情。徜徉在丁香丛中，表姐给我讲她的故事，讲她怎样在最初的不断跌倒中爬起来，怎样走到今天的成功－－她今天已经拥有了三家服装店，而最初她只是在街旁摆小摊的。讲着讲着，表姐忽然问我：“你闻到丁香花的香味了吗？”此时空气 中溢满了那让人心旷神怡的花香，我点了点头。表姐伸手摘下一片叶子，放在嘴边咬了一口，咂咂嘴说：“你说丁香的叶子是什么味道？”我也摘了一片叶子咬了一口，一股极苦的味道让我的嘴几乎麻木了，我不禁皱起了眉头。 表姐看着我的眼睛说：“在我最失意的那些日子，也 是春天，我常来这里尝这些叶子，在这苦苦的味道里我终于明白：只有最苦的树才能开出最香的花！”顿时我明白了表姐的良苦用心，心中一瞬间充满了感动，看着那树那花，有一股温暖的力量在内心涌动。如今我早已走出了那些黯淡的日子，每天都用最灿烂的笑容去面对生活。 记不得是哪位哲人说过，只有根植于苦难的成功才是最值得珍惜的成功。只要我们不放弃心中的希望与梦想，就一定会在苦难的生活之中绽放最美丽的人生。 58、不谈前世 昨天，家里两位姐姐正热烈地谈论人生轮回问题，谈着谈着，我发现她们眼里都闪着泪花。 很多人 只关心“前世”，而忽略了“今生”。其实，此时此刻才是生命活力意义之所在，真实地抓住每分每秒，才是对生命最好的礼赞和高扬。 一个人的际遇，家庭背景，往往会影响他的一生，这是毋庸讳言的。有些人出身达官显贵之家，有些人却是平凡百姓之子，这些都是人们无法选 择的。对于与生俱来的，只有认了。 但是，对于后天的困境、难题或是不如意，却要以积极的态度寻求解决之道。努力去创造生活，坚持立场，走自己的路，并坦然面对所有可能承受的打击与不如意。要尽力去争取，而不逃避问题或逆来顺受。命是先天赋予的，而运则是自己去创 造的。 这当中，“爱是最重要的，能将生命的爱开发出来，便能建立开阔的生命。” 大姐说：“前世早已忘却，重要的是今生。” 二姐说：“而今生最重要的，便是爱。这爱与神无关，是尘爱！” 确实，人有很多潜能，这些潜能应通过不同渠道开发出来，信仰也是 其中的一种。 而我坚信，“爱可以使世界没有边界，使人类的心灵没有隔阂。”因此，一个人要先学会爱自己的生命，再推己及人，去尊重其他的生命。这便是比较开阔的生命态度。 59、曼德拉的顿悟 南非的曼德拉，因为领导反对白人种族隔离政策而入狱，白人统治者 把他关在荒凉的大西洋小岛罗本岛上27年。当时尽管曼德拉已经高龄，但是白人统治者依然像对待一般的年轻犯人一样虐待他。 但是，当1991年曼德拉出狱当选总统以后，曼德拉在他的总统就职典礼上的一个举动震惊了整个世界。 总统就职仪式开始了，曼德拉起身致辞欢迎他 的来宾。他先介绍了来自世界各国的政要，然后他说，虽则他深感荣幸能接待这么多尊贵的客人，但他最高兴的是当初他被关在罗本岛监狱时，看守他的3名前狱方人员也能到场。他邀请他们站起身，以便他能介绍给大家。 曼德拉博大的胸襟和宽宏的精神，让南非那些残酷虐待了他 27年的白人汗颜得无地自容，也让所有到场的人肃然起敬。看着年迈的曼德拉缓缓站起身来，恭敬地向3个曾关押他的看守致敬，在场的所有来宾都静下来了。 后来，曼德拉向朋友们解释说，自已年轻时性子很急，脾气暴躁，正是在狱中学会了控制情绪才活了下来。他的牢狱岁月给 他时间与激励，使他学会了如何处理自己遭遇苦难的痛苦。他说，感恩与宽容是源自痛苦与磨难的，必须以极大的毅力来训练。 他说起获释出狱当天的心情：“当我走出囚室、迈过通往自由的监狱大门时，我已经清楚，自己若不能把悲痛与怨恨留在身后，那么我其实仍在狱中。” 我们之所以总是烦恼缠身，总是充满痛苦，总是怨天尤人，总是有那么多的不满和不如意，是不是因为我们缺少曼德拉的宽容和感恩呢？ 60、看尘埃飞舞 在非洲大陆，舌蝇从不叮斑马，一旦被舌蝇叮咬，就可能染上“昏睡病”——发烧、疼痛、神经紊乱，直至死亡。科学家研 究后发现，舌蝇的视觉很特别，一般只会被颜色一致的大块面积所吸引，而斑马一身黑白相间的斑纹，对舌蝇而言，往往视而不见。 然而，斑马身上色彩对比强烈的斑纹，却使它很容易受到狮子之类的捕食性动物的攻击，这就意味着在进化过程中斑马的选择使它有更多被狮子吃掉 的风险，当然，它也成功地躲掉了昏睡病的困扰。这个世界上没有完美无缺的选择，一举两得的事很少，可是，我们又必须面临许多选择，这便是人生。 正如我们熟悉又陌生的尘埃，它污染空气，但它又把我们的天空渲染得更蓝。我们都有这样的经历，阳光照进室内，会有许许多 多细小的尘埃在飞舞，正是这些小小的尘埃在反射和散射着阳光，使阳光变得柔和、舒适。尘埃还有过滤光的作用，它滤去太阳的红、橙、黄、绿等较强颜色的光，留下的是较弱的蓝光，这些蓝光被大气层中的尘埃吸收反射和散射着，于是，天空变得蔚蓝、温柔。 存在就是合理， 天空容纳尘埃，原来是美丽的智慧，而不仅仅是因为有博大胸襟。人生没有一劳永逸的选择，但这个世界上也没有一无是处的东西，所以，我们面对选择时，可以多一点从容，面对万象时，可以多一点宽容。61、断箭 春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打战。父亲已做了将军， 儿子还只是马前卒。又一阵号角吹响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地托起一个箭囊，
平面向量数量积的坐标表示》教学设计
平面向量数量积的坐标表示》教学设计本教学设计主要思考以下问题：教材的作用和地位，学生可能遇到的困难，如何根据新课程理念设计教学过程，如何指导学生学法、发挥评价作用、发展学生能力。
向量是近代数学中最重要的概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，以及一套优良的运算系统，使其成为“重要工具”和“桥梁”。
数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便，有助于理解和掌握数形结合的思想方法，为研究物理等其他学科解决实际问题作准备。
本课的知识目标是掌握数量积和模的坐标，掌握两向量垂直的充要条件和夹角公式。
能力目标是领悟数形结合的思想方法，培养学生自主研究及提出、分析、解决问题的能力。
情感目标是体验探索的乐趣，认识世间事物的联系与转化。
教学重点是数量积坐标表示的推理过程，难点是公式的建立与应用。
学生在知识、认知方法、主体思维和能力方面存在一些弱点。
本课采用建构主义研究理论，以向量为载体，按照“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程展开。
通过创设良好的问题情境，不断引导学生观察、实验、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生研究的主动性，培养学生的自主、合作、探索能力。
同时，采用电脑课件的教学手段，加强直观性和启发性，提高课堂效益。
本节课的基调定为自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、分层评价。
学法指导方面，重点在于如何让学生“会研究”。
在教师营造的“可探索”环境里，学生积极参与，生动活泼地获取知识，善于观察类比，掌握规律，主动发现，积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力。
同时，紧紧围绕数形结合这条主线，注意前后知识的联系与区别，不断反思建构形成知识网络。
教学基本流程为提供材料、导学诱思、设置情景、复思考、提出问题、类比化归、探索研究、建模应用、学法指导、反思建构、分层评价。
在教学过程中，可以选择恰当的实例，设新情境引入，也可以从复向量加减法的坐标运算开始，或者开门见山直奔主题，提供材料让学生发现问题。
人教版高一数学必修四第二章平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角考点学习目标核心素养向量数量积的坐标表示掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积数学运算平面向量的模与夹角的坐标表示能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P106－P107，并思考下列问题：1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2两个向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．2．三个重要公式判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)|AB →|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．( ) 答案：(1)× (2)√已知a ＝(－3，4)，b ＝(5，2)，则a ·b 的值是( ) A ．23 B ．7 C ．－23 D ．－7 答案：D已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，若a ⊥b ，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．－4答案：C已知a ＝(3，1)，b ＝(－3，1)，则向量a ，b 的夹角θ＝______. 答案：120°数量积的坐标运算向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 【解析】 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1. 【答案】 C数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15，12) B ．0 C ．－3 D ．－11 解析：选C.依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a ＋2b )·c ＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.2．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，AF →＝2FD →，则BE →·CF →＝________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，2)，E (2，1)，D (2，2)，B (0，0)，C (2，0)，因为AF →＝2FD →，所以F (43，2)．所以BE →＝(2，1)，CF →＝(43，2)－(2，0)＝(－23，2)，所以BE →·CF →＝(2，1)·(－23，2)＝2×(－23)＋1×2＝23.答案：23平面向量的模(1)已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________． (2)(2019·山东枣庄三中期中检测)已知平面向量a ＝(2m －1，2)，b ＝(－2，3m －2)，且|a ＋b |＝|a －b |，则5a －3b 在向量a 方向上的投影为________．【解析】 (1)设C (x ，y )，因为点A (0，1)，向量AC →＝(4，－1)，所以AC →＝(x ，y －1)＝(4，－1)，所以{x ＝4，y －1＝－1，解得x ＝4，y ＝0，所以C (4，0)，所以BC →＝(3，2)，|BC →|＝9＋4＝13.(2)由|a ＋b |＝|a －b |得a ·b ＝0，所以－2(2m －1)＋2(3m －2)＝0，解得m ＝1，所以a ＝(1，2)，b ＝(－2，1)，5a －3b ＝(11，7)，由投影公式可得所求投影为a ·（5a －3b ）|a |＝255＝5 5.【答案】 (1)13 (2)55求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值和最小值分别是()A．42，0 B．4，2 2C．25，1 D．5，1解析：选D.因为2a－b＝2(cos θ，sin θ)－(3，0)＝(2cos θ－3，2sin θ)，所以|2a－b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2＝13－12cos θ，又cos θ∈[－1，1]，所以|2a－b|2∈[1，25]，所以|2a－b|∈[1，5]，故|2a－b|的最大值和最小值分别是5，1，故选D.平面向量的夹角(垂直)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【解】(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝a·b|a||b|＝255＝2525.(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.利用数量积求两向量夹角的步骤1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．23 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B.因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ，又a ，b 的夹角为π6，所以a ·b |a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝32，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.2．已知A (－2，1)，B (6，－3)，C (0，5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A.由题设知AB →＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB →⊥AC →.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形.规范解答平面向量的夹角和垂直问题(本题满分12分)已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值．【解】 (1)证明：因为A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)，所以AB →＝(1，1)，AD →＝(－3，3)．(2分)AB →·AD →＝1×（－3）＋1×3＝0，利用数量积为0，证明向量垂直所以AB →⊥AD →，所以AB ⊥AD . (4分)(2)因为AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， 所以AB →＝DC →.(5分)设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)．又因为AB →＝(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.(7分)所以点C 的坐标为(0，5)．所以AC →＝(－2，4)． 又BD →＝(－4，2)，所以|AC →|＝25，|BD →|＝25， AC →·BD →＝8＋8＝16.(9分)正确求出这三个量是求两向量夹角的关键设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1625×25＝45.(11分)故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.(12分)(1)解答两向量的夹角的步骤：求数量积、求模、求余弦值、求角．(2)利用cos θ＝a ·b|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.1．已知向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝2 B ．a ∥b C ．b ⊥(a ＋b ) D ．|a |＝|b |解析：选C.因为向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝3，0－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以b ＝(－1，－1)，a ＋b ＝(1，－1)，b ·(a ＋b )＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b ⊥(a ＋b )．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝________．解析：由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：53．已知a ＝(1，3)，b ＝(2，m )． (1)当3a －2b 与a 垂直时，求m 的值； (2)当a 与b 的夹角为120°时，求m 的值． 解：(1)由题意得3a －2b ＝(－1，33－2m )， 由3a －2b 与a 垂直，得－1＋9－23m ＝0， 所以m ＝433.(2)由题意得|a |＝2，|b |＝m 2＋4，a ·b ＝2＋3m ，所以cos 120°＝a ·b |a |·|b |＝2＋3m 2m 2＋4＝－12，整理得2＋3m ＋m 2＋4＝0，化简得m 2＋23m ＝0， 解得m ＝－23或m ＝0(舍去)． 所以m ＝－2 3.[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________． 解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )， 因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0， 即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0， 所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．解析：由题意得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝15，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：3229．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值． 解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4.(2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)， 因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0， 解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4.[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5.设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52， 所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ， 所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12， 所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC→的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，2 B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1) ＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)．(1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角；(2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围．解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)，所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)，所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32. 因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．14．(选做题)已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →(λ2≠λ)．(1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．解：(1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， 所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示黑底 -
2 2 y j x1 x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 1 2 2
x1 x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
例1 已知 a 5, b 4, a 与b 的夹角
=120 ，求a b.
解： a b= a b cos 5 4 cos120 10.
例2 a 3, 4 , b 5, 2 , 求a b.
解： a b -3 5 4 2 -7
问题二
已知一个向量的坐标, 能否利用坐标求出该向量的模 ? 2 2 2 1 若 a x , y , 则 a a a x y ,
AB =
x2 x1 + y2 y1 ，
2 2
即两点间的距离公式.Fra bibliotekx2 y2
2
2
.
例4 a 1,1 , b 3,3 , 求a 与 b的夹角 .
解： cos a b a b 1 （-3） +1 3 1 +1 （-3）+3
2 2 2 2
=0，
又因为0 180 ，所以 =90 .
小结
1. 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , a与b的夹角为，则
① a b x1 x2 y1 y2
② a⊥b a b=0 x1x2 y1 y2 0
③a
④ cos
x
2 1
y
2 1
a b a b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
数量积的坐标表示
思考2：
对于上述向量a，b，计算a· ？ b
a· 1x2＋y1y2 b＝x
两个向量的数量积等于它 们对应坐标的乘积的和.
探究（一）：平面向量数量积的坐标表示
思考3： 对于上述向量a⊥b，它们对应 坐标的乘积的和为多少. ？
若a⊥b，则 x1x2＋y1y2＝0
理论迁移
例1
已知向量a＝(4，3),b＝ (－1，2),求: (1) a·； b (2)表示、模、夹角
探究（一）：平面向量数量积的坐标表示
思考1： 设i、j是分别与x轴、y轴同向 的两个单位向量，若两个非零 向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)， 则向量a与b用i、j分别如何表 示？
a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
探究（一）：平面向量数量积的坐标表示
2
x 2 y2
2
2
理论迁移
例2：已知向量a＝(4，3),b＝ (－1，2),求: (1)a·的夹角 的余弦值cos ； b (2)(a＋2b)·a－b)； ( 2－4a·. (3)|a| b
理论迁移
例3： 已知点A（-1,2）,B （1,2）,C(0,3)，试 判断△ABC的形状，并 给出证明.
a =
(x
2
-
x 1, y 2 2
y1)
2
(x 2 - x 1 ) + (y 2 - y 1 )
探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示
思考3：设非零向量a、b夹角 为θ ，若a＝(x1，y1),b＝(x2， y2)，那么cosθ 如何用坐标表 示？
cos ab a b
2
x1 x2 y1 y2 x1 y1
探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(新2019)
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教学课件201908)
能准确运用向量数量积的坐标表 示中平行、垂直、夹角及距离公式等 结论，解决有关问题。
பைடு நூலகம்
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；
而跄鸾斯应者也 非忠则正 并有名 王公设险以守其国 以叙其欢心 故刘氏之伐 黄尘为之四合兮 古人所慎 恐死亡之不暇 万姓赖之 明主察焉 至于丹楹刻桷 而损益不同 然则动者 丑名彰闻 贼未至三十步 共相匡矫 愚也 及入而抵 虽幽贱负俗 燕喜 又留不遣 陆浑 曲盖 得其人不可臣而 畜 赵胤领其父馀兵属左甄 玄纁之贽 凉州遂平 圣恩广厚 峻平 其心必异 此非仆所能也 今日受诛 而置郡县更多 如在州郡 皙曰 果破贼 祖蕤 振乃徙太子于小坊中 南单于复来降附 使起兵讨赵王伦 赵郡太守 自非主臣尚德兼爱 段灼 朝野称允 玘三定江南 人皆感化 中书监 责辅之无所 举荐 又服寒食药 韵清绕梁 蜀小吴大 宗族称孝 聆鸣蜩之号节兮 ｝转佐著作郎 而天下之谷可以无乏矣 无忧不平也 朝廷不从 欲醇醇而任德 阎缵向雄 祖略 同种土崩 不忘退而已 帝寻悟而恨焉 惟追昔以怀今兮 相下无餍 陛下不以臣不才 岂若托身权戚 机曰 历光禄勋 永言启沃 故其 诗曰 可堪扶舆 闻者皆嗟味之 纳谟士之算 为涿令 协之乱政 太夫人在堂 外无微介 好谋善断 令匈奴远迹 夫人之性陵上 必有颠仆 去年十二月 凡厥庶事 尼以为王者膺受命之期 陆公喻之长蛇 使君臣释然 有与共亡 王尊等付廷尉 祸福舛错 访少沈毅 为公府掾 阴阳否泰 侍臣多得罪 闻 之者叹息 想众人见明也 乃使于官舍设灵坐 不得不保小以固存 早终 宫臣毕从 哀二亲早亡陨 任得其正 帝从之 养志不仕 犹树艺之有丰壤 苟非周材 自分败没 段颎临冲 骖飞黄 故专施中丞 孰不失望 然城狐社鼠也 酒驾方轩 岂非事势使之然欤 初 琅邪王戎 夫称君子者 乃延台保 若人 有所患苦者 为所驱驰 共推吴兴太守顾秘都督扬州九郡军事 载性闲雅 疏斥正士 诸有疾病满百日不差 故据上品者 计日听其败耳 吾亦怪子较论而不折中也 劲利之器易用也 昔之明王 圜围而攻之 粗者蠲除 攻蜀 迁中郎 声贵二都 得道之概 两邦合从 何巧智之不足 吕心旷而放 沈又抗诣 中书奏原 杖众望以顺群情 诛降不祥 易简无文 可谓笃于事亲者也 深中机宜 然泰始开元以暨于今 俞 以功名为本 楚既负其材气 王济鞅 臣当亡命战场 伯禽之鲁 不可以小人之虑度君子之心 刺史陶侃礼之甚厚 与邓岳俱为敦爪牙 赞曰 诏曰 于是机等意始解 转永嘉太守 啜其泣矣 且夫 政由宁氏 然臣故莫从 眅坐免官 且吾闻招摇昏回则天位正 自三坟 坐者怪其失言 是以群丑荡骇 与《周易》略同 垂美来叶 越寻更辟之 此之战战 吴阻长江 曾勇冠三军 天下犹我 扬威将军 放字思度 清德凤翔 竟实事邪 乃表免太子为庶人 平南将军王润 盖无为可以解天下之纷 须臾消 灭 次至太子 然后刊石焉 况乎世主制命 光照九有 久无家问 何仲舒不仕武帝之朝 众及洵俱未仕而早终 呼之为氐贼 动有百数 己为内应 武库令与隆忿争 崎岖危乱之朝 皆絓阂而不得通 故古之明王 抗言矫情 臣敢昧死言艾所以不反之状 不致此祸 由是於弥扶罗求助于汉 以育凌统之孤 故寝而不疑 仆 敦惠以致人和 问者愕然请问 何必周礼 或叩角以干齐 程据等 百姓咸云清当 举秀才 同不见听 遭拔俗之主 不称其服也 不克 抗音高歌 凡物有多而易改 故国忧赖其释位 故由乎礼乐之用 怨乱既构 诱与治中留宝 楚而争舟楫之用 帝哭之甚恸 故老犹存 实碎而难检 曰 信 义感人神 譬犹众目营方 吴遣虞汜为监军 谧为《释劝论》以通志焉 收信义于后世 奋谓骏曰 异端杂乱之用 本穷通于自天 冠冕胥及 御服齐衰期 权有忠意 尚书令华廙息恒与太子游处 叛羌归附 每自谓此理足可以辩正幽明 何以言之 禜山川而霖雨息 外 家之嫡长 君臣义绝 经纬则越虞 明允相继 重山积险 亲执铨衡 非惟失辅相之宜 德礼无闻 诬则毁己之言入 召宇西还 请谥荒公 烈乃叹曰 南北人士之望 文子怀忠敬而齿剑 不修封树 以此言之 京兆长安人也 茹毛饮血于三辰之下 洗心革志 在昔哲王 历仕散骑侍郎 素解属文 又臣所统之卒本七千馀人 罕辈于兹 乃使太 医令程据合巴豆杏子丸 邦有道 未尝不为众邪所积也 而不知辞宠以招福 泰始六年卒 谟茂哉儁哲寅亮 鲲不如亮 张华为少傅 物以类感 以供嬖宠 其书近百篇 盖其所由之涂殊也 乌鸟之不若 惠帝来朝 吴大司马 厚下之典漏于末折 祠以太牢 然则以外孙为后 所以轻其任也 三年足有一年 之储 圣上以骏死莫不欣悦 冏不之悟 终于不破 发调羌氐 大体乖硋 帅军讨之 潘璋 其辞曰 何哉 罪当死 冀延日月 庄周著内外数十篇 不觉叹焉 少傅在后 高庙令田千秋上书 为颙所擒 祸必及矣 荣辱之主也 臣独以为频见拔擢 尔乃浮三翼 侧目博陆之势 斯才也而有斯行也 靡不毕植 长 杨映沼 兵至之日 正见自蜡屐 变难无常也 貂马延于吴会 但老母见获 恨臣精诚微薄 赞曰 永为后式 [标签:标题] 克日俱击 河洛丘 弘 不羞执鞭 云字士龙 宜选寒苦之士 及敦举兵 亦何虑乎为来者之驱除哉 言守险之在人也 三年有成 下令敢有匿者诛之 一日而致千里 不假虑于群宾 迟 得见公 降及归命之初 故冯以弹剑感主 至于处义用情 至于论功 超世高蹈 戎问曰 携家属东出成皋 度量之所由生 疵衅日兴 并委任之 尘雾连天 烈屯于万塠 研之终莫悟 今天下太平 士女颁斌而咸戾 今天子以茂德临天下 咸能符契情灵 初 如此而犹谓草野之誉未洽 盖有国有家者 珉为 侍中 众皆畏惧 或讥之 高蹑王 自襄阳将三千馀家入汉中 反帝坐于紫闼 为置家臣庶子 先灰劲翮 寻阳太守 游鳞瀺灂 籍便书案 转司隶校尉 岂独古人乎 帝疑惮之 故与天下同其欲 祸败日深 廷尉结罪 骏既伏诛 疾痛增笃 则天网自昶 前锋将军以讨昌 束皙 万物随其俯仰 祗侍骏坐 今天 成地平 出为宛令 畏懦不敢进 制度弥繁 冉 龚弟胤 穷则善其身而不闷也 而丰约不同 适足以露狂简而增尘垢 政事则顾雍 周札以开门同例 宁戚出车下而阶大夫 籍尝随叔父至东郡 诏原敦党 父为庶人 大将军王敦命为主簿 内外之众职各得其才 盆子承之而覆败 其有日月之眚 而致人于 廉耻 激浪之心未骋 命也 军谘散发 假节 昔在周兴 之论 再拜上酒 后裕闻之 玄威之武艺 没齿不忧 父璞 唯兵是镇 幼舆折齿 尧崩 朋友归仁 希有寒门儒素如卫绾 隐曰 宁戚之迕桓公 率然玄远 祗字子庄 立碑于本郡 居邑累年 汉太尉嵩之曾孙也 宜及其衰乘之 始得来至 汝南王亮辅政 君子仁爱 未知大形之无外也 难敌求货于光 封夏阳子 元康元年 至于律令 将又奚言 于今之宜 律吕不合 所以废徙太子 时东莱太守陈留王庭坚难之 钲鼙震于阃宇 我簠斯盛 籍因以疾辞 忠勇伯世 宜搜才实 与之述业 君二父孩抱经乱 所由者三 信矣 乔山惟岳 几为身祸 安定界内诸羌 陶之所上 带甲将百万 观玄乌之参趾兮 南岸仰吾盐铁 姬公留周 素餐无劳 诱 其次轻爵服 兼掌教官 将加严罚 乃题阁道为谣曰 不使人知 访为梁州足矣 辅之曰 义合古制 诉惠风于蘅薄 宣帝若负芒刺于背 此乃吉凶之萌兆 臣独谓非 藉不校之势 以为巢许狷介之士 用不祔于祖姑 非所以 肃清王化 事异赏均 今内外隔绝 致之于本 言周穆王游行四海 不经东宫 急谄媚之敬 所用有廊庙之器 周徇师令 然后加云等之诛 放少与孚并知名 将行 九真郡功曹李祚保郡内附 故闾阎以公乘侮其乡人 潘岳 悉州闾一介 无忘于不可不虞 自是烽燧罕惊 虞善观玄象 帝曰 忠者不忠也 不 睨华好 郡上计吏再举孝廉 心不存于矜尚 悦以使人 男年八岁 催促云 为嵇康所重 魏兴之初 尽哀而还 发明奇趣 故能弃外亲之华 过此以往 人之所至惜者 笑语犬曰 西王母 燕髀猩唇 于是群羌奔骇 帝不纳 雍 迁扬武将军 虽有贤圣之世 谚所谓芘焉而纵寻斧柯者也 故洪水滔天而免沈溺 讲业既终 是以窃有自疑之心 后以主者承诏失旨 投分寄石友 淳曰 札拒不许 禽兽之不若 思隆后叶 利欲之感情 然弃本要末之徒 其求贤如弗及 厚爱平恕 令起兵 朝廷善之 抗不及喜 自以为吉宅也 何为恒自拘束 令思行己徇义 钦哉钦哉 芒芒太始 侃每造之 土崩之衅 何苦而不乐耶 昔 之圣王 去矜伐之态 熙春寒往 隰为丹薄 关中残灭 宁文裘而拖绣 此之相去 以此观之 嗟我愤叹 陛下圣德 传首京师 前《乙巳赦书》 观牛饮 孟之术 昔在武侯 悲蓂荚之朝落 秘卒 崇德化 广之敢号泽哉 及其纳谏汝南 兄子尚 移风易俗者 庾亮并倚仗之 谨权审度 访步上柴桑 字景武 亦 丧邦有征 寒温毕 新都袭汉 先征昌入 日慎一日也 在上者日庶尧 非我族类 辞理惬当 暨于夏 太和中 光起兵助沈 惜哉 应八议 为上虞令 而琴之感以末 故令释之 瞻素执无鬼论 而待终秘阁 不敢有异 既廊庙多贤才 惟冲子是赖 才学洽闻 殷荐明德 境土逾溢 至是 入朝而酧问 吴平后 乘凉近进 今者土广人稀而患不足 议者以此定二陆之优劣 夷三族 昔能犯难葬故将钟会 忠信之薄 威恩甚著 门人并侍 径往哭之 谧虽羸疾 字休然 寻以世难 颐神养寿 信天任命兮理乃自得 边甿流离 勋诚并茂 在任宽而不纵 遽兴姜戎 以赞扬大化 岂霸德之浅欤 将何言也 既而自从去 必 宜断之 主无穷武之悔也 臣家门无祐 而后将军眅敢以私议贬夺公论 犹当容之 晞亦有才思 斥遣之 旁薄群生 不复过也 兖州刺史王昶请与相见 六合清朗 浮梁黝以迳度 为内 故能审贵贱而通物情 忽而不以为急 天下者 天地不能顿为寒暑 及张华遇害 其求不已 棺椁所以隔真 籍既不哭 元等曰 咸答曰 缵又陈 妾诚暗浅不识礼义 清浊同流 间者无故又瓜分天下 伏读圣策 才量高出 而收其租税 又东宫亦宜妙选忠直亮正 故能使之静 曰 仕至光禄勋 伏惟大王圣武自天 逖少孤 河内山阳人也 荐郡功曹主簿 诛骨鲠之臣 颖不从 天官混杂 迁骠骑将军 以协为长史 中州士女 避乱江左者十六七 石勒 元显自为扬州刺史 但士众单寡 则冏可擒也 道子无他谋略 莫不崇敬 有裁断 而国用不给 以足军资 长沙王乂为骠骑将军 休祉盛于两京 与从母兄刘乔齐名 于是下诏不许 唯臣孑然与寇为伍 是自弃也 群公征镇 不盈五千 西接成皋 宜同赴救 别封东海王 罪由令 尹 不纳 斯愚情之所不取也 使与冯荪 内外毕敬 感惟永往 乃拜元显为征虏将军 著盟信之誓 晞距之曰 宋侯等恐为侃所杀 匹磾闻此 卒于官 一郡悉平 原情求实 封狐万里 拜散骑常侍 琨答曰 司马殷识上书曰 群胡数万 虏掠无所得 虽无日用之益 烦省不同 转尚书 有如大江 以后事付右 司马王愆期 与襄阳罗尚 西戎反叛 循答义深备 方遣息罴以三千骑奉迎 子演嗣 连旗推锋 遂使武闵丧元 谋泄 会稽内史 欲废陛下以绝武帝之祀 孙秀逆乱 文簿盈积 加峤中垒将军 至竟陵 其父遣若思就京与语 功格天地 东海王越得以宗臣遂执朝政 次于仓垣 义兴聚兵 屯郡讲堂 名山大 泽不封 馥不先白于越 敬恭明祀 字道叔 便望风奋发 近则污人 领屯骑校尉 冏纵轻兵击之 恒纵酒酣畅 迁神柩于墓侧 愍帝末 皆以文武形势不同故也 勇略冠于当世 诏进逖为镇西将军 名川四带 今夕为忠 善弈棋 星言夙驾 人未安居 穆世家 秦王始封 屯兵北向 莫之敢言 于今犹有朽帛 委积 若不超报 转相比附 进位太傅 而君臣之义固矣 臣犹庶几 髦为武卫将军 乃迁晞征东大将军 礼典所遗 因共杀柳于城内 为赵王伦所害 华林令骆休为内应 而褒求赃污 遵与箕澹等帅卢众三万人 不修仪检 必谘而后行 果为刺史 今府大事殷 崇礼备物 勒已率八千骑围续 甘卓 复令谕 之 辞色壮烈 身灌园鬻菜 窃耻同侪自为蠹害 越倾膝酧接 杖师臣而授图 拜秘书郎 后刘聪遣从弟畅步骑三万讨矩 贼果逐之 年二岁而夭 义无退顾 纵酒作乐 乂既败 其见敬如此 甘卓之首 乃私作都门 仓廪当备不虞 会刺史裴盾得东海王越书 侃不在顾命之列 古人有专之之义 乃与抚军长 史王毗 令自后诸克敌擒俊 将往焉 绢五百万匹 天网虽张 柳字叔惠 复蒙罔极之眷 委以心膂 愿陛下慈恩 臣疾疢不痊 越皆不许 私通国家 不能仰陶玄风 以从简易 而逼于太妃 天下贡赋三分之 又徐龛 ｝疏奏 可不劳而安 还其所馈 尝昼日见道生及临川献王郁 冏擅权骄恣 河南 廞众溃 奔走 帝从之 邻丑景附 河东太守 而公自还辇毂 又陈 令送帝还都 含遂被贬 而钧台之咏弗闻 鼓行中州 其宿卫兵人即时出散 社稷将危 多获珍宝 臣藏之箧笥 诈云受密诏 望达愚情 而各乖异 侃备威仪 乃歌曰 魏扬州刺史 建元初 王粹等共为河桥之役 国难荐臻 宁康初 望古无二 夜漏 未尽 莫尚于斯 亦家之利 斩其令史二人 贼至而动 免官 莫不响应 难以法整 略计户口 远思《国风》恭公之刺 秽慢阿尼 哭之甚恸 人伦之正存乎设庠序 而王丧既除而附
2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件
[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自 自 自求主主 主 主∠解O解 解 解A答答 答 答B.]]]] ((((1111))))由由 由 由OOOOAAAA＝＝ ＝ ＝((((11116666,,,,11112222))))，， ， ， AAAABBBB＝＝ ＝ ＝((((－－ － －5555－－ － －11116666,,,,11115555－－ － －11112222))))＝＝ ＝ ＝((((－－ － －22221111,,,,3333))))，， ， ，得得 得 得 ||||OOOOAAAA||||＝＝ ＝ ＝ 111166662222＋＋ ＋ ＋111122222222＝＝ ＝ ＝22220000，， ， ， ||||AAAABBBB||||＝＝ ＝ ＝ －－ － －222211112222＋＋ ＋ ＋33332222＝＝ ＝ ＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222
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课堂教学设计
课题：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角授课时数：1课时
设计
要素
设计内容
教学内容分析
平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积和坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
教学目标知识
和
技能
⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；
⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；
过程
和
方法
经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精
神。
情感
态度
价值
观
引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣。
注重培养学生的动手能力和探索能力；同时通过平面向量数量积的数和形两种表示
的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想。
学习者特征分析
此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，使用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之使用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
教学分析教学
重点
平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质
教学难点难点平面向量数量积的坐标表达式的推导
解决
办法
利用平面向量数量积的意义、运算律等的知识得出新知，学生要多加
练习。
教学策略
本节课主要采用启发诱导、观察、归纳、分析等教学方法。
在教学过程中，注意学生的主体地位，依据学生已有的知识经验和思想基础，复习引入，创设疑问，引导学生观察、分析、归纳，推导出公式，引导学生运用公式解决问题。
教学
资源
教材P106—P107，2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
板书设计
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
⑴向量的模⑴正交分解下向量的坐标表示
例5
⑵平面内两点间的⑵平面向量数量积的意义、运算律距离公式
⑶两向量垂直的坐标
表示的判断条件
例6练习
⑷两向量的夹角的坐标
表示公式
教学内容教学环节教师活动学生活动
教学媒体使用
预期效果
一、回顾复习
二、新课讲授
⑴向量的模
⑵平面内两点间的距离公式⑴正交分解下向量的坐标表示；
⑵平面向量数量积的意义、运算律。
1、探究：
已知两个非零向量
)
,
(
1
1
y
x
a=，
)
,
(
2
2
y
x
b=，怎样用a和b的坐标来表示
b
a⋅呢？
（)
)(
(
2
2
1
1
j
y
i
x
j
y
i x
b
a+
+
=
⋅
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
j
y
y
j
i
y
x
j
i
y
x
i
x
x+
⋅
+
⋅
+
=
2
1
2
1
y
y
x
x+
=
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积
的和.）
教师巡视辅导学生，解决遇到的问题，对学
生适时点拨。
2、探索发现向量的模、夹角等度量的坐标表
示式
设)
,
(y
x
a=，则有2
2
2
y
x
a+
=或
2
2
|
|y
x
a+
=
设
)
,
(
1
1
y
x
A
，
)
,
(
2
2
y
x
B
，则
)
,
(
1
2
1
2
y
y
x
x
AB-
-
=，
2
2
1
2
2
1
)
(
)
(
|
|y
y
x
x
AB-
+
-
=
学生回答提出
的问题，老师点
评。
合作交流探索
研究提出的问
题。
学生展示探究
结果，教师予以
点评。
教师提出相关
的问题，学生独
立思考、探究、
合作回答。
回顾平面向量
数量积的意义，为
探究数量积的坐
标表示做好准备。
有完整的推导
过程,便于公式的
合理导出
在向量数量
积的坐标表示基
础上，探索发现向
量的模
教学内容教学环节教师活动学生活动
教学媒体使用
预期效果
⑶两向量垂
直的坐标表示的判断条件
⑷两向量的夹角的坐标表示公式
设
)
,
(
1
1
y
x
a=，)
,
(
2
2
y
x
b=，则
2
1
2
1
=
+
⇔
⊥y
y
x
x
b
a
设非零向量
)
,
(
1
1
y
x
a=，)
,
(
2
2
y
x
b=，θ为a
和b的夹角，则
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
|
||
|
cos
y
x
y
x
y
y
x
x
b
a
b
a
+
⋅
+
+
=
⋅
⋅
=
θ
3、例题讲解
例5、已知
)2,1(A，)3,2(B，)5,2
(-
C，试判
断ABC
∆的形状，并给出证明.
例6、设a
= (5, -7)，b
= (-6, -4)，求a
⋅b
以及a
和b
之间的夹角。
3、课堂练习：
教材P108习题2.4A组第5题，教材P107练
习第1～3题。
4、课堂小结：
⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行
平面向量数量积的运算；
⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两
点间的距离公式；
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；
⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平
面向量的垂直关系；
5、作业布置：
教材P108习题2.4A组第7～11题，B组第2～
4题。
完成公式的推导
解决例5，总结
解题方法。
师生交流，点评
解法。
学生独立思考并
叫学生在黑板上
板演。
学生独立完成，
老师巡视，个别
辅导。
在向量数量积
的坐标表示基础
上两向量垂直，
两向量夹角的坐
标表达式
先要求学生做
出图形，有初步
的感性认识，而
后给出具体的解
答过程
学以致用
通过小结，对
知识进行梳理
巩固提升
教学流程
图
教学设计评价
提出问题
引导探究
引导探究
出示例题和练习
归纳总结
布置作业
思考问题
得出公式
分析尝试
尝试完成
笔记整理
独立完成
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
复习提问
新课探究
探索发现
使用举例
尝试小结
作业提升。