初中数学青年教师解题竞赛分类1
初中数学青年教师解题大赛题库
初中数学青年教师解题大赛题库一、填空题1.函数中，自变量取值范围是______。
2.圆锥的母线长为5cm，高为3cm，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是______度。
3.△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE//BC，BE与CD相交于点O，在这个图中，面积相等的三角形有______对。
4.已知某不等式的正整数解共有______个。
5.在△ABC中，AB=10，AC=5，D是BC上一点，且BD:DC=2:3，则AD的取值范围是______。
二、简答题1.作图题o已知点A和点B，求作一个圆⊙O和一个三角形BCD，使⊙O经过点A，且使所作的图形是对称轴与直线AB相交的轴对称图形。
要求写出作法，不要求证明。
2.数列与数学逻辑o梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽成等差数列，计算与最低一级最接近的一级的宽。
3.几何与代数结合o已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。
4.概率与统计o探讨某种概率模型（如古典概型）的特征及应用。
三、证明题1.若关于未知数x的方程（p、q是实数）没有实数根，求证某个结论。
2.证明与抛物线轴平行的直线和抛物线只有一种交点。
四、应用题1.在锐角△ABC中，点P在边上运动，试确定点P的位置，使PA+PB+PC最小，并证明结论。
2.在重心为G的钝角△ABC中，若边BC=1，∠A=30°，且D点平分BC。
当A点变动，B、C不动时，求DG长度的取值范围。
五、综合题这类题目通常涉及多个知识点的综合运用，如几何、代数、概率统计等，需要考生具备扎实的基础知识和灵活的解题能力。
2019初数青年教师解题技能竞赛题
2019年初中数学青年教师解题技能竞赛试卷说明:竞赛时间100分钟,满分100分,不能使用计算器,答案直接做在试题卷上一、选择题(每小题5分,共15分)1. 在黑板上从1开始,写出一组连续的正整数,然后擦去其中一个数,剩下来的数的平均数是17735则擦去的数是( ) A. 7 B.8C.9D.10 2. 若对任何实数a ,关于x 的方程0222=+--b a ax x 都有实数根,则实数b 的取值范围为( ) A.81≥b B.81≤b C.81-≥b D.81-≤b 3. 如图,以半圆的一条弦BC 为对称轴将弧BC 折叠过来和直径4. AB 交于D 点,如果AD:BD=2:3,且AB=10,则弦BC 的长为( ) A. 53 B.54 C.34 D.35二、填空题(每小题5分,共25分)4. 计算:=⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯1009998143213211 . 5. 已知()()26643,2019201920192222+----=++++y x y xy x y y x x 则的值6. 如图,点P 为正方形ABCD 内一点,且∠BPC=90°,过点P 的直线分别交边AB 、CD 于点E 、F,记,,n S m S PCF PBE ==△△,当PC=2PB时,试用含m 、n 的代数式表示BPC S △= .7. 对于实数()()()2111,222++++++-y x y x y x 代数式、可取得的最小值为 . 8. 已知二次函数(),0,,2≠++=a c b a c bx ax y 为整数且对一切实数x 恒有4122+≤≤x y x ,则=+-c b a 43 . 三、解答题 9.b a 与是两个不等的有理数,试判断实数33++b a 是有理数还是无理数，并说明理由10.三个不同实数c b a ,,使得方程00122=++=++c bx x ax x 和有一个相同的实数根S,且使得方程0022=++=++b cx x a x x 和也有一个相同的实数根r ，求c b a ++的值11. 341,0111≤+=+-+-b a a b b a b a ＜求证：满足，设正数12.如图,△ABC,AB=22,∠ABC=45°,tan ∠BAC=2,D 是线段BC 上的一个动点,以AD 为直径画⊙O 分别交AB,AC 与E,F, 求线段EF 的最小值13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(1,2),B(3,2)连接AB.若对于平面内一点P ,线段AB 上都存在点Q,使得PQ ≤1,则称点P 是线段AB 的“临近点”(1) 在点C(0,2),D(2,23),E(4.1)中,为线段AB 的“临近点”的是 . (2) 若点M(m,n)在直线上233+-=x y ,且是线段AB 的“临近点”,求m 的范围； (3) 若直线b x y +-=33上存在线段AB 的“临近点”,求b 的范围。
初中数学竞赛解题模型
初中数学竞赛解题模型初中数学竞赛的解题模型有许多，以下是部分内容：
1. 将军饮马模型（对称点模型）
2. 利用三角形两边差求最值
3. 手拉手全等取最值
4. 手拉手相似取最值
5. 平移构造平行四边形求最小
6. 两点对称勺子型连接两端求最小
7. 两点对称折线连两端求最小
8. 时钟模型，中点两定边求最小值
9. 时钟模型，相似两定边求最小值
10. 转化构造两定边求最值
11. 面积转化法求最值
12. 相似转化法求最值
13. 相似系数化一法求最值
14. 三角函数化一求最值
15. 轨迹最值
16. 三动点的垂直三角形
17. 旋转最值
18. 隐圆最值-定角动弦
19. 隐圆最值-动角定弦
这些模型能够帮助解题者在面对复杂数学问题时找到解决方法。
使用这些方法需要具备一定的数学基础和思维能力，因此建议在掌握这些方法后多做一些练习题，以加深理解和提高应用能力。
全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）．A．30 B．36 C．72 D．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。
历年各地初中数学青年教师解题竞赛试题及参考答案(下)
1. 20XX 年初中数学青年教师解题竞赛试卷2. 20XX 年中山市第二届初中数学教师解题比赛试卷3. 20XX 年广州市白云区初中数学青年教师解题比赛及答案4.20XX 年广州市初中数学青年教师解题比赛决赛试卷2007－4－15初中数学青年教师解题竞赛试卷一、填空（本题共有8小题，每小题5分，共40分）１．把多项式y xy y x 922+-分解因式所得的结果是___________________．２．如果不等边三角形各边长均为整数，且周长小于13，那么这样的三角形共有_________个． ３．函数223x x y -+=中，自变量x 的取值范围是_____________．４．若关于未知数x 的一元二次方程032)1(22=-+++-m m x x m 有一个根为0，则m 的________．５．条件P :1=x 或2=x ，条件q :11-=-x x 中，P 是q 的_______________条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中的一个）６．两个等圆相交于A 、B 两点，过B 作直线分别交两圆于点C 、D ．那么 △ACD 一定是 ____________三角形．（要求以边或角的分类作答）７．一直角三角形的斜边长为c ，它的内切圆的半径是r ，则内切圆的面积与三角形的面积的____________．８．不等边三角形ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是_____________．二、（本题满分12分）９．如图，已知点A 在⊙O 上，点B 在⊙O 外， 求作一个圆，使它经过点B ，并且与⊙O 相切于点A ． （要求写出作法，不要求证明）三、（本题满分12分）10．一次选拔考试的及格率为25%，及格者的平均分数比规定的及格分数多15分，不及格者的平均分数比规定的及格分数少25分，又知全体考生的平均分数是60分，求这次考试规定的及格分数是多少？四、（本题满分13分）11．有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每50米放一根，一辆汽车每次只能运3根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米？五、（本题满分13分）12．正实数a 、b 满足a b =b a ，且a ＜1，求证：a =b. 六、（本题满分14分）13．已知m 为整数，且12＜m ＜40，试求m 为何值时，关于未知数x 的方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根．七、（本题满分14分）14．如图，已知A 、B 是锐角α的OM 边上的 两个定点，P 在ON 边上运动．问P 点在什么位置 时，22PB PA +的值最小？八、（本题满分16分）15．已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点在直线x y =上，且这个顶点到原点的距离为2，又·A·B·O·A·BMNOα知抛物线与x 轴两交点横坐标之积等于1 ，求此抛物线的解析式．九、（本题满分16分）16．已知△ABC 是锐角三角形． ⑴求证：2sin A ＞cos B +cos C ；⑵若点M 在边AC 上，作△ABM 和△CBM 的外接圆，则当M 在什么位置时，两外接圆的公共部分面积最小？一、编写客观题内容：根据二次根式的性质“2a ＝│a │”编写一组填空题和选择题。
八年级数学竞赛试题大全
八年级数学竞赛试题大全八年级数学竞赛试题通常涵盖代数、几何、数论和组合等多个领域，旨在培养学生的逻辑思维、解决问题的能力以及对数学的深入理解。
以下是一些可能包含在八年级数学竞赛中的题目类型和示例：1. 代数问题- 代数表达式的简化：给定一个复杂的代数表达式，要求简化它。
- 一元一次方程的解法：求解形如 ax + b = 0 的方程。
- 二元一次方程组的解法：求解形如 ax + by = c 和 dx + ey = f 的方程组。
2. 几何问题- 角度和线段：解决与三角形、四边形等几何图形中的角度和线段长度有关的问题。
- 相似和全等：证明两个三角形相似或全等，并使用这一性质解决问题。
- 圆的性质：利用圆的切线、半径、直径等性质解决相关问题。
3. 数论问题- 质数和合数：确定一个数是质数还是合数，以及质数的性质。
- 最大公约数和最小公倍数：计算两个或多个数的最大公约数和最小公倍数。
- 整数的整除性：使用整除规则解决相关问题。
4. 组合问题- 排列组合：计算不同排列和组合的数量。
- 简单的逻辑推理：解决需要逻辑推理的组合问题，例如密码锁的开锁问题。
5. 概率问题- 基本概率计算：计算事件发生的概率。
- 条件概率：在给定一个事件发生的条件下，计算另一个事件发生的概率。
6. 函数问题- 线性函数：分析线性函数的图像和性质，解决相关问题。
- 函数的增减性：确定函数在某个区间内的增减性。
7. 不等式问题- 解一元一次不等式：求解形如 ax + b > c 的不等式。
- 不等式的证明：使用代数或几何方法证明不等式。
8. 逻辑问题- 逻辑推理：解决需要逻辑推理的问题，例如找出哪个人说了真话。
这些题目类型只是八年级数学竞赛中可能包含的一部分，实际的竞赛题目可能会更加多样化和具有挑战性。
竞赛试题通常会设计得更加深入和复杂，以测试学生的综合能力。
数学青教师解题比赛训练题标准答案
2014年数学青年教师解题比赛训练题（一）参考答案第Ⅰ卷 选择题（40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1．B 2．C 3．B 4．D 5．D 6．C 7．A 8．B 9．B 10．C第Ⅱ卷 非选择题（110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．1.1510⨯ 12．9 13．①②④⑤ 14．π4 15．))(c b a b a +++（ 三、解方程（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 16．38)12(-=+x x x解：去括号，得：3822-=+x x x …………………2′ 移项，得：03822=+-+x x x ′合并同类项，得：03722=+-x x …………………4′ ∴ 012=-x 或 03=-x ∴ 211=x 32=x …………………8′ 17．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形∴ AD ∥BC AD=BC …………………2′∴ ∠AOF=∠OCE …………………3′ ∵ 点O 是AC 的中点∴ OC=OA …………………4′ ∴ ∆AOF ≅∆COE （ASA ） …………………6′ ∴ AF=CE …………………7′ ∴ BE=FD …………………8′说明：本题还有其它解法，若正确得分。
180-3π++（）解：原式=2112--++ …………………4′ =2+1-1+2 …………………6′ =2+2 …………………8′ 四、（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）19．解：设DG=x 米，由题意EG=x 米，则FG=（x-15）米 …………………2′ 在Rt ∆DFG 中 tan6015-=︒x x…………………3′ 3153-=x x315)13(=-x13315-=x …………………5′452+==35.49 …………………7′∴ 塔高DC=35.49+1.5 =36.99≈37.0 …………………9′ 说明：本题还有其它解法，若正确得分。
初中数学教师命题竞赛
初中数学教师命题竞赛一、编写客观题内容：根据二次根式的性质“＝│a│”编写一组填空题和选择题。
要求：（1）能够充分体现二次根式性质的重点和难点；（2）此组题目的编排要有梯度；（3）题目设计要新颖。
（一）题目：1、填空题2、选择题（二）答案及评分标准二、编写情境题题目：生活和生产实例是学生感兴趣的教学因素，教师如果能设计一些与教材内容有密切联系的生活和生产实例要求学生去解决，这定会较好地激发起学生的求知欲望。
根据如下图形，编写一道数学情境性题目。
要求：题目的设计要新颖，要有时代气息。
（一）题目：（二）答案及评分标准：三、旧题改编基本题：如图，AB为⊙O直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为D、E，则DC＝CE，求证：DC＝CE。
要求：（1）改编成探索题；（2）设置分值。
（一）题目：（二）答案及评分标准四、题目设计条件：如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝900。
要求：（1）把此题设计为中考压轴题，设置几个小问题，并设置每小题分值；（2）能综合运用代数几何知识。
（一）题目：（二）答案及评分标准五、根据信息编应用题国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过１０００元免征；超过１０００元的部分需征税，设全月纳税额a为全月总收入－１０００(元)，税率如下：级数全月纳税额a税率１、不超过５００元的部分５％２、超过５００元至２０００元的部分１０％３、超过２０００元至５０００元的部分１５％……………………９、超过１０００００元的部分４５％（一）题目：（二）答案及评分标准。
数学青年教师解题竞赛试题
新区实验中学数学青年教师解题竞赛试题时间：120分钟 满分：100分中考：50分，选择题8道×3分，填空题4道×4分，解答题1道（10分）； 竞赛：30分，选择题4道×3分，填空题2道×4分，解答题1道（10分）； 高中：20分，选择题2道×3分，填空题2道×4分，解答题1道（6分）．一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，满分42分）1、若|a －b|＝b －a ，且|a |＝3，|b |＝2，则（a ＋b ）3的值为（ ） A ．1或125 B ．－1 C ．－125 D ．－1或－1252、如图，三个图形的周长相等，则（ ）A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a3、利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A ．73cmB ．74cmC ．75cmD ．76cm4、如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，且S △ADE ＝S 梯形DBCE ，则AD ∶DB ＝（ ）A ．1∶1B ．1∶2C ．(2－1)∶2D ．1∶(2－1)5、若方程6(x 1)(x 1)+-－x 1m-－＝1有增根，则它的增根是（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．1和－1第4题图第3题图姓名 考号 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－密－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－封－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－6、若关于x的不等式721x mx-<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m的取值范围是（）A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7D．6＜m≤77、已知关于x的一元二次方程（a－l）x2－2x+l＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠l D．a＜－28、从长为10cm、7cm、5cm、3cm的四条线段中任选三条能够成三角形的概率是（）A．14B．13C．12D．349、方程x|x|－3|x|＋2＝0的实数根个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410、△ABC的三条外角平分线所在直线相交成一个△A′B′C′，则△A′B′C′（）A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形C．一定是锐角三角形D．一定是等腰三角形11、设[a]表示不超过a的最大整数，如[4．3]＝4，[－4．3]＝－5，则下列各式中正确的是（）A．[a]＝|a| B．[a]＝|a|－1 C．[a]＝－a D．[a]＞a－112、(09黄石)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＞2；③abc＞0；④4a－2b＋c＜0；⑤c－a＞1．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤13、（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．正确的命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β14、已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（）A．0或3B．0或3 C．1或3D．1或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）15、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＋∠B ＝90°，CD ∥AB ，将AD 、BC 分别平移到EF 和EG 的位置．若AD ＝8cm ，CD ＝2cm ，CB ＝6cm ，则AB的长是 cm ．16、如图，△ABC 的3个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC 绕点B 顺时针旋转到△A'BC'的位置，且点A'、C'仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形面积是 平方单位（结果保留π）．17、如图，△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD ＝50°，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为（ ）18、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝45°，F 是高AD 和BE 的交点，CD ＝4，则线段DF 的长度为（ ）10、学生甲、乙、丙三人竞选学校的学生会主席，选举时收到有效选票1500张，统计其中1000张选票的结果是：甲350张，乙370张，丙280张，则甲在剩下的500张选票中至少再得 票，才能保证以得票最多当选该校的学生会主席．20、初二某班有49位同学，他们之间的年龄最多相差3岁，若按属相分组，那么人数最多的一组中至少有同学 位．21、若函数f （x ）＝x ＋12x （x ＞2），在x ＝a 处取最小值，则a ＝ ．22、原点关于直线8x ＋6y ＝25的对称点坐标为 ．第18题图第16题图第17题图第15题图三．（本大题共3小题，满分26分）23、（10分）已知实数a、b满足a＋b＝－3，ab＝2，求（2）tanθ．25、（6分）在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．数学青年教师解题竞赛试题参考答案1、解：∵|a－b|＝b－a，∴a＜b，∴a＝－3，b＝±2．（1）a＝－3，b＝－2时，（a＋b）3＝－125；（2）a＝－3，b＝2时，（a＋b）3＝－1．故选D．2、解：∵三个图形的周长相等，∴6a＝3b＝8c，∴c＜a＜b．故选A．3、解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，由第一个图形可知桌子的高度为：h－y＋x＝80，由第二个图形可知桌子的高度为：h－x＋y＝70，两个方程相加得：（h－y＋x）＋（h－x＋y）＝150，解得h＝75cm．故选C．4、解：∵S△ADE＝S梯形DBCE，∴△ADE的面积是△ABC面积的一半，∴()2＝，∴AB＝AD，令AD＝1，则DB＝－1，∴AD∶DB＝．故选D5、．解：方程两边都乘（x＋1）（x－1），得6－m（x＋1）＝（x＋1）（x－1），由最简公分母（x＋1）（x－1）＝0，可知增根可能是x＝1或－1．当x＝1时，m＝3，当x＝－1时，得到6＝0，这是不可能的，所以增根只能是x＝1．故选B．6、解：由（1）得，x＜m，由（2）得，x≥3，故原不等式组的解集为：3≤x＜m，∵不等式的正整数解有4个，∴其整数解应为：3、4、5、6，∴m的取值范围是6≤m＜7．7、解：△＝4－4（a－1）＝8－4a＞0得a＜2．又a－1≠0∴a＜2且a≠1．故选C．8、解：共有10、7、5；10、7、3；10、5、3；7、3、5；4种情况，10、7、3；10、5、3这两种情况不能组成三角形；所以P（任取三条，能构成三角形）＝12．故选C．9、解：当x＞0时，原式＝x2－3x＋2＝0，解得：x1＝1；x2＝2；当x＜0时，原式＝－x2＋3x＋2＝0，解得：x1＝（不合题意舍去），x2＝，∴方程的实数解的个数有3个解．故选C．10、解：∵∠C′AB＝12（∠ABC＋∠ACB），∠C′BA＝12（∠ACB＋∠BAC），∠C′＝180°－∠C′AB－∠C′BA，∴∠C′＝180°－12（∠ABC＋∠ACB）－12（∠ACB＋∠BAC）＝90°－12∠ACB．∵90°－12∠ACB＜90°．∴∠C′＜90°．同理：∠A′＜90°，∠B′＜90°．∴△A′B′C′一定是锐角三角形．故选C．11、解：A、当a等于负整数时，[a]＝－a，故本选项错误；B、当a等于正整数时，[a]＝a，[a]≠|a|－1，故本选项错误；C、当a等于正整数时，[a]＝a，故本选项错误；D、[a]≤a且为整数，与a的差不会超过1，a－1与a的差为1，则[a]＞a－1，故本选项正确．12、C13、C14、B15、解：∵AD∥EF，CB∥EG，∠A＋∠B＝90°，∴∠FEG＝90°，∴△FEG是直角三角形，∵AD＝EF＝8cm，CB＝EG＝6cm，∴FG2＝EF2＋EG2，∴FG＝＝10cm，∵在四边形ABCD中，AD、BC分别平移到EF和EG的位置，∴CD＝AF＋BG，∴AB＝FG＋AF＋BG＝10＋2＝12cm．16、解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝，由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，∴线段AB扫过的图形面积＝＝＝．17、解：如图，∠AED＝∠EDC＋∠C，∠ADC＝∠B＋∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠B ＋∠BAD ＝∠EDC ＋∠C ＋∠EDC ， 即∠BAD ＝2∠EDC ， ∵∠BAD ＝50°，∴∠EDC ＝25°．18、解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠FDB ＝90°， ∵∠ABC ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∴AD ＝BD ， ∵BE ⊥AC ，∴∠AEF ＝90°，∴∠DAC ＋∠AFE ＝90°， ∵∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＋∠BFD ＝90°， 又∵∠BFD ＝∠AFE ，∴∠FBD ＝∠DAC ， 在△BDF 和△CDA 中：，∴△BDF ≌△CDA ，∴DF ＝CD ＝4．19、解：由甲350张，乙370张，得出甲与乙相差20，剩下500张只分给甲、乙两人选票，首先使两人票数相同，从500张中先拿出20张给甲， 若剩下的500－20＝480张中，甲乙各占一半，则甲至少需要240＋20＋1＝261才能当主席．故答案为：261．20、解：由题意知，49位同学分四个年龄段，构造4个抽屉，49＝12×4＋1， 所以人数最多的一组中至少有同学12＋1＝13位．故答案为13．21、322、（4，3）23、判断出a ，b 均为负值2分，得出－abb a 22 4分，正确结果4分．24、求出sinθ×cosθ值3分，求出sinθ－cosθ值4分，求出tanθ值3分． 25、（2013•四川）解：设该数列的公差为d ，前n 项和为S n ，则 ∵a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项， ∴2a 1＋2d ＝8，（a 1＋3d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋8d ） 解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3． ∴前n 项和为S n ＝4n 或S n ＝12（3n 2−n ）． 求出首项，公差及前n 项和各2分．备选题1、求证：三角形的三条中线之和大于周长的34，而小于周长的32．2、已知a b+＝3，b c+＝4，c a+＝5，则ab bc ca++＝．63、不论m 取任何实数，直线（3m ＋2）x －（2m －1）y ＋5m ＋1＝0必过定点（ A ） A ．（－1，1） B ．（－1，－1） C ．（1，－1） D ．（1，1）4、在同样条件下的三次化学实验中，所得数据是1a 、2a 、3a ，因仪器和观察的误差，我们规定：实验的的最佳数据“a ”是这样的一个数值，它与实验数据1a 、2a 、3a 差的平方和M 最小．依此规定，则a ＝ ． 13(1a ＋2a ＋3a )5、观察下表中三角形个数变化规律，……，如果图中三角形的个数是102个，则图中应有 ． 16 多一条横线，则多6个三角形．6、一位同学在斜坡上练习骑自行车，上坡速度为m km/h ，下坡速度为n km/h ，则上下坡的平均速度为 km/h ．2mnm n7、已知x ∈{1，2，x 2}，则实数x ＝ ． 解：∵x ∈{1，2，x 2}， 分情况讨论可得：①x ＝1此时集合为{1，2，1}不合题意 ②x ＝2此时集合为{1，2，4}合题意 ③x ＝x 2解得x ＝0或x ＝1，并且当x ＝0时集合为{1，2，0}合题意，故答案为0或2．。
广州市初中青年数学教师解题比赛决赛试题与答案
20XX 年广州市初中数学青年教师解题决赛试题参考答案及评分标准9．选C [解析]：设直线MN （MN l ：3+=x y ）交x 轴于点A,则点P ，必须满足AN AM AP ⋅=2，易计算得，3-=A x ，4=AP ．10．选B [解析]：不妨设c b a ≥≥，m b a =-，n c b =-，m 、n 为非负整数，n m c a +=-， 01922=-++n mn m ，由Δ≥0，可得，6<n ，当0=n ，1，4，5时，m 无解，2=n 时，m 3=；3=n 时，2=m ，① 当2=n ，m 3=时，b a +=3，2-=b c 1≥，3≥b ，6≥a ，1013≥+=++b c b a ，此时，取6=a ，3=b ，1=c 时，10=++c b a 最小； ②当3=n ，2=m 时，同理可求，得,11=++c b a 6=a ，4=b ，1=c ， 综上，最小值10=++c b a ．二、填空题答案（每小题5分，共6小题，共30分）11．3,4)(4,)+∞U （. 12. 23-. 13.51. 14. 5734.作MH ⊥AN 于H ,AH =524,HN =512,MH =532．15. 3. 16．21n -，32 .三、解答题答案（共7小题，满分80分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 17. 解：（1）由已知得当0x <时，2()23f x x x =+-．∴2223,0,()23,0.x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨+-<⎪⎩……………………………………………………………………………………3分（2）单调递减区间是]1,0[],1,(--∞，单调递增区间是),1[],0,1[+∞-．…………………………………………6分最小值是4-，没有最大值．…………………………………………………………………………………8分18. 解：（1）2()sin )2cos 2sin cos f x x x x a x x x a =-⋅+=-+-2sin 22cos(2)6x x a x a π=-+=++．……………………………………………4分（2）7[0,],2,1cos(2)26666x x x πππππ∈∴≤+≤∴-≤+≤Q2()a f x a ∴-≤≤．……………………………………………………………………………………6分min ()2f x a ∴=-，由题意得22a -=-0a ∴=．……………………………………………………………8分19．解：（1）证明：由AD ⊥平面ABE 及//AD BC ，∴BC ⊥平面ABE ，∴AE BC ⊥． 而BF ⊥平面ACE ，∴BF AE ⊥，又BC BF B =I ，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE BE ⊥．………………………………………………3分（2）连接EM ，∵M 为AB 中点，AE =EB =2，∴AB EM ⊥．又⊥DA 平面⊂EM ABE ，ABE 平面，∴EM DA ⊥，所以⊥EM 平面ACD ．……………………………………………………………………………………5分由已知及（1）得22,221===∆ADC S AB EM ．故1422233D AECE ADCV V --==⨯=．……………………………………………………………………7分 （3）取BE 中点G ，连接FM GF MG ,,．∵BF ⊥平面ACE ，∴CE BF ⊥，又BC EB =，所以F 为CE 中点，∴GF //BC ． 又∵BC //AD ，∴GF //AD ．所以GF //平面ADE ．………………………………9分 同理//MG 平面ADE ，所以平面GMF //平面ADE ．又⊂MF 平面MGF ，则//MF 平面ADE ．………………………………………………………………12分20. 证明: (1) ∵DE ⊥CP 且CE=EF ，∴ DC=DF , ∠FDE =21∠FDC ， ∠HDE =∠FDE -∠FDH =21∠FDC -21∠FDA =21∠ADC = 45°．………………………………………………4分∴∠EHD =∠HDE =45°．……………………………………………………………………………………………5分∴ DE=EH ．(2)延长DH 交AF 于点O ， 将ΔDEC 绕点C 逆时针旋转90°到ΔBMC 的位置，连结ME ． ∴ΔDEC ≌ΔBMC ． ∴ DE=BM , ∠DCE =∠BCM ,∵∠DCE +∠ECB =90°， ∴∠BCM +∠ECB =90°．∴ BM ∥CH ． …………………………………………………8分在ΔEMC 中，∠ECM =90°，MC=CE ，∴∠CEM =45°．由（1）知， DE=EH=BM ， ∴BMEH 为平行四边形 ∴ BH ∥EM ．又由（1）知DC=DF ，则DA=DF ，DO 为∠ADF 的角平分线，∴ DO ⊥AF ．又对顶角∠EHD =∠FHO ， ∴ ∠AFH =∠HDE =45°． ∴ ∠AFH =∠MEC =45°． ∴ AF ∥ME ．∴ AF ∥BH . ………………………………………………………………………………………………………12分A D 第20题21. 解：（1）连接BC ，由勾股定理求得：2AB AC ==，213602n R S π==π. ……………………………3分 （2）连接AO 并延长，与弧BC 和O e 交于E F ，，22EF AF AE =-=-，弧BC 的长：21802n R l π==π． 设圆锥的底面半径为r ．22r π=πQ ， ∴圆锥的底面直径为：22r =．……………………………………………………………………………6分 2222-<Q ， ∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．…………………………………………………8分（3）由勾股定理求得：2AB AC R ==，弧BC 的长：2180n R l R π==π，22r R π=πQ ， ∴圆锥的底面直径为：22r R =，22(22)EF AF AE R R R =-=-=-． 2222-<Q 且0R >， 2(22)2R R ∴-<，即无论半径R 为何值，2EF r <． ∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．………………………………………………12分第21题∠ABE=∠EBC=∠DHC,∠AEB=∠ADH=∠CDH,∴∠BCD=∠BAD. …………………………………………………………………………………………………14分xyABCO P F MEH NQP 'N 'M '1 23423． （1）证明：连结AF ．AE BF Q ∥，1342∴∠=∠∠=∠，． 又AB AF =Q ，34∴∠=∠．12∴∠=∠． 又AO AF AE AE ==Q ，，AOE AFE ∴△≌△．90AFE AOE ∴∠=∠=o ． FC ∴是O e 的切线．…………………3分（2）方法1：由（1）知22EF OE ==． AE BF Q ∥，AC CEAB EF∴=． 1122OC CE+∴=，2222CE CO ∴=+． ① 又222OE OC CE +=Q ，22222CE CO ⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭． ② 由①②解得0OC =（舍去）或2OC =，……………………………………………………………………………5分 Q 直线FC 经过202E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，(20)C ，两点． 设FC 的解析式：y kx b =+． 2022k b b +=⎧⎪∴⎨=-⎪⎩解得2422k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴直线FC 的解析式为2242y x =-．……………………………………………………………………………7分 方法2：CF Q 切A e 于点F ，90AFC EOC ∴∠=∠=o ． 又ACF OCE ∠=∠，COE CFA ∴△∽△，OE COAF CF∴=．22122CO CE ∴=+．即222CE CO =-． ① 又222OE OC CE +=，22222CE CO ⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭． ② 由①②解得0CO =（舍去）或2CO =． (20)C ∴， ．………………………………………………………5分 （求FC 的解析式同上）． 方法3：Q AE BF ∥，AC CEAB EF ∴=．1122OC CE +∴=． 2222CE CO ∴=+． ① FC Q 切A e 于点F ，90AFC COE ∴∠=∠=o ．ACE OCE ∴∠=∠，COE CFA ∴△∽△．。
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第七讲 初中数学竞赛复习1 一．整数解问题 1.已知m为整数，且12＜m＜40，试求m为何值时，关于未知数x的方程08144)32(222mmxmx有两个整数根．
2．已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，整数n=_________ 3．试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。_________ 4．已知：方程x2－2(m+1)x+m2=0有两个整数根，且12＜m<60.求：m的整数值=________ 5．求所有正实数a,使得方程042aaxx仅有整数根.a=______ 6．设a为整数,使得关于x的方程a2x-(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，有理根是_________ 7．设m为整数，且关于x的方程22(5)40mxmxm有整数根，则m的值为___________ 8．若关于x的方程rx2-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数，则整数r的值可以是____________. 9．已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值___________. 10．已知关于x的一元二次方程 (6－k)(9－k)x2－(117－15k)x+54=0的两个根均为整数，则k=_________ 11 .x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是___________
12.已知关于的方程2(1)210axxa的根都是整数，那么符合条件的整数有________个. 13.若66222kxxyyx能分解为两个一次因式的积，则整数k的值是___________． 14.边长为整数，周长等于21的等腰三角形共_____________个 15.一次函数baxxf)(（a为整数）的图象经过点（98，19），它与x轴的交点为（p,0）,它与y轴的交点为（0，q）,若p是质数，q为正整数，则满足条件的所有一次函数的个数为___________ 16 .21217223－＋－＝ ______________. A.5－42 B. 42－1 C .5 D .1 17.化简：11459+302366402＋＋－－的结果是___________.
A.78.5 B.97.5 C.90 D、102 18.满足等式x2003xy2003y2003xyxy＋－－＋＝2003的正整数对的个数是___________. A、1 B、2 C、3 D、4 二 韦达定理和最大值
1．分式12611622xxxx值的范围是_______________. 2．设关于未知数x的方程x2―5x―m2＋1＝0的实根为α、β,试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．
3.设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 4.设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程222(2)330xmxmm有两个不相等的实数根x1,x2
（1）若22126xx，求m的值。（2）求22121211mxmxxx的最大值。
5.已知21m，21n，且8)763)(147(22nnamm，则a的值等于_________ 6.如果1x、2x是两个不相等的实数，且满足21120061xx，22220061xx，那么 x1+x2=_______ 7.如果1x、2x是两个不相等的实数，且满足12003121xx，12003222xx，那么21xx等于______ 8．已知实数ba,满足tbaabtbaba那么且,,12222的取值范围是 9．2,322yxyxyx,则2232yxyx .
10．如果1x、2x是两个不相等的实数，且满足12005121xx，12005222xx，那么1x+2x等于______ 11．已知实数x，y，z满足x+y＝5及z2＝xy+y一9，则x+2y+3z＝ ．
12．设实数a、b满足0682aa及26810bb，则1abab=_________.
13．已知实数xy，满足 42424233yyxx，，则444yx的值为____________． 14．已知012xx,那么代数式123xx的值是 ． 15．已知zyx,,为实数，且3,5zxyzxyzyx，则z的取值范围为 ． 16．若cba,,为实数，且,2,0abccba那么cba的最小值可达到 .
17．已知：a ，b，c三数满足方程组48c38cab8ba2，方程bx2+cx-a=0的根是___________. 18．直角△ABC斜边上的高等于4，则△ABC的面积的最小值等于_________. 19．如果方程325(4)0xxkxk的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，实数k的值为______ 20.若实数cba,,满足9222cba,代数式222)()()(accbba的最大值是_________ 21．关于x的方程2kx2＋（8k＋1）x=－8k有两个实根，则k的取值范围是___________
22．若0cba，且cba，则ac的取值范围为____________ 23．已知a、b、c、d为不同的实数，且a、c是方程02baxx的根，b、d是方程02dcxx根.求a、b、c、d的值.
24.在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程kxxkxx3132的解，实数k的范围__________. 26．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式14162222aacb ，542aabc 求a的取值范围_________ 三．函数图象解题 一元二次方程根的分布 1．若方程bxxx3/1322有四个不等实根，则b的取值范围为 。 2证明关于x的方程1))((baxax的一根大于a、一根小于a（a、Rb）。
3.当a取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3aab的整数b的个数是 . 4若直角三角形两直角边分别为6cm和8cm，则这个直角三角形的内心与外心的距离是_________cm． 5．若关于未知数x的方程xpx有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是 . 6函数1422xxy的最小值是 ．
7．试写出m的一个数值，使关于未知数x的方程08242mxx的两根一个大于1，另一个小于1. 8.设m是整数，且方程3x2＋mx－2=0的两根都大于－59而小于73，则m=___________ 9.已知：方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两个实数根x1,x2满足：0
10. m取什么值时，方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1？____________________ 11.若方程x2+(1-2m)x+m2-m=0两个实数根中，一根大于2，另一根小于2.则m 的范围是___________. 12.已知：方程3x2+(m-1)x+3m+2=0两个实数根中，一根大于3，另一根小于2.求：m的范围是_________. 13.如果关于x的方程012122axax有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 ． 四．抛物线
1．已知抛物线cbxaxy2的顶点在直线xy上，且这个顶点到原点的距离为2，又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于1，求此抛物线的解析式．
2已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值； （2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.
3.已知：二次函数y=41x2－25x＋6的图象与x轴从左到右的两个交点依次为A、B，与y轴的交点为C. （1）求A、B、C三点的坐标. （2）求过B、C两点的一次函数的解析式. （3）如果P（x，y）是线段BC上的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. （4）是否存在这样的点P，使得PO=AO.若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
4设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。试求A、B两点的坐标 5已知函数122)32(2222xxxxkxky的图像不经过第四象限，求常数k的取值范围.
6、已知0abc， 930abc, 则二次函数2yaxbxc的图象的顶点可能在（ ）. A.第一或第四象限 B.第三或第四象限 C.第一或第二象限 D.第二或第三象限 7、二次函数cbxaxy2的图像如图所示.下列结论正确的是 （ ） A.b＞ca23 B.bca23 C.b＜ca23 D.bca23
8．二次函数2yaxbxc的图象如图所示，)2,(nQ是图象上的一点， 且BQAQ，则a的值为____________. 五．过定点问题 A B Q O x
y 1不论实数m为何值，方程043)1(2mymmx总有一组共同的解____________. 2已知：不论k取什么实数，关于x的方程1632bkxakx（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。
六． 配方法求最值 1.代数式x2－2xy＋3y2―2x―2y＋3的值的取值范围是 ．
2.设),(ba为实数,那么bababa222的最小值是__________.
3.设x、y均为实数，代数式4284522xxyyx的最小值为 ． 4.已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值____________.. 5.计算12003200220012000所得的结果是 ． 6.已知a、b是不全为零的实数，则关于x的方程222()0xabxab的根的情况为_________ 7.设x、y、z满足关系式 x－1＝21y＝32z， 则x2＋y2＋z2的最小值为 . 8.多项式82422yxyx的最小值为 .
9．若关于未知数x的方程022qpxx（p、q是实数）没有实数根，求证：41qp. 10.若实数ab，满足21ab，则2227ab的最小值是 ．
11.若实数x，y满足条件06222yxx，则xyx222的最大值是_____________ 12如果yx,为实数，且,0)1(22yxx则x的取值范围是_______. 七．光线问题 1.如图2，正方形ABCD的边长为8，M在CD上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为 ． 2.正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝0.5BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是______.