材料非线性有限元分析

1 ijkl
e p 1 d ij d ij d ij Dijkl d kl f , ij d
A f , p Dijkl f , kl M
ij
dij ( D
dij ( D
1 ijkl
H (l ) f , ij f , kl )d kl Dep1,ijkl d kl A
1 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6 2 2
随动强化的米塞斯屈服准则
这种材料的屈服面方程为
p ij 1 1 p p f ( sij , , k ) [ ( sij ij )( sij ij )] 2 0 0 2
kk pp

纯剪
单向拉伸
Gp是塑性剪切 模量
Ep是塑性拉伸 模量
A f , p Dijkl f , kl M
ij
f , kl Dijkl f , kl
s ij G 2J 2G s ij G 2 2 2
由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因 1 1G G p Dijkl Dijkl f , kl Dklij f , kl sij skl A A 1 G G G 2 s ij s ij s kl s 2 kl G Gp G Gp p p d ij Dijkl d kl 由此可得弹塑性矩阵为
J 2 sij sij / 2
，因此
由于偏张量第一不变量＝0
J1 sii 0
1 2 2 2 J 2 [( s11 s22 ) 2 ( s22 s33 ) 2 ( s33 s11 ) 2 ] s12 s23 s31 6
在单向拉伸状态下，J2=ζ2/3。在纯剪状态下， J2=η2。一般情况下，sij=ζij -ζkkδij /3,所 1 以 J 2 , ( sij sij , sij , sij ) sij sij , sij .
d e ij Dijkl d e kl
p p d ij Dijkl d kl
总应变为 d ij f , d e p 1 d ij d ij d ij Dijkl d kl f , d
ij
正交（相关）流动准则 p
ij
以强化的加载状态为例，因为屈服面为
m e T m e m e
精确解时
BT Dijkl d kl
u N e
B e
BT D t ( , ) BdV ( m e ) Rem 0
弹塑性问题非线性方程组求解问题。
m m , k m下的弹塑性矩阵 Dep 代替增 首先，以
ij
在主应力状态下，第二不变量为 1 2 2 2 J 2 [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] 6
2
ij
ij
ij
f J
根据屈服面表达式，可求得 因为
Dijkl
12 2
(k ) 0
f , ij J 2 1 2 J 2 , ij / 2 J 2 1 2 sij / 2 sij / 2
ij D 或 d ij D d kl 象线性问题一样，设位移和应变分别为 u N e B e
s ijkl kl t ijkl
则全量形式的应力为 Ds ( ) B e 增量形式的应力为 d DT ( ) Bd e
弹塑性问题的有限单元法－增量法
ij
f , k dk Md
为了求A，需先由屈服面对wp的偏导数求M
sij
-M=Ep/3。
f , k ij f , ij M f , k ij f , ij 1 f , k ( f , ij f , ij ) 2
kk w pp w kk pp
0 卸载，弹性 0 中性变载，塑性 0 加载，塑性
其几何解释为：弹性应力增量指向屈服面内侧或相切时，反应 是弹性的。否则是塑性加载，反应是弹塑性的。
弹塑性问题本构关系－应力应变关系
弹性矩阵 d ( D Dp )d Dep d
对弹塑性问题，本构关系为
塑性矩阵
1 f , ij f , kl )d kl A
0 H (l ) 1
l0 l0
l f , ij d ij
确定弹塑性矩阵－等向强化的米塞斯屈服准则
由薄壁圆筒的实验研究可得，这种材料的屈服面方程为
f J
12 2
(k ) 0
式中J2是应力偏张量的第二不变量，
p 塑性功 w p σij d ij M f ,wp ij f , ij B ,wp ij 2 B J 2 sij sij / 2 s ij 1 J2=τ2 B , wp ( s ij m ij ) B , wp G p p p p d ij Dijkl d kl d ij f , d 3 2 B 式中Gp是 曲线的斜率。同理，对单向拉伸情况， p
f J
12 2
(k ) 0
1 2 2 2 J 2 [( s11 s22 ) 2 ( s22 s33 ) 2 ( s33 s11 ) 2 ] s12 s23 s31 6
，因此
J 2 sij sij / 2 ，由于偏张
在单向拉伸状态下，J2=ζ /3。在纯剪状态下，J2=η 。 屈服面式中χ(k)，是由单向应力状态的数据确定的屈服参数。在单向拉伸 时为χ2=ζB2/3。在纯剪状态下χ=ηB。任何情况下χ都是硬化参数塑性功wp的 函数。
由df =0
p f ( ij , ij , k ) 0
p p df ( ij , ij , k ) f , ij d ij f , p d ij f , k dk 0
ij
p p d ij Dijkl d kl
f , ij d ij f , p d f , k dk 0
在塑性力学中，认为材料进入塑性后存在一个势函数（简 p 称塑性势） g ( ij , ij , k ) 0。塑性应变增量可由势函数给出：
d g , ij d
p ij
流动准则又可分为正交（相关）流动准则和非正交（非相 关）流动准则两种。前者认为塑性势就是屈服面，因 p d ij f , d 此 。而后者则认为塑性势和屈服面不同。 对正交准则，塑性流动方向垂直于屈服面，加、卸载准则取决 于非负的尺度因子dλ，它大于零，表示加载，等于零，表示 其他情况。
虚位移原理
1. 虚位移原理和最小势能原理
1） 虚位移原理的虚功方程——矩阵表达
体积力虚功
表面力虚功
δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+ ∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS
虚变形功
=δWi=∫V[ζ]Tδ[ε]dV 虚功方程——张量表达 δWe=∫VFbiδuidV+ ∫SσFsiδuidS =δWi=∫VζijδεijdV 2） 势能原理的数学表达 应变能
T m e m e m e T m e
Rm 1 Rm Rm
B T ( em em )dV Rem 1 B T em dV B dV R R B dV R e ( )
m e m e
e ( ) B dV R ( 0)
ij
p d ij f , ij d
p ij
f , ij d ij f , p Dijkl d Md 0
ij
p kl
f , k dk Md
f , ij d ij f , p Dijkl f , ij d Md 0
ij
d
f , ij d ij A
B ( B ( B (
T T
T
m e m e
) (
m e m e
m +1 e
)dV N F
T T m +1 bi
m +1 bi
(
m +1 e
)dV
m e
)dV R
m e
)dV N F
m 1 e
dV
Rm Rm
e ( em 1 ) B T em 1dV Rem 1 0
总势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VζijεijdV
-∫ F u dV- ∫ F u dS = min
外力势能
1 几何方程 ij ( ui , j u j , i ) 2 象线性问题一样，设位移和应变分别为 u N e B e m 也即单元增量应变为 m B e 。 象弹性问题一样，建立第m+1步单元刚度方程 为 δWe=∫VFbiδuidV+ ∫SσFsiδuidS =δWi=∫VζijδεijdV
材料非线性有限元分析
什么是塑性
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下图示意
强度极限
屈服上限 屈服下限 弹性极限 残余变形
b L y e
强化段
U y
软化段
卸载

弹性变形
塑性的特性
ap bp2
塑性的特性
加、卸载准则
1 f J2 2 0
f 0 ( ij ) 0
涉及路径相关性的材料应力应变非线性（加 载及卸载、残余塑性变形等）必须用增量法来 求解。 设m迭代步的结果已知，位移、应力、应变 和内变量等分别记作 U m、 m、 m、k m 在增量荷载ΔRm作用下，位移、应力、应变和 内变量等的增量分别为 U m、 m、 m、k m 下一步迭代时的荷载水平为 Rm 1 Rm Rm
D
ep ijkl