2015年考研数学三试题

2015年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个

选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. 1.设{k x }是数列，下列命题中不正确的是（ ）

(A)若lim k k x a →∞=，则221lim lim k k k k x x a +→∞→∞

==. (B)若221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞

= (C) 若lim k k x a →∞=，则321lim lim k k k k x x a +→∞→∞

== (D)若331lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞

=

2.设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（ ）

（A ）0 (B)1

(C)2 (D)3

3. 设{}

2222(,)2,2D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)D

f x y dxdy ⎰⎰=（ ）

2cos 2sin 4

200

042sin 2cos 4

20

0041

0111

20()(cos ,sin )(cos ,sin )()(cos ,sin )(cos ,sin )()2(,)()2(,)x x x x X

A d f r r rdr d f r r rdr

B d f r r rdr d f r r rdr

C dx f x y dy

D dx f x y dy π

πθθπππ

θθπθθθθθθθθθθθθ---++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

4.下列级数中发散的是（ ）

（A ）13n n n ∞

=∑ (B)11ln(1)n n n ∞=+∑ (C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑ (D)1!n n n n ∞=∑

5.设矩阵22111112,,14A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

若集合(1,2)Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为（ ）

(),A a d ∉Ω∉Ω (),B a d ∉Ω∈Ω

(),C a d ∈Ω∉Ω (),D a d ∈Ω∈Ω

6. 设二次型1,23(,)f x x x 在正交变换x py =下的标准形为2221232y y y +-，其中

123(,,)p e e e =，若132(,,),Q e e e =-则1,23(,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（ ）

（A ）2221232y y y -+ (B)2221232y y y +-

(C)2221232y y y -- (D)2221232y y y ++

7.设A,B 为任意两个随机事件，则（ ）

（A ）()()()P AB P A P B ≤ (B)()()()P AB P A P B ≥ (C) ()()()2P A P B P AB +≤

(D)()()()2P A P B P AB +≥ 8.设总体(,)X B m θ，n X X X ,,,21为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E x X =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦

∑（ ） （A ）(1)(1)m n θθ-- (B) (1)(1)m n θθ--

(C) (1)(1)(1)m n θθ--- (D) (1)mn θθ-

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. 9.2ln(cos )lim

x x x →∞=.__________

10.设函数()f x 连续，dt t xf x x ⎰=

20)()(ϕ，

若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =.__________

11.若函数z = (,)z x y 由方程2+3z 1x y e xyz ++=确定，则(0,0)dz =.__________

12.设函数()y y x =是微分方程02'''=-+y y y 的解，且在x =0处()y x 取得极值3，则()y x = .__________

13.设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =.__________

14.设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ,则(0)P XY Y -＜=.__________

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．

指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、（本题满分10分）

设函数x bx x a x x f sin )1ln()(+++=，3)(kx x g =，若()f x 与()g x 在0x →时 是等价无穷小，求k b a ,,的值。

16、（本题满分10分）

计算二重积分()D x x y dxdy +⎰⎰，其中{}

222(,)2,D x y x y y x =+≤≥

17、（本题满分10分）

为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（η＞0）

（I ）证明定价模型为11MC p η

=- （II ）若该商品的成本函数为2()1600C Q Q =+，需求函数为P Q -=40，试由（I ）中的定价模型确定此商品的价格。

18、（本题满分10分）