【海文考研数学】2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
2010年考研数学一真题与答案
]x2010年考研数学一真题一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
)⑴极限皿—［金而］_(A) l (B)e (C)e a ~b(D)e b ~a【考点】Co 【解析】 【方法一】 这是一个“I 00”型极限Um [—— l x(x-a)(x+b) (a-b)x+ab j (a-D)x+ad J(x- a)(x+ b)X 【方法二】 原式="Hl 評”(x-a )("b)XT 8rfii/im xln ----- - ----- = lim x/n(l +xt8 (x-a)(x+&) xt8(x-a)(x+&)【方法三】对于“18”型极限可利用基本结论: 若Mm a(x) = 0, lim 0(x) = 0,且"m(a-b)x^ab (―a)(+)lim x •*T8(a-b)x+ab (x-a)(x+b)(等价无穷小代换)x 2DM)a(x) 0(x) = A]x由于"mis Q (x)0(x) = Um曽；驚；；)• x XT8 (x-a)(x+fc)■ • (a -b)x 2^abxf=恐乔亦Li 则叫g[高而F =宀【方法四】综上所述，本题正确答案是C 。
【考点】高等数学一函数、极限.连续一无穷小量的性质及无穷 小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(A)x (C)-x【答案】Bo 【解析】 空=_鱼=_只(-召)+ E (一刼=Eg+f 茫 缺 F ； 磅 叫 9dz °y综上所述，本题正确答案是(B)。
所以唏+y 辭警現F , yfi -珈X 2(x-a)(x+b).：(x-a)(x+b)]-XX 2=塑a 一 沪•慟(i+「宀ea 'b(2)设函数z = z(x,y)由方程 F (gm =0确定，其中F 为可微函数，且f”2工°，则燈+琲=(D)-z因为【考点】高等数学一多元函数微分学一多元函数的偏导数和全微(3)设m,ri 为正整数，则反常积分的收敛性【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在x t 0+在反常积分中，被积函数只在"0+时无界。
2010年考研数学一真命题及答案解析
2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)极限limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=(A)1 (B)e (C)e a−b (D)e b−a 【考点】C。
【解析】【方法一】这是一个“1∞”型极限lim x→∞[x2(x−a)(x+b)]x=limx→∞{[1+(a−b)x+ab(x−a)(x+b)](x−a)(x+b)(a−b)x+ab}(a−b)x+ab(x−a)(x+b)x=e a−b【方法二】原式=limx→∞e xlnx2(x−a)(x+b)而limx→∞ xln x2(x−a)(x+b)=limx→∞xln(1+(a−b)x+ab(x−a)(x+b))=limx→∞x∙(a−b)x+ab(x−a)(x+b)(等价无穷小代换) =a−b则limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=e a−b【方法三】对于“1∞”型极限可利用基本结论：若limα(x)=0, limβ(x)=0,且limα(x)β(x)=A 则li m(1+α(x))β(x)=e A,求极限由于limx→∞α(x)β(x)=limx→∞x2−(x−a)(x+b)(x−a)(x+b)∙x=limx→∞(a−b)x2+abx(x−a)(x+b)=a−b则limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=e a−b【方法四】lim x→∞[x2(x−a)(x+b)]x=limx→∞[(x−a)(x+b)x2]−x=limx→∞(1−ax)−x∙limx→∞(1+bx)−x=e a∙e−b=e a−b综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数z=z(x,y)由方程F(yx ,zx)=0确定，其中F为可微函数，且f′′2≠0,则xðzðx+yðzðy=。
【合集打印】2010-2019年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学一)真题【 40页 】
真题汇总一2010-20192019年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）(I )当X ----+ 0时，若x -ta n x 与x k是同阶无穷小，则k =((A )l .(B)2.(C)3.、丿(D)4.(2)设函数f(x )= {XIXI 'X 冬O ＇则X = 0是f (x)的（）x l n x, x > 0,(A )可导点，极值点(B )不可导点，极值点(C)可导点，非极值点(D)不可导点，非极值点(3)设飞｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）C B)Ic-1尸—1 ""'u ; (C )�(i-2:;)·(D )�(u !., 一式）．(4)设函数Q(x ,y )=今．如果对上半平面(y > O )内的任意有向光滑封闭曲线C 都有乎P(x,y )d x + Q (x,y )d y = 0, 那么函数P(X ,y )可取为（）(A )y -子 1 x 2(B)—-—1 1 (C)—-—.1(D)x-—. yy(5)设A是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵．若A 2+ A = 2E , 且IA I =4, 则二次型x T A x 的规范形为（）00u(A )I 二n=ln(A ) Y i + y ; + y ; ·(B) Y i + y ; -y ; ·(C) Y i -y ; -Yi·(D)-Yi -y ; -y ; ·(6)如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程a i l x + a i2y + a i3z = d;(i = l , 2 , 3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A,则（(A )r (A) =2, r (A ) = 3.(B)r (A) =2, r (A ) = 2.(C)r(A) = 1,r (A ) = 2.(D)r(A) = 1,r (A ) = 1.(7)设A,B为随机事件，则P(A)= P (B )的充分必要条件是（）(A ) P (A U B ) = P (A ) + P (B ) .(B ) P (AB ) = P (A) P (B) .(C) p (A B) = p (B A) .(D) p (AB) = p (A B ).(8)设随机变豐X 与Y相互独立，且都服从正态分布N(µ,矿），则P l I X -Y I < 1 f ()(A)与µ无关，而与矿有关.(B)与µ有关，而与矿无关(C)与µ,矿都有关(D)µ,矿都无关二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）(9)设函数八u)可导，z = /(sin y -sin x ) + x y, 则一—-. -+ . 一1加1加COS X彻co s y 切(10)微分方程2yy'-r 2-2 = 0满足条件y(O )= 1的特解y =(11)幕级数2(-1)"几=O(2n ) ! x"在(0,+oo)内的和函数S(x)=(12)设凶设为曲面x 2+ y 2+ 4z 2 = 4(z�0)的上侧，则ff J 4 -x 2-4z 2d x d y =(13)设A = (a 1 , a 2 , a 3)为3阶矩阵．若a 1'a 2线性无关，且a 3= -a 1 + 2a 2 , 则线性方程组Ax =0的通解为(14)设随机变掀X的概率密度为八x)= (f'O <x < 2'F(x)为X的分布函数，E(X)为X的0, 其他，数学期望，则Pj F(X) > E(X) -1 l—,•三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）(15)(本题满分10分）设函数y(x)是微分方程y'+xy = e 寻满足条件y(O )= 0的特解(I )求y(x);(II)求曲线y = y(x)的凹凸区间及拐点．(16)(本题满分10分）设a ,b为实数，函数z = 2 + a x 2 + by 2在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l = -3i -4j 的方向导数最大，最大值为10.(I )求a,b ;(II)求曲面z = 2 + ax 2+ by 2 (z ;;,: 0)的面积．(17)(本题满分10分）求曲线y = e 一允sin x (x�0)与x轴之间图形的面积(18)(本题满分10分）1设a ,.=Lx "Jl了五x (n = 0, 1 , 2,…）． (I)证明数列｛叮单调递减，且a ,.=—一－n -1 n + 2a 几一2(n = 2, 3,-·· );(II ) .a求hm n .n----+oo a几一1(19)(本题满分10分）设0是由锥面忒+(y-z)2 = (l -z)2(0�z�1)与平面z = 0围成的锥体，求0的形心坐标(20)(本题满分11分）设向量组a (1 2 1 ＝ ）平=(1 , 3, 2) T ,a 3 = (1 , a , 3尸为R 3的一个基，/J =(l,1,l)T 在这个基下的坐标为(b,c, 1)飞(I )求a,b,c;(II )证明生立3/J 为R 3的一个基，并求生立3/J 到叮生立3的过渡矩阵．(21)(本题满分11分）已知矩阵A=厂。
2010年考研数学一真题及解析
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2010年考研数学一真题及答案
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2010年考研数一试题及答案解答
2010（一）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
（1）、极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、e a b- D 、eb a-【解析与点评】方法一222ln 1()()()()lim lime lime()()xx x xx x a x b x a x b x x x xx a x b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞⎛⎫== ⎪-+⎝⎭()()2()()()()limelime a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x -+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞==e a b -=方法二22()()lim lim 1()()()()x xx x x x x a x b x a x b x a x b →∞→∞⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()lim 1lim 1()()()()x a x b a b x abxxa b x ab x a x b x x a b x ab a b x ab x a x b x a x b -+-+⋅-+-+→∞→∞⎛⎫⎛⎫-+-+=+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()lim()()()ee x a b x abxa b x a x b →∞-+--+==考点：第二个重要极限，初等函数运算，复合函数极限运算法则，极限运算，无穷小量替换 （2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy u y∂∂+=∂∂（ B ） A 、x B 、z C 、x - D 、z -【解析与点评】 等式两边求全微分得：12d d 0y z F F x x ⎛⎫⎛⎫''⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 1222d d dz d 0x y y x x z xF F x x--''+=12(d d )(dz d )0F x y y x F x z x ''⇒⋅-+⋅-= 12122dz d d yF zF F x y xF F '''+∴=-'' 所以有，1212222yF zF F zF z z xy x y z u y xF F F ''''+∂∂+=-==∂∂'''（3）、设,m n是正整数，则反常积分x ⎰的收敛性( D )A 、仅与m 的取值有关B 、仅与n 的取值有关C 、与,m n 的取值都有关D 、与,m n 的取值都无关 【解析与点评】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于的瑕点0x =，当0x +→21ln (1)mnx x -=-等价于221(1)mm nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故收敛；对于)的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2(1)nmnmx x <-<-，而2112(1)mxd x-⎰显然收敛，故收敛。
2010数学考研
2010全国硕士研究生入学统一考试数学一一. (4'832'⨯=)1. 极限2lim[]()()x x x x a x b →∞=-+ [ C ]:1A ; :B e ; :a b C e -; :b a D e -. 2. 设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z F x x=确定, 其中F 为可微函数, 且'20F ≠, 则 z zxy x y∂∂+=∂∂ [ B ] :A x ; :B z ; :C x -; :D z -.3. 设,m n 是正整数，则反常积分⎰的收敛性: [ D ]:A 仅与m 的取值有关; :B 仅与n 的取值有关; :C 与,m n 的取值都有关; :D .与,m n 的取值都无关。
4. 2211lim()()n i j nn i n j ∞∞→∞===++∑∑ [ D ] 1201:(1)(1)xA dx dy x y ++⎰⎰; 1001:(1)(1)x B dx dy x y ++⎰⎰; 11001:(1)(1)C dx dy x y ++⎰⎰; 112001:(1)(1)D dx dy x y ++⎰⎰.二. (4'624'⨯=)9. 设20ln(1)tt x e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰, 求: 2200t d y dx ==10. 24ππ=-⎰11. 已知曲线L 的方程为1,([1,1])y x x =-∈-, 起点是(1,0)-, 终点是(1,0), 则曲线积 分20Lxydx x dy +=⎰12. 设22{(,,)1}x y z x y z Ω=+≤≤, 则Ω的形心的竖坐标为23三.15(10'). 求微分方程"3'22x y y y xe -+=的通解. [212(2)x x x y C e C e x x e =+-+]16(10'). 求函数2221()()x t f x x t e dt -=-⎰的单调区间与极限.[22max min 111'()200,1(0)(1),(1)02x t f x x e dt x y y e-==⇒=±⇒=-±=⎰]17(10'). (1)比较1ln [ln(1)]n t t dt +⎰与1ln n t t dt ⎰的大小, 说明理由;(2)记1ln [ln(1)],(1,2,)n n u t t dt n =+=⎰, 求极限lim n n u →∞.[121(1)0ln(1);(2)0ln (1)n n t t u t t dt n <+<≤≤=+⎰]18(10'). 求幂级数121(1)21n nx n -∞--∑的收敛域及和函数.[[1,1]Ω=-⇒2121()1[]'()()arctan 1n n S x x S x x x x x ∞-==-=⇒=+∑] 19(10'). 设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上动点, 若S 在点P 处的切平面与xoy 面 垂直, 求点P 的轨迹C ,并计算曲面积分I dS ∑=, 其中∑为椭球面S 位于曲线C 上方的部分.[2222223(2,2,2)::114xy y z n x y z z y C C x y x y z yz =⎧=--⇒⇒+=⎨++-=⎩,22314(2x y I x dxdy π+≤⇒==⎰⎰]数学二一1. 函数()f x =: [ B ]:0A ; :1B ; :2C ; :3D . 2. 设 12,y y 是一阶非齐次微分方程 '()()y p x y q x += 的两个特解, 若常数 ,λμ 使12y y λμ+是该方程的解, 12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解, 则: [ A ]11:,22A λμ==; 11:,22B λμ=-=-; 21:,33C λμ==; 22:,33D λμ==. 3. 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切, a = [ C ] :4A e ; :3B e ; :2C e ; :D e . 4. 同数一(3)5. 同数一(2)6. 同数一(4) 二.9. 3阶常系数线性齐次微分方程"'2"'20y y y y -+-=的通解为2123sin cos x y C e C x C x =++10. 曲线3221x y x =+的渐近线方程为2y x=11. 函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()(0)2(1)!n n y n =--12. 当0θπ≤≤时, 对数螺线r e θ=的弧长为1)e π-13. 已知一个长方形的长l 以2cm s 的速率增加,宽w 以3cm s 的速率增加,则当12l cm =, 5w c m =时, 它的对角线增加速率为3cm s三.15. 同数一(16)16. 同数一(17)17. 设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定, 其中()t ψ具有2阶导数, 且 5(1),'(1)62ψψ==, 已知2234(1)d y dx t =+, 求函数()t ψ. [22323'()(1)"()'()33,()224(1)4(1)2dy t d y t t t t t t dx t dx t t ψψψψ+-===⇒=++++]18. 一个高为1的柱体形贮油罐, 底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆, 现将贮油罐平放, 当 油罐中油面高度为32b 时(如图), 计算油的质量. (长度单位为m , 质量单位为kg ,油的密 度为常数3kg m ρ)[2213S ab aab M S ππρ=-=⇒=⨯⨯]19. 设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数, 且满足等式: 2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂,确定,a b 的值, 使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20uξη∂=∂∂[22222222222222,()u u u u u u u u a a b b x x y ξξηηξξηη∂∂∂∂∂∂∂∂=++=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2222222222u u u u a ab b y ξξηη∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂222512402,5512402,212()10805a a a b b b a b a b ab ⎧⎧++==-=-⎪⎪⎪⇒++=⇒⎨⎨⎪⎪=-=-+++≠⎩⎪⎩] 20. 计算二重积分:2sin DI r θ=⎰⎰, 其中{(,)0sec ,0}4D r r πθθθ=≤≤≤≤.[10013316xI dx π==-⎰⎰]21. 设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续, 在开区间(0,1)内可导, 且1(0)0,(1)3f f ==, 证明: 11(0,),(,1)22ξη∃∈∈, 所得22'()'()f f ξηξη+=+.[31()()(0)(1)03F x f x x F F =-⇒==,2211()(0)['()]2211(1)()['()]22F F f F F f ξξηη⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩]数学三一.1. 若011lim[()]1xx a e x x→--=, 则a 等于: [ C ]:0A ; :1B ; :2C ; :3D . 2. 同数学二(2)3. 设函数(),()f x g x 具有二阶导数, 且0"()0,()g x g x a <=是()g x 的极值, 则[()]f g x 在0x 为极大值的一个充分条件是; [ B ]:'()0A f a <; :'()0B f a >; :''()0C f a <; :''()0D f a >. 4. 设1010()ln ,(),()xf x xg x xh x e ===, 则当x 充分大时有: [ C ]:()()()A g x h x f x <<; :()()()B h x g x f x <<; :()()()C f x g x h x <<; :()()()D g x f x h x <<.二.9. 设可导函数()y y x =由方程220sin x yxx e dx x tdt +-=⎰⎰, 则1x dydx==-10.设位于曲线()y e x =≤<+∞下方的无界区域为G , 则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是:24π11. 设某商品的收益函数为()R p , 收益弹性为31p +, 其中p 为价格, 且(1)1R =, 则31(1)3()p R p pe-=12. 若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-, 则3b =三15. 求极限11ln lim (1)xxx x →+∞-[111ln ln(1)1ln 1(1)ln ln lim lim lim x x xx x x x xxx x x eeee -----→+∞→+∞→+∞====]16. 计算二重积分:3()Dx y dxdy +⎰⎰, 其中D 由曲线x =与直线0x =及0x =围成.[13201423)15I dyx xy dx =+=⎰] 17. 求函数2M xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最大值与最小值.[maxmin 22220220(1,2)(,,)220(1,2)10x y z F y x M F x z y F M f x y z F y z M x y z λλλλ=+=⎧⎪⎧⎧==++=±±±⎪⎪⎪=+⇒⇒⇒⎨⎨⎨=+==-±±⎪⎪⎪⎩⎩⎪++=⎩18. 同数一(17)19. 设函数()f x 在[0,3]上连续, 在(0,3)内存在二阶导数, 且22(0)()(2)(3)f f x dx f f ==+⎰(1)证明: (0,2)η∃∈,使()(0)f f η=; (2)证明: (0,3)ξ∃∈, 使"()0f ξ=. [(1)2(0,2),()2()f x dx f ηη∃∈=⎰; (2)1[2,3],()[(2)(3)](0)2f f f f μμ∃∈=+=]。
2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解【圣才出品】
lim 1 x
0
x1－
nx
1
又反常积分 1 2
1 dx 收敛，所以 1 x
1 m ln2 (1 x)
1 2
dx 收敛。 nx
1 m ln2 (1 x)
综上，无论正整数 m 和 n 取何值，反常积分 0
dx 都收敛，故选 D。 nx
n n
n
4． lim n
i 1
j1 (n i)(n2
j2)
1 m ln2 (1 x)
3．设 m，n 均是正整数，则反常积分 0
dx 的收敛性（ ）。 nx
A．仅与 m 的取值有关
B．仅与 n 的取值有关
C．与 m，n 的取值都有关
D．与 m，n 的取值都无关
【答案】D
【考点】反常积分的性质，收敛性判别
【解析】分析过程如下
1 m ln2 (1 x)
【解析】在 F（y/x，z/x）＝0 两边对 x 求导得
F1 (
y x2
)
F2
(
z x2
zx ) x
0
zx
yF1 zF2 xF2
再在 F（y/x，z/x）＝0 两边对 y 求导得
F1
(
1 x
)
F2
(
zy x
)
0
zy
F1 F2
故 x∂z/∂x＋y∂z/∂y＝z。
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1 m ln2 (1 x)
1 m ln2 (1 x)
0
dx 2
nx
0
n x
dx 1
2
dx nx
1 m ln2 (1 x)
2010考研数一真题.docx
一、小题,每小题4 分,共32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)．．．x 2x(A) 1.(B)e.(C)e a b.(D)e b a.y zx y(x y)(A) x. (B) z. (C) x. (D) z.(3) 设m, n是正整数,则反常积分dx的收敛性( )(A) 仅与m的取值有关. (B)仅与n的取值有关.(C) 与m, n取值都有关. (D) 与m, n取值都无关.i1j1n i n2j2()0 0 1x1y20 0 1x1y(B)dxxdy.0 0 1x1y2(5) 设A为m n矩阵,B为n m矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB E,则( )(A) 秩r A m,秩r B m. (B) 秩r A m,秩r B n.(C) 秩r A n,秩r B m. (D) 秩r A n,秩r B n.(6) 设A为4 阶实对称矩阵,且A2 A O,若A的秩为3,则A相似于( )(A)111(B)1111n n nz z. .(C)1dx 11dy.(D) 1dx 11dy.(A)1dx x1dy.(2) 设函数z z(x, y) , 由方程F , 0 确定,其中F为可微函数,且F20 ,则x x(1) 极限lim ( )x(x a)(x b)(C)111(D)1110,(7) 设随机变量X 的分布函数F (x )1 2 1 e x ,x 00 x 1 ,则P X 1 = ( ) x 1(A) 0.1 (B) .2(C) e 1 .(D) 1 e 1.(8) 设 f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度, f 2 (x ) 为 1,3 上均匀分布的概率密度,若af 1(x ), x 0(A) 2a 3b 4 . (B) 3a 2b 4 . (C) a b 1. (D) a b 2 . 二、(914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.)．．．x e t, d 2yy 0 ln 1 u 2du , dx t.(10)2cos dx .(11) 已知曲线L 的方程为 y 1 x x 1,1 ,起点是 1.0 ,终点是 1, 0 ,则曲线积 分 Lxydx x 2dy .(12) 设 x , y , z x 2 y 2z 1 ,则 的形心的竖坐标z .(13) 设11, 2, 1, 0 T,21,1, 0, 2 T,32,1,1, a T,若由1,2,3 生成的向量空间的维数是 2,则a .(14) 设 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为 P X k , k 0,1, 2, , 则 E X2=.三、～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.) (9) 设 t 求 2k !C21, ..f (x ) , (a 0,b 0) 为概率密度,则a , b 应满足 ( ) bf 2 (x ), x 0(15)(本题满分 10 分)求微分方程y 3y 2y 2xe x 的通解． (16)(本题满分 10 分)求函数f x1x 2 x2t e t 2dt 的单调区间与极值.(17)(本题满分 10 分) (I)比较 ln t ln 1 t ndt 与 t n ln t dt n 1, 2,的大小,说明理由；(II)记u nln t ln 1 tndt n 1, 2, (18)(本题满分 10 分)求幂级数n 11n 1 2n,求极限lim u n .(19)(本题满分 10 分)设 P 为椭球面 S : x 2 y 2 z 2 yz 1上的动点,若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 面垂直,求点 P 的轨迹 C ,并计算曲面积分 I 2 2 dS ,其中 是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分. (20)(本题满分 11 分)1 1 a 设 A 0 1 ，b 1 ,已知线性方程组Ax b 存在两个不同的解.( I ) 求 , a ；( II ) 求方程组Ax b 的通解. (21)(本题满分 11 分)已知二次型 f (x 1 , x 2 , x 3) x T Ax 在正交变换 x Qy 下的标准形为 y y ,且 Q 的第三列为( , 0, )T .( I ) 求矩阵 A ；( II ) 证明A E 为正定矩阵,其中E 为 3 阶单位矩阵.(22)(本题满分 11 分)设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) Ae2x 2 2xy y 2, x , y ,求常数 A 及条件概率密度f Y |X (y | x ) ．x y 2z2 214 y z 4yznx 的收敛域及和函数. 2n 1(23)(本题满分11分)设总体X的概率分布为1 2 3122表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的其中参数0,1未知,以Ni3个数(i 1, 2,3 ).试求常数a1 , a2 , a3 ,使T a i N i为的无偏估计量,并求T的方差.i 1(1)【答案】 (C).【解析】 本题属于未定式求极限,极限为1 型,故可以用“e 的抬起法”求解．x 2 xx 2 lim e x a x b x x 2 e x x a x b , x 2 x 2 (x a )(x b )x x 2 (x a )(x b ) x(xa )(xb )(a b )x 2 abxlima b故原式极限为e a b ,所以应该选择(C). (2)【答案】 (B).【解析】 zF 1F 2F1F 2yF 1 zF 2 ,xF21 F2 xF 2z F y F 1x F 1 , y F 21 F 2z z yF 1 zF 2 yF 1 F 2z2 2 2(3) 【答案】 (D).【解析】 x 0 与x 1都是瑕点.应分成x x 2 xxx x1x(x a )(x b )limlim x ln x ln xx y z ．x y F F F x a x b1 (x a )(x b ) lim x x a x b其中又因为1[ln 2(1 x )]m用比较判别法的极限形式,对于dx ,由于im1 .1 2 n m显然,当0 1 ,则该反常积分收敛.n m当 0 , im 0存在,此时dx 实际上不是反常积分,故收.20 1,不论m , n 是什么正整数,1[ln 2 (1 x )]m11lim x nlim ln 2 (1 x )m (1 x ) 0 ,(1 x )2(4)【答案】 (D).【解析】i 1j 1n i n 2 j 2i 1 n i (j 1 n 2 j 2 ) (j 1 n 2 j 2 )(i 1n i )nj 1 nj 1dy ,ni 1ni 1dx ,i 1j 1n i n 2 j 2j 1 n 2 j 2 )(i 1 n i)j 1 n 2 j 2i 1 n i)敛 xnn n n n 1 n 1n nn n 1 n n n n n 1nn n nx 1 1 x 11 2n11所以dx 收敛,故选(D).故不论 m , n 是什么正整数,02dx 总收敛.对于 1dx ,取1 1(dx )( dy ) dxdy .(5)【答案】 (A).【解析】 由于AB E ,故r (AB ) r (E ) m .又由于r (AB ) r (A ), r (AB ) r (B ) ,故m r (A ), m r (B ) ①由于 A 为m n 矩阵,B 为n m 矩阵,故r (A ) m , r (B ) m ②由①、②可得r (A ) m , r (B ) m ,故选 A. (6)【答案】 (D).【解析】 设 为 A 的特征值,由于 A 2 A O ,所以 20 ,即 ( 1) 0 ,这样 A 的 特 征 值 只 能 为 -1 或 0. 由 于 A 为 实 对 称 矩 阵 , 故 A 可 相 似 对 角 化 , 即1A ,r (A ) r () 3 ,因此,11 1 ,即 A1(7) 【答案】 (C).【解析】 离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数 是连续函数.观察本题中F (x ) 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续 型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定 义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即P X 1 P X 1 P X 1 F 1 F 1 0 1 e 1e 1,故本题选(C).(8)【答案】 (A).1, 1 x 3 2 0, 其它利用概率密度的性质:fxdx1 ,故f x dx af 1 x dx bf 2 x dxf 1 x dx b3dx b 1所以整理得到2a 3b 4 ,故本题应选(A).二、(9) 【答案】 0. x 2 1 2 21 1 1.【解析】 根据题意知,f 1 x e 2 ( x ),f 2 x 4【解析】因为tln1t e t,d2y d ln 1t2 e t dt 2t t 2 t t d2y0 .(10)【答案】4.【解析】令原式t cos t 2tdt2t2 cos tdt 2t2d sin t2 t2 sin t 2t sin tdt 4td cos t(11)【答案】0.121x1x dx x2dx x1x dx x2 dx12x2 x dx x 2x2 dx3 212 321122.3dxdydz2d rdrr12dz2d 1 r2 rdr12d r dr0 6d22 21622.32zdxdydz2d rdrr12zdz02d rdr22r2 r6ddy ln 1t2 20412(12) 【】dx e【解析】213 2 2 30 12x3 x2 x2 2x3【解析】Lxydx x2dyLxydx x2dyLxydx x2dy4t cos t0 0cos tdt 4c os 4sin t4.x t,x t2 ,dx 2tdt,利用分部积分法,dx2 dt dx 1t2e ln 1t e e,所以dx2t0(13)【答案】 a 6 . 【解析】 因为由1 ,2,3 生成的向量空间维数为 2,所以r (1,2,3) 2 . 对(1,2,3)进行初等行变换：1(1,2,3)所以a 6 .1 2 11 2 11 20 a 6 (14) 【答案】 2 .【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知1 k 0P X k k 0k !Ce ,整理得到 C e 1 ,即P X ke 1.故X 服从参数为1的泊松分布,则E X 1, D X 1,根据方差的计算公式有E X 2D XE X2112 2 .三、(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为 23 2 0 ,解得特征根11,22 ,所以对应齐次方程的通解为y c C 1e xC 2e 2x ．设原方程的一个特解为y * x (ax b )e x ,则y *ax 2 2ax bx b e x ,y *ax 2 4axbx 2a 2b e x ,代入原方程,解得a 1,b 2 ,故特解为y * x (x2)e x ．故方程的通解为y y cy * C 1e x C 2e 2x x (x 2)e x ．其中C 1, C 2 为任意常数.(16)【解析】因为f (x ) 1x 2(x2t )e t 2dt x2 1x2e t 2dt1x 2te t 2dt ,所 以 f (x ) 2x1x 2e t 2dt 2x 3e x 42x 3e x42x1x 2e t 2dt , 令f (x ) 0 , 则x 0, x 1 .C e 1 1k k ! k !1 32 10 01 1 0 0 1 02 a 02 a 0 0又f (x ) 21x 2 e t 2 dt 4x 2e x 4,则f (0) 210 e t 2dt 0 ,所以f (0) 1 (0 t )e dt 2 e 2 (1 e )是极大值.而f (1) 4e 10 ,所以f (1) 0 为极小值.又因为当 x 1时, f (x ) 0 ； 0 x 1时, f (x ) 0 ； 1 x 0 时, f (x ) 0 ；x1时, f (x ) 0 ,所以 f (x ) 的单调递减区间为 (, 1) (0,1) , f (x ) 的单调递增区.(I)当0 x 1时0 ln(1 x ) x ,故 ln(1 t ) n t n ,所以ln t ln(1 t ) ndtln t t n dt n 1, 2, .(II) ln t t ndtln t t n dt ln td t n1,故由n0 n 12根据夹逼定理得0 lim u n lim 0 ,所以lim u n 0 .(18)【解析】所以,当x 2 1 ,即 1 x 1时,原级数绝对收敛.当x 2 1时,原级数发散,因此幂级数 的收敛半径R 1 .当 x1 时,n 1x 2nn 1,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为 1,1 . ( 1)(n1)12(n 1)(I) 2(n 1) 1 lim n 1 lim x( 1)n x 2n 22n 1 ( 1)n 1x 2n 2n 1(2n 1)x 2limn2n 12n 1 2 2lim x x ,n2n 10 t21 t2 1 1n( 1) 2n n 2n 1 x 11n n n 1 2 n0 u 1ln t t n dt 1, 间为( 1,0) (1, )(17)【解析】 ln t ln(1 t ) nln t t n ,则( 1)n12n( 1)n 1 2n 1S 1(x )n 1 2n 1x x 1,1 ,所以有 S 1 (x ) ( 1)n1 x2n 2(x 2 )n1n 1 n 1x 1,1 ,从而有 故S 1 (x ) 2 2 x 1,1 ,S 1(x )xdx S 1(0) arctan x ,x 1,1 .S 1(x ) 在x1,1上是连续的,所以S (x ) 在收敛域 1,1 上是连续的.所以S (x ) x arctan x ,x 1,1 .(19)【解析】 ( I )令F x , y , z x 2 y2z2yz 1 ,故动点P x , y , z 的切平面的法向量 为 2x ,z , 2z , 由 切 平 面 垂 直 xOy , 故 所 求 曲 线 C 的 方 程 为x 2 y 2 z 2 yz 1( II ) 由 ,消去z ,可得曲线 C 在xOy 平面上的投影曲线所围2z y 0,成的xOy 上的区域D :{(x , y ) | x 23 y 21} ,由 x 2 y 2 z 2 yz x1x ,由z 2z2x y y 2z故I 2 2 dS x dxdy xdxdydxdy3(20)【解析】 因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于 3,进而可 以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法 1： ( I )已知Ax b 有 2 个不同的解,故r (A ) r (A ) 3 ,对增广矩阵进行初等行 x y 2z1 (x ) 1 x 1 14 D4 y z 4yz D D Ddxdy 3 122 . .2z y 0x 2 y 2 z 2 yz 1 (II) 设S (x ) x x x ,其中令n 1 2n 1 n 1 2n 1( 1)n12n 1变换,得11 1 0 1a 11 1 0 1 111 11 0 1 1 21 111 00 12111 1 1 0 0 0 0 12 0 1 11 0 0 11 1 1,由于r (A ) r (A ) 3 ,所以a 2 ,故 1 ,a 2 .方法 2：已知Ax b 有 2个不同的解故r (A ) r (A ) 3 ,因此 A0 ,即11 11 0 1知 1或-1.当1 时, r (A ) 1 r (A )2 ,此时, Ax b 无解,因此1 .由 r (A ) r (A ) ,得a 2.(II ) 对增广矩阵做初等行变换33x 1 x 33 x 1 12 可知原方程组等价为 1 ,写成向量的形式,即 x 2 x 32 .A (1)2 ( 1) 0 ,x 2 2 x 3 1 02 11 0 1 21 1 12 1 1 1 2 A 0 2 0 1 0 2 0 1 0 1 0 11 1 1 1 0 0 0 00 0 0 02当 1时,A 0 1 0 1 当 1时,A 0 0 0 1 ,此时,r (A ) r (A ) ,故 Ax b 无解(舍去)． 0 0 0a 20 a 0 0 1 0 1 0a 1a 01 01A 011a3因此Ax b的通解为x k02,其中k为任意常数.(21)【解析】( I )由于二次型在正交变换x Qy下的标准形为y y,所以A的特征值为121,30.由于Q的第3 列为2 , 0,2,所以A对应于 3 0 的特征向量为2, 0,2,记为3. 由于A是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于2 2程组的基础解系为10,1,0T ,21,0,1T,因此1,2为属于特征值1的两个线性无关的特征向量.由于1,2是相互正交的,所以只需单位化：122取Q1,2,31故A Q Q T011121211.( II )A E也是实对称矩阵,A的特征值为1,1,0,所以A E的特征值为2,2,1,由于A E的特征值全大于零,故A E是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度f x,y后,要求条件概率密度T T22,且Q 1 Q T,2110,1,0T,2211,0,1T.1 21的特征向量为x1, x2, x3T,则T30 ,即x1x30 . 求得该方121f Y|X (y|x),可以根据条件概率公式fY|X(y|x)来进行计算.本题中还有待定参数, A要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.fXx f x,y dy A e2x2 2xy y 2 dy A e (y x )2 x 2 dy Ae x2 e (y x )2 dyA e x 2 , x .根据概率密度性质有1fXx dx A e x 2 dx A ,即A 1 ,当x 时,有条件概率密度fYXy x e x22xy y2 e(x y)2 , x, y.(23)【解析】N1 ~ B n,1, N2~ B n, 2 , N3~ B n, 23a1n1a2n 2 a3n 2 na1n a2a1n a3a22 .na1因为T是的无偏估计量, 所以E T, 即得n a2 a1 1 , 整理得到n a3 a2 0a 1 0 , a2, a3.所以统计量1111注意到N1B(n,1) ,故111n n11f(x,y)fX(x)D T D n n N1 n2D N1 n1 .T 0N1N2N3N2N3n N1.n n n nE T E aiNia1E N1a2E N2a3E N3i1故fX x1e x2,x.。
2010-2019年(近10年)考研数学一真题
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限= (A)1 (B) (C)(D)(2)设函数由方程确定,其中为可微函数,且则= (A) (B) (C)(D)(3)设为正整数,则反常积分的收敛性(A)仅与取值有关 (B)仅与取值有关(C)与取值都有关 (D)与取值都无关(4)= (A)(B)(C)(D) (5)设为型矩阵为型矩阵,若则2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦e e a b -e b a -(,)z z x y =(,)0y zF x x=F 20,F '≠z z xy x y∂∂+∂∂x z x -z -,mn 0⎰m n ,m n ,m n 2211lim ()()nnx i j nn i n j →∞==++∑∑12001(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰1001(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰11001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰A m n ⨯,B n m ⨯,=AB E(A)秩秩 (B)秩秩(C)秩秩 (D)秩秩(6)设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于(A) (B)(C)(D) (7)设随机变量的分布函数则= (A)0(B)1(C)(D)(8)设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度,()f x =为概率密度,则应满足(A)(B)(C)(D)(),m =A ()m =B (),m =A ()n =B (),n =A ()m =B (),n =A ()n =B A 20,+=A A A A 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1110⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭X ()F x =00101,21e 2x x x x -<≤≤->{1}P X =11e 2--11e --1()f x 2,()f x [1,3]-12()()af x bf x 0x x ≤>(0,0)a b >>,a b 234a b +=324a b +=1a b +=2a b +=二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设求= .(10)=.(11)已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分= .(12)设则的形心的竖坐标= .(13)设若由形成的向量空间的维数是2,则= . (14)设随机变量概率分布为则= .三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)求微分方程的通解.(16)(本题满分10分)20e ,ln(1),ttx y u du -==+⎰220t d ydx =2π⎰L 1{[1,1]},y x x =-∈-(1,0),-(1,0),2L xydx x dy +⎰22{(,,)|1},x y z x y z Ω=+≤≤Ωz 123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα123,,ααααX {}(0,1,2,),!CP X k k k ===2EX 322e x y y y x '''-+=求函数的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(1)比较与的大小,说明理由 (1) 记求极限(18)(本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设为椭球面上的动点,若在点的切平面与面垂直,求点的轨迹并计算曲面积分其中是椭球面位于曲线上方的部分.(20)(本题满分11分)221()()e xt f x x t dt -=-⎰10ln [ln(1)]nt t dt +⎰10ln (1,2,)n t t dt n =⎰10ln [ln(1)](1,2,),n n u t t dt n =+=⎰lim .n x u →∞121(1)21n nn x n -∞=--∑P 222:1S x y z yz ++-=S P xoy P ,C ,I ∑=∑S C设已知线性方程组存在两个不同的解.(1)求(2)求方程组的通解.(21)(本题满分11分)设二次型在正交变换下的标准形为且的第三列为 (1)求(2)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵.(22)(本题满分11分) 设二维随机变量的概率密度为求常数及条件概率密度(23)(本题满分11 分)设总体的概率分布为11010,1,111a λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b =A x b ,.a λ=A x b 123(,,)T fx x x =A x x x y =Q 2212,y y +Q .T .A +A E E ()X Y +2222(,)e,,,x xy y f x y A x y -+-=-∞<<∞-∞<<∞A |(|).Y X f y x X其中未知,以来表示来自总体的简单随机样本(样本容量为)中等于的个数试求常数使为的无偏估计量,并求的方差.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一(0,1)θ∈i N X n i (1,2,3),i =123,,,a a a 31i i i T a N ==∑θT个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛域为( )(A) (1,1]-． (B) [1,1)-． (C) [0,2)． (D) (0,2]．(3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121P P -．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A)13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos x y y e x -'+=满足条件(0)0y =的解为y = ． (11) 设函数20sin (,)1xyt F x y dt t =+⎰，则2202x y Fx==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ． (13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E XY= ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x-→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xyDI xy fx y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在 （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在 （4）设2kx k eI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3.(B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3.（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα（D ）234,,ααα（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ） （A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（7）设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}=<y x p （）1124()()()()5355A B C D（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(21)(21)(1)(--D C B A二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题．．纸．指定位置上. （9）若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+，则)(x f =________。
2010年考研数学一真题与答案
2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)极限limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=(A)1 (B)e (C)e a−b(D)e b−a 【考点】C。
【解析】【方法一】这是一个“1∞”型极限lim x→∞[x2(x−a)(x+b)]x=limx→∞{[1+(a−b)x+ab(x−a)(x+b)](x−a)(x+b)(a−b)x+ab}(a−b)x+ab(x−a)(x+b)x=e a−b【方法二】原式=limx→∞e xlnx2(x−a)(x+b)而limx→∞ xln x2(x−a)(x+b)=limx→∞xln(1+(a−b)x+ab(x−a)(x+b))=limx→∞x∙(a−b)x+ab(x−a)(x+b)(等价无穷小代换) =a−b则limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=e a−b【方法三】对于“1∞”型极限可利用基本结论：若limα(x)=0, limβ(x)=0,且limα(x)β(x)=A 则li m(1+α(x))β(x)=e A,求极限由于limx→∞α(x)β(x)=limx→∞x2−(x−a)(x+b)(x−a)(x+b)∙x=limx→∞(a−b)x2+abx(x−a)(x+b)=a−b则limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=e a−b【方法四】lim x→∞[x2(x−a)(x+b)]x=limx→∞[(x−a)(x+b)x2]−x=limx→∞(1−ax)−x∙limx→∞(1+bx)−x=e a∙e−b=e a−b综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数z=z(x,y)由方程F(yx ,zx)=0确定，其中F为可微函数，且f′′2≠0,则xðzðx +yðzðy=。