2015年中考初中数学压轴题
2015年中考数学压轴题精编
2015中考数学压轴题精编(含参考答案与试题解析共300页)（共120题，共两部分：前一部分为试题+参考答案与试题解析，后一部分为纯试题汇编）第一部分1．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．，），解得，），时，线段最大且为，）作，AN= MN=AN=OM=ON+MN==3则：，（与点，）关于对称轴，x=时，y=x+2=，（，）或（，2．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．t﹣，y=x x+4=，，）代入得解得y=﹣y==）t﹣t+4，﹣t+4﹣﹣（t+4tNG+OC=×t﹣，t=面积的最大值为t=，得：y=t t+4=，﹣3．（2015•荆门）如图，在矩形ABCD中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC 以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．==3m=（﹣a（﹣，y=x x，t=；的中点横坐标为中点横坐标为=y=的中点横坐标为，线段==y=+，﹣）4．（2015•南昌）如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为3，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是﹣1＜x＜1．（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．，，5．（2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．MNB=BC=3PC=3OP=OC+PC=3+3OC=3 3+3）或（）或（﹣×6．（2015•资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点．（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．x+1），则D（x，x2），表示出DM，分类讨论列方程求解；RFS=，故得方程组：解之，得x+1，﹣x﹣﹣x+1x当﹣x+1x，当﹣x+1x）或，）或（）或（，∠7．（2015•苏州）如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC （1）∠ABC的度数为45°；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．，∴（），，），）（）（）=，PQ=（（m（），，＜，（﹣轴垂直，则=m，PQ=）﹣m（），，，＜，，，）时，8．（2015•重庆）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．（1）求直线BC的解析式；（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；（3）如图2，已知x轴上一点P（，0），现以P为顶点，2为边长在x轴上方作等边三角形QPG，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的△QPG为△Q′P′G′．设△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为s．当Q′到x轴的距离与点Q′到直线AW的距离相等时，求s的值．，则﹣x+3=0x x+3﹣，）解得：x+6，﹣m+3m+4﹣m+3﹣（﹣m+4）﹣m﹣（﹣）mm+m﹣m ﹣，，﹣，，，，，RN=，AN==S=，RM=﹣AM=，AP×S=9．（2015•益阳）已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．，，x=（舍去）的坐标为（）与（=，==．10．（2015•桂林）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：y=﹣x2+3x+8；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．﹣﹣t；CD=﹣的距离为：﹣得：xx，得：﹣xS=•﹣t﹣，=，，﹣x+5﹣﹣﹣﹣x，与，解得：，，﹣）=，EG=，即：DM=OM=，MN==，）x+b，），x+，x+，与﹣，解得：，（，，﹣）或（，11．（2015•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC 围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．得出（，（，根据（，得出（，再，解得：x x+3AC=，CN==，=，，﹣，）时，则=3+）=时，则﹣）=，=）=）t=，=）=），﹣t12．（2015•呼和浩特）已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x 轴于点B，DC⊥x轴于点C．①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．＜=点坐标为（，﹣，其中＜时，点坐标为（，﹣时，﹣，时，点坐标为（，﹣＜﹣时，点坐标为（，﹣13．（2015•重庆）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．FG=GN=1+有最大值周长的最大值为OP=，则），），，﹣，），解得FG=GN=）），x=时，有最大值，1+×周长的最大值为）分别代入得，解得OP=，﹣，﹣）向上平移，，）），﹣，，﹣）14．（2015•济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．的坐标为（﹣，，m+4，﹣m+4m﹣m+8=（，根据AEO=×===4，（xy=，得，的坐标为（﹣，=，=，=，m+4，﹣PM=﹣（﹣m m﹣（取得最小值）AEO=×=，﹣的距离最小，其最小距离为．15．（2015•徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA=90°．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？的位置就一个，令=16y=．x x，﹣p（﹣p+y=点纵坐标为QE=••×3+×p+）﹣（p p解得y=，y=6+P点纵坐标为QE=••×3+•=15+p，=16±16．（2015•乌鲁木齐）抛物线y=x2﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．得到，即，求得x x+2，即x+2=0，即，时，时，y=﹣17．（2015•吉林）如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．（1）当m=﹣1，n=4时，k=3，b=4；当m=﹣2，n=3时，k=1，b=6；（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为n=﹣2m；当四边形AOED为正方形时，m=﹣1，n=2．，然后根据三角形面积公式可计算出，解得；，解得；得；，则，==18．（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．y=y=x+3程组，解方程组即可求出点）联立两解析式可得：，解得：，或的坐标为（，）×4++4﹣）﹣××=4+﹣；y=x+b4=y=x+3，解得，，）19．（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．方向滑动距离﹣方向滑动距离=x（（，得或=2．20．（2015•连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？，MN=a，a y=）代入得，解得x+4x+4=；的坐标为（﹣，，MN=a +4=ax=，MN+3PM=a21．（2015•南充）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．（1）求抛物线解析式．（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．，得﹣=1）由，，解得y=﹣x=（=向左平移，平移到向左平移，平移到（﹣向左平移时，周长=CP=，向左平移，，+22．（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m 与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是2，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．PH=PM6DQ6a=3，得出===得，=，OB=OB=SPM．6﹣3a=3。
2015初三压轴题35
2015初三压轴题351. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC BC ⊥，9AD =，12AC =，16BC =，点E 是边BC 上的一个动点，EAF BAC ∠=∠，AF 交CD 于点F ，交BC 延长线于点G ，设BE x =；（1）试用x 的代数式表示FC ；（2）设FG y EF=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△AEG 是等腰三角形时，直接写出BE 的长；2． 如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得∠ABE =∠CBP ．如果AB =2，BC =5，AP =x ，PM =y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP =4时，求∠EBP 的正切值；（3）如果△EBC 是以∠EBC 为底角的等腰三角形，求AP 的长．A B CD P ME （第25题图）答案25、所以，BE＝725．解：（1）在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠APB =∠CBP ．∵∠ABE =∠CBP ，∴∠APB =∠ABE ．∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△AMB ．…………………………………………………（1分） ∴APAB AB AM =． ∵AB =2，AP =x ，PM =y ，∴xy x 22=-．…………………………………………（1分） ∴所求函数的解析式为x x y 4-=．………………………………………………（1分） 定义域为52≤<x ．…………………………………………………………………（1分）（2）∵AP =4，∴MP =3．…………………………………………………………（1分） ∵AP =4，AD =5，∴PD =1．∴CDPD AP AB =． ∵∠A =∠D ，∴△ABP ∽△DPC ．∴∠APB =∠DCP ．∵∠DPC+∠DCP =90°，∴∠DPC+∠APB =90°．∴∠BPE =∠BPC =90°．……………………………………………………………（1分） ∵AD ∥BC ，∴BC MP EC EP =，即535=+EP EP ． 解得523=EP ．……………………………………………………………………（1分） 又∵AP =4，AB =2，∴52=BP ． ∴43tan ==∠BP EP EBP ．……………………………………………………………（1分） 另解：作MH ⊥BP ，垂足为点H ．∵AP =4，∴MP =3．…………………………………………………………………（1分） ∵AP =4，AB =2，∴52=BP ．由△BPM 的面积，可得AB M P M H BP ⋅=⋅，即2352⨯=⋅MH ． 解得553=MH ．…………………………………………………………………（1分） ∵AM =1，AB =2，∴5=BM ． ∴554=BH ．………………………………………………………………………（1分） ∴43tan ==∠BH MH EBP ．…………………………………………………………（1分） （3）（i ）当∠EBC =∠ECB 时，可得∠AMB =∠DPC ，△AMB ≌△DPC ．∴AM =DP ．…………………………………………………………………………（1分）∴x +x -y =5，即54=+xx ．…………………………………………………………（1分） 解得x =4或x =1（不符合题意，舍去）．…………………………………………（1分） （ii ）当∠EBC =∠BEC 时，可得EC =BC =5，PE =PM =y ．………………………（1分） ∴2222)5()5(+-=-x y ．整理，得3x 2-10x -4=0．……………………………………………………………（1分） 解得3375+=x 或3375-=x （不符合题意，舍去）． ………………………（1分） 综上所述，AP 的长为4或3375+．。
精品 2015年全国数学中考压轴题真题汇总共43页
2015年全国省市中考数学压轴题精选题2015年北京市2015年北京在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于O 的反称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P '，满足2CP CP r '+=，则称P '为点P 关于C 的反称点，下图为点P 及其关于C 的反称点P '的示意图。
(1)当O 的半径为1时.①分别判断点(2,1)M ，3(,0)2N ，(1,3)T 关于O 的反称点是否存在，若存在？求其坐标； ②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于O 的反称点P '存在，且点P '不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围； (2)当C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C 的反称点P '在C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围。
如图.抛物线y=x 2-4x 与x 轴交于O,A 两点,P 为抛物线上一点,过点P 的直线y=x+m 与对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是 , 直线PQ 与x 軸所夹锐角的度数是 ,(2)若两个三角形面积满足PAQ POQ S S ∆∆=31，求m 的値: (3)当点P 在x 軸下方的抛物线上时.过点C(2，2)的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：①PD+DQ 的最大值；②PD ·DQ 的最大值.已知二次函数2ax y =的图象经过点（2，1）。
（1）求二次函数2ax y =的解析式；（2）一次函数4+=mx y 的图象与二次函数2ax y =的图象交于点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）两点 ①当23=m 时（图①），求证：△AOB 为直角三角形； ②试判断当23≠m 时（图②），△AOB 的形状，并证明； （3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论（不要求证明）。
2015中考数学几何压轴题
2015中考真题汇编—几何综合问题(1)若点P在线段CD上，如图1。
①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；若点P在线段CD的延长线上，∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路。
（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）例2：25(2015.上海)已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q 分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD 相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，COS∠AOC＝4/5．设OP＝X，△CPF 的面积为Y．(1)求证：AP＝OQ；(2)求Y关于X的函数关系式，并写出它的定义域；(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．例3：24（2015.天津）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）. 过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′. 设OM=m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；（Ⅲ）当S=时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．例4：25（2015.重庆）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长。
（2）如图1，求证：HF=EF。
（3）如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。
例5：26（2015，南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．(1)求证：∠A=∠AEB．(2)连接OE，交CD于点F，OE ⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．例6：25（2015.南京)如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）例7：24.（2015.广州）如图10，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC>AB，BD，AC为对角线，BD=8.①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE.当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离.例8：22(2015年浙江杭州12分）如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E（1）若AD/DB=1/3=，AE=2，求EC的长（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由例9：22（2015.长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°<α<90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F。
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2015年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编解答题（1）1. （2015年广东9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过»BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，P B.（1）如题图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如题图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如题图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥A B.【答案】解：（1）∵AB为⊙O直径，点P是»BC的中点，∴PG⊥BC，即∠ODB=90°.∵D为OP的中点，∴OD=1122=OP OB.∴cos∠BOD=12=ODOB. ∴∠BOD=60°.∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°. ∴∠ACB=∠ODB.∴AC∥PG. ∴∠BAC=∠BOD=60°.（2）证明：由（1）知，CD=BD，∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK（SAS）.∴CK=BP，∠OPB=∠CKD.∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP. ∴AG=CK.∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP.又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK.∴四边形AGCK是平行四边形.（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB.∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG. ∴DH∥AG. ∴∠OAG=∠OHD.∵OA=OG，∴∠OAG=∠G. ∴∠ODH=∠OHD. ∴OD=OH.又∵∠ODB=∠HOP，OB=OP，∴△OBD≌△HOP（SAS）.∴∠OHP=∠ODB=90°. ∴PH⊥A B.【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定.【分析】（1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出∠BOD=60°；另一方面，由证明∠ACB=∠ODB=90°得到AC∥PG，根据平行线的同位角相等的性质得到∠BAC=∠BOD=60°.（2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到AG=CK；另一方面，证明AG∥CK，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证.（3）通过应用SAS证明△OBD≌△HOP而得到∠OHP=∠ODB=90°，即PH⊥A B.2.（2015年广东9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm. （1）填空：AD= ▲ (cm)，DC= ▲ (cm)；（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N 到AD的距离(用含x的式子表示)；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN 的面积y存在最大值，请求出这个最大值.(参考数据：sin75°=624+，sin15°=624-)【答案】解：（1）26；22.（2）如答图，过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC 延长线于F ，则NE =DF .∵∠ACD =60°，∠ACB =45°，∴∠NCF =75°，∠FNC =15°.∴sin 15°=FCNC. 又∵NC =x ，sin 15°=624-，∴624-=FC x . ∴NE =DF =62224-+x . ∴点N 到AD 的距离为62224-+x cm .（3）∵NC =x ，sin 75°=FNNC，且sin 75°=624+∴624+=FN x ，∵PD =CP =2，∴PF =6224-+x . ∴16262116262(26)(22)(26)2(2)()2442244+--+=+-+--⨯-+y x x x x x x ·即22673222384---=++y x x .∴当732273224266228----=-=--⨯x 时，y 有最大值为6673102304246+---.【考点】双动点问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；由实际问题列函数关系式；二次函数的最值；转换思想的应用.【分析】（1）∵∠ABC =90°，AB =BC =4，∴42=AC .∵∠ADC =90°，∠CAD =30°， ∴31cos 4226,sin 422222=⋅∠=⋅==⋅∠=⋅= AD AC CAD DC AC CAD . （2）作辅助线“过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC 延长线于F ”构造直角三角形CNF ，求出FC 的长，即可由NE =DF =FC +CD 求解.（3）由∆∆=--梯形PNF NDP MDFN y S S S 列式，根据二次函数的最值原理求解.3. （2015年广东深圳9分）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，,3,6cm OD cm BC AB ===开始的时候BD =1cm ，现在三角板以2cm/s 的速度向右移动. （1）当B 与O 重合的时候，求三角板运动的时间； （2）如图2，当AC 与半圆相切时，求AD ；（3）如图3，当AB 和DE 重合时，求证：2CF CG CE =⋅.【答案】解：（1）∵开始时，4BO cm =，三角板以2cm/s 的速度向右移动，∴当B 与O 重合的时候，三角板运动的时间为422/cms cm s=.（2）如答图1，设AC 与半圆相切于点H ，连接OH ，则OH AC ⊥.∵0,90AB BC ABC =∠= ，∴045A ∠=.又∵3OH OD cm ==，∴232AO OH ==.∴()323AD AO DO cm =-=-. （3）如答图2，连接EF ，∵OD OF =，∴ODF OFD ∠=∠.∵DF 是直径，∴090DFE ∠=. ∴090ODF DEF ∠+∠=. 又∵090DEC DEF CEF ∠=∠+∠=.∴ODF CEF ∠=∠. ∴CFG OFD ODF CEF ∠=∠=∠=∠. 又∵FCG ECF ∠=∠，∴CFG CEF ∆∆∽. ∴CF CE CG CF=，即2CF CG CE =⋅. 【考点】面动平移问题；等腰（直角）三角形的判定和性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质. 【分析】（1）直接根据“=路程时间速度”计算即可. （2）作辅助线“连接O 与切点H ”，构成等腰直角三角形求出AO 的长，从而由AO DO -求出AD的长.（3）作辅助线“连接EF ”，构成相似三角形CFG CEF ∆∆∽,得比例式即可得解.4.（2015年广东深圳9分）如图1，关于x 的二次函数2y x bx c =-++经过点(3,0)A - ，点(0,3)C ，点D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在x 轴上. （1）求抛物线的解析式；（2）DE 上是否存在点P 到AD 的距离与到x 轴的距离相等，若存在求出点P ，若不存在请说明理由； （3）如图2，DE 的左侧抛物线上是否存在点F ，使23FBC EBC S S ∆∆=，若存在求出点F 的坐标，若不存在请说明理由.【答案】解：（1）将点(3,0)A - ， (0,3)C 代入2y x bx c =-++，得9303b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =-⎧⎨=⎩. ∴抛物线的解析式为223y x x =--+. （2）存在.∵()222314y x x x =--+=-++，∴2,4,25AE DE AD === .∴25sin 525AE ADE AD ∠===. 设()1,P p - ，当点P 在DAB ∠的角平分线时，如答图1，过点P 作PM AC ⊥于点M ， 则()5sin 4,5PM PD ADE p PE p =⋅∠=-= ， ∵PM PE =，∴()545p p -=，解得51p =-. ∴()1,51P -- . 当点P 在DAB ∠的外角平分线时，如答图2，过点P 作PM AC ⊥于点M ， 则()5sin 4,5PM PD ADE p PE p =⋅∠=-=- ， ∵PM PE =，∴()545p p -=-，解得51p =--. ∴()1,51P -- -.综上所述，DE 上存在点P 到AD 的距离与到x 轴的距离相等，点P 的坐标为()1,51--或()1,51-- -.（3）存在.假设存在点F ，使23FBC EBC S S ∆∆=， 设()2,23F f f f --+∵2,3BE OC == ，∴3EBC S ∆=. ∵23FBC EBC S S ∆∆=，∴92FBC S ∆=. 设CF 的解析式为y mx n =+，则2233fm n f f n ⎧+=--+⎨=⎩，解得23m f n =--⎧⎨=⎩.∴CF 的解析式为()23y f x =--+. 令0y =，得32x f =+，即CF 与x 轴的交点坐标为3,02Q f ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 若点F 在x 轴上方，如答图2，则BCF BCQ BFQ S S S ∆∆∆=-， ∴()2913131312322222f f f f ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-⋅--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 即290f f --=，解得1372f ±=（舍去正值）.当1372f -=时，233715232f f ---+=.∴13733715,22F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 若点F 在x 轴下方，如答图3，则BCF BCQ BFQ S S S ∆∆∆=+， ∴()2913131312322222f f f f ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-⋅+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 即290f f --=，解得1372f ±=（舍去正值）. 当1372f -=时，23371523>02f f ---+=，不符合点F 在x 轴下方，舍去. 综上所述，DE 的左侧抛物线上存在点F ，使23FBC EBC S S ∆∆=，点F 的坐标为13733715,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.【考点】二次函数综合题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；角平分线的性质；分类思想、转换思想和方程思想的应用.【分析】（1）将点(3,0)A - ， (0,3)C 代入2y x bx c =-++即可求解.（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，分点P 在DAB ∠的角平分线和点P 在DAB ∠的外角平分线两种情况讨论即可.（3）由已知求出92FBC S ∆=，分点F 在x 轴上方和点F 在x 轴下方两种情况讨论，当点F 在x 轴上方时，BCF BCQ BFQ S S S ∆∆∆=-；当点F 在x 轴下方时，BCF BCQ BFQ S S S ∆∆∆=+，据此列方程求解.5. （2015年广东汕尾11分）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC = AB = 4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点.若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P .（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ▲ ，线段CE 1的长等于 ▲ ；（直接填写结果） （2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 ； （3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【答案】解：（1）25，25.（2）证明：当α=135°时，由旋转可知∠D 1AB = E 1AC = 135°.又∵AB =AC ，AD 1=AE 1，∴△D 1AB ≌△△E 1AC （SAS ）. ∴BD 1=CE 1 且 ∠D 1BA = ∠E 1CA .设直线BD 1与AC 交于点F ，有∠BF A =∠CFP . ∴∠CPF =∠F AB =90°，∴BD 1⊥CE 1. （3）13+.【考点】面动旋转问题；等腰直角三角形的性质；勾股定理；全等、相似三角形的判定和性质. 【分析】（1）如题图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于22224225AB AE +=+=；线段CE 1的长等于222214225AC AE +=+=.（2）由SAS 证明△D 1AB ≌△△E 1AC 即可证明BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 .（3）如答图2，当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离最大，此时112223AD PD PB ===+，，∵1ABD PBH ∆∆∽，∴1AD ABPH PB=. ∴24223PH =+.∴13PH =+. ∴当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离的最大值为13+.6.（2015年广东汕尾10分）如图，过原点的直线1y k x =和2y k x =与反比例函数1y x=的图象分别交于两点A ，C 和B ，D ，连结AB ，BC ，CD ，DA ．（1）四边形ABCD 一定是 ▲ 四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时1k 和2k 之间的关系式；若不可能，说明理由； （3）设()()()112221,,,,0P x y Q x y x x >> 是函数1y x=图象上的任意两点，12122,2y y a b x x +==+ ，试判断a ，b 的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD 可能是矩形，此时121k k =，理由如下：当四边形ABCD 是矩形时，OA =OB .联立11y k x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得111x k y k ⎧=±⎪⎨⎪=±⎩，∴111,A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ . 同理，221,B k k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∵22121211OA k OB k k k =+=+，，∴121211k k k k +=+，得()21121 10k k k k ⎛⎫--= ⎪⎝⎭. ∵210k k -≠， ∴12110k k -=. ∴121k k =. ∴四边形ABCD 可以是矩形，此时121k k =. （3）>a b .理由如下：∵()()()()2212121212121212121212124211122222x x x x x x y y a b x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫+-=-=+-== ⎪++++⎝⎭. ∵x 2 > x 1 > 0，∴()212>0x x -，()12122>0x x x x +.∴()()2121212>02x x x x x x -+.∴>a b .【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用. 【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有,OA OC OB OD == ，所以，四边形ABCD 一定是平行四边形.（2）求出点A 、B 的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA =OB ，即22OA OB =，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.7. （2015年广东广州14分）如图，四边形OMTN 中，OM =ON ，TM =TN ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；（2）在筝形ABCD 中，已知AB =AD =5，BC =CD ，BC >AB ，BD ，AC 为对角线，BD =8；①是否存在一个圆使得A ，B ，C ，D 四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由； ②过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，BF 交AC 于点E ，连接DE . 当四边形ABED 为菱形时，求点F 到AB 的距离.【答案】解：（1）筝形的对角线互相垂直. 证明如下：如答图1，连接,MN OT ，在OMT ∆和ONT ∆中，∵OM ON TM TN OT OT =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()OMT ONT SSS ∆∆≌.∴MOT NOT ∠=∠. 又∵OM =ON ，∴OT MN ⊥，即筝形的对角线互相垂直. （2）存在.由（1）知，AC BD ⊥，设,AC BD 相交于点M ，如答图2， ∵AB =AD =5， BD =8，∴4BM =.∴22534AM =-=. ∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴0180ABC ADC ∠+∠=. 又∵ABC ADC ∆∆≌，∴090ABC ADC ∠=∠=. ∴AC 即为所求圆的直径.∵090,ABC AMB BAC MAB ∠=∠=∠=∠ ，∴BAC MAB ∆∆∽.∴AB AM AC AB =，即535AC =，解得253AC =. ∴圆的半径为256.（3）∵四边形ABED 为菱形，∴5AB AD BE DE ====.∴03,4,,90AM ME BM MD BD AE BME ====⊥∠= .又∵0,90BF CD BFD ⊥∠= .∴090BME BFD ∠=∠=又∵MBE FBD ∠=∠，∴BME BFD ∆∆∽. ∴BE EM BD DF =，即538DF =，解得245DF =. 在Rt DEF ∆中，由勾股定理，得22E F D ED F=-， ∴22247555EF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.∴325BF =. ∵//AB DE ，∴ABF DEF ∠=∠.如答图3，过点F 作FG AB ⊥于点G ，则FG 就是点F 到AB 的距离.∵090BGF EFD ∠=∠=，∴BGF EFD ∆∆∽.∴BF FG DE DF =，即3252455FG =，解得768125FG =. ∴点F 到AB 的距离为768125.【考点】新定义；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质.【分析】（1）筝形的对角线互相垂直，利用SSS 证明OMT ONT ∆∆≌得到MOT NOT ∠=∠，从而根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论.（2）根据垂径定理和勾股定理求出AM 的长，证明BAC MAB ∆∆∽，由对应边成比例列式求解即可.（3）证明BME BFD ∆∆∽，求出245DF =，应用勾股定理求出75EF =，得到325BF =，作辅助线“过点F 作FG AB ⊥于点G ”构造相似三角形BGF EFD ∆∆∽，由对应边成比例列式求得FG 的长， FG 就是点F 到AB 的距离.8.（2015年广东广州10分）已知O 为坐标原点，抛物线21(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于点1(,0)A x ,2(,0)B x .与y 轴交于点C ，且O ，C 两点之间的距离为3，12120,4x x x x ⋅<+= ，，点A ，C在直线23y x t =-+上.（1）求点C 的坐标；（2）当1y 随着x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围；（3）将抛物线1y 向左平移(0)n n >个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ，直线2y 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求225n n -的最小值. 【答案】解：（1）令0x =，得1y c =，∴()0,C c .∵O ，C 两点之间的距离为3，∴3c =，解得3c =±. ∴点C 的坐标为()0,3 或()0,3 -. （2）∵120x x ⋅<，∴12,x x 异号.①若()0,3C ，把()0,3C 代入23y x t =-+得30t =+，即3t =. ∴233y x =-+.把()1,0A x 代入233y x =-+得1033x =-+，即11x =.∴()1,0A . ∵12,x x 异号，11>0x =，∴2<0x .∵124x x +=，∴214x +=，214x -=，23x =-.∴()3,0B - .把()1,0A ，()3,0B - 代入213y ax bx =++，得309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩.∴()2212314y x x x =--+=-++.∴当1x ≤-时，1y 随着x 的增大而增大.②若()0,3C -，把()0,3C -代入23y x t =-+得30t -=+，即3t =-. ∴233y x =--.把()1,0A x 代入233y x =--得1033x =--，即11x =-.∴()1,0A - . ∵12,x x 异号，11<0x =-，∴2>0x .∵124x x +=，∴214x -+=，214x +=，23x =.∴()3,0B .把()1,0A - ，()3,0B 代入213y ax bx =++，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩.∴()2212314y x x x =--=--.∴当1x ≥时，1y 随着x 的增大而增大.综上所述，若()0,3C ，当1y 随着x 的增大而增大时，1x ≤-；若()0,3C -，当1y 随着x 的增大而增大时，1x ≥.（3）①若()0,3C ，则()2212314y x x x =--+=-++，233y x =-+，1y 向左平移(0)n n >个单位后的解析式为()2314y x n =-+++，则当1x n ≤--时，3y 随着x 的增大而增大.直线2y 向下平移n 个单位后的解析式为433y x n =-+-. 要使平移后直线与P 有公共点，则当1x n =--时，34y y ≥，即()()2114313n n n n ---+++≥---+-，解得1n ≤-，与>0n 不符，舍去.②若()0,3C -，则()2212314y x x x =--=--，233y x =--，1y 向左平移(0)n n >个单位后的解析式为()2314y x n =-+-，则当1x n ≥-时，3y 随着x 的增大而增大.直线2y 向下平移n 个单位后的解析式为433y x n =---. 要使平移后直线与P 有公共点，则当1x n =-时，43y y ≥， 即()()2313114n n n n ----≥---+-，解得1n ≥. 综上所述，1n ≥.∵2252525248n n n ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴当54n =时，225n n -的最小值为258-. 【考点】二次函数综合题；线动平移问题；曲线上点的坐标与方程的关系；不等式和绝对值的性质；二次函数的最值；分类思想的应用.【分析】（1）一方面，由点C 在抛物线21(0)y ax bx c a =++≠得到()0,C c ，另一方面，由O ，C 两点之间的距离为3，得到3c =±，从而得到点C 的坐标.（2）分()0,3C 和()0,3C -两种情况讨论.（3）分()0,3C 和()0,3C -两种情况讨论得到n 的范围内1n ≥，从而根据二次函数最值原理即可求解.9. （2015年广东佛山10分）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数24y x x =-+刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画. （1）请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标； （2）小球的落点是A ，求点A 的坐标；（3）连结抛物线的最高点P 与点O 、A 得△POA . 求△POA 的面积；（4）在OA 上方的抛物线上存在一点M （M 与P 不重合），△MOA 的面积等于△POA 的面积，请直接写出点．．．．．M 的坐标.【答案】解：（1）∵()()222444424y x x x x x =-+=--++=--+，∴点P 的坐标为()2,4 .（2）联立2412y x x y x⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或7274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴点A 的坐标为77,24⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）如答图1，作二次函数图象的对称轴交OA 于点B ，则点B 的坐标为()2,1 ，3BP =. ∴1172132322224POA OBP BAP S S S ∆∆⎛⎫=+=⨯⨯+⨯⨯-= ⎪⎝⎭V.（4）315,24⎛⎫⎪⎝⎭ . 【考点】二次函数的应用（实际问题）；二次函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；等高三角形面积的应用；待定系数法、转换思想和数形结合思想的应用. 【分析】（1）化为顶点式即可得二次函数图象的顶点坐标.（2）联立24y x x =-+和12y x =即可求出点A 的坐标. （3）作辅助线“作二次函数图象的对称轴交OA 于点B ”，将POA S V 转化为OBP S ∆和BAP S ∆之和. （4）作辅助线“过点P 作//PM OA 交抛物线于另一点M ”，则△MOA 的面积等于△POA 的面积，设直线PM 的解析式为12y x m =+， 将()2,4P 代入，得14232m m =⋅+⇒=， ∴直线PM 的解析式为132y x =+.联立24132y x x y x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得，24x y =⎧⎨=⎩或32154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴点M 的坐标为315,24⎛⎫⎪⎝⎭ . 10.（2015年广东佛山11分）如图，在ABCD Y 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 是AD 上的点，且AE EF FD ==. 连结BE 、BF ，使它们分别与AO 相交于点G 、H . （1）求 : EG BG 的值； （2）求证：AG OG =；（3）设 ,AG a GH b HO c ===，，求 : : a b c 的值.【答案】解：（1）∵AE EF FD ==，∴13AE AD =. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC .∴AEG CBG ∆∆∽.∴13EG AE BG AD ==，即1: 3EG BG =. （2）证明：由（1）AEG CBG ∆∆∽，∴13AG CG =.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO OC =.∴2CG AO AG =-. ∴123AG AO AG =-，即12AG AO =.∴AG OG =.（3）如答图，过点F 作//FM AC 交BD 于点M ，∵AE EF FD ==，∴13DM DF DO DA ==.∴16DM BD =，56BM BD =. ∵12BO BD =.∴35BO BM =.∵//FM AC ，∴BOH BMF ∆∆∽.∴35HO BO FM BM ==，即35HO FM =. ∵//FM AC ，∴DFM DAO ∆∆∽.∴13FM DF AO DA ==，即13FM AO =.∴33115535HO FM AO AO ==⋅=.由（2）得12AG AO =，∴1132510GH AO AG HO AO AO AO AO =--=--=.∵ ,AG a GH b HO c ===，， ∴131532: : : : : : 5 : 3 : 22105101010a b c AO AO AO ===. 【考点】平行四边形的综合题；平行四边形的性质；平行的性质；相似三角形的判定和性质；数形结合思想的应用.【分析】（1）由平行四边形对边平行的性质可得AEG CBG ∆∆∽，从而得出结果.（2）由（1）AEG CBG ∆∆∽得到13AG CG =，从而根据平行四边形对角线互相平分的性质得出结论. （3）作辅助线“过点F 作//FM AC 交BD 于点M ”，构造两组相似三角形BOH BMF ∆∆∽和BOH BMF ∆∆∽，通过相似三角形对应边成比例的性质，求出AG GH HO 、、与AO 的关系即可求得 : : a b c 的值.11. （2015年广东梅州10分）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC = AB = 4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点.若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P .（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ▲ ，线段CE 1的长等于 ▲ ；（直接填写结果） （2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 ； （3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【答案】解：（1）25，25.（2）证明：当α=135°时，由旋转可知∠D 1AB = E 1AC = 135°.又∵AB =AC ，AD 1=AE 1，∴△D 1AB ≌△△E 1AC （SAS ）. ∴BD 1=CE 1 且 ∠D 1BA = ∠E 1CA .设直线BD 1与AC 交于点F ，有∠BF A =∠CFP . ∴∠CPF =∠F AB =90°，∴BD 1⊥CE 1. （3）13+.【考点】面动旋转问题；等腰直角三角形的性质；勾股定理；全等、相似三角形的判定和性质. 【分析】（1）如题图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于22224225AB AE +=+=；线段CE 1的长等于222214225AC AE +=+=.（2）由SAS 证明△D 1AB ≌△△E 1AC 即可证明BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 .（3）如答图2，当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离最大，此时112223AD PD PB ===+，，∵1ABD PBH ∆∆∽，∴1AD ABPH PB=. ∴24223PH =+.∴13PH =+.∴当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离的最大值为13+.12.（2015年广东梅州10分）如图，过原点的直线1y k x =和2y k x =与反比例函数1y x=的图象分别交于两点A ，C 和B ，D ，连结AB ，BC ，CD ，DA ．（1）四边形ABCD 一定是 ▲ 四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时1k 和2k 之间的关系式；若不可能，说明理由； （3）设()()()112221,,,,0P x y Q x y x x >> 是函数1y x=图象上的任意两点，12122,2y y a b x x +==+ ，试判断a ，b 的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD 可能是矩形，此时121k k =，理由如下：当四边形ABCD 是矩形时，OA =OB .联立11y k x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得111x k y k ⎧=±⎪⎨⎪=±⎩，∴111,A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ . 同理，221,B k k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∵22121211OA k OB k k k =+=+，， ∴121211k k k k +=+，得()21121 10k k k k ⎛⎫--= ⎪⎝⎭. ∵210k k -≠， ∴12110k k -=. ∴121k k =.∴四边形ABCD 可以是矩形，此时121k k =. （3）>a b .理由如下：∵()()()()2212121212121212121212124211122222x x x x x x y y a b x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫+-=-=+-== ⎪++++⎝⎭. ∵x 2 > x 1 > 0，∴()212>0x x -，()12122>0x x x x +.∴()()2121212>02x x x x x x -+.∴>a b .【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用. 【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有,OA OC OB OD == ，所以，四边形ABCD 一定是平行四边形.（2）求出点A 、B 的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA =OB ，即22OA OB =，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.13. （2015年浙江衢州10分）高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便. 五一期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后乘出租车去游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园.他们离开衢州的距离y （千米）与乘车时间t （小时）的关系如下图所示.请结合图象解决下面问题： （1）高铁的平均速度是每小时多少千米？（2）当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？（3）若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？【答案】解：（1）∵24024021=-， ∴高铁的平均速度是每小时240千米. （2）设乐乐乘私家车路线的解析式为y kt b =+，∵当1t =时，0y =；当2t =时，240y =，∴02240k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得240240k b =⎧⎨=-⎩.∴乐乐乘私家车路线的解析式为240240y t =-．∴当 1.5t =时，120y =.设颖颖乘高铁路线的解析式为1y k t =，∴1120 1.5k =，解得180k =.∴颖颖乘高铁路线的解析式为80y t =. ∴当2t =时，160y =.∵21616056-=，∴当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有56千米. （3）把216y =代入80y t =得 2.7t =．∵182.7 2.460-=（小时），216902.4=（千米）， ∴乐乐要提前18分钟到达游乐园，私家车的速度必须达到90千米/小时.【考点】一次函数的图象和应用；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系.． 【分析】（1）由图象提供的信息，根据“路程÷时间=速度”计算即可．（2）先求乐乐乘私家车路线的解析式，得到 1.5t =时的函数值，即可求得颖颖乘高铁路线的解析式，得到2t =时，颖颖乘高铁街的路程，从而得到当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园的距离．（3）求得私家车按原速度到达游乐园的时间，得到提前18分钟的实际用时，即可得到乐乐要提前18分钟到达游乐园，私家车必须达到的速度.14. （2015年浙江衢州12分）如图，在ABC ∆中，275,9,2ABC AB AC S ∆===，动点P 从A 点出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q 从C 点出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，当Q 点运动到A 点时， P 、Q 两点同时停止运动. 以PQ 为边作正方形PQEF （P Q E F 、、、按逆时针排序），以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH . （1）求tan A 的值；（2）设点P 运动时间为t ，正方形PQEF 的面积为S ，请探究S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，正方形PQEF 的某个顶点（Q 点除外）落在正方形QCGH 的边上，请直接写出t 的值．【答案】解：（1）如答图1，过点B 作BM AC ⊥于点M ，∵279,2ABC AC S ∆== ，12ABC S AC BM ∆=⋅⋅，∴271922BM =⋅⋅，解得，3BM =. 又∵5,AB = ∴根据勾股定理，得2222534AM AB BM =-=-=.∴3tan 4BM A AM ==.（2）存在.如答图2，过点P 作PN AC ⊥于点N ， 经过时间t ，5AP CQ t == ∵3tan 4A =， ∴4,3AN t PN t == .∴99QN AC AN CQ t =--=-.根据勾股定理，得，()()2222223999016281PQ PN NQ t t t t =+=+-=-+，∴22990162810<<5S PQ t t t ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭. ∵90>0a =，且1629229010b a --=-=⨯在t 的取值范围内， ∴2244908116281449010ac b S a -⨯⨯-===⨯最小值.∴S 存在最小值？若存在，这个最小值是8110. （3）当914t =或911或1或97秒时，正方形PQEF 的某个顶点（Q 点除外）落在正方形QCGH 的边上.【考点】双动点问题；勾股定理；锐角三角函数定义；二次函数最值的应用；分类思想的应用．【分析】（1）作辅助线“过点B 作BM AC ⊥于点M ”构造直角三角形ABM ，根据已知求出BM 和应用AM 的长，即可根据正切函数定义求出3tan 4BM A AM ==． （2）根据2S PQ =求得S 关于t 的二次函数，应用研究二次函数的最值原理求解即可．（3）分四种情况讨论：①当点E 在HG 上时，如答图3，1914t =；②当点F 在GH 上时，如答图4，2911t =；③当点P 在QH 上（或点E 在QC 上）时，如答图5，31t =；④当点F 在CG 上时，如答图6，197t =.15. （2015年浙江绍兴12分）正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图.（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由.【答案】解：（1）证明：如答图1，正方形ABCD和正方形AEFG中，∵GF=EF，AG=AE，AD=AB，∴DG=BE.又∵∠DGF=∠BEF=90°，∴△DGF≌△BEF（SAS）.∴DF=BF.（2）反例图形如答图2：（3）不唯一，如点F在正方形ABCD内，或α＜180°.【考点】开放型；正方形的性质；原命题和逆命题；真命题和假命题【分析】（1）由正方形的性质，通过SAS证明△DGF≌△BEF，从而得到结论.（2）（1）中命题的逆命题是：若DF=BF，则α=0°，它是假命题的反例是α=180°的情况.（3）限制点F范围或α的范围即可.16. （2015年浙江绍兴14分）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点. （1）若四边形OABC为矩形，如图1，①求点B的坐标；②若BQ：BP=1：2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F. 若B1E：B1F=1：3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围.【答案】解：（1）①∵四边形OABC为矩形，OA=4，OC=2，∴点B（4，2）.②如答图1，过点P作PD⊥OA于点D，∵BQ：BP=1：2，点B1是点B关于PQ的对称点，∴∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90°.∴∠PB 1D=∠B 1QA. ∴△PB 1D ∽△B 1QA. ∴111PB PD 2AB B Q==. ∴B 1A=1.∴OB 1=3，即B 1（3，0）.（2）∵四边形OABC 为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC ⊥AC ，∴∠OAC=30°.∴点C ()13 ，. ∵B 1E ：B 1F=1：3，∴点B 1不与点E 、F 重合，也不在线段EF 的延长线上.①当点B 1在线段FE 的延长线上时，如答图2，延长B 1F 与y 轴交于点G ，点B 1的横坐标为m ，B 1F ∥x 轴，∵B 1E ：B 1F=1：3，∴B 1G=m . 设OG=a ，则GF=33a ，OF=233a . ∴CF=2323-a . ∴FE=4343-a ，B 1E=2323-a . ∴B 1G= B 1E+EF+FG=2343324333⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a m . ∴36355=-+a m ， 即点B 1的纵坐标为36355-+m ，m 的取值范围为17101777≤≤+m . ②当点B 1在线段EF （点E 、F 除外）上时，如答图3，延长B 1F 与y 轴交于点G ，点B 1的横坐标为m ，B 1F ∥x 轴，∵B1E ：B 1F=1：3，∴B 1G=m . 设OG=a ，则GF=33a ，OF=233a ∴CF=2323-a . ∴FE=4343-a ，B 1F=34FE=33-a . ∴B 1G= B 1F +FG=()3333-+=a a m . ∴33322=-+a m ， 即点B 1的纵坐标为33322-+m ，m 的取值范围为1537≤≤m . 【考点】轴对称问题；矩形和平行四边形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质；点的坐标；分类思想的应用.【分析】（1）①直接根据矩形的性质得到点B 的坐标.②过点P 作PD ⊥OA 于点D ，证明△PB 1D ∽△B 1QA ，得到B 1A 的长，从而得到OB 1的长，进而得到点B 1的坐标.（2）分点B 1在线段FE 的延长线上和点B 1在线段EF （点E 、F 除外）上两种情况讨论即可.17. （2015年浙江台州12分）如图，在多边形ABCDE 中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3，过点E 作EF ∥CB 交AB 于点F ，FB=1，过AE 上的点P 作PQ ∥AB 交线段EF 于点O ，交折线BCD 于点Q ，设AP=x ，⋅PO OQ =y .（1）①延长BC 交ED 于点M ，则MD = ▲ ，DC = ▲②求y 关于x 的函数解析式； （2）当1(0)2a x a ≤≤>时，96a y b ≤≤，求a ，b 的值； （3）当13y ≤≤时，请直接写出x 的取值范围.【答案】解：（1）①2；1.②∵=AP x ，∴2=-EP x . 在V Rt AEF 中，4tan 22∠===AF AEF AE ， ∴tan 2(2)24=⋅∠=⨯-=-+PO PE AEF x x ∵90∠=∠=︒A AED ，∴AB DE P . ∵PQ AB P ，∴PQ ED P ． 当01<≤x 时，如答图1所示， ∵EF CB P ，PQ AB P ，∴四边形OFBQ 是平行四边形．∴1==OQ FB . ∴(24)124=⋅=-+⨯=-+y PO OQ x x ． 当12<≤x 时，如答图2所示， ∵90∠=∠=︒AED D ，∴AE CD P ． ∵PQ ED P ，∴四边形DEPQ 是矩形． ∴3(24)21=--+=-OQ x x ．∴2(24)(21)4104=⋅=-+⋅-=-+-y PO OQ x x x x ．∴()()22401410412-+<≤⎧⎪=⎨-+-<≤⎪⎩x x y x x x （2）∵当()102≤≤>a x a 时，24y x =-+，∴42yx -=.由12a x ≤≤得，4122y a -≤≤，解得342y a ≤≤-.∵当1(0)2a x a ≤≤>时，96a y b ≤≤，∴93642a b a =⎧⎨=-⎩，解得1359a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴15,39a b ==. （3）15524+≤≤x . 【考点】由实际问题列函数关系式（几何问题）；平行四边形、矩形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；方程组和不等式组的应用；分类思想和数形结合思想的应用. 【分析】（1）①如答图1，延长BC 交ED 于点M ，则∵∠A =∠AED =90°，∴ED ∥AB .∵EF ∥CB ，∴四边形FBM E 是平行四边形. ∴EM =FB =1. ∵ED =3，∴MD =2. ∵△AFE ∽△DEC ，且21512==-AE AF ，∴DC =1. ②分01<≤x 和12<≤x 两种情况求y 关于x 的函数解析式. （2）由（1）得到的24y x =-+，化为42yx -=代入12a x ≤≤，解出342y a ≤≤-，结合已知条件得到关于a ，b 的方程组求解即可.（3）y 关于x 的函数图象如答图3，当13y ≤≤时，15524+≤≤x.18. （2015年浙江台州14分）定义：如图1，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点.（1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，若AM =2，MN =3，求BN 的长；（2）如图2，在△ABC 中，FG 是中位线，点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，连接AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，求证：点M ，N 是线段FG 的勾股分割点；（3）已知点C 是线段AB 上的一定点，其位置如图3所示，请在BC 上画一点D ，使C ，D 是线段AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；（4）如图4，已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，MN >AM ≥BN ，△AMC ，△MND 和△NBM 均是等边三角形，AE 分别交CM ，DM ，DN 于点F ，G ，H ，若H 是DN 的中点，试探究∆AMF S ，∆BEN S 和四边形MNHG S 的数量关系，并说明理由.【答案】解：（1）∵点M ，N 是线段AB 的勾股分割点， AM =2，MN =3，∴若MN 为斜边，则222=+MN AM BN ，即22232=+BN ，解得5=BN . 若BN 为斜边，则222=+BN AM MN ，即22223=+BN ，解得13=BN . ∴BN 的长为5或13.（2）证明：∵点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，∴222=+EC DE BD .∵在△ABC 中，FG 是中位线，AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ， ∴F M 、MN 、NG 分别是△ABD 、△ADE 、△AEC 的中位线. ∴BD =2FM ，DE =2MN ，EC =2NG .∴()()()222222=+NG MN FM ，即222444=+NG MN FM . ∴222=+NG MN FM .∴点M ，N 是线段FG 的勾股分割点. （3）如答图1，C ，D 是线段AB 的勾股分割点.QPNM E（4）+=△△四边形AMF BEN MNHG S S S .理由如下：设=AM a ，=BN b ，=MN c ， ∵H 是DN 的中点，∴12==DH HN c . ∵△MND ，△BNE 均为等边三角形，∴60∠=∠=︒D DNE .∵∠=∠DHG NHE ，∴△DGH ≌△NEH .∴==DG EN b .∴=-MG c b . ∵∥GM EN ，∴△AGM ∽△AEN . ∴-=+c b ab a c.∴22=-+c ab ac bc . ∵点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，∴222=+c a b .∴2()()-=-a b b a c ，又∵-≠b a c .∴=a b .在△DGH 和△CAF 中，∠=∠D C ，=DG CA ，∠=∠DGH CAF ， ∴△DGH ≌△CAF . ∴=△△DGH CAF S S .∵222=+c a b ，∴222333444=+c a b . ∴=+△△△DMN ACM ENB S S S .∵=+△△四边形DMN DGH MNHG S S S ，=+△△△ACM CAF AMF S S S ， ∴+=△△四边形AMF BEN MNHG S S S .【考点】新定义和阅读理解型问题；开放型和探究型问题；勾股定理；三角形中位线定理；尺规作图（复杂作图）；等边三角形的性质；全等、相似三角形的判定和性质；分类思想和数形结合思想的应用. 【分析】（1）根据定义，分MN 为斜边和BN 为斜边两种情况求解即可.（2）判断FM 、MN 、NG 分别是△ABD 、△ADE 、△AEC 的中位线后代入222=+EC DE BD 即可证明结论.（3）①过点C 作AB 的垂线MN ，②在MN 截取CE =CA ；③连接BE ，作BE 的垂直平分线PQ 交AB 于点D . 则点C ，D 是线段AB 的勾股分割点.（作法不唯一）（4）首先根据全等、相似三角形的判定和性质证明△AMC 和△NBM 是全等的等边三角形，再证明+=△△四边形AMF BEN MNHG S S S .19. （2015年浙江温州12分）如图，抛物线x x y 62+-=交x 轴正半轴于点A ，顶点为M ，对称轴NB 交x 轴于点B ，过点C （2，0）作射线CD 交MB 于点D （D 在x 轴上方），OE ∥CD 交MB 于点E ，EF ∥x 轴交CD 于点F ，作直线MF. （1）求点A ，M 的坐标；（2）当BD 为何值时，点F 恰好落在该抛物线上？ （3）当BD=1时，①求直线MF 的解析式，并判断点A 是否落在该直线上；②延长OE 交FM 于点G ，取CF 中点P ，连结PG ，△FPG ，四边形DEGP ，四边形OCDE 的面积分别记为S 1，S 2，S 3，则S 1:S 2:S 3= ▲。
2015初三压轴题45
2015初三压轴题451. 已知AP 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC .（1）如图1，求证：AB ∥OC ；（2）如图2，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =；（3）过点C 作射线1AO 的垂线，垂足为E ，联结OE 交AC 于F .当5=AO ，11=B O 时，求AF CF 的值.2、已知：⊙O 的半径为3，OC ⊥弦AB ，垂足为D ，点E 在⊙O 上，ECO BOC ∠=∠，射线CE CE 与射线OB 相交于点F ．设,AB x = CE y =（1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当OEF ∆为直角三角形时，求AB 的长；（3）如果1BF =，求EF 的长．A C （O 1）B O 图2 P A O 备用图 PA B C O 1 O 图1 P （第2题图） O E F B C D A （备用图1） O O （备用图2）答案2．解：（1）过点O 作OH ⊥CE ，垂足为H∵在圆O 中，OC ⊥弦AB ，OH ⊥弦CE ，AB =x ，CE =y ∴1122BD AB x ==，1122EH EC y == ………………………………1分∵在Rt △ODB 中，222OD BD BO +=，OB=3 ∴OD=2362x - ………1分 ∵OC=OE ∴∠ECO=∠CEO∵∠ECO ＝∠BOC∴∠CEO=∠BOC 又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB∴△ODB ≌△EHO ∴EH=OD …………………………1分 ∴23622x y -= ∴236y x =-……………………………………………………………………1分 函数定义域为（0＜x ＜6）………………………………………………………1分（2）当△OEF 为直角三角形时，存在以下两种情况：①若∠OFE ＝90º，则∠COF ＝∠OCF ＝45º∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=45°又∵OA=OB ∴∠OAB= ∠AB O=45°， ∴∠AOB=90° ∴△OAB 是等腰直角三角形∴232=⋅=OB AB …………………………………………………2分 ②若∠EOF ＝90º ， 则∠OEF ＝∠COF ＝∠OCF ＝30º……………………1分 ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=60°又∵OA=OB∴△OAB 是等边三角形∴AB=OB=3…………………………………………………………………2分（3）①当CF ＝OF ＝OB –BF ＝2时，可得：△CFO ∽△COE ，CE ＝292=CF OC ，∴EF ＝CE –CF ＝25229=-． ……………………………………………2分②当CF ＝OF ＝OB +BF ＝4时，可得：△CFO ∽△COE ，CE ＝492=CF OC ， ∴EF ＝CF –CE ＝47494=-． ……………………………………………2分。
2015年中考数学压轴题预测及答案详解-抛物线为主
2015年中考数学压轴题预测及答案详解抛物线为主2-A如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y 轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，连接AC ，抛物线242y x x =--经过A ，B 两点。
（1）求A 点坐标及线段AB 的长；（2）若点P 由点A 出发以每秒1个单位的速度沿AB 边向点B 移动，1秒后点Q 也由点A 出发以每秒7个单位的速度沿AO ，OC ，CB 边向点B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P 的移动时间为t 秒。
①当PQ ⊥AC 时，求t 的值； ②当PQ ∥AC 时，对于抛物线对称轴上一点H ，∠HOQ ＞∠POQ ，求点H 的纵坐标的取值范围。
2-D如图，⊙C 的内接⊿AOB 中，AB=AO=4,tan ∠AOB=43,抛物线y=ax 2+bx 经过点A(4，0)与点（-2，6） （1）求抛物线的函数解析式．（2）直线m 与⊙C 相切于点A 交y 轴于点D ，动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动;同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动，点P 的速度为每秒1个单位长，点Q 的速度为每秒2个单位长，当PQ ⊥AD 时,求运动时间t 的值（3）点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当⊿ROB 面积最大时，求点R 的坐标.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．答案2-A解（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=3，x2=﹣1．∵m＜n，∴m=﹣1，n=3…（1分）∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．∴解得：，∴抛物线的解析式为．…（4分）（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．∴解得：，∴直线AB的解析式为．∴C点坐标为（0，）．…（6分）∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x．∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．设P（x，﹣x），（i）当OC=OP时，．解得，（舍去）．∴P1（，）．（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（，﹣）．（iii）当OC=PC时，由，解得，x2=0（舍去）．∴P3（，﹣）．∴P点坐标为P1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．…（9分）②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．设Q（x，﹣x），D（x，）．S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH =DQ（OG+GH）=，=，∵0＜x＜3，∴当时，S取得最大值为，此时D（，﹣）．…（13分）2-B解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，∴，解得a=，b=，∴抛物线解析式为y=x2+x．（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，AG=y A﹣y M=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴t2﹣t+2=，化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，∴点P的坐标为（，）∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得过A、C的直线为y AC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，∴点Q的坐标为（a，）．解法一：设AB与OC相交于点J，∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴=∴HT===2﹣a，KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③由△A′KT∽△A′O′B′，得，则KT=④由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（xQ﹣xR）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．2-C解：（1）由抛物线242y x x =--知：当x=0时，y=﹣2，∴A （0，﹣2）。
2015年中考数学压轴题预测及答案详解-图形的旋转变换
2015年中考数学压轴题预测及答案详解图形的旋转变换3-A.在ABC △中，BA=BC BAC ∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。
（1） 若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形， 并写出∠CDB 的度数；（2） 在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大 小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3） 对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得 线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ=QD ，请直接写出α的范围。
3-A.【答案】解：（1）补全图形如下：∠CDB=30°。
（2）作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD，∵AB=BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC。
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD。
在△APD与△CPD中，∵AD=CD， PD=PD， PA=PC∴△APD≌△CPD（SSS）。
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。
又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD。
∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°。
∴∠APQ+∠ADC=360°－（∠PAD+∠PQD）=180°。
∴∠ADC=180°－∠APQ=180°－2α，即2∠CDB=180°－2α。
∴∠CDB=90°－α。
（3）45°＜α＜60°。
【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，。
【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案：∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM=AC。
2015中考压轴题分类集锦
目 录 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题 例2 2015年武汉市中考第24题 例3 2015年苏州市中考第29题 例4 2015年黄冈市中考第25题 例5 2015年义乌市中考第24题 例6 2015年临沂市中考第26题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2015年重庆市中考第25题 例2 2015年长沙市中考第第26题 例3 2015年上海市虹口区中考模拟第25题 例4 2015年扬州市中考第27题 例5 2015年临沂市中考第26题 例6 2015年盐城市中考第28题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题 例2 2015年苏州市中考第29题 例3 2015年山西省中考第26题 例4 2015年广州市中考第24题 例5 2015年杭州市中考第22题 例6 2015年浙江省中考第23题 例7 2015年北京市中考第24题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 2015年成都市中考第28题
例2 2015年陕西省中考第24题 例3 2015年上海市松江区中考模拟第24题 例4 2015年福州市中考第21题 例5 2015年烟台市中考第26题 例6 2015年上海市中考第24题 例7 2015年江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题 例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题 例2 2015年上海市金山区中考模拟第24题 例3 2015年上海市松江中考模拟第24题 例4 2015年衢州市中考第24题 例5 2015年义乌市中考第24题 1.6 因动点产生的面积问题 例1 2015年河南市中考第23题
例2 2015年昆明市中考第23题 例3 2015年苏州市中考第29题 例4 2015年菏泽市中考第21题 例5 2015年河南省中考第23题 例6 2015年南通市中考第28题 例7 2015年广州市中考第25题
2015年中考填空压轴题(四)
2015年中考填空压轴题（四）第1298题-第1499题1298．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC边上一动点，将△ABC沿AD折叠，使点B落在点F处，AF交BC于点E，那么，当△DEF是等腰三角形时，BD的长是______________．1299．已知：在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E、F分别是边BC、CD上的动点．（1）如图1，若BE＝CF，那么当AE平分∠BAF时，BE的长是__________；（2）如图2，若BE＝2CF，那么当AE平分∠BAF时，BE的长是__________．1300．如图，P为正方形ABCD的边CD上任意一点，E为AP上一点，BE＝AB，∠CBE的平分线交AP 延长线于点Q．若正方形的边长为a，当点P在CD边上由C移动到D时，点Q到CD的最大距离为__________；点Q所经过的路径长为__________．（用含a的代数式表示）1301．如图，F是正方形ABCD外一点，∠DFC＝135°，连接AF交DC于E．若E是DC中点，则EF AE＝________，CFAF＝________，CFDF＝________．AB CEDFA DB CEFA DB CEF图1 图2ABDCPQEABDCFE1302．如图，E 是等边三角形ABC 外一点，∠AEC ＝120°，连接BE 交AC 于D ．若 CEAE＝1 2 ，则 CD AD＝________，DEBD＝________．1303．四边形ABCD 中，∠B ＋∠D ＝180°，AB ＝AD ，AC ＝1，∠BAD ＝60°，则四边形ABCD 的面积是_________．1304．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点F 在AC 上，D 为BF 中点，AD 延长线交BC 于E ，若AD ＝25，BE ＝3，则AF 的长为__________．1305．已知△ABC 中，AB ＝AC ，CD 是AB 边上的高，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，且CD ＝DE ＋DF ，则ABBC的值为__________．1306．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在AB 延长线上，连接CE 、DE ，DE 交边BC 于点F ，直线OF 交线段CE 于点G ，若OG ＝255，则BE 的长为__________．1307．已知：点A 、B 在⊙O 上，∠AOB ＝80º，点C 是AB ︵上的一个动点，AC 、OB 的延长线相交于D ． （1）如图1，当△BCD 为等腰三角形时，∠D 的度数是_________； （2）如图2，当△DCB ∽△DOC 时，∠D 的度数是_________．AB CE D AC D B AB C E DF AEBDC OFGA O DB CAO DB C1308．如图，直线l 经过点（1，2），交y 轴的正半轴于点A ，交x 轴的正半轴于点B ． （1）△OAB 面积的最小值为_________，此时直线l 的解析式为_____________； （2）△OAB 周长的最小值为_________，此时直线l 的解析式为_____________．1309．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝42，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，连接CE ，则线段CE 的长的最小值为____________．1310．如图，点D 为AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD ＝DO ，以O 为圆心，OD 长为半径作圆，交AC 于另一点E ，交AB 于点F 、G ，连接EF ，若∠A ＝22°，则∠EFG ＝________．1311．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，tan B ＝2，AB ＝1，则BC 的长为__________．1312．如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个OA BxyC C （1，2） AB C D E A F G OE C D B AB C顶点P 落在反比例函数y ＝1x的图象上，“7”字形有两个顶点落在x 轴上，一个顶点落在y 轴上． （1）图1中的每一个小正方形的面积．．是__________； （2）按照图1→图2→图3→图4→……这样的规律拼接下去，第n 个图形中每一个小正方形的面积．．是__________（用含n 的代数式表示）．1313．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，AC ⊥OB 于C ，若⊙D 同时与射线CA 、CB 及⊙O 相切，则⊙D 的半径为____________．1314．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，将劣弧AB ︵ 沿直线AB 折叠，得到AmB ︵，正方形CDEF 的顶点C 、F 在弦AB 上，顶点D 、E 在AmB ︵上，则正方形CDEF 的边长为___________．1315．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝45°，∠BCD ＝90°，CA 平分∠BCD ，若AC ＝62，BD ＝5，则四边形ABCD 的面积为_________．1316．如图，正方形ABCD 的边长为 17，顶点A 、B 分别在y 轴正半轴和x 轴正半轴上，顶点C 在反比例函数y ＝kx（k＞0，x＞0）图象上，连接OD 交双曲线于点E ，且E 是OD 的中点，则k 的值为________．Ox P yy ＝1 x y ＝1 x y ＝1 x y ＝1 xO x y O x y O x y P P P 图1 图1 图1 图4 O A B C A B OmC D E F AB DC DAyE1317．方程x +++++55555＝x 的根是__________1318．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 边上一点，AE ＝1，过E 作∠FEG ＝90°，分别交边BC 、AD 于F 、G ，连接FG ．（1）当△EFG 是等腰直角三角形时，△EFG 的面积为_________； （2）△EFG 面积的最小值为_________．1319．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，矩形EFGH 的顶点E 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，且AH ＝1，则点F 到BC 的距离的最大值为_________．1320．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝6，E 为AB 边上一点，AE ＝1，过E 作∠FEG ＝45°，分别交边BC 、AD 于F 、G ，连接FG ，则△EFG 面积的最小值为_________．1321．如图，直线y ＝－12x ＋1 4与抛物线y ＝x2－ 1 4 交于A 、B 两点，直线l 与x 轴平行且过点C （0，－1 2），点D （－13，a ）是直线AB 上一点，点P 是抛物线上的动点，当△POD 的周长最小时，点P 的坐标为___________．A B D CE F G A B ED C G H F A B D G C EF A B x yO DPCl1322．如图，抛物线经过原点O 和点A （－8，0），顶点为B （－4，6）．将抛物线向下平移，记平移后点A 的对应点为A 1，点B 的对应点为B 1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得原点O 是y 轴上到A 1、B 1两点距离之和OA 1＋OB 1最短的一点，则此时抛物线的解析式为______________．1323．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ，E 为腰AB 上一点，且△DEC 为等边三角形，则S △BCE :S △ADE＝________．1324．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，P 是BC 边上一动点，连接DP ，将线段DP 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PQ ．若AP ＝7，PB ＝1，则QE ＝_________．1325．如图，等边△ABC 中，D 、E 在边BC 上，BD ＝EC ＝2DE ，F 、G 、H 是△ABC 所在平面上三点，AG ＝FG ＝DG ＝AH ＝FH ＝EH ＝1，则EF 的长为_________． B x OA yAB D CE B C A D E P QA BCED FG H1326．如图，AB 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 上一动点，且∠APB ＝30°，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G 、H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE ＋FH 的最大值为_________．1327．如图，已知直线l ：y ＝34x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，⊙O 的半径为1，点C 是y 轴正半轴上的一个动点，如果⊙C 既与⊙O 相切，也与直线l 相切，则点C 的坐标为_____________． 1328．如图，已知直线l ：y ＝34x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，⊙O 的半径为1，点C 是y 轴上的一个动点，如果⊙C 既与⊙O 相切，也与直线l 相切，则点C 的坐标为_____________．1329．如图，平行四边形OABC 的顶点A 、B 都在抛物线y ＝14x 2＋1上，顶点C 在x 轴的负半轴上，边AB 交y 轴于点D ，连接CD 交抛物线于点E ，若射线BE 经过坐标原点O ，则此时点A 的坐标为__________．1330．如图，在平面直角坐标系中，点A （－1，0），点B （3，0），以AB 为直径作⊙M 交y 轴正半轴于点C ，直线CD 切⊙M 于C 点，交x 轴于D 点，E 是线段CD 的中点，连接BE 分别交AC 、MC 于F 、G ．G H E A B P OF A x O By C A x OB yC x O EDyB A（1）点F 的坐标为__________，点G 的坐标为__________； （2）EF :FG :GB ＝__________．1331．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 、E 是圆弧上的点，且AC ＝CD ＝4，BE ＝DE ＝42，连接OC 、OE ，则图中两个阴影部分的面积和为__________．1332．如图，等腰直角三角形ABC 顶点A 在x 轴上，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ＝22，反比例函数y ＝3x（x＞0）的图象分别与AB ，BC 交于点D ，E ．连结DE ，当△BDE ∽△BCA 时，点E 的坐标为___________．1333．如图，Rt △ABC 的顶点B 在x 轴上，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，反比例函数y ＝23x（x ＞0）的图象分别与边AB ，AC 交于点D ，E ．连结DE ，当△ADE ∽△ACB 时，点E 的坐标为___________．1334．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面内移动点A ，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A 的横纵坐标仍是整数，则移动后点A 的坐标为___________________．D BOC xyMA E F G A BO E C DA C OB EDx yB CO A ED x yAO xy111335．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面内移动点A ，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，则移动后点A 的坐标为___________________．1336．如图，直线l 1∥l 2，l 1、l 2之间的距离为6，圆心为O 、圆心角为θ、半径为4的扇形纸片OAB 的半径OA 在l 1上．将扇形纸片OAB 绕点A 按顺时针方向旋转，旋转过程中扇形纸片OAB 始终不超出l 1、l 2，要使点B 能落在直线l 2上，则θ的最小值为___________，最大值为___________． （参考数据：sin49°＝34，tan37°＝3 4）1337．如图，在平面直角坐标系中，点A （1，3），点B （2，4），在x 轴上找一点P ，使∠APB 最大，则点P 的坐标为___________．1338．已知在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且OC ＝BC ，若△ABO 的周长为a ，△ABD 的周长为b ，则□ABCD 的周长为___________（用含a 、b 的式子表示）A O x y1 1 θl 2l 1 OABA BO x yA BD CO1339．如图，□ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、AB 上，且BE ＝DF ，BE 、DF 交于点O ，若∠BOC ＝78°，则∠DOE 的度数为_________．1340．如图，把边长为5的正方形纸片ABCD 放在平面直角坐标系中，点B 、C 在x 轴上，OB ＝3，点P 为边CD 上一点，将△BPC 沿BP 折叠，使点C 落在y 轴上的点C ′ 处，反比例函数y ＝kx的图象经过点P ，则k 的值为________．1341．如图，∠MON ＝45°，点A 为射线OP （∠PON ＜∠MON ）上一点，以点A 为直角顶点作等腰直角三角形ABC ，使点B 、C 分别在射线OM 、ON 上．若tan ∠PON ＝35，点A 到射线OM 的距离为2，则等腰直角三角形ABC 的斜边BC 的长为____________．1342．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2BC ，则△ABC 面积的最大值为___________．1343．已知正方形DEFG 的顶点D 、G 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，顶点E 、F 在边BC 上，若正方形DEFG 的面积为1，则△ABC 面积的最小值为_________．A B D CE F OB CO A D y x P C ′ OM PNAAB C A BCE FD G1344．已知实数a 满足a3＜a＜a2，则关于x 的不等式a －x＞1＋ax 的解为___________．1345．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝32，∠BAC ＝45°．过点C 作直线l ∥AB ，点P 是射线AC 上一动点（不与点A `、C 重合），直线BP 与直线l 相交于点D ．设PB ＝m ．（1）当m ＝_________时，以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形； （2）当m ＝_________时，以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是直角梯形．1346．如图，线段AB 的长为6cm ，线段CD 的长为4cm ，CD ⊥AB 于D ，CD 从点D 与点A 重合的位置出发，沿AB 以1cm /s 的速度运动，动点P 从点D 出发，沿DC 以2cm /s 的速度运动，当点P 到达点C 时，运动停止．连接PB ，M 为线段PB 的中点，则在整个运动过程中，点M 所经过的路径长为_________．1347．如图，AB 为半圆O 的直径，点P 为半圆弧上一动点，过点P 作PE ⊥AB 于E ，点M 在半径OP 上，且OM ＝OE ，点N 为OM 的中点．若半圆O 的半径为2，当点P 沿半圆弧从点B 运动到点A 时，线段MN 扫过的面积为___________．1348．如图，直线AB 交双曲线y ＝kx（k＞0，x＞0）于A 、B 两点，交x 轴于C 点，B 为线段AC 的中点，连接OA ，若S △OAC＝6，则k 的值为________A B C l D P CA B D PM O EA BPM N OCABxy1349．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，tan B ＝34，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，BD ＝3，CE ＝4，∠ADE＝∠B ，则线段AD 的长为_________．1350．如图，平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，E 为BC 的中点，AF ⊥CD 于F ，设∠AFE ＝α，则∠BAD ＝___________（用含α的式子表示）；若α＝36°，则CFAB＝__________．1351．如图，△ABC 中，∠A ＝150°，AB ＝AC ，D 为∠ABC 平分线上一点，E 为线段BC 上一点，若BC ＝a ，则DE ＋DC 的最小值为___________（用含a 的式子表示）．1352．如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1，3），点C 是x 轴上一点，且AC ＝OC ，则点C 的坐标为___________；若双曲线y ＝kx经过点A ，AC 与双曲线交于点B ，点D 是线段OA 上的点（不与O 、A重合），点P （t ，0）是x 轴正半轴上一动点，且满足∠BDP ＝∠AOC ，则当这样的D 点同时有两个时，t 的取值范围是_____________．1353．如图，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，AD ⊥OP 于D ，若∠ODC ＝α，∠DBC ＝β，则∠OPC ＝___________（用α、β表示）． AB C DEA B DC EFA B C E D D AO x C P B yA O CD PB1354．如图，△ABC 中，BF ⊥AC 于F ，CD ⊥AB 于D ，BF 、CD 交于点H ，E 为线段AB 上一点，G 为线段CH 上一点，连接EG ．若AD ＝DH ，AE ＝3BE ，CG ＝3GH ，∠DGE ＝28°，则∠HBC 的度数为_________．1355．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为等腰梯形，顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1），点P 的坐标为（0，2），将点P 绕点A 旋转180°得到点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得到点P 4，…，重复操作依次得到点P 1，P 2，…，则点P 100的坐标为____________；点P 2014的坐标为____________；若点P n 的坐标为（－2346，0），则n ＝____________． 1356．如图，△ABC 中，∠A ＝45°，AB ＝AC ＝4．以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交边AC 、AB 于点D 、E ，连接BD 、DE ．（1）∠BDE 的度数为_________； （2）扇形BCE 的面积为_________； （3）弓形CmD 的面积为_________．1357．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，DG ⊥BD 交BC 于G ，若BG ＝8，则EF 的长为_________．1358．用一张长方形纸条可以折成正五边形的形状，折叠过程是将图①中的纸条按图②方式拉紧，压平后可得到图③中的正五边形．AB CDE F G H D C A Bx y P AB C D E mA B CE DFG 图①图②图③（1）将两端剪掉可以得到正五边形，若将展开，则展开后的平面图形是______________；（2）若原长方形纸条（图①）宽为2cm ，则（1）中展开后平面图形的周长为___________（可以用三角函数表示）．1359．已知：矩形ABCD 中，BF ⊥AC 于F ，交AD 于E ． （1）如图1，若E 为AD 的中点，则ABBC的值为_________； （2）如图2，连接CE ，若CE 平分∠ACD ，则 AEAD的值为_________．1360．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，若AE :EB ＝3 :2，CE :ED ＝6 :5，则tan ∠ACE ＝_________，tan ∠CAB ＝_________．1361．如图，直角梯形ABCD 中，H 为边BC 上一点，四边形ABHD 为正方形，△DHC 为等腰直角三角形，E 为边AB 上一点，连接EC 交DH 于G ，F 为线段EC 上一点，∠BFE ＝45°．若EF ＝3，△DEC 的面积为32.5，则DG 的长为_________．1362．如图，在正方形ABCD 中，分别以C 、D 为圆心，以正方形的边长为半径画弧，两弧交于正方形内一点E ，⊙F 与AC ︵、BD ︵及BC 边都相切，若正方形的边长为6，则⊙F 的半径为__________，图中阴影部分的面积为__________．ABDCEFBCADEF图1图2A B EC DO A B D C HE F GA DFE1363．如图，点P 是反比例函数y ＝2x（x＞0）图象上一动点，过点P 作P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥P A 交反比例函数y ＝4 x （x＞0）图象于点B ，连接AB 交反比例函数y ＝2 x （x＞0）图象于点C ，则 BCCA＝________．1364．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，tan B ＝43，点O 在高AH 上，以O 为圆心，OH 为半径的⊙O 分别与AB 、AC 相切于点D 、E ，则tan ∠CEH ＝________，tan ∠BEH ＝________．1365．在平面直角坐标系中，点A （2，0），点B （－1，6），以AB 为边作矩形ABCD ，使其中一个顶点落在y 轴上，若抛物线y ＝mx2－(m ＋2)x ＋4－2m 经过矩形ABCD 四个顶点中的三个，则m ＝______________．1366．如图，等边△ABC 中，点D 是CB 延长线上一点，以AD 为边在AD 的右侧作等边△ADE ，把△ABD 沿AB 翻折得到△ABD ′，BD ′ 交DE 于F ，连接BE ，若BE 平分∠D ′BC ，EF ＝4，则BD ′ 的长为_________．OABPCxyA B C H E D OO x AB yAD C B ED ′F1367．如图，已知点A 是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y ＝－x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB ＝30°，BA ⊥P A ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动，那么，当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是_________．1368．如图，已知点A 是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，以O 为圆心、OM 为半径画MN ︵交y 轴正半轴于点N ，点P 是MN ︵上的一个动点，∠APB ＝30°，BA ⊥P A ．当点P 沿MN ︵从点M运动到点N 时，点B 运动的路径长是_________．1369．如图，直线l 分别与x 轴、y 轴交于点A （2，0）、B （0，2），双曲线y ＝kx（k＞0，x＞0）与直线l 不相交，点P 为双曲线上一动点，过点P 作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，分别与直线l 交于E 、F ，且∠EOF ＝45º．若OE ＝(2＋1)OF ，则点P 的坐标为____________．1370．如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE ＝BF ＝1，小球P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P 第一次碰到点E 时，小球P 与正方形的边碰撞的次数为_________次，小球P 所经过的路程为_________．N xOBCM A yy ＝－x Px O BMAyPCN O xM yB NP E l F A D A C B EF1371．已知△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝45°，D 为BC 延长线上一点，CD ＝12BC ，连接OC 、AD ，若OC ∥AD ，则∠ABC 的度数为_________．1372．如图，是一个曲边三角形，它的外围由以等边△ABC 的顶点为圆心，以等边△ABC 的边长为半径的三段等弧组成，已知AB ＝2．将该曲边三角形放置于水平面上，使AC ︵与水平面相切于C 点，然后向右作无滑动的滚动，转到AB ︵与水平面相切于B 点，则顶点A 经过的路径长为__________．1373．在平面直角坐标系xO y 中，直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于B ，⊙O 的半径为2，⊙O 截直线l 所得弦长为2，则△AOB 面积的最小值为_________ 1374．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，若AB ＝8，CD ＝1，∠AEC ＝3∠ECD ，则tan ∠BAC 的值为_________．1375．已知关于x 的函数y ＝2ax2＋2x －3－a ，若存在x 0（－1≤x 0≤1）满足2ax 02＋2x 0－3－a ＝0，则实数a 的取值范围是_______________．1376．如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是__________．ABCO DA B C A C B AB C D E A B D G C F E H1377．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC ＝2AB ，A 、B 两点的坐标分别是（－1，0）、（0，2），C 、D 两点在反比例函数y ＝kx（x＜0）的图象上，则k 等于_________．1378．如图，△ABC 中，AB ＝13，AC ＝10，AD ⊥BC 于D ，点E 在边BC 上，∠BAE ＝60°，∠CAE ＝2∠DAE ，则BD:DC ＝_________．1379．在△ABC 中，矩形DEFG 的边EF 在BC 上，点D 、G 分别在边AB 、AC 上，若△ABC 的面积为S ，则矩形DEFG 的面积的最大值为__________（用含S 的代数式表示）．1380．已知正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，点P 是正方形内一点，P A ⊥PB ，若OP ＝2，P A ＝6，则正方形的边长为___________．1381．如图，矩形ABCD 中，BC ＝7，动点P 、Q 分别从B 、C 出发，点P 沿BA 向点A 运动，点Q 沿CB 向点B 运动，速度都为每秒1个单位，连接AQ 、PC 相交于O ．设运动时间为t 秒，当t ＝3时，∠AOC ＝∠BPC ＋∠AQB ，则当t ＝________时，△ABQ ∽△CBP ．1382．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（2，0），（0，2），（－2，0）．一只电子跳蚤从坐标原点O 出发，第一次跳跃到点P 1．使点P 1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P 2，使点P 2与点P 1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P 3，使点P 3与点P 2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P 4，使点P 4与点P 3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P 5，使点P 5与点P 4关于点B 成中心对称；……照此规律重复下去，则点P 2014的坐标为__________．O x A ByCD A B CE D AB CE F D G A B D C Q OPC AO B x y1383．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，P 是AC 边上一动点，CH ⊥PB 于H ，DH ⊥AH 交AB 于D ，则AD 长度的最小值为__________．1384．有如下一系列分数：75，107，1712，2417，4129，5841，9970，…，这些分数与2比较接近，那么，9970之后相邻的两个分数分别是_______和_______．1385．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，点P 是线段BD 上一动点，CH ⊥AP 于H ．当点P 从点B 运动到点D 时，点H 所经过的路线长为_________，线段CH 所扫过的图形的面积为__________．1386．已知等边△ABC ，分别过A 、B 、C 三点作平行线l 1∥l 2∥l 3，AC 交l 2于D ，AE ⊥l 3于E ，交l 2于F ，若AF ＝1，EF ＝2，则BD 的长为_________．1387．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝5，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，且AE ＝1，DE ∥BC ．将△ADE 绕点A 旋转，得到△AD ′E ′，连接CE ′、BE ′，当CE ′⊥D ′E ′ 时，线段BE ′ 的长为___________．1388．如图，AB 为半圆O 的直径，AB ＝4，C 、D 分别为OA 、OB 的中点，点P 在AB ︵上，点E 在AP ︵上，点F 在BP ︵上，且EC ∥PD ，FD ∥PC ，则PE 2＋PF 2＋EC 2＋FD 2的值为________．（提示：在△ABC 中，若AD 是BC 边上的中线，则有AB 2＋AC 2＝2AD 2＋2BD 2）CA B DP H CA BD P H l 1l 2 l 3 EF C BADC A B E DD ′E ′ EFP O ABC D1389．如图，是两个同心圆，圆心是坐标原点O ，小圆的半径为2，大圆的半径为4，点A 坐标为（1，0），P 是小圆上的动点，Q 是大圆上的动点，满足P A ⊥AQ ，则线段PQ 长的取值范围是__________． （提示：在△ABC 中，若AD 是BC 边上的中线，则有AB 2＋AC 2＝2AD 2＋2BD 2）1390．如图，在□ABCD 中，∠A ＜90°，AB ＝2AD ，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，CE 与BF 交于点G ，若∠A ＋∠BGE ＝180°，则cos A 的值为__________．1391．如图，在平面直角坐标系xO y 中，四边形矩形OABC 为矩形，顶点A 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，2），双曲线y ＝kx（x＞0）与边BC 、AB 分别交于点D 、E ，将△BDE 沿DE 翻折得△FDE ，点F 恰好落在OA 上，则k 的值为_________．1392．①如图1，在边长为a 的正方形ABCD 各边上分别截取AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝b （b ＜a2），若∠AFQ＝∠BGM ＝∠CHN ＝∠DEP ＝45°，则正方形MNPQ 的面积为__________（用含a 、b 的代数式表示）； ②如图2，在等边△ABC 各边上分别截取AD ＝BE ＝CF （AD ＜13AB ），再分别过点D 、E 、F 作BC 、AC 、AB 的垂线，得到等边△PQR ，若S △PQR＝33，则AD 的长为__________．O A x yP Q OAFB CEDyxF D C A B GE AB D NCHG P Q F E MA B C E FDR P Q 图1 图21393．若关于t 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧t －a≥02t ＋1≤4恰有三个整数解，则关于x 的一次函数y ＝14x －a 的图象与反比例函数y ＝3a ＋2x的图象的公共点的个数为_________．1394．如图，A ，B ，C 为⊙O 上相邻的三个n 等分点，AB ︵＝BC ︵，点E 在BC ︵上，EF 为⊙O 的直径，将⊙O 沿EF 折叠，使点A 与A ′ 重合，点B 与B ′ 重合，连接EB ′，EC ，EA ′．设EB ′＝b ，EC ＝c ，EA ′＝p ．现探究b ，c ，p 三者的数量关系：发现当n ＝3时，p ＝b ＋c ．请继续探究b ，c ，p 三者的数量关系： 当n ＝4时，p ＝________；当n ＝12时，p ＝________． （参考数据：sin15°＝cos75°＝6－2 4 ，cos15°＝sin75°＝6＋24）1395．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，AM ⊥BC 于M ，点D 为边AB 延长线上一点，点E 为边AC 上一点，且BD ＝CE ，连接DE 交BC 于F ，交AM 于G ．①如图1，若∠BAC ＝90°，AB ＝3，AF ＝5，则线段EG 的长为_________； ②如图2，若F 是BM 的中点，AB ＝3，AF ＝6，则线段EG 的长为_________．1396．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（－1，0）、（0，2），点C 在第一象限，∠ABC ＝135°，AC 交y 轴于D ，CD ＝3AD ，反比例函数y ＝k x的图象经过点C ，则k 的值为_________．FE B ′B CAA ′OA B F EC M DG A BF ECMD G 图1 图2 ACOB D yx1397．已知点A 、B 分别在反比例函数y ＝6 x （x＞0）、y ＝－3x（x＞0）的图象上，且AB ∥y 轴，点C 是y 轴上一点，若△ABC 为等腰直角三角形，则点C 的坐标为_______________．1398．已知点A 、B 分别在反比例函数y ＝33 x （x＞0）、y ＝－3x（x＞0）的图象上，且AB ∥y 轴，点C 是y 轴上一点，若△ABC 是以AB 为斜边且有一个内角为30°的直角三角形，则点C 的坐标为_______________．1399．如图，点P 是双曲线y ＝1 x（x＞0）上的一个动点，直线l 与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，与双曲线y ＝1x只有一个公共点P ．给出四个结论：①P A ＝PB ；②△OAB 的面积为定值；③△OAB 的周长的最小值为4＋22；④双曲线上存在点Q ，使得△OPQ 为等腰直角三角形．其中正确的结论是____________．（把正确结论的序号都填上）1400．若关于x 的方程ax2＋2(a －3)x ＋a －2＝0至少有一个整数解，且a 是整数，则a 的值为__________．1401．如图，一段抛物线：y ＝－x ( x －3 )（0≤x≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；……如此进行下去．若点P （2014，m ）在第n 段抛物线C n 上，则m ＝________，n ＝________． B O yx A y ＝6 xy ＝－3 xOyx y ＝33 xy ＝－3xAB O A P Bx y l y C 1 C 31402．如图，在函数y 1＝k 1 x （x＜0）和y 2＝k 2x（x＞0）的图象上，分别有A 、B 两点，若AB ∥x 轴，交y 轴于点C ，且OA ⊥OB ，S △AOC＝1 2 ，S △BOC ＝ 92，则线段AB 的长为________．1403．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，点E 在AB 的延长线上，满足∠ADE ＋∠BAC ＝180°，若AC ＝6，BE ＝2，则线段BD 的长为_________．1404．如图，在平面直角坐标系xO y 中，点A （3，2）在⊙O 上，点B 、C 为y 轴上的两点，△ABC 是以点A 为顶点的等腰三角形，直线AB 、AC 分别交⊙O 于E 、F 两点，直线EF 交y 轴于点D ，则sin ∠BDE 的值为_________．1405．如图，在平面直角坐标系xO y 中，点A 、B 的坐标分别为（0，1）、（0，－1），以AB 为直径在y 轴右侧作半圆O ，若直线y ＝x ＋m 与半圆O 只有一个公共点，则m 的取值范围是________________．yx A B O Cy 2＝k 2 xy 1＝k 1 xA C D BEF x O CyEB A D O x AyB y ＝x ＋m1406．如图，在平面直角坐标系xO y 中，点M 坐标为（2，0），以M 为圆心、MO 为半径在第一象限画半圆，与x 轴正半轴交于点A ，若直线y ＝kx ＋b 过点B （3，1），且与半圆M 只有一个公共点，则b 的取值范围是________________．1407．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，2），以A 为圆心，以32为半径作⊙A ，若⊙A 上至少有三个不同的点到直线y ＝kx 的距离为22，则k 的取值范围是___________．1408．已知点D 与点A （8，0），B （0，6），C （a ，－a ）是一平行四边形的四个顶点，则CD 长的最小值为_________．1409．如图，在平面直角坐标系中，有一个正六边形ABCDEF ，其中C 、D 的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个正六边形沿着x 轴向右滚动，则在滚动过程中，这个正六边形的顶点A 、B 、C 、D 、E 、F 中，会经过点（2014，2）的是点__________，会经过点（2014，3）的是点__________．1410．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60º，点E 在BC 边上，BE ＝3EC ＝3，点F 在线段DE 上，∠AFC ＝120º，则DF 的长为____________．O A Mx Byy ＝kx ＋bA x yy ＝kx O O x C B A F DE yA B DC E1411．如图，以M （－5，0）为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点，直线P A 、PB 分别交y 轴于C 、D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F ，连接EN ，若EN ∥AC ，则点P 的坐标为__________．1412．如图，在平面直角坐标系xO y 中，⊙O 的半径为2，点A （2，2）是⊙O 上一点，过点A 作⊙O 的切线交x 轴于点B ，点C 是第四象限⊙O 上一点，延长AB 交OC 延长线于D ，过点C 作⊙O 的切线交OA 延长线于E ，点C 关于直线DE 的对称点为F ，设F （x ，y ），则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y ＝1 xB ．y ＝2xC ．y ＝2xD ．y ＝22x1413．如图，菱形ABCD 中，点E 是对角线AC 延长线上一点，AC ＝4，CE ＝1，∠ABE ＝45°，则菱形ABCD 的边长为__________．1414．如图，在平面直角坐标系xO y 中，⊙O 过点B （4，3），交x 轴负半轴于点A ，C 是直线y ＝x －3上一点，D 是⊙O 上一点，且A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形，则C 点的坐标为__________________．1415．如图，直线y ＝kx 过点A （1，1），点B 为y 轴上一点，连接AB ，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ，过C 作直线DE ⊥x 轴于E ，与直线y ＝kx 交于点D ，且CE ＝2CD ，直线BC 与直线y ＝kx 交于点F ，则点F 的坐标为__________． O xC F A E B M N Py D O DC Bx yE F AB C EA D Ox A y B y ＝x －31416．如图，抛物线y＝ax2－3x＋c（a＞0）与x轴正半轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，⊙D过A、B两点且与y轴相切于点C，连接AC、BC，则tan∠ACB的值为_________．1417．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，简要说明画图方法（不要求证明），并直接写出该正方形的边长．1418．函数y＝2x－1＋2－x的最小值为________，最大值为________．1419．已知：⊙O中，OA、OB是两条互相垂直的半径，点P在OB的延长线上，PC切⊙O于点C，直线AC交直线OP于点D．若⊙O的半径为3，PC＝4，则AD的长为__________．1420．如图，正方形ABCD和等腰Rt△BEF有公共顶点B，∠EBF＝90°，点F在正方形的对角线AC上，EF交AB于点G，若AFFC＝34，则AGGB＝________．A BCO BACxyDEOABA D1421．如图，在边长为3的等边△ABC 中，P 为AC 边上一动点，Q 为线段PC 上一点，∠PBQ ＝30°，D 为BQ 延长线上一点，PD ＝PB ．当点P 从点A 运动到AP ＝13AC 时，点D 经过的路线长为_________．1422．如图，等边△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为△ABC 内一点，DF ⊥DE 交BE 的延长线于F ，且∠DEF ＝60°，AG ⊥CF 交CF 的延长线于G ．若DF ＝4，AG ＝3，则CF 的长为_________．1423．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝2，AB ＝4，BC ＝3，P 是线段AB 上一动点，点D 关于直线PC 的对称点为D ′，当点P 从点A 移动到AP ＝257时，D ′ 点所经过的路径的长为__________．1424．如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 、E 是斜边BC 的三等分点，若AD :AE ＝7 : 13，则AB :AC ＝__________1425．用4个全等的直角三角形既可以拼成一个如图所示的正方形，也可以拼成一个无重叠、无缝隙的矩形，若拼成的正方形周长为20，中间小正方形的边长为1，则拼成的矩形周长为__________． A B C P Q D AB C ED F G A DBC PAB C E D1426．如图，⊙O 的半径为1，弦AB 的长为1，点P 为优弧AB 上一动点，CA ⊥PA 交直线PB 于点C ．当点P 从PA ＝2移动到PA ＝2时，点C 经过的路径长为__________．1427．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ≥5，点E 在AD 上，AE ＝1，点P 是AB 边上的一个动点，EF ⊥PE 交BC 边于点F ，点M 为PF 的中点．当P 从点A 运动到点B 时，点M 经过的路径长为__________．1428．如图①，四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，E 为AB 边上一动点（点E 不与点A 、B 重合），EF ∥AC 交BC 于F ，FG ∥BD 交DC 于G ，GH ∥AC 交AD 于H ，连接HE ．记四边形EFGH 的周长为p ，如果在点E 的运动过程中，p 的值不变，则称四边形ABCD 为“Ω四边形”，此时p 的值称为它的“Ω值”． （1）等腰梯形________（填“是”或“不是”）“Ω四边形”；（2）如图②，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AC ＝3，BC ＝4，点D 为BC ︵上一动点，将△ABC 折叠，使点D 与点A 重合，C 、B 对应点为E 、F ．当点D 运动到某一位置时，以A 、B 、C 、D 、E 、F 中的任意四个点为顶点的“Ω四边形”最多，最多有________个，其“Ω值”的总和为________．1429．（1）如图1，F 是平行四边形ABCD 的边BC 的中点，DF 交AC 于点E ，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD 的面积的比是_________；（2）如图2，F 是平行四边形ABCD 的边BC 的n 等分点（BF ＝1nBC ），DF 交AC 于点E ，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD 的面积的比是_________（用含n 的式子表示）．O P A B CA B D C FME P ADB C F E G H OA BC 图① 图②1430．如图，在边长为2的正方形ABCD中，AC为对角线，AE平分∠CAB交BC于E，EF∥AC交AB 于F，P为AC上一动点，则△PEF的周长的最小值为__________．1431．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若CGGB＝1k，则ADAB＝________（用含k的代数式表示）．1432．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原速度沿AB返回．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P 到达点C时整个运动停止．设运动时间为t（秒）．连接PQ，当线段PQ的垂直平分线经过点B时，t的值为___________．1433．如图，在□ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝2AB，点E、F在对角线BD上，若四边形AECF是矩形，则AEAF＝________．1434．如图，点A是反比例函数y＝9x（x＞0）图象上一点，连接OA交反比例函数y＝4x（x＞0）图象于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝9x（x＞0）图象于点C，连接AC并延长交x轴于点D，则OAOB的值为________，△AOD的面积为________．A BFED CD CA BEFGAB CPQB CA DEFAy1435．如图，△ABC 内接于⊙O ，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于D ，BD＝22CD ，点E 在BC 上，BE ＝2 3 BC ，延长DE 交AC 于F ，则 AFAC的值为________．1436．如图，抛物线y ＝－1 2x2＋32x ＋2与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴于C 点，抛物线关于直线x ＝k 的轴对称图象交直线BC 于E 、F 两点，且E 、F 关于C 点对称，则k 的值为________． 1437．如图，已知点M （ p ，q ）在抛物线y ＝x2－1上，以M 为圆心的圆与x 轴交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标恰好是关于x 的一元二次方程x2－2px ＋q ＝0的两个实数根，则弦AB 的长等于________；1438．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边AB 边上的高为6，正方形DEFG 的顶点D 、E 在斜边AB 上，顶点F 、G 分别在边BC 、AC 上，正方形DHIJ 的顶点H 、I 、J 分别在DG 、AC 、AB 上，正方形EKLM 的顶点K 、L 、M 分别在AB 、BC 、EF 上，设正方形DHIJ 与正方形EKLM 的面积的和为S ，则S 的取值范围是_____________．ABCEDF O A BOE FC xyx ＝kO x A yB M CA B D F G E K J L H I M1439．如图，在△ABC 中，AD 、CE 是高，BD ＝12DC ＝2，AD 、CE 交于F ，且AB ＝CF ．点P 是BC 边上一动点，点Q 是线段AD 上一动点，BP ＝2DQ ．当点P 从点B 移动到点C 时，线段PQ 的中点M 经过的路径的长为________．1440．如图，直线y ＝－43x ＋8与x 轴、y 轴分别交于B 、A 两点，BC 平分∠ABO 交y 轴于点C ．点P （t ，0）是x 轴正半轴上一动点，PD ∥BC 交y 轴于点D ，如果以P 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，则t 的值为___________．1441．如图，在平面直角坐标系xO y 中，⊙O 的半径为2，AC 、BD 是⊙O 的两条相互垂直的弦，垂足为M （1，2），则四边形ABCD 的面积的最大值与最小值的差为________．1442．如图，抛物线y ＝x2＋6x ＋5交y 轴于点A ，交x 轴于点B 、C ，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，设点P 的横坐标为m ，当DF ＝2DE 时，m 的值为_________．AD B CE P Q MFO x P B A C yDx O BC D AM y x O BC DAM yAB xCyO。
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中考初中数学压轴题（有答案） 一．解答题（共30小题） 1．（2014•攀枝花）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB． （1）求B、C两点的坐标； （2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标； （3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．
2．（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s） （1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为 _________ °； （2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）； （3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
3．（2014•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方． （1）若直线AB与有两个交点F、G． ①求∠CFE的度数； ②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围； （2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2014•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）当圆C经过点A时，求CP的长； （2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长； （3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
5．（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点． （1）写出∠AMB的度数； （2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E． ①当动点P与点B重合时，求点E的坐标； ②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围． 6．（2014•漳州）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）
（1）【理解与应用】 如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为 _________ ． （2）【类比与推理】 如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值； （3）【拓展与延伸】 如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
7．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点． （1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）； （2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半
径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．
8．（2014•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）． （1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF； （2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b； （3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
9．（2014•陕西）问题探究 （1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长； （2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长； 问题解决 （3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．
10．（2014•成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G． （1）求证：△PAC∽△PDF； （2）若AB=5，=，求PD的长； （3）在点P运动过程中，设=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）
11．（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆； 方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆． （1）写出方案一中圆的半径； （2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？ （3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y． ①求y关于x的函数解析式； ②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．
12．（2014•徐州）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG． （1）试说明四边形EFCG是矩形； （2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中， ①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由； ②求点G移动路线的长．
13．（2014•东昌府区三模）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F． （1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径． 14．（2014•安徽模拟）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+AC•r2=AB•h，∴r1+r2=h （1）理解与应用 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在 三角形内任一点”，
即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：．
（2）类比与推理 边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于 _________ ； （3）拓展与延伸 若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…rn，请问r1+r2+…rn是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．
15．（2014•安徽名校一模）如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线．
16．（2014•灌南县模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB=10，AD=2，求AC的长．
17．（2014•普陀区二模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过D作射线DE交AB边于E，使∠BDE=∠A，以D为圆心、DC的长为半径作⊙D． （1）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． （2）当⊙D与AB边相切时，求BD的长． （3）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD的长为多少时，⊙D与⊙E相切？