学霸奥数等差数列讲义(精简版)精编版
奥数教程3年级第7版-第5讲-等差数列
第5讲-等差数列【知识导航】首先要先认识一下几个基本概念1、等差数列都是长什么样的？（1）自然数数列：公差是1，首项可以是1，也可以不是1；任意一个数都可以是第1项；（2）奇数数列：公差是2，每一项都是奇数（单），这是一个比较特殊的数列；（3）偶数数列：公差是2，每一项都是偶数（双），这是一个比较特殊的数列；（4）其他的数列：公差可以是3、4、5、6等等，这些数列就没有什么特别之处了，没有特殊性；2、公差--------相邻两个数之差，在一个等差数列中，任意相邻的两个数之差必然是相同的（相等的），，这有保持这个差始终相等，才能叫等差数列呢。
3、首项------顾名思义，就是数列的第1项；4、末项----顾名思义，就是数列的最后一项，一般情况下，数列的项数都是无限多，但是为什么会有最后一项呢？【答案】这里的限制，是人为的限制，我们要有结束的时候，我们可以任意选择结束的地方，这是在锻炼我们使用概念，使用公式的一种方法。
我们需要在有限的范围内研究一些事情。
这种限定，可以帮助我们很好的在一定范围内充分理解基本概念，然后我们再根据自己的理解去发挥想象，举一反三。
这就是：有限制，才有想象。
人的创造力，来源于限制。
5、项数-----顾名思义，就是这个数列的“个数”。
专业一点就叫做“项数”。
【为什么数学里面会有那么多的概念，名词，定理呢？】【答案】概念-----这个词可以给我们提供很多有用的东西，节约我们学习的时间，提高学习的效率。
假如，我们没有概念这个词，你每次要跟别人说一个东西的时候，都说很多的话，是不是很费劲？比如说俄罗斯人的名字就很长，那我们用一个代号称呼是不是更快，更清楚的认识一个人呢？这就是概念的作用，用最简短的词语表示了一个新事物，表达了一件事情。
这就体现了快捷，有效。
名词----也就是词语，是组成概念的主要单位。
没有名词，概念就失去了有力的武器，所以，概念离不开词语，词语并不是语文的特产。
定理---大家公认的一件事情，至少目前是没有人可以推翻的，也就是大家公认的一件事。
小学奥数 等差数列的认识与公式运用 精选例题练习习题(含知识点拨)
本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。
要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。
一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即， 和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
小学奥数知识讲解-等差数列求和
第六讲等差数列求和（一）小朋友们，还记得我们第一讲的内容吗一一数中的规律。
那么对于一列有规律的数列我们怎么来求和呢？上一讲我们利用配对求和的方法能够很快解决一部分求和的问题，但是，当算式再复杂点又该怎样来解决呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单易懂的方法！我们先来认识什么是等差数列，如：1+2 + 3+……+ 49+ 50; 2 + 4 + 6+……+ 98+ 100。
这两列数都有共同的规律：每一列数从第二项开始，后一个数减去前一项的差都相等（相等差又叫公差）。
像这样的数列我们将它称之为等差数列。
我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母S代表没一列数的和，字母a代表首项（即第1项），字母b代表末项，字母n 代表项数（加数的个数），那么S=（a+ b）x n —2。
如果n不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：n =（b- a）宁d+ 1例【1】求1 + 2 + 3+……+ 1998+ 1999的和。
分析首项a= 1,末项b= 1999,项数n= 1999。
解S=( a+ b)x n —2=(1 + 1999)X 1999^ 2=2000X 1999^ 2=1000X 1999=1999000例【2】求111 + 112 + 113+……+ 288+ 289的和。
分析首项a= 111,末项b = 289,公差d= 1,项数n=(289—111)- 1 + 1 = 178+ 1 = 179。
解S=( a+ b)x n- 2=(111 + 289)X 179- 2=400X 179- 2=200X 179=35800例【3】求2+4 + 6+……+ 196+ 198的和。
分析首项a= 2,末项b= 198,公差d= 2,项数n= (198-2) -2+ 1 = 98+ 1 = 99。
解S=(a+ b)x n-2=(2+ 198)X 99-2=200X 99-2=100X 99=9900例【4】求297+ 294+ 291+……+ 9+6+ 3的和。
三年级奥数专题 等差数列的认识与计算提高(学生版)
学科培优数学等差数列的认识和计算提高学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲知识点属于计算板块的部分,难度并不大。
要求学生熟记等差数列各个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算。
知识梳理一、等差数列的定义：若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如：等差数列：3、6、9……96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
注：一般情况下,等差数列是按照从小到大进行排列的,有时会出现从大到小排列顺序,此时可以改变数列顺序,从而让数列变为从小到大,并避免出现公差小于零的情况。
二、等差数列的相关公式：通项公式：末项＝首项＋（项数－1）×公差项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2=平均数×项数平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2注：第一个公式中,有时会遇到求中间项、而非末项,此时可以截取一个新的数列,把该项作为“新的末项”,即可继续用此公式。
三、重点难点解析1．找出题目中首项、末项、公差、项数。
2．必要时调整数列顺序。
四、竞赛考点挖掘1．找到数列规律。
2．适当调整数列顺序。
例题精讲【试题来源】【题目】2,5,8,11,14……是按照规律排列的一串数,第21项是多少？【试题来源】【题目】计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12【试题来源】【题目】计算11+12+13+14+15+16+17+18+19【试题来源】【题目】计算100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90【试题来源】【题目】把比100大的奇数从小到大排成一列,其中第21个是多少？【试题来源】【题目】已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【试题来源】【题目】体育课上老师指挥大家排成一排,冬冬站排头,阿奇站排尾,从排头到排尾依次报数。
高中数学等差数列综合讲义(知识点+全部题型)
⑷[通项表达式的函数类型] 若数列 an＝kn + b ，则{ a n }为等差数列。 ⑸[任意相邻三项] 若数列 {a n }满足 2a n＝a n－1＋a n＋1 ，则{ a n }为等差数列。 ⑹[任意不相邻三项] 若数列 {a n }满足 a n＋m＝
ma m－na n ma m－na n ，则{ a n }为等差数列。即为 a n＋m＝ m－n m－n
高中数学等差数列 高中数学等差数列综合讲义 等差数列综合讲义
（知识点深入解析+高考全部题型） 高考全部题型）
一、研究概念 研究概念
Y1：背景： 背景： 杨辉三角：第一层放 n 个球，第二层放 (n－1) 个球，……，第 n 层放 1 个球。从第二层起，每层比前 一层少放 1 个球，形成一个等差数列。 定义：一般地一个数列 {a n }，从第二项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，则这个数列 {a n }为 等差数列。 Y2： 结构
⑺[ k 项子数列] 若 {a n }为等差数列，则每隔 k 项抽出来的子数列也是等差数列，公差为 kd ⑻[特殊三项] 若数列 {a n }满足 a p＋a q＝a p＋q ， p, q 任意，则 {a n }为首项与公差相等的等差数列。 ⑻[任意四项] 若数列 {a n }满足 m＋n＝p＋q 且 a m＋a n＝a p＋a q ，则{ a n }为等差数列。 ⑼[前 n 项和] 若 S n＝
公差d＝ a m－a n m－n
⑶[任意两项] a m－a n＝(m－n ) × d 或 a m＝a n＋(m－n ) × d
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⑷[任意两项] a m＋n＝a m＋nd ⑸[相邻三项] 2a n＝a n－1＋a n＋1 ⑹[不相邻三项] a n＋m＝
四年级奥数等差数列求和ppt课件
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寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
例 计算 (1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002)
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
一、等差数列的基本知识
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寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276 分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
什么是数列？
按一定规律排列的数 是一列数，可以有限，可以无限 1）1、2、3、4、5、6…… （2）2、4、6、8、10、12…… （3）5、10、15、20、25、30
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寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
小学奥数-等差数列PPT课件
CHENLI
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• 有一组数列如下：5、9、13、17、21、 …325、329你能求出这组数列共有多少个 数吗？
项数=（末项-首项） ÷ 公差+1 (329-5) ÷4+1 =82
• 拓展1. 39个连续奇数的和是1989,其中最大 的一个奇数是多少
• 答：因为39个连续奇数之和为1989,所以中间一个数是这39个数的
第二行：（2+51） × 50 ÷ 2=1325 第三行：（3+51） × 50 ÷ 2=1375
…… 第四十九行：（49+98） × 50 ÷ 2=36 第五十行：（50+99） × 50 ÷ 2=3725 方阵所有数之和： 1275+1325+1375+……+3675+3725 =（1275+3725） × 50 ÷ 2
=4+3 ×(20-1)=61
（2）298是这个数列中的第几项？
项数=（末项-首项） ÷ 公差+1 (298-4) ÷3+1 =99
CHENLI
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求 和 ： 和 = （首项+末项）×项数÷2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … …+ 99 =（1+99）×99÷2 = 9900÷2 = 4950
平均数,1989÷39=51,
• 比51大的另外19个奇数为:53,55,57,…,87,89.或用末项=首项+公差 × （项数-1）
• 51+19×2=51+38=89.所以其中最大的一个奇数为89.
CHENLI
等差数列的讲义
精心整理-来源网络麟子教育一、等差数列的相关概念1、等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d 表示。
2、等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2推广：-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥⇔=+3、等差数列通项公式若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．推广：d m n a a m n )(-+=，从而m n a ad mn --=。
4、等差数列的前n 项和公式等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112n n n S na d -=+．5、等差数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩(数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).二、等差数列的性质1、等差数列的增减性若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
2、通项的关系当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅三、等差数列的判定与证明1、等差数列的判定方法：（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a是等差数列；（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++⇔=+≥⇔=+；练习一、选择题1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（）A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{}n a 的公差12d =，8010042=+++a a a ，那么=100S精心整理-来源网络 A ．80 B ．120 C ．135 D ．160．3、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13SA ．390B ．195C ．180D ．1204、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.54S S <B.54S S =C.56S S <D.56S S =二．填空题1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s =.2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d =.3、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=三．解答题1、 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.3、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4=－62,S 6=－75,求：（1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；（2）|a 1|+|a 2|+|a 3|+……+|a 14|.。
大学奥数等差数列(经典)
大学奥数等差数列(经典)1. 引言等差数列是数学中常见且重要的一种数列，它在大学奥数中也起着重要的作用。
本文将介绍等差数列的定义、性质以及常见问题的解决方法。
2. 定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
具体来说，给定一个等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则该等差数列可以表示为$a_1, a_1+d, a_1+2d, a_1+3d, \ldots$。
等差数列有以下重要性质：- 第$n$项的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$；- 第$n$项与第$m$项的和为$\frac{n}{2}(a_1+a_m)$；- 等差数列的前$n$项和为$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$等。
3. 常见问题的解决方法3.1. 求等差数列的第$n$项要求等差数列的第$n$项，可以使用通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，将已知的首项和公差代入计算即可。
3.2. 求等差数列的前$n$项和要求等差数列的前$n$项和，可以使用前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，将已知的首项、公差和$n$代入计算即可。
3.3. 求等差数列的项数已知等差数列的首项和公差，要求等差数列的项数，可以使用项数公式$n=\frac{a_n-a_1}{d}+1$，将已知的首项、公差和某一项的值代入计算即可。
4. 总结等差数列作为大学奥数中常见的数学概念，具有重要的理论和应用价值。
在解决等差数列问题时，我们可以运用等差数列的定义、性质和公式进行计算，从而得到准确的结果。
以上是关于大学奥数等差数列(经典)的简要介绍，希望对读者理解和应用等差数列有所帮助。
如有任何疑问，请随时咨询。
四年级奥数等差数列PPT编辑版
练习1：一个等差数列是6、13、20、27、…
(1)它的第30项是多少？ (2)622是它的第几项？
解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差 第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209 =6+（30-1）×7=6+30×7-1×7=216-7=209 (2)项数=（末项-首项）÷公差+1 =（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89
【拓展提高2】在124 和245之间插入10个数 以后，使它成为一个等差数列。这 10 个数 中，最小是几？最大是几？
解：这是一个项数为12的等差数列， 首项=124，末项=第12项=245， 公差=（第12项-首项）÷（12-1） =（245-124）÷（12-1）=121÷11=11 所求最小数=第2项=124+（2-1）×11=135 所求最大数=第11项 =124+（11-1）×11=124+10×11=234
练习2： 一个等差数列的首项是12，第6项是27。求公差。
解：第6项比首项多5个公差。 公差=（27-12）÷5=15÷5=3
【巩固训练1】有一列数1、5、9、13、17、 21、… （1）它的第100个数是多少？ （2）493是它的第几项？
解：（1）第n项=首项+（项数n-1）×公差 第100项=1+（100-1）×（5-1） =1+（100-1）×4 =1+100×4-1×4 =1+400-4=397 （2）项数=（末项-首项）÷公差+1 =（493-1）÷4+1=492÷4+1=123+1=124
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等差数列
一、课前热身
找出规律后填出下面数列中括号里的数：
(1) 1， 3， 5， 7， ( )， 11， 13， ( )，…
(2) 1， 4， 7， 10， ( )， 16， 19， …
(3) 1， 3， 6， 10， 15， ( )， 28，…
(4) l ， 2， 4， 5， 7， 8， ( )， ( )，…
(5) 5， 7， 11， 19， 35， ( )， 131； 259，…
二、准备知识：
1、数列定义：
（1） 1，2，3，4，5，6，7，8，…( )
（2） 2，4，6，8，10，12，14，16，…( )
（3） 1，4，9，16，25，36，49，…( )
⒈ 数列的定义：若干个数按一定次序进行排列的一列数，叫做数列.
数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项......以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项，数列中数的个数称为项数，如：2，4，6，8， (100)
注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
2、等差数列：
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。
我们将后项与前项的差称为公差. n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），后一项减前一项为一定值，我们把这个定值叫公差，用d 表示。
例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。
练习:
1、3、6、9、12……75这是一个首项为( )，末项为( )，项数为( )，公差为( )的数列。
二．例题精讲
例题1、（求和公式：总和=（首项十末项）×项数÷2 = 中项×项数）
（1）1+2+3+4+5=
（2）1+2+3+……+9+10=
（3）1+2+3+……+99+100=
练习1：1+2+……+80 1+3+5+……+99
例题2: 项数公式：项数=（末项一首项）÷公差+ l
（1）2+4+6+……+200 =
（2）已知等差数列2、7、12、……52，这个等差数列共有（）项。
练习2：
1、求等差数列3、6、9、12……120共有（）项。
2、46+54+62+ (262)
例题3：通项公式：第几项=首项+（项数—1）×公差
已知等差数列5，9，13，17，…，它的第15项为_______.
练习3：
1、自1开始，每隔三个数一数，得到数列1，4，7，10，……求第100个数是多少？
2、从25往后数18个连续的奇数，最后一个奇数是（）。
综合运用
1、有10个同学聚会，见面时如果每人都和其余的每个人握一次手，那么共握手____次。
2、某市举行数学竞赛，比赛前规定，前15名可以获奖，比赛结果第一名1人，第2名并列2人，第三名并列3人，……，每十五名并列15人，用最简便的方法计算出得奖的一共有______人。
3、已知等差数列5，8，11，…，它的第21项为______。
4、自1开始，每隔三个自然数写出一个自然数来，得到一个数列，这个数列的前五项是__________________，这个数列的前50项的和是_____________。
5、所有被7除余数是1的二位数的和是_________。
6、有一本故事书，小红第一天读了7页，以后每天都比前一天多读3页。
他读到第9天刚好读完。
这本故事书一共有多少页？
7、按一定的规律排列的算式：3＋1， 4＋7， 5＋13， 6＋19＋……,那么，第100个算式是什么？
8、一辆双层公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一个乘客，第二站上二个乘客，第三站上三个乘客，以此类推，那么第站以后，车上坐满乘客。
思考题：
1、从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有（）个。
2、下列数的总和是。
01 02 03 (50)
02 03 04 (51)
…………
49 50 51 (98)
50 51 52 (99)。