第13课时： 二次函数及其图像001
(北京专版)2021年中考数学复习第三单元函数及其图象第13课时二次函数的图象与性质课件
二次函数的图象与性质
考点聚焦
考点一 二次函数的概念
2
一般地,形如① y=ax +bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当② a≠0
二次函数.
时,y=ax2+bx+c是
考点二
二次函数的图象与性质
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
图象的特征
经过点⑩ (0,0)
c>0
与y轴
正半轴 相交
c<0
与y轴
负半轴 相交
(续表)
项目
字母
b2-4ac
字母的符号
图象的特征
b2-4ac=0
与 x 轴有唯一交点(顶点)
b2-4ac>0
与 x 轴有
b2-4ac<0
两 个不同的交点
与 x 轴没有交点
当 x=1 时,y=a+b+c
特殊
当 x=-1 时,y=a-b+c
(h,k)
.
(x1,0),(x2,0)
.
2.二次函数解析式的确定
用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如表所示.
条件
设法
顶点在原点
y=ax2(a≠0)
顶点在y轴上
y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)
顶点在x轴上
y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)
抛物线过原点
y=ax2+bx(a≠0)
C.(-3,1)
D.(-3,-1)
( A )
中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的综合应用课件
(fúhào),要求同学们读懂题意并结合已有知识进行理解,根据新定义进行运算,推理,迁移的一种题
型.“新定义”型问题成为近年来中考数学的热点.同学们在复习备考中应重视应用新的知识解决
问题的能力培养.解决“新定义”型函数问题关键要把握两点:一是掌握问题原型中函数的性
质特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想
第六页，共四十一页。
, ,
2 2
2.[2018·贵阳] 已知二次函数 y=-x2+x+6 及一次函数 y=-x+m,将该二次函数在 x
轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如
图 13-2 所示),当直线 y=-x+m 与新图象有 4 个交点时,m 的取值范围是 (
(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面
积(miàn jī)S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.图Βιβλιοθήκη 3-6第二十页，共四十一页。
解: (2)如图,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 D(2,0),连接 CD,
过 C 作 CE⊥AD,CF⊥x 轴,垂足分别为 E,F,
第三单元(dānyuán)
第 13 课时
二次函数的综合应用
第一页，共四十一页。
函数及其图象
【考情分析(fēnxī)】
考点
二次函数的综合应用
年份
2016
2014
题号
22
22
题型
解答题
解答题
分值
12分
12分
热度预测
★★★★★
中考数学复习 第13讲 二次函数的图象及其性质数学课件
12/9/2021 考点聚焦
归类探究
回归教材
第13课时┃二次函数的图象及 其性质(一)
(1)当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时，一般采 用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求 解析式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)2＋k；
(3)当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的解析式 时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．
12/9/2021 考点聚焦
归类探究
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第13课时┃二次函数的图象及 其性质(一)
解：作出示意图如图 所示，设对称轴与 x 轴 的交点为 E .
∵抛物线与 x 轴的交点是 A (－1，0)，B (3，0)， 将坐标代入抛物 线的解析式得
∴y＝ax 2－ 2ax －3a＝a(x －1)2－4a.
12/9/2021 考点聚焦
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第13课时┃二次函数的图象及 其性质(一)
解：(1)解法一：∵抛物线 y＝－ x 2＋bx ＋c 经过点 A (3，0)， B (－1，0)，
∴抛物线的解析式 为 y＝－x 2＋2x ＋3. 解法二：抛物线 的解析式为 y＝－(x －3)(x ＋1)， 即 y＝－x 2＋2x ＋3.
方向 延伸
并向下无限延伸
对称轴
直线 x＝－2ba
直线 x＝－2ba
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第13课时┃二次函数的图象及 其性质(一)
顶点 坐标
增减性
－2ba，4ac4－a b2 在对称轴的左侧，即当 x< －2ba时，y 随 x 的增大而减 小；在对称轴的右侧，即 当 x>－2ba时，y 随 x 的增 大而增大，简记左减右增
中考数学 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的图象和性质课件
解：(1)答案不唯一，如顶点是坐标原点、开口向上的二次函数：y＝
x2和y＝2x2.
(2)把点A(1，1)代入y1＝2x2－4mx＋2m2＋1中，得2×12－4m×1＋ 2m2＋1＝1，解得m＝1.∴y1＝2x2－4x＋3.
∵y1＋y2＝2x2－4x＋3＋ax2＋bx＋5＝(a＋2)x2＋(b－4)x＋8，y1＝2x2 －4x＋3＝2(x－1)2＋1，其顶点为(1，1)，
第13课时┃ 二次函数的图象和性质
3．[2013·安徽] 已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－ 1)，且过原点(0，0)，求该函数的表达式．
[解析] 由于已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，所以 可设所求二次函数的表达式为顶点式y＝a(x－1)2－1，再把x＝ 0，y＝0代入函数表达式中确定a的值．
考情分析
考题赏析
考点聚焦
考向探究
第13课时┃ 二次函数的图象和性质
在对称轴的左侧，即 在对称轴的左侧，即
当x<－2ba时，y随x的 当x<－2ba时，y随x的 增大而减小；在对称 增大而增大；在对称 增减性 轴的右侧，即当x>－ 轴的右侧，即当x>－
2ba时，y随x的增大而 2ba时，y随x的增大而
名称
二次 函数 与一 元二 次方 程的 关系
关键点回顾
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐 标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根
1.b2－4ac＞0⇔抛物线与x轴有___两__个___交点，方程ax2＋ bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；
2.b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴有___一__个___交点，方程ax2＋ bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
中考数学复习第三单元函数第13课时二次函数的图像及性质课件67
式判 函 轴 的两个点对应的横坐标)求解
断函 数性
数
顶
b 4ac b2
1. 直接运用顶点坐标公式②_(_- 2_a_,__4_a___)_求解；
质及 性 点 2. 运用配方法将一般式转化为顶点式求解；
图象
质
坐 标
3. 将对称轴的x值代入函数表达式求得对应y值
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
象 及
二次函数解析式的确定
性 质
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
重难点突破
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
根据 函数 解析
判 断
对 直接运用公式x=①___2b_a ___求解
称 注：还可利用x= x1 x2
2
(其中x1、x2为y值相等
1
2a
2a 8a
8
，把B(2，m)代入y＝ax2＋bx＋3得：4a＋2b＋3＝m，
8
2(2a＋b)＋3＝m，2(2a＋
1 －4a)＋3＝m，7∴a＝
－
，m
∴
－7
8
m
≥4
或1
8
－7
8
m≤4 －
4
，1 ∴m≤3或8 m≥4.
8
4
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
重难点突破
二 、二次函数图象与系数a、b、c的关系 满分技法 利用二次函数图象判断a，b，c常见关系式正负性的方法： ①判断2a＋b时，比较－ b 与1的大小；②判断2a－b时，比
abc<0；②b2－4ac>0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝ c
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
中考数学总复习 第三单元 函数 第13课时 二次函数与方程、不等式课件
Δ=b2-4ac 的符号
方程有实数根的个数
两个交点
Δ>0
两个不相等的实根
一个交点
Δ=0
两个相等的实根
没有交点
Δ<0
没有实根
2.已知函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为 k,求自变量 x 的值,就是解方程 ax2+bx+c=k;反过来,解方程 ax2+bx+c=k,就是令二
4
3
②当 a<0 时,抛物线的顶点为(2,4),且过点(4,1),∴抛物线的解析式为 y=- x2+3x+1.
4
3
3
4
4
综上所述,抛物线的解析式为 y= x2-3x+4 或 y=- x2+3x+1.
2021/12/9
第十九页，共二十五页。
高频考向探究
探究三 用二次函数的性质解决( jiějué)实际问题
图②),你选择的方案是
3”),则 B 点坐标是
(填“方案 1”“方案 2”或“方案
,求出你所选方案中的抛物线的表
达式;
图13-7
(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为 6 m,求水面上涨的高度.
2021/12/9
第二十二页，共二十五页。
高频考向探究
解:解法一:(1)方案 1 (5,0)
设抛物线的解析式为 y=a(x+5)(x-5).由题意可以得到抛物线的顶点为(0,5),
1
1
5
5
代入解析式可得:a=- ,∴抛物线的解析式为 y=- x(x-10).
答:当 AB 为 20 米时,活动区的面积最大,
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1 y x O
课时13 二次函数及其图像 【课前热身】 1． 将抛物线23yx向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．
2. 如图1所示的抛物线是二次函数2231yaxxa的图象，那么a的值是 ．
3. 二次函数y＝2x2－4x＋5的对称轴方程是x＝___；当x＝ 时，y有最小值是 . 4. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米， 现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图），则此 抛物线的解析式为 ． 5.二次函数2(1)2yx的最小值是（ ）
A.－2 B.2 C.－1 D.1 6.二次函数22(1)3yx的图象的顶点坐标是（ ）
A.（1,3） B.（－1,3） C.（1,－3） D.（－1,－3） 7. 二次函数yaxbxc2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. abc000，， B. abc000，， C. abc000，， D. abc000，， 8. 某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到 了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ） A．y＝x2＋a B．y＝ a（x－1）2 C．y＝a（1－x）2 D．y＝a（l＋x）2
9. 把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y．则当y最大时，x所取的值是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.6
10.二次函数2365yxx的图像的顶点坐标是 （ ） A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4）
11.抛物线cbxxy2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322xxy，则b、c的值为（ ）
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 2
y x O
【考点链接】 1. 二次函数2()yaxhk的图像和性质
a＞0 a＜0
图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标
最 值 当x＝ 时， y有最 值 当x＝ 时， y有最 值 增减性
在对称轴左侧 y随x的增大而 y 随x的增大而
在对称轴右侧 y随x的增大而 y随x的增大而
2. 二次函数cbxaxy2用配方法可化成khxay2的形式，其中 h＝ ， k＝ .
3. 二次函数2()yaxhk的图像和2axy图像的关系.
4. 二次函数cbxaxy2中cba,,的符号的确定. 5. 二次函数cbxaxy2与x轴交点： 交点。轴有与个不等实数根有___y___0___4)1(222
xcbxaxcbxaxacb
交点。轴有与个相等实数根有___y___0___4)2(222
xcbxaxcbxaxacb
交点。轴与实数根___y___0___4)3(222
xcbxaxcbxaxacb
5. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ； （3）交点式： .
6．二次函数cbxaxy2通过配方可得224()24bacbyaxaa
，其抛物线关于直线x 对
称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当0a时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x 时， y有最 （“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当0a时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x 时， y有最 （“大”或“小”）值是 ． 3
OyxB
A
【典例精析】 例1 已知二次函数24yxx，
(1) 用配方法把该函数化为2()yaxhk
(其中a、h、k都是常数且a≠0)形式，并画 出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称 轴和顶点坐标. (2) 求函数的图象与x轴的交点坐标.
例2 如图，直线mxy和抛物线cbxxy2都经过点A(1，0)，B(3，2)． ⑴ 求m的值和抛物线的解析式； ⑵ 求不等式mxcbxx2的解集． (直接写出答案)
例3橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米. （1）求这条抛物线的解析式； （2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米， 才能使喷出的水流不至于落在池外？ 4
例4、春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。 九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（201x且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：
⑴在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？ ⑵假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入＝日销售额—日捕捞成本） 试说明⑵中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？
【中考演练】 1. 抛物线22xy的顶点坐标是 .
2. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 . 3.已知二次函数22yxxm的部分图象如右图所示，则关于x的一元二次方程
220xxm
的解为 ．
4.若二次函数kxxy22的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程022
kxx的一个解31x，另一个解2x ；
5.二次函数y＝x2＋10x－5的最小值为 ． 6. 某飞机着陆生滑行的路程s米与时间t秒的关系式为：25.160tts，
试问飞机着陆后滑行 米才能停止. 7. 矩形周长为16cm, 它的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间函
y
(第4题图) O x 1 3 5
DCBA
oyxoyxoy
xoy
x
数关系为 ． 二、选择题 1. 函数2yax与(0,0)yaxbab在同一坐标系中的大致图象是（ ）
2.已知函数y=x2-2x-2的图象如图1所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（ ） A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1 C．x≥-3 D．x≤-1或x≥3
3. 二次函数cbxaxy2（0a）的图象如图所示，则下列结论： ①a＞0； ②c＞0； ③ b2-4ac＞0，其中正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
（第2题） （第3题） 4. 已知抛物线cbxaxy2的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ ） A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 D. 最大值2
5.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝ ax 与正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（） A． B． C． D． 6
三、解答题 1、已知抛物线y＝－x2＋2x＋2． （1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； （2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x … …
y … …
（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．
2. 已知二次函数243yaxx的图象经过点（－1，8）.
（1）求此二次函数的解析式； （2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象； x 0 1 2 3 4 y （3）根据图象回答：当函数值y<0时，x的取值范围是什么？
3.如图，抛物线254yaxaxa与x轴相交于点A、B，且过点(54)C，．
（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标； （2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
A B P x
y O C（5,4）
-5-4-3-2-1O12345
x
y-11