巧用因式分解
一元三次因式分解的方法与技巧
一元三次因式分解的方法与技巧
1. 嘿，你知道吗？先试试提取公因式法呀！比如x³+2x²+x，这里每一项都有 x，那就可以把 x 提出来变成x(x²+2x+1)，这多简单呀！
2. 还有哦，公式法也超好用的！就像a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，比如说
8+27x³=(2+3x)(4-6x+9x²)，是不是一下子就清楚了呢？
3. 分组分解法也别错过呀！像x³-3x²+4x-12，就可以分成(x³-3x²)和(4x-12)两组，然后再分别处理，多有意思啊！
4. 你想过吗？十字相乘法也能在一元三次因式分解里大显身手哦！比如
2x³-5x²-3x，用十字相乘法就能找到思路，很神奇吧！
5. 换元法有时候就像一把钥匙呢！比如遇到很复杂的式子，换个元说不定就豁然开朗啦，就像走迷宫找到了出口一样兴奋！
6. 添项拆项法就像是在玩拼图游戏，把式子拆开再组合，比如x³+6x-7，通过巧妙添项拆项就能分解啦，是不是很妙？
7. 咱再来说说主元法呀，把某个字母当成主要的来对待，其他的就围绕着它，像解谜题一样有趣，你还不试试？
8. 双十字相乘法也很厉害呀，面对一些特别的式子，它可是能轻松搞定的，这可是个厉害的武器呢！
9. 最后，综合运用这些方法，那就能在一元三次因式分解的世界里畅游啦！不管遇到多么难的式子，都别害怕，一个个方法试过去，肯定能找到答案，相信自己呀！
我的观点结论就是：一元三次因式分解的方法多种多样，只要掌握了这些方法和技巧，再加上一些耐心和细心，就没有解不开的式子！。
分解因式的技巧方法
分解因式的技巧方法作者：李燕来源：《理科考试研究·初中》2019年第04期摘要：分解因式是初中数学的重要内容之一，而教材限于篇幅，重点介绍了因式分解的几种常用方法，而对解题技巧的介绍还不够.本文对因式分解的若干技巧作一补充分析，以期对学生学好这部分知识有所感悟.关键词：技巧;灵活;分解因式1巧用均值代换例1在实数范围内分解因式（2x+9）4+（2x+1）*-904.（2x+9）+（2x+1）解设y=-T22则（2x+9）*+（2x+1）+-904=（y+4）*+（y-4）+-904=[（y+4）2+（y-4）2]2-2（y+4）-（y-4）2-904=4（y2+16）2-2（y2-16）2-904 =2y”+192y2-392=2（y’+96y’-196）=2（y2-2）（y2+98）=2（y+2）（y-v2）（y+98）=2（2x+5+/2）（2x+5-12）（4x2+20x+123）.评注取其算术平均值（也称取中值）为新变量是这道题的关键，如果采用直接配方或直接展开，不仅麻烦而且不易于分解”.2巧用倒数代换例2在有理数范围内分解因式2x4+3x3-5x2+3x+2.解原式=x2（2x2+3x-5+-3、2=x[2（x2+气）+3（x+-）-5]=x°[2（x+=）2+3（x+二）-9].设y=x+一，则原式=x（2y2+3y-9）=x（2y-3）（y+3）=x（2x+3）（x+-+3）=（2x2-3x+2）（x3+3x+1）.评注本题所给多项式是一个对称型多项式，凡是对称型多项式分解因式都可采用倒数代换的技巧求解.3常量代换技巧例3在实数范围内分解因式x+-10x3-2（a-11）x2+2（5a+6）x+2a+a2，其中a为非负数.解把原多项式整理成关于a的二次三项式，把x视为常数，a视为未知数.a2-2（x2-5x-1）a+（x4-10x3+22x2+12x）=（a-x2+6x）（a-x2+4x+2）=（x2-6x-a）（x2-4x-2-a）=（x-3+v9+a）（x-3-v9+a）（x-2+√6+a）（x-2-√6+a）.评注本题把未知数看成为常数，常数反而视为未知数的这种反客为主的常量代换技巧，是对学生习惯思维（定势思维）的冲击，如果学生能灵活运用这种技巧，可以迅速解题.4巧添项例4在实数范围内分解因式x5+x+1.解此题添上平方项x2-x2，原多项式变形为x-x2+x2+x+1，前两项为一组，后三项为一组，于是x+x+1=（x-x2）+（x2+x+1）=x2（x3-1）+（x2+x+1）=（x2+x+1）（x3-x2+1）.评注添项是分解因式中常用的技巧，至于添哪一项，这要因题而定.一般地，要进行多项试验添项后进行适当分解，然后转化为学生熟悉的分解因式法的问题.5巧拆项例5在有理数范围内分解因式x4-11x2+1.解此题把11x2分拆成9x2+2x2，拆项后，再用分解因式法.x4-11x2+1=x4-2x2+1-9x2=（x2-1）2-9x2=（x2+3x-1）（x2-3x-1）.评注拆项与添项一样是因式分解中的常用技巧，此题拆11x2为9x2与2x2之和是关键.6巧用观察法例6分解因式x3+6x2+11x+6.解此题是按x降幂排列的多项式，并且奇次项系数之和等于偶次项系数之和，这个多项式必含有x+1这个因式，于是x3+6x2+11x+6=（x+x2）+（5x2+5x）+6x+6=x（x+1）+5x（x+1）+6（x+1）=（x+1）（x2+5x+6）=（x+1）（x+2）（x+3）.例7在实数范围内分解因式x3+6x-7.解此题是各项系数之和为0，故多项式必含有x-1这个因式，于是x3+6x-7=x3-x+7x-7=x（x2-1）+7（x-1）=（x-1）（x2+x+7）.评注观察法对于处理像例6.例7这两种情形;奇次项系数之和等于偶次项系数之和或各项系数之和为零，非常方便.7巧用恒等变形例8在有理数范围内分解因式（4x+5）2（2x+3）（x+1）-7.解此题从表面上看是不能直接运用所学过的各种方法，即使展开，分解起来也十分繁杂面对该多项式巧妙地进行恒等变形，把x的系数都变成相同的.（4x+5）”（2x+3）（x+1）-7=-[（4x+5）2（4x+6）（4x+4）]-7=-[（4x+5）-（4x+5+1）（4x+5-1）-56]=8{（4x+5）2[（4x+5）2-1]-56}=-一[（4x+5）4-（4x+5）2-56]=-[（16x2+40x+17）（16x2+40x+32）=（2x2+5x+4）（16x2+40x+17）.评注凡形如（A，B+B{）（A2x+B2）（A3x+Bg）（A4x+B4）+C这种类型的多项式分解因式，把未知数的系数变成相同，是解这类题目的关键【2】.参考文献：[1]杨昊.因式分解三步曲[J].初中生世界，2015（13）：71.[2]宋林.常见的因式分解方法探究[J].中学教学参考，2015（11）：47.。
初中因式分解法的四种方法
初中因式分解法的四种方法嘿，同学们！咱今儿来聊聊初中因式分解法的那四种厉害的方法哈！先来说说提公因式法，这就好比是从一大把糖果里把相同口味的挑出来一样。
每个式子都有它的“公因数”，就像糖果的那个相同口味，把它提出来，式子就变得简单明了啦！比如 3x+6，那很明显 3 就是公因式嘛，一提出来，就变成 3(x+2)啦，是不是很神奇？接着是公式法，这可真是个宝啊！就像一把万能钥匙，专门对付那些有特定结构的式子。
平方差公式和完全平方公式，那可是得牢记于心呀！看到a²-b²这种形式，就赶紧用平方差公式，一下子就能分解啦；看到像 a²+2ab+b²这样的，完全平方公式就派上用场咯！还有十字相乘法呢，这个就有点像搭积木啦！要把那些数字巧妙地组合在一起。
比如说 x²+5x+6，咱就试着把 6 拆分成 2 和 3，然后交叉相乘再相加正好等于 5，那就能写成(x+2)(x+3)啦！这得多练练才能掌握好其中的诀窍哟！最后说说分组分解法，这就像是给式子分组做游戏。
把式子合理地分成几组，然后在每组里分别进行因式分解，最后再巧妙地组合起来。
这可得有点小脑筋才行呢！你们想想看，这些因式分解的方法不就像是我们学习数学的秘密武器嘛！学会了它们，那些复杂的式子就不再可怕啦，反而变得有趣起来。
就好像我们掌握了一门神奇的魔法，能把那些乱七八糟的式子变得整整齐齐。
在做题的时候，看到一个式子，咱就得像侦探一样，仔细观察，看看它适合哪种方法。
有时候可能一种方法就行，有时候还得几种方法一起用呢！这多有挑战性呀！同学们，可别小瞧了这四种方法哦，它们可是我们在数学世界里探索的重要工具呢！好好练习，熟练掌握，让我们在数学的海洋里畅游无阻吧！相信自己，一定能行！加油哦！。
沪科版初一下数学因式分解的六种方法与四个技巧的结合
沪科版初一下数学因式分解的六种方法与四个技巧的结合因式分解的六种方法与四个技巧的结合六种方法（一）提公因数法题型1：公因式是单项式的因式分解若多项式－12x²y³+16x³y²+4x²y²的一个因式是－4x²y²，则另一个因式是（ B ）A.3y+4x-1B.3y-4x-1C.3y-4x+1D.3y-4x分解因式：-4m4n+16m³n-28m²n原式=-4m²n（m²-4m＋7）题型2：公因式是多项式的因式分解3.把下列各式因式分解：（1）a（b-c）+c-b （2）15b（2a-b）²+25（b-2a）²原式=a（b-c）-（b-c）原式=5（2a-b）²（3b+ 5）=（b-c）（a-1）（二）公式法题型1：直接用公式法4.把下列各式因式分解：（1）（x²+y²）²-4x²y²（2）（x²+6x）²+18（x²+6x）+81原式=[（x²+y²）-2xy][（x²+y²）+2xy] 原式=[（x²+6x）+ 9]²=（x-y）²（x+y）²=[（x+3）²]²=（x+3）4题型2：先提再套法把下列各式因式分解：（x-1）+b²（1-x）（2）-3x7+24x5-48x³原式=（x-1）-b²（x-1）原式=-3x³（x4-8x2+1 6）=（x-1）（1-b²）=-3x³（x²-4）²=（x-1）（1-b）（1+b）=-3x（x-2）²（x+2）²题型3：先局部再整体法6.分解因式：（x+3）（x+4）+（x²-9）原式=（x+3）（x+4）+（x+3）（x-3）=（x+3）（x+4+x-3）=（x+3）（2x+1）题型4：先展开再分解法7.把下列各式因式分解：（1）x（x+4）+4 （2）4x（y-x）-y²原式=x²+4x+4 原式=4xy-4x²-y²=（x+2）²=-（4x²-4xy+y²）=-（2x-y）²（三）分组分解法8.把下列各式分解因式：（1）m²-mn＋mx-nx （2）4-x²+2xy-y ²原式=（m²-mn）+（mx-nx）原式=4-（x²-2x y+y²）=m（m-n）+x（m-n）=4-（x-y）²=（m-n）（m+x）=（2+x-y）（2-x+y）（四）拆、添项法9.分解因式：x4+14原式=x4+14+x ²-x ²=（x ²+12）²-x ²=（x ²+12-x ）（x ²+12+x ）（五）整体法题型1：“提”整体分解因式：a （x+y -z ）-b （z -x -y ）-c （x -z+y ） 原式=a （x+y -z ）+b （x+y -z ）-c （x+y -z ） =（x+y -z ）（a+b -c ） 题型2：“当”整体分解因式：（x+y ）²-4（x+y -1） 原式=（x+y ）²-4（x+y ）+4 =（x -y+2）² 题型3：“拆”整体分解因式：ab （c ²+d ²）+cd （a ²+b ²） 原式=abc ²+abd ²+cda ²+cdb ² =（abc ²+cda ²）+（abd ²+cdb ²） =ac （bc+ad ）+bd （ad+bc ） =（bc+ad ）（ac+bd ） 题型4：“凑”整体分解因式：x ²-y ²-4x+6y -5 原式=x ²-4x+4-y ²+6y -9 =（x -2）²-（y -3）² （x -2+y -3）（x -2-y+3） =（x+y -5）（x -y+1） 换元法 14.分解因式:（1）（a ²+2a -2）（a ²+2a+4）+9 （2）（b ²-b+1）（b ²-b+3）+1设:a²+2a=m 设：b²-b=n原式=（m-2）（m+4）+9 原式=（n+1）（n+3）+1=m²+2m-8+9 =n²+4n+3+1=（m+1）²=（n+2）²=（a²+2a＋1）²=（b²-b＋2）²=（a+1）4二、四个技巧技巧1：巧用乘法公式15.已知实数m，n满足（m+n）²=169，（m-n）²=9，求m²+n²-m n的值。
因式分解的八个注意事项及课本未拓展的五个的方法
因式分解的“八个注意”事项及“课本未拓展的五个的方法”在因式分解这一章中，教材总结了因式分解的四个步骤，可概括为四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”然而在初学因式分解时，许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误，或者都学透了，但是试卷上给出的题目却还是不会分解，本文提出以下“八个注意”事项及“五大课本未总结的方法”，以供同学们学习时参考。
一、“八个注意”事项（一）首项有负常提负例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）这里的“负”，指“负号”。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
防止出现诸如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。
（二）各项有公先提公例2因式分解8a4－2a2解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1)这里的“公”指“公因式”。
如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。
防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误.（三）某项提出莫漏1例3因式分解a3-2a2+a解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
防止学生出现诸如a3-2a 2+a=a(a 2-2a)的错误。
（四）括号里面分到“底”。
例4 因式分解x 4－3x 2－4解：x 4+3x 2－4＝（x 2＋4）（x 2－1）＝（x 2＋4）（x ＋1）（x －1）这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
即分解到底，不能半途而废的意思。
分组分解因式的八种技巧
• 解：原式= (a3 +2a)+(a 2 +2) =a(a 2 +2)+(a 2 +2) =(a 2 +2)(a+1)
二 看次数，利分解
• 例题2 分解因式：x2 +2xy+y2 -3x-3y-4
• 分析：把次数相同的项分别结合利于分解
七 先展开，再分组
• 例题 7 分解因式：(ax+by)2 +(bx-ay)2
• 分析：多项式只有“两项”，且中间为“+”,若把括号展开 后再分组，问题迎刃而解。
• 解： (ax+by)2 +(bx-ay)2 =a2 x2 +2abxy+b2 y2 +b2 x2 -2abxy+a2 y2 =(a2x2 +b2x2 )+(a2y2 +b2y2 ) =(a2 +b2 )x2 +(a2 +b2 ) y2 =(a2 +b2 )(x2 +y2 )
四 选“主元”，巧分组
• 例题4 分解因式： 2x2 -5xy+2y2 +7x-5y+3 • 分析：以“x”为主元重新分组。 • 解：2x2 -5xy+2y2 +7x-5y+3
=2x2 +(7-5y)x+(2y2 -5y+3) =2x2 +(7-5y)x+(y-1)(2y-3)
=(2x-y+1)(x-2y+3)
分组分解因式的八种技巧分组分解法是因式分解的重要方法之一唯有正确分组才能顺利获解下面分别举例介绍分组分解的八种技巧分析
构造恒等式巧解多项式因式分解与除法问题
而 ６ 。 一１ ｘ一 ５＝（ｘ＋３ （ ｘ一 ） 故可构造恒等式 ２ ）３ ５ ，
６ ＋ｍ ｙ－ ｙ ＋１ｙ一１ ｘ ４２一 ７ ５＝（ ＋２ 似 ＋３ （ ＋ ）６
为 ＋ ＋） ，）形 ， 窖 值 （ ２ ｍ ２ ）， 式那 的 ｙ （一 １ ＋的 么
是— — ．
（ ） １ ≤ｃ结合③ ， １＜ ≤ 一 ａ＋１． ３ 由 ＜０ ， 有 Ⅱ ４ ２ 解得
１ ｎ ． ． ｎ为 整 数 。 ＜ ≤２４ 又
． ．
依题 意构造恒等式 ＋ ＋Ｏ ， Ｘ＋ｂ＝（ ＋ ） ２
Ⅱ：２． ｂ＝３×２—１ ３＝ 一７． Ｃ＝ 一４ ×２＋１ ２＝４ ．
带 等 锯 亏
式 式 解
… ．
蒜
参鱼盔盥煎． 立全曼墨＿ 二 撞 大 二 …． …． 查 盎墨
先求 出 ｍ与 ｎ 等式 左边 缺三 次项 和一 次 项 ， 比 ， 对
ｒ ＋ ２ ：０． ｍ
在有关多项 式 的因式 分 解或 除法 问题 中， 多项 求 式 中的待定字母 ， 关于 待定字 母 的代数 式 的值 ， 或 其常
懿 貅
由于上面分解 的是 关于 的因式 ， 以我们 对 比 Ｙ 所
项 的数 ５３７得 与项系， ａｂ ’ ｛ 有－＋ 解 ：
。＋ 。＋ ．． ．
ｉ 了对 项 系 ＇ ｆ ．再 比 的 数得 ６ 一， ÷ 一
：
◆ 数学大世界 。 １ ｎ ．。。。。。。。。。 ． ．．＋．＋．．．＋＋ 。
这个 正确答案漏掉 了．
解析
设多项式 的另一 个 因式 为 ＋ｍ ＋／ 则有 ７ ， ，
恒等式 ＋ ＋ｂ ＋２ ５ （ ＋ ｘ＋ｎ ． ＝（ ｘ＋ ） ｍ ）
因式分解的巧用
（ｚ １（ ＋ ） ｃ １ ＝ ｒ ）ｂ １ （＋ ） ８ ＋
２ＯＯ８。嘻 一２
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三 、 于 分 式 、 式 的 化 简 用 根
例５ 若ｎ 为整数，且分式
的值 为正整 数 ， 的值 为 则ｎ 解 ： ６ １ａ ８ ｎ一 一 ６ １ａ） ｎ一 ａ＋ ２ 一 ＝（ ８） （ ａ一 ２
一
一
！
±
一
±
二
：
、 ＋ ／ ． ／ 、了
四 、 于 几 何 图 形 形 状 的 判 定 用
例 角 三 。、 足 詈 ７三 形 边、ｃ ＋ ＝ ６满
解： 由条 件可 得ｎ ６ ｃ ｎ） ｂ ， （ ＋ — ＝ ｅ
即（一 ｎ ６）（ — ＝ ． ｃ ｎ） ０
，此 角 一 是 则三 形定
解 ： ｂ ａ ｂ ３ 得ａ ＋ ＋ ＋ ＝ ， 由ａ ＋ ＋ ＝ ， ｂ ｒ ６ １ ４ ｚ
即 （ｚ１） ｂ １） ４ ｒ ＋ （ ＋ ：．
同理 （ ＋ （ ＋ ） ４ （ ＋ ） ａ １ ： ． ｂ １） ｃ １ ＝ ， ｃ １ （ ＋ ） ４ 三 式相 乘可 得 （ｚ １ （ ＋ ） ｃ １）＝ ４ ｒ ） ｂ １ （ ＋ ６ ＋
二 、 于 代 数 式 的 求 值 用
例３ 已知ｘ ｙ ３ Ｘ＋， ｘ ＝ ， ｌ ，＋ ＋ ｙ 的值 为 ＋ ＝ ，２，－ ｙ ４ ． ｘ＋， ｙ ｘ ￣ Ｊ
（ １届 江 苏 省 初 中 数 学 竞 赛 题 ） 第 ３
解 ： ＋ ｘｙ ｘ ｙ＋ ＋ｙ ３
＝
（ ＋ ＋ ｘ ｙ） ｘ ｙ） ｙ （ ＋ （ ＋ （ ３ｙ ） ｘ ｙ） Ｘ＋
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责任 编 辑 ： 王二 喜
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巧用因式分解
作者：曾妍 参与人员：张凯馨、杨梦颖、胡宇
因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的。它为以后学习分
式运算、解方程、方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。所
以因式分解是中学代数教材的一个重要内容。它具有广泛的基础知识的功能。我
们不仅要掌握因式分解的基础知识，还要善于运用。今天我们小组带大家来探讨
如何巧用因式分解。
一、例题解析
例1 有一天，小明和爸爸去公园散步，看到公园有一块长为51.2的正方形
绿地，为了方便游人通行，决定修两条互相垂直的小路，其中小路宽1.2，然后
小明就问爸爸：“剩余的绿地面积是多少？”（如右图所示）
这一题从表面上看，似乎很复杂。如果用平常的算法，则是：
解：原绿地面积：51.2×51.2=2621.44
两条小路面积：1.2×51.2×2－1.2×1.2=121.44
剩余面积：2621.44－121.44=2500
但用张老师的话说：题目都是人出的，不可能有这样复杂的运
算过程，这时就可以巧用我们学过的因式分解了。
51.2×51.2－1.2×51.2×2+1.2×1.2
=（51.2－1.2）×（51.2－1.2）
=50×50
=2500
由上题不难看出可以先用完全平方公式进行因式分解，再进行计算，就非常
简单和方便了。
例2已知a、b、c是ΔABC的三边的长，当b2＋2ab=c2＋2ac时，判断ΔABC
的形状。
因为a、b、c是ΔABC的三边的长，所以a、b、c均为正数。根据等式的
基本性质，两边同时+ a2，即b2＋2ab＋a2=c2＋2ac＋a2，再用完全平方公式得出
（a＋b）2=（a＋c）2最后可得a＋b=a＋c，b=c。所以ΔABC是一个等边三角形。
解：由b2＋2ab=c2＋2ac，得
b2＋2ab＋a2=c2＋2ac＋a2，
所以（a＋b）2=（a＋c）2
由a﹥0，b﹥0、c﹥0，得a＋b=a＋c
所以b=c
所以ΔABC为等腰三角形
二、结论
通过上述的例题我们就可以发现，在一些看似复杂的算式面前，我们要首先
观察，看看算式有无分解的地方。不要拿着就计算，还容易计算错误。其次我们
要熟记因式分解的方法，如：完全平方公式、平方差公式。这样我们就能很快地
做出题目，达到事半功倍的效果。
三、感悟
因式分解是一个看不着、摸不到的东西，但它时时刻刻就在我们身边。只要
我们熟练掌握，且加以运用在生活中，就一定能解决生活中的许多难题。