二次函数中寻找特殊四边形问题

二次函数中寻找特殊四边形问题1．已知，如图抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a>0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A 点在B点左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD的面积的最大值；(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx 2=++的图象与x 轴交于A （－3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．已知抛物线2y ax 2ax c =-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（－1，0），O（1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC 的函数表达式；（3）如图1，D 为y 轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD 为边作正方形ODEF.将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF 与△OBC 重叠部分的面积为s ，运动的时间为t 秒（0＜t≤2）.求：①s 与t 之间的函数关系式； ②在运动过程中，s 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（4）如图2，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由.4y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．5．已知抛物线2 + 1(如图所示)．(1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____；(2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB 是等边三角形，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，点M在直线．．AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在，直接写出所有．．满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B 落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE 相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y 轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．8．已知，在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内．将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线2y ax bx(a 0)=+≠经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一动点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y x x c =-++过点()1,0A -；直线l ：与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点M ；抛物（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AP l ⊥于点P ，P 为垂足，求点P 的坐标．（3）若N 为直线 l 上一动点，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ．问：是否存在这样的点N ，使得点D 、M 、N 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线y = ax 2+ bx －4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M（1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作PN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CP ，当PNC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）点),2(k D 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。

参考答案1．(1)∴y2－3(2)过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD DM²(AN＋ON)2DM.∵A(－4,0)，C(0，－3)，设直线AC的解析式为y＝kx＋b，代入求得：y－3，令则DM－3(x＋2)2＋3.当x＝－2时，DM有最大值3，此时四边形ABCD(3)如图①所示，讨论：①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP为平行四边形，∵C(0，－3)2－3＝－3得x1＝0，x2＝－3，∴CP1＝3.∴P1(－3，－3)．②如图②，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，∵C(0，－3)，∴可令P(x,3)2－3＝3得：x2＋3x－8＝0，解得x1x2此时存在点P P综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1(－3，－3)，PP2．【答案】（1）（2）存在点，使△ACP的面积最大（3）点【解析】解：（1）由抛物线过A（－3，0），B（1，0），则，解得。

∴二次函数的关系解析式为。

（2）设点P坐标为（m，n），则。

连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N。

PM =，，AO=3。

当时，，所以OC=2。

111∵＜0，∴函数有最大值，当时，有最大值。

此时。

∴存在点，使△ACP的面积最大。

（3）点。

3．【答案】（1）y=x2－2x－3（2）直线BC的函数表达式为y=x－3（3）①②当t =2秒时，S有最大值，最大值为（4）存在。

M 1（－，0）M2（，0），M3（，0），M4（，0）【解析】解：（1）∵ A（－1，0）, ，∴C（0，－3）。

∵抛物线经过A（－1，0）,C（0，，3），∴，解得。

∴抛物线的函数表达式y=x2－2x－3。

（2）直线BC的函数表达式为y=x－3。

（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，－2），根据题意得：－2=m－3，∴m=1。

①当0＜t≤1时，S1=2t；当1＜t≤2时，如图，O1（t，0），D1（t，－2），G（t，t－3），H（1，－2），∴GD1=t－1，HD1= t－1。

∴S=。

∴s与t之间的函数关系式为②在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为。

（4）存在。

M 1（－，0）M2（，0），M3（，0），M4（，0）。

（1）求出点C的坐标，即可根据A，C的坐标用待定系数法求出抛物线的函数表达式。

（2）求出点B的坐标（3，0），即可由待定系数法求出直线BC的函数表达式。

（3）①分0＜t≤1和1＜t≤2讨论即可。

②由于在0＜t≤2上随t的增大而增大，从而在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为。

（4）由点P（1，k）在直线BC上，可得k=－2。

∴P（1，－2）。

则过点P且平行于x轴的直线N1N2和在x轴上方与x轴的距离为2的直线N3N4，与y=x2－2x－3的交点N1、N2、 N3、N4的坐标分别为N1（，－2），N2（，－2）， N3（， 2），N4（， 2）。

则M1的横坐标为－PN1加点A的横坐标：－；M2的横坐标为PN2加点A的横坐标：；M3的横坐标为N3的纵坐标加N3的横坐标：；M4的横坐标为N4的纵坐标加N4的的横坐标：。

综上所述，M 1（－，0）M2（，0），M3（，0），M4（，0）。

4．【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）当t=2时，MN有最大值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）【解析】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）。

将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=。

∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2。

（2）如图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t。

∵，∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）³ =2﹣t。

又∵N点在抛物线上，且x N=t，∴y N=﹣t2+t+2。

∴。

∴当t=2时，MN有最大值4。

（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．如图2，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形。

（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，从而D为（0，6）或D（0，﹣2）。