高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理预习导学案新人教A版选修4-1
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 三 圆的切线的性
圆的切线的性质及判定定理练习1下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的是( )A ．①② B．②③ C．③④ D．①④2如图所示，AB 与e O 切于点B ，AO ＝6 cm ，AB ＝4 cm ，则e O 的半径r 等于( )A ．．C ．3如图，A ，B 是e O 上两点，AC 为e O 的切线，∠OBA ＝75°，e O 的半径为1，则OC 的长等于( )A B ．2C D4如图，PB 与e O 相切于点B ，OP 交e O 于A ，BC ⊥OP 于C ，OA ＝3，OP ＝4，则AC 等于( )A ．34 B ．43C ．D ．不确定5如图所示，AC 与e O 相切于点D ，AO 的延长线交e O 于B ，且BC 与e O 相切于B ，AD ＝DC ，则AOOB等于( )A．2 B．1 C．12D．436如图，在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为______cm.7在Rt△ABC中，AC⊥CB，AB＝12，AC＝6，以C为圆心，作与AB相切的圆C，则e C 的半径r＝__________.8如图，已知PA与圆O相切于A，半径OC⊥OP，AC交PO于B，OC＝1，OP＝2，则PB ＝__________.9如图所示，D是e O的直径AB的延长线上一点，PD是e O的切线，P是切点，∠D＝30°.求证：PA＝P D．10(能力拔高题)某海域直径为30海里的暗礁区中心A处有一哨所，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了15海里到达C处才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号．(1)若轮船收到第一次危险信号后，为避免触礁，航向改变角度至少应为东偏北多少度？(精确到度)(2)当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少度？(精确到度)参考答案1答案：C 与圆有公共点的直线，可能是切线，也可能与圆相交，则①不正确；②不符合切线判定定理的条件，缺少过半径外端的条件，则②不正确；很明显③④正确.2答案：B 如图，连接OB ，则OB ＝r 且OB ⊥AB ，故OB ＝r=3 答案：C ∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝75°.∴∠AOB ＝180°－2∠OBA ＝30°. ∵AC 为e O 的切线，∴OA ⊥AC . 又∵OA ＝1，∴在Rt△OAC中，cos30OA OC ===︒. 4 答案：A 如图，连OB ，则OB ⊥PB ，OB ＝OA ＝3.又BC ⊥OP ，∴在Rt△OBP 中，有OB 2＝OC ·OP .∴294OB OC OP ==. ∴AC ＝OA －OC ＝3－94＝34.5 答案：A 如图所示，连接OD ，OC.∵AC ，BC 是切线， ∴OD ⊥AC ，OB ⊥BC .又AD ＝DC ，∴△OAC 是等腰三角形. ∴OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCD .又OC ＝OC ，OD ＝OB ，∴△OBC ≌△ODC . ∴∠OCD ＝∠OCB .∴∠BCA ＝2∠A .∴∠A ＋∠BCA ＝3∠A ＝90°， ∴∠A ＝30°.∴12sin30AO AO OB OD ===︒. 6答案：8 如图，连接OA ，OC ，OB ，则OC ⊥AC . 又∵OA ＝OB ，∴△OAB 是等腰三角形. ∴AC ＝CB .由题意知，OA ＝5，OC ＝3，∴AC 4. ∴AB ＝2AC ＝8(cm).7答案：如图，设切点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，CD ＝r .∵AC ⊥CB ，∴CD 2＝AD ·BD .又AB ＝12，AC ＝6，AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝22612AC AB =＝3. ∴BD ＝AB －AD ＝12－3＝9.∴CD 2＝3×9＝27，∴CD ＝8如图所示，连接OA ，则OA ⊥PA .在△OAP 中，∠PAO ＝90°，OP ＝2，OA ＝1，则PA P ＝30°，∠POA ＝60°.故∠AOC ＝∠AOP ＋∠BOP ＝60°＋90°＝150°. 又OA ＝OC ，则∠BAO ＝15°.所以∠PBA ＝∠BAO ＋∠AOP ＝15°＋60°＝75°.在△PAB 中，则∠PAB ＝180°－∠P －∠ABP ＝180°－30°－75°＝75°. 所以∠PBA ＝∠PAB ，故PA ＝PB ，所以PB 9答案：分析：欲证PA ＝PD ，只要证明∠A ＝∠D ＝30°即可.证明：如图，连接OP ，∵PD 是e O 的切线，P 为切点. ∴PO ⊥PD . ∵∠D ＝30°， ∴∠POD ＝60°.又∵OA ＝OP ，∴∠A ＝∠APO .∴∠A ＝30°.∴∠A ＝∠D .∴PA ＝PD .10答案：分析：如图所示，轮船是否有触礁危险，在于轮船航行所在的直线与以A 点为圆心、以15海里为半径的圆的位置关系，此题应从直线与圆相切这一特殊位置关系入手.解：(1)过点B 作e A 的切线BD ，D 为切点，连接DA ，则∠ADB ＝90°. 在Rt △ABD 中，151sin 453AD AB α===， 则α≈19.47°.故为避免触礁，航向改变角度至少应为东偏北20°. (2)过点C 作e A 的切线CE ，E 为切点，连接AE ， 则∠AEC ＝90°.在Rt△ACE 中，AC ＝45－15＝30， sin∠ACE ＝151302AE AC ==，则∠ACE ＝30°. 故为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为东偏南30°.。
新教材高中数学第二章直线和圆的方程5-1直线与圆的位置关系学案新人教A版选择性必修第一册
直线与圆的位置关系【学习目标】1．直线与圆的三种位置关系代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a2＋y －b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ【小试牛刀】1.若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( )2.如果直线与圆组成的方程组有解,则直线和圆相交或相切.( )3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )4.过半径外端的直线与圆相切.( )【经典例题】题型一直线与圆的位置关系 直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系．例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0,圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时,圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．[跟踪训练]1已知直线l ：x －2y ＋5＝0与圆C ：(x －7)2＋(y －1)2＝36,判断直线l 与圆C 的位置关系.题型二圆的切线方程 (1)点在圆上时求过圆上一点(x 0,y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ,再由垂直关系得切线的斜率为－1k,由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y ＝y 0或x ＝x 0. (2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．由圆心到直线的距离等于半径,可求得k ,也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0),与圆的方程联立,消去y 后得到关于x 的一元二次方程,由Δ＝0求出k ,可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况,不要漏解．例2 （1）求过圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0上一点P (3,3)的切线方程。
2019_2020学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.3圆的切线的性质及判定定理课件新人教A版
12
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做一做1 如图,直线PM与PN均与圆O相切,则四边形PMON一定是
() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.圆内接四边形 解析因为直线PM与PN均与圆O相切,所以∠PMO=∠PNO=90°,因
探究一
探究二
探究三
证明
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连接OD和AD,如图所示. ∵AB是☉O的直径,∴AD⊥BC. ∵AB=AC,∴BD=CD. 又AO=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC. ∵DE⊥AC,∴DE⊥OD, 故DE是☉O的切线.
(1)求∠P的度数;(2)求DE的长.
探究一
探究二
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解(1)
如图,连接 OC,∵点 C 为切点,∴OC⊥PC,∴△POC 为直角三角 形.
∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2,∴sin P=������������������������ = 12,故∠P=30°. (2)∵BD⊥PD,∴在 Rt△PBD 中,由∠P=30°,而 PB=PA+AO+OB=3,得 BD=32. 如图,连接 AE,则∠AEB=90°,∴AE∥PD. ∴∠EAB=∠P=30°,∴BE=ABsin 30°=1, ∴DE=BD-BE=12.
探究三
(1)证明 连接OP,OM, 因为AP与☉O相切于点P, 所以OP⊥AP.因为M是☉O的弦BC的中点,所以OM⊥BC. 于是∠OPA+∠OMA=180°.由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形 APOM的对角互补, 所以A,P,O,M四点共圆. (2)解 由(1)知,A,P,O,M四点共圆,所以∠OAM=∠OPM. 由(1)知OP⊥AP,而圆心O在∠PAC的内部,可知 ∠OPM+∠APM=90°, 所以∠OAM+∠APM=90°.
高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质预习导学案新人教A版选修4_120171027417
四弦切角的性质
预习导航
1．弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部，如图①；(2)圆心在角的一边上，如图②；(3)圆心在角的内部，如图③.
思考1 你对弦切角是怎样理解的？
提示：弦切角的特点：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)另一边与圆相切．
弦切角定义中的三个条件缺一不可．如图①②③④中的角都不是弦切角．图①中，缺少“顶点在圆上”的条件；图②中，缺少“一边和圆相交”的条件；图③中，缺少“一边和圆相切”的条件；图④中，缺少“顶点在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件．
2．弦切角定理
证明两个角相等
提示：(1)由弦切角定理及圆周角定理可以得到： ①弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半； ②弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．
(2)由弦切角定理可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据．如图，DE 切⊙O 于点A ，若AB ＝
AC ，则∠BAD ＝∠CAE .
温馨提示 (1)弦切角定理的推论：若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．
(2)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础．
(3)圆心角、圆周角、弦切角的比较.
AOB 的度数＝AB 度数
∠ACB 的度数＝12
AB
的度数
ACB 的度数＝1
2
AC
的度数。
高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.3圆的切线的性质及判定定理a41a高二41数学
(1)求∠P的度数;(2)求DE的长.
12/13/2021
探究一
探究二
探究三
解(1)
如图,连接 OC,∵点 C 为切点,∴OC⊥PC,∴△POC 为直角三角
形.
∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2,∴sin P=
1
2
= ,故∠P=30°.
1
2
3
4
5
3.如图所示,直线AB与☉O相切于点P,CD是☉O的直径,C,D与AB的
距离分别为4 cm,2 cm,则☉O的半径为
.
解析利用圆的切线及梯形中位线的知识可知☉O 的半径为
1
OP= (AC+BD)=3
2
答案 3 cm
12/13/2021
cm.
1
2
3
4
5
4.如图所示,DB,DC是☉O的两条切线,A是圆上一点,已知∠D=46°,
积式转化线段间的关系.
12/13/2021
探究一
探究二
探究三
(1)证明
如图,连接OD,BD.
∵BC,CD是☉O的切线,∴OB⊥BC,OD⊥CD.
∴∠OBC=∠ODC=90°.
又∵OB=OD,OC=OC,
∴Rt△OBC≌Rt△ODC.
∴BC=CD.又∵OB=OD,∴OC⊥BD.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,
为☉O的直径.求证:☉O与CD相切.
证明 过O作OE⊥CD,垂足为E.
因为AD∥BC,∠C=90°,所以AD∥OE∥BC.
因为O为AB的中点,所以E为CD的中点.
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高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.3圆的切线的性质及判定定理课件新人教A版选修4-1
类型 1 性质定理的应用 [典例 1] 如图所示，已知 AB 是⊙O 的 直径，ED 切⊙O 于 D，EM⊥AB 于 M， 交 AD 于 C，交⊙O 于 F.求证：EC＝ED. 证明：法一：连接 BD(如图①所示)， 因为 AB 是⊙O 的直径，
所以∠BCD＋∠ADC＝180°，
(2)解：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E(如图)， 则四边形 ABED 是矩形， DE 等于⊙O 的直径， 在 Rt△DEC 中，∠DEC＝90°， ∠ECD＝60°，CD＝4 cm，
[变式训练] 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边 形，以对角线 BD 为直径作⊙O，分别与 BC，AD 相交于 点 E，F.
第二讲 直线与圆的位置关系
[知识提炼·梳理]
1．直线与圆的位置关系 直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交；直线与圆 只有一个公共点，称直线与圆相切；直线与圆没有公共点， 称直线与圆相离．
2.如图所示，直线 l 与⊙O 相切，P 是 l 上任一点， 当 OP⊥l 时，则( )
A．P 不在⊙O 上 B．P 在⊙O 上 C．P 不可能是切点 D．OP 大于⊙O 的半径
解析：连接 OM，ON(如图)． 因为∠MON＝2∠MBN＝2×70°＝140°.
又因为 AM，AN 分别是圆 O 的切线， 所以∠AMO＝∠ANO＝90°. 因此∠A＝360°－140°－90°－90°＝40°. 答案：40°
5.如图所示，圆 O 的直径 AB＝6， P 是 AB 的延长线上一点，过点 P 作圆 O 的切线，切点为 C，连接 AC，若∠CPA＝30°，则 PC ＝________．
3.如图所示，CD 切⊙O 于 B，CO 的延长线交⊙O 于 A.若∠C＝36°，则∠ABD 等于( )
高中数学 第2讲 直线与圆的位置关系 第3节 圆的切线的性质及判定定理课后练习 新人教A版选修4-
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的性质及判定定理课后练习新人教A版选修4-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列说法正确的是（)A．垂直于半径的直线是圆的切线B．垂直于切线的直线必经过圆心C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过切点解析：垂直于半径且经过半径外端的直线是圆的切线，A错误，B显然不正确，C正确，D显然不正确．答案: C2．如图，PA切⊙O于A,PO交⊙O于B,若PA＝6,PB＝4，则⊙O的半径是（）A．错误!B．错误!C．2 D．5解析：令OA＝OB＝r，∵PA切⊙O于点A，所以PA2＋OA2＝OP2，即62＋r2＝（r＋4)2。
解得r＝错误!。
答案: A3．如图，在⊙O中,AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO等于（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：连接BD,作OE⊥AC于E.∵BC切⊙O于B，∴AB⊥BC，∵AB为直径,∴BD⊥AC,∵AD＝DC，∴BA＝BC，∠A＝45°，设⊙O的半径为R，∴OC＝BC2＋OB2＝错误!＝错误!R。
OE＝错误!R。
∴sin∠ACO＝错误!＝错误!＝错误!.答案：A4．如图所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2,则AO∶OB＝（)A．2∶1 B．1∶1C．1∶2 D．1∶1.5解析：如图所示，连接OD、OC，则OD⊥AC．∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°。
高中数学《直线与圆的位置关系》导学案
4.2.1直线与圆的位置关系课前自主预习知识点直线与圆的位置关系1.直线与圆有三种位置关系2.直线与圆位置关系的判定方法(1)几何法直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)、半径为r的圆，圆心.M到直线l的距离d＝□4|aA＋bB＋C|A2＋B2d>r⇔直线l与圆M□5相离；d＝r⇔直线l与圆M□6相切；d<r⇔直线l与圆M□7相交．(2)代数法直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l 与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk，Δ>0⇔直线l与圆M□8相交；Δ＝0⇔直线l与圆M□9相切；Δ<0⇔直线l与圆M□10相离．圆的切线问题1.求圆的切线的方法(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率k，则由垂直关系，k存在且k≠0时，知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0.(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线．代数法：设切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线．2.切线段的长度公式(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P 到切点的切线段长为d＝(x0－a)2＋(y0－b)2－r2.(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为d＝x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F.1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．()(2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(3)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．()(4)当m＝2时，直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝1必相切．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m＝________.(2)(教材改编，P128，T3)直线3x＋4y＋12＝0与圆2x2＋2y2－4x ＝0的位置关系是________．(3)(教材改编，P128，T4)当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，则a的取值范围为________．答案(1)2(2)相离(3)a<－1或a>33.(教材改编，P128，T4)设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是()A.±1 B．±12C．±33D．±3答案C课堂互动探究探究1直线与圆位置关系的判断例1已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？解 判断直线与圆位置关系问题可转化为b 为何值时，方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，①y ＝x ＋b ，②有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题． 将②代入①，整理得2x 2＋2bx ＋b 2－2＝0.③方程③的根的判别式Δ＝(2b )2－4×2(b 2－2)＝－4(b ＋2)(b －2)．当－2<b <2时，Δ>0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当b ＝2或b ＝－2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当b <－2或b >2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离．[解法探究] 例1可以用几何法做吗？解 如下图，圆心O (0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ＝|b |2，圆的半径r ＝ 2.∴当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切．∵b为直线的截距，数形结合可知，当－2<b<2时，直线与圆相交，当b>2或b<－2时，直线与圆相离．拓展提升直线与圆位置关系的两种判断方法(1)直线与圆的位置关系的两种判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较简单；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离表达较复杂，则用代数法较简单．(2)由直线与圆的位置关系求参数的问题，首先判断直线与圆的位置关系，然后将此转化为圆心到直线的距离与半径长的关系，并结合其他条件解题，注意半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形在解题中的应用.【跟踪训练1】已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．解解法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4)．(1)当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．解法二：已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4，即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m2 . (1)当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.探究2 圆的切线问题例2 已知圆C ：x 2＋y 2＝25.求过点P (3,4)的圆的切线方程． 解 ∵32＋42＝25，∴点P 在圆C 上．由圆C ：x 2＋y 2＝25知圆心C (0,0)，r ＝5.则CP 的斜率k CP ＝4－03－0＝43，因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以所求切线的斜率k ＝－34.故经过点P 的切线方程为y －4＝－34(x －3)，即3x ＋4y －25＝0.[条件探究] 将例2变为求过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，52的圆的切线方程． 解 ∵(－5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522>25，∴点Q 在圆外． 若所求直线斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y －52＝k [x －(－5)]，即kx －y ＋5k ＋52＝0.因圆心C (0,0)到切线的距离等于半径5， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k ＋52k 2＋1＝5，∴k ＝34. 故所求切线方程为34x －y ＋154＋52＝0，即3x －4y ＋25＝0.若所求直线斜率不存在，则直线方程为x ＝－5，圆心C (0,0)到x ＝－5的距离为5，符合题意．综上，过点Q 的切线方程为x ＋5＝0或3x －4y ＋25＝0.拓展提升求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程的步骤：①求斜率k；②代入点斜式方程：y－y0＝k(x－x0)；③讨论k＝0或斜率不存在两种情况．(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解，步骤是：①设切线方程：y－y0＝k(x－x0)；②利用圆心到直线的距离等于半径，求k.注意：若求出的k值只有一个，则另一条切线的斜率一定不存在.【跟踪训练2】(1)求圆x2＋y2＝10的切线方程，使得它经过点M(2，6)；(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．解(1)因为点M的坐标适合圆的方程，所以点M在圆x2＋y2＝10上，由题可知圆心为C(0,0)，则直线CM的斜率k CM＝62，因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以所求切线的斜率k＝－26.故经过点M的切线方程为y－6＝－26(x－2)，整理得2x＋6 y－10＝0.(2)∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10>1，∴点A 在圆外．解法一：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程是x ＝－1， 不满足题意．设直线l 的斜率为k ，则方程为y －4＝k (x ＋1)，即kx －y ＋4＋k ＝0.圆心(2,3)到切线l 的距离为|2k －3＋4＋k |k 2＋1＝1， 解得k ＝0或k ＝－34，因此，所求直线l 的方程y ＝4或3x ＋4y －13＝0.解法二：由于直线l 与圆相切，所以方程组⎩⎨⎧ y －4＝k (x ＋1)，(x －2)2＋(y －3)2＝1只有一解． 消去y ，得到关于x 的一元二次方程(1＋k 2)x 2＋(2k 2＋2k －4)x ＋k 2＋2k ＋4＝0， 则Δ＝(2k 2＋2k －4)2－4(1＋k 2)(k 2＋2k ＋4)＝0，解得8k 2＋6k ＝0，即k ＝0或k ＝－34，因此，所求直线l 的方程为y ＝4或3x ＋4y －13＝0.探究3 弦长问题例3 已知直线l ：2x －y －1＝0和圆C ：x 2＋y 2－2y －1＝0相交于A 、B 两点．求弦长|AB |.解 解法一：由方程组⎩⎨⎧ 2x －y －1＝0，x 2＋y 2－2y －1＝0消去y ，得5x 2－8x ＋2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即x 1，x 2是方程5x 2－8x ＋2＝0的两根，所以x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝25.由两点间距离公式，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(2x 1－1－2x 2＋1)2 ＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2 ＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5× ⎝ ⎛⎭⎪⎫852－4×25＝2305. 解法二：已知圆方程可化为x 2＋(y －1)2＝2，其圆心为(0,1)，半径长为r ＝2，设圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝|2×0－1－1|5＝25， 弦长|AB |＝2r 2－d 2＝22－45＝2305.拓展提升与圆的弦长有关问题的两种解法(1)由于半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，利用勾股定理d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2求解，这是常用解法． (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很繁琐，一般不用.【跟踪训练3】 直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交于A ，B 两点，截得的弦长为45，求l 的方程．解 解法一：若直线l 的斜率不存在，则l ：x ＝5与圆C 相切，不合题意，所以直线l 的斜率存在，设其方程为y －5＝k (x －5)，即kx －y ＋5(1－k )＝0.如图所示，|OH |是圆心到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的一半，在Rt △AHO 中，|OA |＝5，|AH |＝12|AB |＝12×45＝2 5.∴|OH |＝|OA |2－|AH |2＝5，∴|5(1－k )|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝2. ∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0.解法二：若直线l 的斜率不存在，则l ：x ＝5与圆C 相切，不合题意，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)，且与圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎨⎧ y －5＝k (x －5)，x 2＋y 2＝25消去y ，得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0.所以Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)×25k (k －2)>0，解得k >0，又因为x 1＋x 2＝－10k (1－k )k 2＋1，x 1x 2＝25k (k －2)k 2＋1， 由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ (1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4×25k (k －2)k 2＋1 ＝45，两边平方，整理得2k 2－5k ＋2＝0，解得k ＝12或k ＝2，均符合题意．故直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0.探究4 直线与圆的综合应用例4 若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A.[－3，3]B ．(－3，3) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎪⎫－33，33 解析 曲线(x －2)2＋y 2＝1是以B (2,0)为圆心，1为半径的圆，易知点A 在圆B 外(如图)，要使过点A (4，0)的直线l 与圆有交点，由图可知直线l 的斜率取值范围为[kl 1，kl 2](l 1，l 2为过点A 的圆B 的切线)．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，设点B 到直线l 的距离为d ，令d ＝r ＝1，得|2k －4k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，所以kl 1＝－33，kl 2＝33.故直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.答案 C[条件探究] 将本例中直线l 的方程改为x －y ＋b ＝0，则l 与曲线有公共点，如何求b 的取值范围？解 ∵x －y ＋b ＝0，∴y ＝x ＋b ，∴b 为直线l 在y 轴上的截距．由图可知当l在l1与l2之间时和圆B有公共点．由|2＋b|2＝1，得b＝±2－2.∴－2－2≤b≤2－2.拓展提升数形结合思想在解析几何中的应用在讨论直线与圆的位置关系时，要有勤于作图的习惯，即在读完题之后，通过图形语言将其中的关系展示出来，用代数方法解决的同时，更应重视运用圆的几何性质优化解题过程，要把数形结合的数学思想贯穿解析几何的始终.【跟踪训练4】(1)直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b的取值范围是()A.|b|＝ 2 B．－1<b≤1或b＝－2C.－1≤b<1 D．非以上答案(2)若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.(－∞，2－ 3 ]∪[2＋3，＋∞)B.[2－3，2＋ 3 ]C.(－∞，＋∞)D.[2－3，1]答案 (1)B (2)B解析 (1)曲线x ＝1－y 2含有限制条件，即x ≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y 轴右侧(含与y 轴的交点)的部分．在同一平面直角坐标系中，画出y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2(就是x 2＋y 2＝1，x ≥0)的图象，如图所示．相切时，b ＝－2，其他位置符合条件时需－1<b ≤1.故选B.(2)圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径长为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，令|2a ＋2b |a 2＋b 2＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋1＝0. ∴a b ＝－2－3或a b ＝－2＋ 3.又直线l 的斜率k ＝－a b ，∴k ＝2－3或k ＝2＋ 3.故选B.1.直线与圆相交时，弦长的求法(1)几何法：如图，直线l 与圆C 交于A 、B 两点，设弦心距为d ，圆半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：①联立直线方程和圆的方程，解方程组得A ，B 点坐标，再由两点间的距离公式求弦长|AB |；②设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立直线l 的方程和圆的方程，消去一个未知数得一个一元二次方程，利用根与系数的关系求解．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b .则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(kx 1＋b －kx 2－b )2 ＝1＋k 2·(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.注意：①当已知圆心坐标和半径时利用几何法较简便；②若直线方程较特殊(如x ＝a ，y ＝b 等)，一般解出坐标再求|AB |.2.圆的切线的求法注意的两种情况(1)点在圆上时；(2)点在圆外时：①几何法；②代数法．课堂达标自测1.直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A.－2或12 B．2或－12C.－2或－12 D．2或12答案D解析易知圆心坐标为(1,1)，半径r＝1，∵直线与圆相切，∴|3＋4－b|32＋42＝1，解得b＝2或b＝12.2.过圆x2＋y2＝4上的一点(1，3)的圆的切线方程是()A.x＋3y－4＝0B.3x－y＝0C.x＋3y＝0 D．x－3y－4＝0答案A解析过圆心与点(1，3)的直线的斜率为3，所以过点(1，3)的圆的切线方程的斜率为－33，所以切线方程为y－3＝－33(x－1)，即x＋3y－4＝0.3.平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0答案A解析切线平行于直线2x＋y＋1＝0，故可设切线方程为2x＋y ＋c＝0(c≠1)，结合题意可得|c|5＝5，解得c＝±5.故选A.4.过点P(a,5)作圆(x＋2)2＋(y－1)2＝4的切线，切线长为23，则a 的值为________．答案 －2解析 点P (a,5)与圆心(－2,1)的距离d ＝(a ＋2)2＋(5－1)2，又圆的半径为2，所以(23)2＋22＝(a ＋2)2＋16，解得a ＝－2.5.已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝17，求m 的值． 解 (1)证法一：由⎩⎨⎧ x 2＋(y －1)2＝5，mx －y ＋1－m ＝0，得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0.∵Δ＝(－2m 2)2－4(m 2＋1)(m 2－5)＝16m 2＋20>0，对一切m ∈R 成立．∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点．证法二：由已知直线l ：y －1＝m (x －1)，知直线l 恒过定点P (1,1)．∵12＋(1－1)2<5，∴P (1,1)在圆C 内．∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)解法一：∵圆半径r ＝5，|AB |＝17，∴圆心(0,1)到直线l 的距离为d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝32. 由点到直线的距离公式得|－m |m 2＋(－1)2＝32，解得m ＝± 3.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系并结合(1)，得x 1＋x 2＝2m 2m 2＋1，x 1x 2＝m 2－5m 2＋1. ∵|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(m 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ (m 2＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2m 2m 2＋12－4·m 2－5m 2＋1 ＝17，∴m ＝± 3.课后课时精练A 级：基础巩固练一、选择题1.对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A.相离B ．相切 C.相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案 C解析 直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在圆x 2＋y 2＝2内，所以直线与圆相交，已知圆心为原点，直线不过原点.2.若点P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －3＝0C.2x －y －5＝0 D ．x －y －3＝0答案 D解析 圆心是点C (1,0)，由CP ⊥AB ，得k AB ＝1，又直线AB 过点P ，所以直线AB 的方程为x －y －3＝0，故选D.3.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝4外，则直线ax ＋by ＝4与圆O 的位置关系是( )A.相离 B ．相切 C ．相交 D ．不确定答案 C解析 因为点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝4外，所以a 2＋b 2>4，所以圆心到直线ax ＋by ＝4的距离d ＝|－4|a 2＋b 2<2，所以该直线与圆相交．故选C.4.一条光线从点A (－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B ．－32或－23 C.－54或－45D ．－43或－34 答案 D解析 A (－2，－3)关于y 轴的对称点为A ′(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，化为kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到反射光线所在直线的距离为d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简为24k 2＋50k ＋24＝0，∴k ＝－43或k ＝－34.5.若曲线C ：y ＝1＋4－x 2与直线l ：y ＝k (x －2)＋4有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512 答案 A解析 由题意，得曲线C ：x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，表示以(0,1)为圆心，2为半径的圆的上半部分，左端点为A (－2,1)，而直线l ：y ＝k (x －2)＋4过定点P (2,4)，当直线l 与半圆相切时，|k (0－2)－1＋4|k 2＋1＝2，解得k ＝512.又k AP ＝34，于是512<k ≤34.故选A.二、填空题6.垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是________．答案 x ＋y －2＝0解析 因为所求直线l (设斜率为k )垂直于直线y ＝x ＋1，所以k ·1＝－1，所以k ＝－1，设直线l 的方程为y ＝－x ＋b (b >0)，即x ＋y －b ＝0，所以圆心到直线的距离为|－b |2＝1，所以b ＝ 2.故所求直线方程为x ＋y －2＝0.7.已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案 4±15解析 圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15.8.若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.答案 2解析 由圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)，其圆心为(0,0)，半径为r .过圆心作直线3x －4y ＋5＝0的垂线，交点为C ，那么△AOC 是直角三角形，其∠OAC ＝30°.∴OC ＝12r .又∵圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离OC ＝|5|32＋42＝1，故有12r ＝1，解得r ＝2.三、解答题9.已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0.(1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长．解 (1)证明：直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)，由点斜式可知，直线恒过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交．(2)圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－(－6)4－3＝3， 所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt △APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5.所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.B 级：能力提升练10.已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程．解 (1)设圆A 的半径为R ，由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.如图所示，连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|＝219，∴|AQ|＝20－19＝1.则由|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，∴直线l：3x－4y＋6＝0.故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.。
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三圆的切线的性质及判定定理
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1．切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
相切于点A，则OA⊥l
证明两条直线垂直
2
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
证明点在直线上
3
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
相切于点A，过点A作直线
证明点在直线上
由性质定理及其两个推论的条件和结论间的关系，如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．(1)垂直于切线；(2)过切点；
(3)过圆心．于是在利用切线的性质时，过切点的半径是常作的辅助线．
4．切线的判定定理
证明直线与圆相切
要分清定理的题设和结论，
和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，如图①，②中的例子就不能同时满足这两个条件，所以都不是圆的切线．
思考判定切线的方法有哪些？
提示：判定切线通常有三种方法：(1)定义法：和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)距离法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)定理法：过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线．
“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化．在使用时，要根据题目的具体要求选取合适的方法：若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连，证这条直线与此半径垂直，即用定理法；若不能确定已知要证的切线与圆有公共点，则需先向这条直线作垂线，再证此垂线段是圆的半径，即用距离法证明；通常不用定义法证明．。